Tóm tắt Giải tích lớp 12

Giải tích 12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐẠO HÀM
( )
( )
( )
2
/
/
2
//
/
/
/
//
/
//
/
.
.5
)0(
..
.4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v

v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=






≠
−
=






=
+=
±=±
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx

xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1
/
/
/
sin
1
cot.18
cos
1
tan.17
sincos.16
cossin.15
1
ln.14
ln.
1

log.13
.12
ln..11
.2
1
.10
11
.9
...8
1.7
0.6
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=






=

=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

sin
cot
cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1
...

2
/
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
/
/1
/
u
u
u
u
u

u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu
uu
−
=
=
−=
=
=
=
=
=

=
−
=






=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+
=
.19
ta có
2
/
)( dcx
bcad
y
+
−
=
22

2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta có

( )
2
22
2
2
22
11
22
11
2
22
11
/
2
cxbxa
cb

cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y
++
++
=

•


Tìm m để hàm số tăng (giảm)

1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác
đònh): y
/
≥ 0 ∀x ∈ R




≤∆

>
0
0a
Giải tìm m
 Chú ý:Nếu hệ số a của y
/
có chứa tham số thì
phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm :
y
/
≤ 0 ∀x∈ R



≤∆
<
⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến :
dcx
bax
y
+
+
=
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/

 Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
đònh : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm
c = 0

•


Tìm m để hàm sốá có cực

đại , cực tiểu

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y
/
= 0 có hai
nghiệm phân biệt



>∆
≠
0
0a

 Giải tìm m

•


Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Giải phương trình y
/
= 0 tìm nghiệm x
0
 Đạo hàm y
//
.Tính y
//
(x
0
)
* Nếu y
//
(x
0
) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x
0
* Nếu y
//

(x
0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
•


Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x

0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
1
Giải tích 12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu khi x qua x
0

 Chú ý :
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu từ
“
–
“
sang
“
+
”
• Hàm số đạt cực đại tại x
0
:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu từ

“
+
“
sang
“
–
”
Cách 2:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:




≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy

 Cực đại: { y
/
(x
0
) = 0 và y
//
(x
0
) < 0 }
 Cực tiểu : { y
/
(x
0
) = 0 và y
//
(x
0
) > 0 }

•


Hàm số đạt cực trò bằng y

0
tại x
0
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/

=

f
/
(x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi






≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf

xf

•


Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]

 Tìm x
i
∈[a,b]: f
/
(x
i
) = 0 hoặc f
/
(x
i
) không xác đònh
 Tính f(a), f(x
i
) , f(b)
 Kết luận
{ }
)();();(maxmax bfxfafy
i
=

{ }
)();();(minmin bfxfafy
i

=

•


Tiếp tuyến của đường cong ( C)

1.Tiếp tuyến tại M(x
0
,y
0
): y = f
/
(x
0
).(x – x
0
) + y
0
2.Tiếp tuyến đi qua A(x
A ,
y
A
):
 (d): y = k.(x – x
A
) + y
A
= g(x)
 Điều kiện tiếp xúc:




=
=
)()(
)()(
//
xgxf
xgxf

3.Tiếp tuyến sg sg (d)
dtt
kxfk
==
)(
0
/
4.Ttuyến vuông góc (d) :
1.
−=
dtt
kk

•


Biện luận số giao điểm của ( C) và d

 (d): y = k(x – x

A
) + y
A
= g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b
2
– 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt




>∆
≠
⇔
0
0a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x
0
)(Ax
2
+ Bx + C) = 0





==++
=
(2) )(0
2
0
xgCBxAx
xx

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x
0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi
phương trình (2) có 2 n
o
pb x
1
, x
2
khác x
0
)






≠
>∆

≠
⇔
0)(
0
0
0
)2(
xg
A

•


Dùng đồ thò (C) biện luận số

nghiệm phương trình f (x ) – g(m) = 0
 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
 Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
 Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương
trình.
LŨY THỪA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
2
Giải tích 12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
aaaa
n
....

=•
( n thừa số)
n
m
nm
nmnm
n
n
a
a
a
aaa
a
a
a
=•
=•
=•
=•
−
+
−

.
1

1
0

n

n
n m
n
m
nmmnnm
n
n
n
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
=•
=•
==•
=






•
=•
1
.

