tóm tắt luận án tiến sĩ đa tạp tích phân và dáng điệu tiềm cân nghiêm của 1 số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trịnh Viết Dược
ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu
Phản biện 1:
Phản biên 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại . . . . . . . .
vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU
Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ I,
trong đó I = R
+

hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong
không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính
của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp
tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn
định, không ổn định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức
tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với
nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo
xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức
là họ các toán tử (A(t))
t∈I
) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam
phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả
nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học
Hadamard, Perron, Bogoliubov và Mitropolsky. Đó là những kết quả về sự tồn
tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường
hợp X = R
n
và A(t) là các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng
các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian
Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả về sự tồn tại
đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới
nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết
nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã
được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát

bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Có hai phương
1
pháp chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp
Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát
hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp này
liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu
diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành
phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của
Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương
trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá,
để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp Lyapunov-
Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra
bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây
dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ
thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa
tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q là hằng số đủ nhỏ. Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá
trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ
điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Ba-
nach chấp nhận được. Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn
của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ
số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian
hàm Banach chấp nhận được. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn

tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và
phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án
này. Luận án bao gồm 3 chương
• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái
niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không
ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ I,
2
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi
t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá
(U(t, s))
t≥s≥0
sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R
+
, có nhị phân mũ và hàm
phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f(t, x) − f(t, y) ≤
ϕ(t)x − y với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp
nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự
tồn tại của đa tạp ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có
tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau
đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương
trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không
ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả

trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3].
• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định,
đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng
du
dt
= A(t)u(t) + f(t, u
t
), t ∈ I,
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi
t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố
định, chúng ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên
tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))
t∈I
sinh
ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều
kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến
là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz
đủ nhỏ, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q đủ nhỏ. Tuy nhiên,
đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán
phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hệ
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian. Vì vậy, khi nghiên cứu sự
tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm
riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,
tức là f(t, φ
1
) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ

1
− φ
2

C
, khi đó điều kiện hằng số
Lipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện sup
t∈I

t+1
t
ϕ(τ)dτ đủ nhỏ.
Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2].
3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không
gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R
+
. Sử dụng một ít
thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực. Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân
mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên nửa đường thẳng
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel
trên R
+
được gọi là không gian hàm Banach trên (R
+

, B, λ), trong đó B là đại
số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R
+
, nếu
(1) (E,  · 
E
) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được
Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E
và ψ
E
≤ ϕ
E
,
(2) hàm đặc trưng χ
A
∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và sup
t≥0
χ
[t,t+1]

E
<
∞, inf
t≥0
χ
[t,t+1]

E
> 0,
(3) E → L

1,loc
(R
+
), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R
+
tồn tại β
J
> 0 sao
cho

J
|f(t)|dt ≤ β
J
f
E
với mọi f ∈ E.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn
4
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho

b
a
|ϕ(t)|dt ≤
M(b − a)
χ
[a,b]

E
ϕ

E
với mọi [a, b] ⊂ R
+
và mọi ϕ ∈ E,
(ii) E là bất biến với toán tử Λ
1
, trong đó Λ
1
ϕ(t) =

t+1
t
ϕ(τ)dτ,
(iii) E là T
+
τ
và T
−
τ
bất biến với mọi τ ∈ R
+
, trong đó
T
+
τ
ϕ(t) =



ϕ(t − τ) nếu t ≥ τ ≥ 0

0 nếu 0 ≤ t < τ,
T
−
τ
ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N
1
, N
2
> 0 sao cho T
+
τ
 ≤ N
1
, T
−
τ
 ≤ N
2
với mọi
τ ∈ R
+
.
Ví dụ 1.1.3. Không gian L
p
(R
+
) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
M(R
+

) :=

f ∈ L
1, loc
(R
+
) : sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ < ∞

với chuẩn f
M
:= sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ là các không gian hàm Banach chấp
nhận được.
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.4. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các
khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R
+
) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ

1
ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ như sau
Λ

σ
ϕ(t) =

t
0
e
−σ(t−s)
ϕ(s)ds,
Λ

σ
ϕ(t) =

∞
t
e
−σ(s−t)
ϕ(s)ds.
5

Khi đó, Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R
+
) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
T
+

