TÓM tắt GIẢI TÍCH 2

TÓM TẮT PHẦN TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH 2
1. Tích phân bội 3
- Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt
z=φ(x,y) và giới hạn dưới bởi z=ψ(x,y) thì:
ϕ ( x, y )

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz =∫∫ dxdy ∫
Ω

D

f ( x, y, z ) dz

ψ ( x, y )

- Một số lưu ý tìm hình chiếu:
+ Khi vật thể chỉ giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu của nó xuống
mặt z=0 bằng cách khử z từ hai phương trình mặt.
VD:

z = x2 + y 2

và

z = 2 − x2 − y2

ta sẽ được

x2 + y2 = 2 − x2 − y 2 ⇔ x2 + y 2 = 1

+ Đối với các vật thể có giới hạn nhiều hơn 2 mặt thì ta chọn dựa vào

các phương trình không chứa z để tìm D.
z = x2 + y2

VD:
miền D

,

y = x2

,

y =1

, z=0 ta sẽ chọn các mặt

y = x2

, y=1 để lấy

+Nếu các mặt không đủ để tạo miền D đóng thì ta tìm giao tuyến của
các mặt còn lại với mặt z=0 để tìm miền D. Còn nếu các mặt đủ tạo
miền D đóng thì giao tuyến của các mặt còn lại sẽ giúp cho ta quyết
định φ(x,y) và ψ(x,y) cái nào cận trên cái nào cận dưới.
- Đổi biến sang tọa độ trụ:
 x = ρ sin θ cos ϕ

2
 y = ρ sin θ sin ϕ ; J = ρ sin θ
 z = ρ cos θ



 Tọa độ cầu mở rộng:

∫∫∫ f ( x, y, z) dxdydz =∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ

2

sin θ fd ρ

Ω

J = abρ 2 sin θ

với a,b là hệ số của x,y trong phương trình elip.

- Ứng dụng hình học: Tính thể tích cho f=1
2. Tích phân đường loại 1
- Cách tính tham số hóa đường cong: Cung AB có x=x(t), y=y(t), với t1≤t≤t2:


∫

AB

f ( x, y )dl = ∫ f ( x(t ), y (t )) xt' 2 + yt' 2 dt

Tương tự cho không gian 3 chiều x, y, z.

Lưu ý: Cách tìm đường thẳng đi qua 2 điểm A, B:

x − xA
y − yA
=
x A − xB y A − yB

;

 x = x A + ( x A − xB )t

 y = y A + (y A − yB )t

- Ứng dụng: tính độ dài đường thẳng
3. Tích phân đường loại 2
Cách tính:
- Cách 1: Dùng định nghĩa:
Nếu cung AB có tham số: x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì:
t2

∫ Pdx + Qdy = ∫  P( x(t ), y(t )) x (t ) + Q( x(t ), y (t )) x (t )  dt
'

AB

'

t

Lưu ý: Không ghi t1≤t≤t2 chỉ được ghi t đi từ t1 đến t2
- Cách 2: Dùng công thức Green:

Cho D là miến đóng và bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc

Ñ
∫ Pdx + Qdy = ± ∫∫ (Q

'
x

C

− Py' )dxdy

D

Lưu ý: Dấu “+” hướng C là đường cong kín hướng dương
Nếu C không kín thì ta phải bù thêm. Nếu miền C có điểm không tính được thì ta
bỏ điểm đó đi (Xem trong bài giảng để biết chi tiết)
- Cách 3: Tích phân không phụ thuộc đường đi:
Nếu Q’x=P’y, tồn tại U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy
Có 2 cách để tính:
+ Chọn đường khác từ A đến B sao cho song song với các trục tọa độ

+Giải hệ:

'
U x = P
 '
U y = Q

tìm U giống như trong pt vi phân toàn phần (giải tích 1)

∫ Pdx + Qdy = ∫ dU = U (B) − U ( A)



AB

Lưu ý:
Ta nên sử dụng các cách trên theo ưu tiên sau đây:
Nếu hàm P, Q đơn giản: Không phụ thuộc đường đi, tính theo định nghĩa, Green.
Nếu hàm P, Q phức tạp: Không phụ thuộc đường đi, Green, tính theo định nghĩa.

