Phép tính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan

Mục lục

Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

1.3

1.4

Định nghĩa và sự tồn tại của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Tích phân trên và tích phân dưới . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Điều kiện cần và đủ của hàm khả tích Riemann . . . . . . 10

Lớp các hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1

Tính khả tích của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Tính khả tích của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3

Tính khả tích của hàm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4

Tính khả tích của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1

Các tính chất đơn giản của nguyên hàm . . . . . . . . . . . 16

1.3.2

Các tính chất của tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . 16

Mối liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1

Mối liên hệ giữa chuỗi và tích phân . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2

Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm. Công thức
Niutơn - Laibnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1


2

Các bài toán sơ cấp
2.1

2.2

2.3

Tính tích phân bằng phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1

Tích phân của các hàm số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2

Tích phân của các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3

Tích phân của các hàm số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1

Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 . . . . . . . . . . 26

2.2.2

Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 . . . . . . . . . . 27

Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần . . . . . . 29
2.3.1

2.4

Sử dụng công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . 29

Sử dụng định lý giá trị trung bình của tích phân trong việc giải
một số bài toán về phép tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1

3

21

Định lý giá trị trung bình cho tích phân . . . . . . . . . . 33

Ứng dụng của tích phân
3.1

3.2

3.3

39

Các bài toán có liên quan đến phép tính tích phân . . . . . . . . . 39
3.1.1

Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2

Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3

Chứng minh phương trình có nghiệm . . . . . . . . . . . . 42

3.1.4

Công thức tích phân truy hồi tính giới hạn tích phân và
tính giới hạn tích phân bằng nguyên lí kẹp giữa . . . . . . 43

Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học . . . . . . . . . 46
3.2.1

Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2

Tính thể tích và diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay 49

3.2.3

Tính độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lí . . . . . . . . . . . 53
3.3.1

Tính khối lượng của một thanh vật chất . . . . . . . . . . . 53

3.3.2

Tìm khối tâm của một bản phẳng đồng chất . . . . . . . . 53

3.3.3

Tính công cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2


3.4

Ứng dụng của phép tính tích phân để tìm giới hạn . . . . . . . . . 54

3.5

Ứng dụng của phép tính tích phân để tìm cực trị . . . . . . . . . . 55

3.6

Ứng dụng của tích phân trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.1

Xác định quỹ vốn dựa theo mức đầu tư . . . . . . . . . . . 56

3.6.2

Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên . . . . . . 57

3.6.3

Tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.4

Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà
sản xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62

3


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới: Khoa Toán −Lý −Tin, Phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, Phòng đào
tạo đại học, các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS
Vũ Trọng Lưỡng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động
viên tôi có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới gia đình và các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP
Toán, những người đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành
khóa luận của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng nghiên cứu còn hạn
chế nên bản khóa luận có thể còn những thiếu sót khó tránh khỏi. Tôi rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bản khóa luận này
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2018.
Người thực hiện

Sinh viên: Vũ Thị Hồng Nhung

4


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phép tính tích phân là một trong hai nội dung kiến thức chính của chuyên
ngành Giải tích Toán học, được giảng dạy ở bậc đại học và ở phổ thông. Nhờ
phép tính tích phân cho ta giải quyết được những bài toán liên quan đến tổng
không đếm được các phần tử và do đó nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn,
trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật.
Cũng có rất nhiều tài liệu tham khảo, giáo trình liên quan đến phép tính tích
phân. Tuy nhiên để tìm hiểu sâu hơn về phép tính tích phân cũng như ứng dụng
của tích phân trong các lĩnh vực khác nhau. Vì vậy tôi đã chọn nghiên cứu "
Phép tính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan" làm khóa
luận tốt nghiệp. Hy vọng khóa luận này sẽ có ích đối với những ai quan tâm đến
phép tính tích phân nói riêng và giải tích nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
- Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân.
- Chỉ ra các ứng dụng của tích phân trong vật lí, trong hình học và trong kinh
tế.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là phép tính tích phân về hàm một biến
và các bài toán có liên quan.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lại các vấn
đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic. Từ đó giải quyết các
bài toán có liên quan đến phép tính tích phân về hàm một biến.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như Seminar
với tổ bộ môn.
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề phép tính tích phân về hàm một
biến và các bài toán có liên quan.
7. Tổng quan và cấu trúc của khóa luận
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra cấu trúc của khóa luận được sắp xếp như
sau: Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận
gồm ba chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
5