1
ϕ
∞
và Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
2
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ
∞
, (1.1)
trong đó Λ
1
, T
+
1
và N
1
, N
2
được xác định trong Định nghĩa 1.3.1.
(b) Với mọi α > 0, e
−αt

∈ E.
(c) Với mọi b > 0, e
bt
/∈ E.
1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng
Thay R
+
bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm
không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. Ta có tính chất
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường
thẳng. Ta có các tính chất sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ
1
ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ như sau
Λ

σ
ϕ(t) =


t
−∞
e
−σ(t−s)
ϕ(s)ds,
Λ

σ
ϕ(t) =

∞
t
e
−σ(s−t)
ϕ(s)ds.
Khi đó, Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu sup
t∈R

t+1
t
ϕ(τ)dτ < ∞ (điều
này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λ

σ

ϕ và Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ
∞
và Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
2
1 − e
−σ
Λ
1

ϕ
∞
.
(b) Với mọi α > 0, e
−α|t|
∈ E.
(c) Với mọi b > 0, e
b|t|
/∈ E.
6
1.3 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa
tạp ổn định
Trong phần này, chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.2)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định và f : R
+
× X → X là toán tử phi tuyến. Chúng ta giả sử họ các toán tử
A(t), t ∈ R
+
sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ. Sử dụng không
gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra
điều kiện của hàm f để phương trình (1.2) có đa tạp ổn định. Để chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp ổn định, thay vì (1.2) chúng ta xét phương trình tích phân
u(t) = U(t, s)u(s) +


t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (1.3)
Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
trên không gian Banach X
được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính
bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t ≥ s ≥ 0,
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng
ta biểu diễn ánh xạ ngược là U(s, t)
|
:= (U(t, s)
|
)
−1
, 0 ≤ s ≤ t,
(c) U(t, s)x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ P(s)X, t ≥ s ≥ 0,
(d) U(s, t)
|
x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được

gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R
+
,
(ii) f(t, x
1
) − f(t, x
2
) ≤ ϕ(t)x
1
− x
2
 với t ∈ R
+
và x
1
, x
2
∈ X.
7
Định nghĩa 1.3.3. Tập S ⊂ R
+
× X được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho
các nghiệm của phương trình (1.3) nếu mỗi t ∈ R
+
ta có X = X
0
(t) ⊕ X
1
(t)

sao cho
inf
t∈R
+
Sn(X
0
(t), X
1
(t)) := inf
t∈R
+
inf
i=0, 1
{x
0
+ x
1
 : x
i
∈ X
i
(t), x
i
 = 1} > 0
và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: X
0
(t) → X

1
(t), t ∈ R
+
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn
(i) S = {(t, x + g
t
(x)) ∈ R
+
× (X
0
(t) ⊕ X
1
(t)) | t ∈ R
+
, x ∈ X
0
(t)}, ký hiệu
S
t
= {x + g
t
(x) : (t, x + g
t
(x)) ∈ S}.
(ii) S
t
đồng phôi với X
0
(t) với mọi t ≥ 0.
(iii) Mỗi x

0
∈ S
t
0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t
0
, ∞)
thoả mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ S
t
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ S
s
với mọi s ≥ t
0

.
Dưới đây chúng tôi nhắc lại kết quả về đa tạp ổn định của phương trình vi
phân nửa tuyến tính.
Định lý 1.3.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
không âm. Cho f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k <
1
N+1
, trong đó
k :=
(1 + H)N(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)

1 − e
−ν
.
Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình
(1.3). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u
1
(t), u
2
(t) trên đa tạp S hút nhau cấp mũ,
tức là tồn tại các hằng số dương µ và C
µ
không phụ thuộc t
0
≥ 0 sao cho
u
1
(t) − u
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t−t
0
)
P (t
0
)u
1
(t
0

) − P (t
0
)u
2
(t
0
) với mọi t ≥ t
0
.
8
Chương 2
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH
Trong mục 1.3 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của
đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Trong chương này,
chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp
không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3]). Chúng ta
xét phương trình
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (2.1)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định và f : R
+
× X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R
+
có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp

ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ chúng tôi đã
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên
nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các
quỹ đạo nghiệm.
9
2.1 Đa tạp tâm ổn định
Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích
phân
u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (2.2)
Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X.
Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá {U(t, s)}
t≥s≥0
được gọi là tam phân mũ trên
nửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2,
3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả
mãn:
(i) sup
t≥0
P

j
(t) < ∞, j = 1, 2, 3,
(ii) P
1
(t) + P
2
(t) + P
3
(t) = Id với t ≥ 0 và P
j
(t)P
i
(t) = 0 với mọi j = i.
(iii) P
j
(t)U(t, s) = U(t, s)P
j
(s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3,
(iv) U(t, s)|
ImP
j
(s)
là đẳng cấu từ ImP
j
(s) lên ImP
j
(t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và
j = 2, 3, ký hiệu ánh xạ ngược của U(t, s)|
ImP
j

(s)
là U(s, t)
|
.
(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:
U(t, s)P
1
(s)x ≤ Ne
−β(t−s)
P
1
(s)x,
U(s, t)
|
P
2
(t)x ≤ Ne
−β(t−s)
P
2
(t)x,
U(t, s)P
3
(s)x ≤ Ne
α(t−s)
P
3
(s)x.
Sau đây là kết quả chính của phần này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp
tâm ổn định.

Định lý 2.1.2. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ với các hằng
số N, α, β và các họ toán tử chiếu {P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, cho bởi Định
10
nghĩa 2.1.1. Giả sử rằng f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là
hàm không âm và thoả mãn
k :=
(1 + H)N
0
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)

1 − e
−ν
<
1
N
0
+ 1
,
trong đó q = sup{P
j
(t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N
0
= max{N, 2qN} và ν =
δ−α
2
> 0. Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, S
t
) ⊂
R
+
× X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh
xạ Lipschitz
g
t
: Im(P
1
(t) + P
3
(t)) → ImP
2

(t)
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và S
t
= graph(g
t
) có các tính chất sau:
(i) Mỗi x
0
∈ S
t
0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t
0
, ∞)
thoả mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≥t
0
e
−γt
u(t) < ∞ với γ =
δ+α
2
.
(ii) S
t
đồng phôi với X

1
(t) ⊕ X
3
(t) với mọi t ≥ 0, ở đây X
j
(t) = P
j
(t)X,
j = 1, 3.
(iii) S là bất biến, tức là nếu u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ S
t
0
và ess sup
t≥t
0
e
−γt
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ S
s
với mọi
s ≥ t
0
.
(iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y(·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có
ước lượng sau:

x(t) − y(t) ≤ Ce
δ(t−t
0
)
x(t
0
) − y(t
0
) với mọi t ≥ t
0
≥ 0,
trong đó C là hằng số dương độc lập với t
0
, x(·) và y(·).
2.2 Đa tạp không ổn định
Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định cho
các nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hoá xác định trên toàn đường thẳng
dưới điều kiện họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f là
ϕ-Lipschitz.
Trước tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm nhị phân mũ và ϕ-Lipschitz trên
toàn đường thẳng.
11
Định nghĩa 2.2.1. Họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
trên không gian Banach X được
gọi là có nhị phân mũ trên R nếu tồn tại họ toán tử chiếu tuyến tính bị chặn
(P (t))
t∈R

trên X và các hằng số dương N, ν sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t ≥ s,
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) → KerP (t), t ≥ s là đẳng cấu, ký hiệu
ánh xạ ngược của nó là (U(t, s)
|
)
−1
= U(s, t)
|
,
(c) U(t, s)x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ ImP (s), t ≥ s,
(d) U(s, t)
|
x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ KerP (t), t ≥ s.
Định nghĩa 2.2.2. Cho E
R
là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ E
R
là hàm không âm. Hàm f : R × X → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,
(ii) f(t, x
1

) − f(t, x
2
) ≤ ϕ(t)x
1
− x
2
 với t ∈ R và x
1
, x
2
∈ X.
Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R
+
bởi t ∈ R. Giả sử rằng họ
các toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R, trên không gian Banach X sinh ra họ tiến
hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là
ϕ-Lipschitz. Khi đó, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định
cho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1), các nghiệm này là nghiệm của
phương trình tích phân
u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s. (2.3)
Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định như sau.
Định nghĩa 2.2.3. Tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp không ổn định bất biến
cho các nghiệm của phương trình (2.3) nếu mỗi t ∈ R không gian Banach X
được tách thành X = X