4. Tích phân mặt loại 1:
Cách tính:
B1: Tìm hình chiếu mặt S xuống một trong các mặt phẳng Oxy (D xy), Oyz (Dyz), Oxz
(Dxz). Ở đây ta giả sử chiếu xuống mặt Oxy
B2: Từ phương trình mặt phẳng F(x, y, z)=0 ta rút z theo x, y
Tính

dS = 1 + z x' 2 + z 'y 2 dxdy
I=

Ta sẽ được:

∫∫ f ( x, y, z ( x, y ))dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y ))

Dxy

1 + z x' 2 + z 'y 2 dxdy

Dxy

5. Tích phân mặt loại 2:
- Vecto gradient:

∇F(M)=(F’x(M), F’y(M),F’z(M))

r
∇F
n=±
∇F

- Cách xác định vecto đơn vị của mặt S với phương trình mặt S là F(x, y, z)=0
B1: ∇F=(F’x, F’y,F’z)
B2: Xác định một trong 3 góc α, β, γ (góc hợp bởi vecto pháp tuyến với trục Ox, Oy,
Oz) là nhọn hay tù đề suy ra một trong 3 tọa độ của pháp vecto là dương hay âm và so

sánh với dấu tọa độ tương ứng của

r
∇F
n=±
∇F

= (cosα, cosβ, cosγ)

B3: Xác định dấu của pháp vecto đơn vị

- Cách tính tích phân mặt loại 2:
+ Cách 1: Chuyển về tích phân mặt loại 1:

Tím pháp vecto n của mặt S:

r
∇F
n=±
∇F

= (cosα, cosβ, cosγ)

Thay vào công thức sau:

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + R cos γ )dS
S

S

+ Cách 2: Tính từng phần của tích phân mặt loại 2:
I1 = ∫∫ P ( x, y, z )dydz = ∫∫ P cos α dS
S

S

theo 4 bước:

B1: xác định góc α nhọn hay tù để biết được cosα dương hay âm
B2: Vì cần tính theo dydz nên ta tìm hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz
là Dyz

B3: Viết phương trình mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P
B4: Đưa tích phân trên thành tích phân kép:
I1 = ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P ( x( y, z ), y,z )dydz
S

Dyz

Trong đó tích phân kép lấy dấu dương hay âm nếu cosα dương hay âm
Nếu S song song với trục Ox thì α=π/2 nến cosα=0 vậy khi đó I 1=0
Tương tự cho các tích phân I2, I3
+ Cách 3: Công thức Gauss-Ostrogratxki:
Cho miền V đóng và bị chặn trong không gian có biên là mặt S trơn
từng khúc:

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫∫ ( P + Q
'
x

S

'
y

+ Rz' )dV

V

Trong đó tích phân bội ba lấy dấu “+” nếu S là biên ngoài V và lấy dấu
“-“ nếu S là biên phía trong V.

- Công thức Stockes:

Ñ
∫ ( Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ (Q

'
x

C

− Py' )dxdy + (Pz' − Rx' )dzdx + (R 'y − Qz' )dydz

S

Với S là mặt có biên là đường cong C trơn từng khúc
Trong đó hướng của S được lấy sao cho khi đứng trên mặt S theo phía
sẽ chọn và đi dọc đường cong C theo hướng đã cho thì ta thấy mặt S
bên tay trái.
Lưu ý: Một số kinh nghiệm xác định hướng của mặt S trong quá trình
tính theo CT Stockes:
γ<

Ngược chiều KĐH nhìn từ trục z dương thì có

π
→ cos γ > 0
2

β>

Ngược chiều KĐH nhìn từ phía trục y âm thì có

π
→ cos β < 0
2

α>

Cùng chiều KĐH nhìn từ phía trục x dương thì có

π
→ cos α < 0
2

Các kinh nghiệm này chỉ đúng trong một số trường hợp nên khuyến
khích sử dụng cách xác định như trong bài giảng thầy cô đã nêu.

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC TÍCH PHÂN


------------------------Hết-----------------------Chúc các bạn thì tốt!