Trong chương này, trình bày lại một số kiến thức cơ bản và một số kết quả quan
trọng trong giải tích cổ điển về phép tính tích phân. Chương đầu là một số nội
dung kiến thức cơ bản nên chỉ dẫn nội dung.
Chương 2: Các bài toán sơ cấp.
Đưa ra một số bài toán về phép tính tích phân, lấy các bài toán cụ thể và giải
các bài toán đó sẽ được trình bày trong chương này.
Chương 3: Ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lí, kinh tế và các
bài toán có liên quan.
Trong chương này, tôi sẽ trình bày các ứng dụng của phép tính tích phân và đưa
ra một số bài toán áp dụng.
8. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan. Đưa ra một
số phương pháp tính tích phân, kèm theo nó là ví dụ minh họa. Khóa luận là
tài liệu tham khảo có giá trị cho các bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề phép
tính tích phân về hàm một biến và các bài toán có liên quan.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, trước hết trình bày một số kiến thức có liên quan đến khóa
luận như: định nghĩa và sự tồn tại của tích phân, lớp các hàm khả tích, các tính
chất và một số mối liên hệ có liên quan đến phép tính tích phân.
Nội dung chương này tham khảo ở tài liệu số [3] và [5].

1.1
1.1.1

Định nghĩa và sự tồn tại của tích phân
Phân hoạch

Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn. Phân hoạch Pn của đoạn [a, b] là tập hữu hạn
gồm các điểm x0 , x1 , ..., xn sao cho
a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b

Để đơn giản, ta viết Pn = {x0 , x1 , ..., xn }. Ta nói rằng phân hoạch Pn∗ là mịn hơn
phân hoạch Pn nếu Pn∗ ⊃ Pn , tức là, mỗi điểm của Pn là điểm của Pn∗ . Trong
trường hợp đó, ta viết Pn Pn∗ hoặc Pn∗ Pn . Cho trước hai phân hoạch P1 và
P2 thì rõ ràng
P1 ∪ P2

P1 , P1 ∪ P2

P2

Độ mịn của phân hoạch Pn thường được tính bằng số sau
|Pn | = max {xi − xi−1 : 1 ≤ i ≤ n}

Dễ dàng thấy rằng, nếu Pn∗
phân hoạch của [a, b].

Pn thì |Pn∗ | ≤ |Pn |. Ta kí hiệu τ là tập tất cả các

7


1.1.2

Tích phân trên và tích phân dưới

Ứng với phân hoạch P ta đặt
∆xi = xi − xi−1

trên đoạn đóng hữu hạn [a, b].
Cho hàm thực f bị chặn trên [a, b]. Các tổng Darboux trên và dưới ứng với phân
hoạch P của f được xác nhận như sau:
n

Mi ∆xi

U (P, f ) =
i=1
n

L(P, f ) =

mi ∆xi
i=1

Trong đó
Mi = sup {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }
mi = inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }

Chú ý rằng, với phân hoạch P bất kì, ta luôn luôn có
m(b − a) ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f ) ≤ M (b − a)

Trong đó
Mi = sup {f (x) : a ≤ x ≤ b}
mi = inf {f (x) : a ≤ x ≤ b}

Ta định nghĩa tích phân trên (dưới) của f trên [a, b] là số hữu hạn cho bởi công
thức sau:
b

f dx = inf {U (P, f ) : P ∈ τ }
a
b

f dx = sup {L(P, f ) : P ∈ τ }
a

Theo nhận xét trên và định lí dưới đây, ta luôn có
b

b

f dx ≤

m(b − a) ≤

f dx ≤ M (b − a)
a

a

8


1.1.3

Tích phân Riemann

Định nghĩa 1.1. Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a, b], a, b ∈ R,
a < b. Gọi Pn là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a, b].
Pn : a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b

Lấy các điểm bất kì ξi ∈ ∆xi = [xi−1 , xi ]; i = 1, ..., n và lập tổng tích phân
n

f (ξi )∆xi , n = 1, 2, ...

σn = σ(Pn ; ξ1 , ..., ξn ) =
i=1

Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn tắc bất kì Pn những phép
phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọn bất kì các điểm ξi ∈ ∆xi , i = 1, .., n,
ta đều có
lim σn = I

n→∞

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b] kí hiệu là
b

f (x)dx
a

Nếu tích phân trên tồn tại thì hàm số f được gọi là khả tích trên đoạn [a, b].
f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân, f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu

tích phân, a gọi là cận dưới, b là cận trên của tích phân.
Định lý 1.1. Nếu P ∗

P thì
L(P, f ) ≤ L(P ∗ , f )

(1.1)

U (P, f ) ≥ U (P ∗ , f )