0
(t) ⊕ X
1
(t) sao cho
inf
t∈R
Sn(X
0
(t), X
1
(t)) := inf
t∈R
inf
i=0, 1
{x
0
+ x
1
 : x
i
∈ X
i
(t), x
i
 = 1} > 0
và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: X
1

(t) → X
0
(t), t ∈ R
với hằng số Lipschitz độc lập t và thoả mãn
12
(i) U = {(t, x + g
t
(x)) ∈ R × (X
1
(t) ⊕ X
0
(t)) | t ∈ R, x ∈ X
1
(t)}, ký hiệu
U
t
= {x + g
t
(x) : (t, x + g
t
(x)) ∈ U}.
(ii) U
t
đồng phôi với X
1
(t) với mọi t ∈ R,
(iii) mỗi x
0
∈ U
t

0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t
0
] thoả mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≤t
0
u(t) < ∞,
(iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ U
t
0
và ess sup
t≤t
0
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ U
s
với mọi s ≤ t
0
.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 2.2.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))

t≥s
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ ∈ E
R
là hàm không âm. Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn
k :=
(1 + H)N
1 − e
−ν
(N
1
Λ
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
) < 1. (2.4)
Khi đó, mỗi v
1
∈ X
1
(t
0
) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.3) trên

(−∞, t
0
] thoả mãn (I − P (t
0
))x(t
0
) = v
1
và ess sup
t≤t
0
x(t) < ∞. Hơn nữa,
nếu hai nghiệm x
1
(t), x
2
(t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v
1
, v
2
∈ X
1
(t
0
)
thì ta có:
x
1
(t) − x
2

(t) ≤ C
µ
e
−µ(t
0
−t)
v
1
− v
2
 với mọi t ≤ t
0
, (2.5)
trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln(1 − k(1 − e
−ν
)) và C
µ
=
N
1 − k
1−e
−ν
1−e
−(ν−µ)
.
Định lý 2.2.5. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng

f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E
R
là hàm không âm thoả mãn
k <
1
N+1
, ở đây k được xác định bởi (2.4). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định
bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa, với hai nghiệm
bất kỳ x
1
(·) và x
2
(·) trên đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau:
x
1
(t) − x
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t
0
−t)
(Id − P(t
0
))(x
1
(t
0
) − x

2
(t
0
))
với mọi t ≤ t
0
, trong đó µ, C
µ
là các hằng số dương không phụ thuộc t
0
.
13
Để chỉ ra tính chất hút của đa tạp không ổn định chúng tôi đưa ra khái
niệm (, ω)-phù hợp (suitable) của một hàm như sau.
Định nghĩa 2.2.6. Cho trước , ω > 0, một hàm g(·) được gọi là (, ω)-phù
hợp (suitable) nếu tồn tại các hằng số dương µ, η sao cho ηe
µ
<  và

t
s
g(τ)e

τ
s
g(u)du
dτ ≤ ηe
(µ−ω)(t−s)
.
Định lý 2.2.7. Cho họ tiến hoá (U(t, s))

t≥s
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E
R
là hàm không âm thoả mãn
k <
1
N+1
, ở đây k được xác định bởi (2.4) và hàm Nϕ(·) là (

N
, ω)-suitable với
ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
. Khi đó, tồn tại đa tạp
không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa,
đa tạp này hút cấp mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3), tức
là nếu x(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (2.3) thì tồn tại các hằng số
˜
K, ˜η > 0 sao cho
d(x(t), U
t
) ≤
˜
Ke
−
˜
η(t−s)
d(x(s), U

s
) với mọi t ≥ s.
14
Chương 3
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích
phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định
của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng dạng (xem [1, 2])
du
dt
= A(t)u(t) + f(t, u
t
), t ∈ [0, +∞), (3.1)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian
Banach X với mỗi t cố định và f : R
+
×C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với
r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên
tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup, với φ ∈ C thì φ
C
= sup
θ∈[−r,0]
φ(θ).
Cho hàm liên tục u : [−r, ∞) → X, với t ≥ 0, chúng ta có hàm trễ u
t
∈ C được
xác định bởi u
t
(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Khi họ toán tử (A(t))

t≥0
sinh ra
họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f
để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến nhất của phần
phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến
hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ
bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các
phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, trong đó
f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời
gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng
các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình
tương tác-khuyếch tán như vậy.
15
3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân
hàm đạo hàm riêng
Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t) sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
. Để chứng
minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (3.1) chúng ta xét phương trình
tích phân





u(t) = U(t, s)u(s) +

t

s
U(t, ξ)f(ξ, u
ξ
)dξ với t ≥ s ≥ 0,
u
s
= φ ∈ C.
(3.2)
Nghiệm của phương trình (3.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(3.1). Giả sử họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0 . Chúng ta xác định họ
toán tử (

P (t))
t≥0
trên C như sau.