)()(
b
a

.).(

PHƯƠNG TRÌNH MŨ




∩
=
∨



=
≠<
⇔=
)()(
)()(
1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a

xgxf
a
aa

[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf
<⇔><<•
>⇔>>•
LOGARIT
) 1 a , 0 N a, (

log
a
≠>
=⇔=•
NaMN
M
Na
N
a
=•
log
01log
=•
a
1log
=•
a
a
N
N
=•
a
log
a
NkNN
k
N
a
N
NNa

a
N
N
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log
1
log
log
1
log
loglog.log
log
log
log
logloglog
loglog.log

k
a
b
21
2
1
a
2121a
=•=•
=•
=•=•
−=•
+=•
)()(0)(log)(log thì1a0
0)()()(log)(log thì1a
a
a
xgxfxgxf
xgxfxgxf
a
a
<<⇔><<•
>>⇔>>•





=
>>

≠<
⇔=
g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf
aa







>
>
>
≠<
⇔>
0g(x)]-1)[f(x)-(a
0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf
aa

SỐ PHỨC
*
1
2
−=
i

*
2
1
z
z
z
=
*
22
. baibaz
+=+=
*
ibazibaz ..
−=⇒+=
*
22
bazz
+==



=
=

⇔+=+
db
ca
idciba ..
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc
−+
−+
=
+
+
*
2121
zzzz
+=+
*
2121
zzzz
−=−
*
2
1
2

1
2121
;..
z
z
z
z
zzzz
=








=
1.
iba .
+=
α
.Gọi
β
là căn bậc 2 của
α
, ta có:
b ≥ 0 :









++−
+
++
±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
b < 0 :








++−
−
++

±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
2.









=
=
+=
+=
r
b
r
a
bar
irz
ϕ

ϕϕϕ
sin
cos)sin.(cos
22
3.
)]sin(.)[cos(.
21212121
ϕϕϕϕ
+++=
irrzz
4.
)]sin(.)[cos(
2121
2
1
2
1
ϕϕϕϕ
−+−=
i
r
r
z
z
5.
)]sin(.)[cos(
11
ϕϕ
−+−=
i

rz
6.
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+

[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
nini
n
+=+
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
3
Giải tích 12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫

∫ ∫
+
−
=
+
−=
+=
+
=
+=+=
+
−
=+−=
+=+=
+=+=
+
+
−
=
+
+
−
=
++=
+
+=
+
+
+
=++

+
=
+=+=
+
+
++
++
)cot(
1
)(sin
cot
sin
)10
)tan(
1
)(cos
tan
cos
)9
)sin(
1
)cos(sincos)8
)cos(
1
)sin(cossin)7
ln
1
ln
)6
1

)5
)(
11
)(
11
)4
ln
1
ln
1
)3
1
)(1
)(
1
)2
)1
22
22
)(
)(
)()(
22
11
bax
a
bax
dx
x
x

dx
bax
a
bax
dx
x
x
dx
bax
a
dxbaxxxdx
bax
a
dxbaxxxdx
C
a
a
c
dxaC
a
a
dxa
Ce
a
dxeCedxe
C
baxa
bax
dx
C

x
dx
x
Cbax
abax
dx
Cxdx
x
C
bax
a
dxbaxC
x
dxx
CkxkdxCxdx
dcx
dcx
x
x
baxbaxxx
αα
α
α
α
α
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1.
∫
)().(
/)(

dxxuef
xu
Đặt
)(xut
=
2.
∫

1
).(ln dx
x
xf
Đặt
)ln(xt
=
3.
∫
+
).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt
+=
4.
∫
dxxxf )cos,(sin

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx

• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
thức hạ bậc:
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=
+
=
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t
=
5.
∫
−
).(
22
dxxaf
Đặt

tax sin
=
6.
∫
+
).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan
=
7.
∫
−
).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=
8.
∫
±
).
1
(
22

dx
ax
f
Đặt
22
axxt
±+=
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
∫∫
−=
b
a
b
a
vdxu
a
b
vudxvu
//
..
dxexP
bax
∫
+
).(
.
Đặt
baxbax
e
a

vev
xPxPu
++
==
==
1
chon
)(u có ta)(
/
//
dxbaxxP
∫
+
)cos().(
.
Đặt:
)sin(
1
chon )cos(
)(u có ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
+=+=
==
dxbaxxP
∫

+
)sin().(
.
Đặt:
)cos(
1
chon )sin(
)(u có ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
+
−
=+=
==
dxxuxP
∫
)(ln).(
.
Đặt:
∫
==
==
dxxPvxPv
x
xu
)(chon )(

1
u có taln
/
/

Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v
/
là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích
phân mà nguyên hàm của phần này đã biết
DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
dxyyV
dxy
bxax
CC
H
b
a
CCOx
C
∫
∫
−=
−=



<==
2
2

2
1
b
a
2C1
21
yS
b)(a ,
)( và)(
)(
π
dyxxV
dyx
ddycy
CC
H
d
c
CCOy
C
∫
∫
−=
−=



<==
2
2

2
1
d
c
2C1
21
xS
)(c ,
)( và)(
)(
π
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
4