P (t) : C → C
(

P (t)φ)(θ) = U(t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0]. (3.3)
Khi đó, chúng ta có (

P (t))
2
=

P (t), do đó các toán tử


P (t), t ≥ 0 là các toán
tử chiếu trên C. Hơn nữa, ta có
Im

P (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U(t − θ, t)ν
0
, ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν
0
∈ ImP(t)}.
Định nghĩa 3.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ ∈ E
là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × C → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả
mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R
+
,
(ii) f(t, φ
1
) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ
1
− φ
2

C
với mọi t ∈ R
+
và φ
1

, φ
2
∈ C.
Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa đa tạp ổn định cho các nghiệm của
phương trình (3.2).
Định nghĩa 3.1.2. Tập S ⊂ R
+
× C được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho
các nghiệm của phương trình (3.2) nếu với mỗi t ∈ R
+
không gian pha C được
16
phân tích thành tổng trực tiếp C =

X
0
(t) ⊕

X
1
(t) tương ứng với các toán tử
chiếu

P (t) (tức là

X
0
(t) = Im

P (t) và


X
1
(t) = Ker

P (t)) sao cho
sup
t≥0


P (t) < ∞
và tồn tại họ ánh xạ Lipschitz
Φ
t
:

X
0
(t) →

X
1
(t), t ∈ R
+
với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) S = {(t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ R
+
× (


X
0
(t) ⊕

X
1
(t)) | t ∈ R
+
, ψ ∈

X
0
(t)}, ký hiệu
S
t
:= {ψ + Φ
t
(ψ) : (t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ S},
(ii) S
t
đồng phôi

X
0
(t) với mọi t ≥ 0,
(iii) mỗi φ ∈ S
s

có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) trên [s−r, ∞)
thoả mãn u
s
= φ và sup
t≥s
u
t

C
< ∞. Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u(t)
và v(t) của phương trình (3.2) tương ứng với φ
1
, φ
2
∈ S
s
hút nhau cấp
mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và C
µ
độc lập với s ≥ 0 sao cho
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t−s)

(

P (s)φ
1
)(0) − (

P (s)φ
2
)(0) với t ≥ s, (3.4)
(iv) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r là nghiệm
của phương trình (3.2) thoả mãn u
s
∈ S
s
và sup
t≥s
u
t

C
< ∞ thì u
t
∈ S
t
với mọi t ≥ s.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 3.1.3. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng

ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
f : R
+
× C → X là ϕ-Lipschitz, đặt
k :=
e
νr
(1 + H)N(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)
1 − e
−ν
. (3.5)
Khi đó, nếu k < 1, với mỗi hàm φ ∈ Im

P (s) có duy nhất nghiệm u(t) của
phương trình (3.2) trên [s − r, ∞) thoả mãn


P (s)u
s
= φ và sup
t≥s
u
t

C
< ∞.
17
Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v(t) ứng với hai hàm ban đầu φ
1
, φ
2
∈ Im

P (s)
ta có ước lượng sau:
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t−s)
φ

1
(0) − φ
2
(0) với mọi t ≥ s ≥ 0,
trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln

1 − N(1 + H)e
νr
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)

và
C
µ
:=

Ne
νr
1 −
N(1+H)e
νr
1−e
−(ν−µ)
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)
.
Định lý 3.1.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
f : R

+
× C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k <
1
1+Ne
νr
, trong đó k được xác định
bởi (3.5). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương
trình (3.2).
3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng
Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá
(U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ trên R
+
và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz.
Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định
cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Giả sử họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1,
Chương 2) với ba họ các toán tử chiếu tam phân {P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và
các hằng số tam phân N, α, β > 0. Khi đó, chúng ta xây dựng các họ toán tử
chiếu {

P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau:

(

P
j
(t)φ)(θ) = U(t − θ, t)P
j
(t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] và φ ∈ C. (3.6)
Sau đây là kết quả chính của mục này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm
ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Định lý 3.2.1. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ với các họ toán
tử chiếu tam phân (P
j
(t))
t≥0
, j = 1, 2, 3 và các hằng số tam phân N, α, β > 0.
18
Giả sử rằng f : R
+
× C → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là hàm không âm và
thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Đặt q := sup{P
j
(t) : t ≥
0, j = 1, 3}, N
0
:= max{N, 2Nq}, ν :=
δ−α
2
và

k :=
(1 + H)e
νr
N
0
1 − e
−ν
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
). (3.7)
Khi đó, nếu k <
1
1+N
0
e
νr
, với mỗi δ > α tồn tại đa tạp tâm ổn định S =

{(t, S
t
)}
t≥0
⊂ R
+
× C cho các nghiệm của phương trình (3.2), được biểu diễn
bởi họ các ánh xạ Lipschitz
Φ
t
: Im(

P
1
(t) +

P
3
(t)) → Im

P
2
(t)
với hằng số Lipschitz độc lập t và S
t
= graph(Φ
t
) có các tính chất sau:
(i) S
t

đồng phôi với Im(

P
1
(t) +

P
3
(t)) với mọi t ≥ 0.
(ii) Mỗi φ ∈ S
s
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) xác định
trên [s − r, ∞) thoả mãn các điều kiện sau: e
−γ(s+θ)
u
s
(θ) = φ(θ) với
θ ∈ [−r, 0] và sup
t≥s
e
−γ(t+·)
u
t
(·)
C
< ∞, trong đó γ =
δ+α
2
. Hơn nữa,
nếu u(t), v(t) là hai nghiệm của phương trình (3.2) tương ứng với hai hàm

ban đầu φ
1
, φ
2
∈ S
s
thì ta có ước lượng
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
(γ−µ)(t−s)
(

P (s)φ
1
)(0) − (

P (s)φ
2
)(0) với t ≥ s, (3.8)
trong đó µ và C
µ
là các hằng số dương độc lập với s, u(·) và v(·).
(iii) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r, là nghiệm

của phương trình (3.2) thoả mãn các điều kiện sau: hàm e
−γ(s+·)
u
s
(·) ∈ S
s
và sup
t≥s
e
−γ(t+·)
u
t
(·)
C
< ∞ thì hàm e
−γ(t+·)
u
t
(·) ∈ S
t
với mọi t ≥ s.
3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng
Trong phần này, chúng ta xét phương trình (3.2) trên toàn đường thẳng, giả sử
các toán tử A(t), t ∈ R sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ trên R.
19
Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của đa
tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương trình






u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u
ξ
)dξ với t ≥ s,
u
s
= φ ∈ C.
(3.9)
Nghiệm của phương trình (3.9) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(3.2) trên R.
Dưới đây, chúng ta đưa ra khái niệm hàm f là ϕ-Lipschitz trên R và khái
niệm đa tạp không ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.9).
Định nghĩa 3.3.1. Cho E
R
là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ E
R
là hàm không âm. Hàm f : R × C → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,
(ii) f(t, φ
1

) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ
1
− φ
2
 với t ∈ R và φ
1
, φ
2
∈ C.
Định nghĩa 3.3.2. Tập U ⊂ R × C được gọi là đa tạp không ổn định bất biến
cho các nghiệm của phương trình (3.9) nếu mỗi t ∈ R không gian pha C được
phân tích thành tổng trực tiếp C =

X
0
(t) ⊕

X
1
(t) tương ứng với các toán tử
chiếu

P (t) (tức là

X
0
(t) = Im


P (t) và

X
1
(t) = Ker

P (t)) sao cho
sup
t∈R


P (t) < ∞
và tồn tại họ các ánh xạ liên tục Lipschitz
Φ
t
:

X
0
(t) →

X
1
(t), t ∈ R
với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) U = {(t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ R × (

X

0
(t) ⊕

X
1
(t)) | t ∈ R, ψ ∈

X
0
(t)}, ký hiệu
U
t
:= {ψ + Φ
t
(ψ) : (t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ U},
(ii) U
t
đồng phôi với

X
0
(t) với mọi t ∈ R,
20
(iii) mỗi t
0
∈ R và φ ∈ U
t
0

có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.9)
trên (−∞, t
0
] thoả mãn u
t
0
= φ và sup
t≤t
0
u
t

C
< ∞. Hơn nữa, nếu u(t),
v(t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) tương ứng với các hàm ban đầu
φ
1
, φ
2
∈ U
t
0
thì các nghiệm này hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng
số µ và C
µ
độc lập với t
0
sao cho
u
t

− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t
0
−t)
(

P (t
0
)φ
1
)(0) − (

P (t
0
)φ
2
)(0) với t ≤ t
0
,
(iv) U là bất biến với phương trình (3.9), tức là nếu u(t), t ∈ R là nghiệm của
phương trình (3.9) thoả mãn u
t
0
∈ U

t
0
và sup
t≤t
0
u
t

C
< ∞ với t
0
∈ R
thì u
t
∈ U
t
với mọi t ∈ R.
Từ họ các toán tử chiếu nhị phân (P (t))
t∈R
ứng với họ tiến hoá nhị phân
mũ (U(t, s))
t≥s
, chúng ta xây dựng các toán tử (

P (t))
t∈R
trên C như sau. Với
mỗi t ∈ R,

P (t) : C → C

(

P (t)φ)(θ) := U(t + θ, t)
|
(I − P (t))φ(0) với θ ∈ [−r, 0]. (3.10)
Khi đó, chúng ta có (

P (t))
2
=

P (t), do đó các toán tử

P (t), t ∈ R là các phép
chiếu trên C. Hơn nữa, chúng ta có
Im

P (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U(t + θ, t)
|
ν
1
, ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν
1
∈ KerP(t)}.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 3.3.3. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E

R
. Cho
f : R × C → X là ϕ-Lipschitz và đặt
k :=
e
νr
(1 + H)N(N
1
+ N
2
)Λ
1
ϕ
∞
1 − e
−ν
. (3.11)
Khi đó, nếu k < 1, mỗi φ ∈ Im

P (t
0
) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình
(3.9) trên (−∞, t
0
] thoả mãn

P (t
0
)u
t

0
= φ và sup
t≤t
0
u
t

C
< ∞. Hơn nữa,
nếu u(t), v(t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) ứng với hai hàm ban đầu
φ
1
, φ
2
∈ Im

P (t
0
) thì ta có ước lượng sau:
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t
0

−t)
φ
1
(0) − φ
2
(0) với mọi t ≤ t
0
,
21
trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln
(
1 − N(1 + H)e
νr
(N
1
+ N
2
)Λ
1
ϕ
∞
)
và
C
µ
:=
Ne
νr
1 −

N(1+H)e
νr
(N
1
+N
2
)Λ
1
ϕ
∞
1−e
−(ν−µ)
.
Định lý 3.3.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E
R
. Cho
f : R × C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k <
1
1+Ne
νr
, trong đó k được xác định
bởi (3.11). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của
phương trình (3.9).
Định lý 3.3.5. Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 3.3.4 được thoả mãn và
l < 1, trong đó
l = ke

νr

N
3
e
νr
(1 + H)
1 − k
+ 1

.
Khi đó đa tạp không ổn định U = { U
t
}
t∈R
hút cấp mũ các nghiệm của phương
trình (3.9) theo nghĩa sau, gọi u(·) là nghiệm của phương trình (3.9) với điều
kiện ban đầu u
ξ
, tồn tại nghiệm u
∗
(·) nằm trong U (tức là u
∗
t
∈ U
t
với mọi
t ∈ R) và hằng số α > 0 sao cho
u
t

− u
∗
t

C
≤ Ce
−α(t−ξ)
u
ξ
− u
∗
ξ

C
, với mọi t ≥ ξ.
22
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng. Những kết quả chính luận
án đạt được là:
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp không ổn định có tính chất hút cấp
mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng, các nghiệm trên đa tạp hút nhau cấp mũ.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân hàm đạo hàm riêng.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của

phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, đa tạp không ổn định có tính
chất hút cấp mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân hàm đạo
hàm riêng.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, tâm
ổn định, không ổn định cho phương trình vi phân hàm trung tính.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho phương trình vi phân
nửa tuyến tính với các toán tử tuyến tính không autonomous.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng.
23