(1.2)

Chứng minh. Ta chỉ cần xét P ∗ có nhiều hơn P một điểm
P : x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn

9


P ∗ : x0 < x1 < ... < xi−1 < x∗ < xi < ... < xn

Đặt
w1 = inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ x∗ }
w2 = inf {f (x) : x∗ ≤ x ≤ xi }

Rõ ràng rằng w1 ≥ mi , w2 ≥ mi . Vì vậy,
L(P ∗ , f ) − L(P, f ) = w1 (x∗ − xi−1 ) + w2 (xi − x∗ ) − mi (xi − xi−1 )
= (w1 − mi )(x∗ − xi−1 ) + (w2 − mi )(xi − x∗ ) ≥ 0

Vậy (1.1) được chứng minh. (1.2) được chứng minh tương tự.
Định lý 1.2. Ta luôn có
b

b

f dx ≤

f dx
a

a

Chứng minh. Lấy P ∗ = P1 ∪ P2 trong đó P1 , P2 ∈ τ . Theo định lí trên thì
L(P1 , f ) ≤ L(P ∗ , f ) ≤ U (P ∗ , f ) ≤ U (P2 , f )

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1.1.4

Điều kiện cần và đủ của hàm khả tích Riemann

Định lý 1.3. (Định lí Riemann): Cho f : [a, b] −→ R là hàm bị chặn. Khi đó, f
khả tích trên [a, b] nếu và chỉ nếu với mọi > 0 tồn tại P ∈ τ sao cho
U (P, f ) − L(P, f ) ≤

Chứng minh. Điều kiện (1.3) là đủ. Thật vậy, với mọi P ∈ τ ta có
b

b

f dx ≤

L(P, f ) ≤

f dx ≤ U (P, f )
a

a

10

(1.3)


Do đó từ (1.3) ta suy ra
b

0≤

b

f dx −

f dx ≤

a

a

Cho → 0 ta có f khả tích.
Bây giờ ta chứng minh (1.3) là điều kiện cần. Từ định nghĩa suy ra: với mọi
> 0 tồn tại P1 , P2 ∈ τ sao cho






U (P1 , f ) −




b

f dx <

2

a

b









f dx − L(P2 , f ) <

2

a

Chọn P = P1 ∪ P2 ta có:
b

U (P, f ) ≤ U (P1 , f ) <

f dx +

2

a

< L(P2 , f ) + ≤ L(P, f ) +

Từ đó rút ra (1.3).
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.4. (i) Nếu (1.3) đúng với P và
P∗

nào đó thì (1.3) đúng với bất kì

P.

(ii) Nếu (1.3) đúng với P = {x0 , x1 , ..., xn } và nếu si , ti ∈ [xi−1 , xi ] thì
n

|f (si ) − f (ti )|∆xi <
i=1

(iii) Nếu f khả tích và các giả thiết của (ii) được thực hiện thì
b

n

f (ti )∆xi −
i=1

f dx <
a

11


Chứng minh. (i) là hệ quả của định lý 1.1.
(ii) Chú ý rằng |f (si ) − f (ti )| ≤ Mi − mi . Do đó
n

|f (si ) − f (ti )|∆xi ≤ U (P, f ) − L(P, f )
i=1

điều này kéo theo (ii).
(iii) là hệ quả của bất đẳng thức hiển nhiên sau:
n

L(P, f ) ≤

f (ti )∆xi ≤ U (P, f )
i=1
b

L(P, f ) ≤

f dx ≤ U (P, f ).
a

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1.2
1.2.1

Lớp các hàm khả tích
Tính khả tích của hàm liên tục

Định lý 1.5. Nếu f liên tục trên [a, b] thì f khả tích trên [a, b].
Chứng minh. Cho trước > 0, chọn η > 0 sao cho
(b − a)η <

Vì f liên tục trên [a, b], nên f liên tục đều trên đoạn này. Do đó
∃δ > 0 : |f (x) − f (t)| < η

(1.4)

với mọi x, t ∈ [a, b] thỏa mãn |x − t| < δ . Nếu P là phân hoạch đoạn [a, b] sao cho
|P | < δ thì (1.4) kéo theo
|Mi − mi | < η
12

(1.5)


và vì vậy
n

U (P, f ) − L(P, f ) =

(Mi − mi )∆xi
1
n

≤ η(

∆xi ) = η(b − a)η <
1

Theo định lí (1.3) ta có f khả tích.
Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.2

Tính khả tích của hàm đơn điệu

Định lý 1.6. Nếu f đơn điệu trên [a, b] thì f khả tích.
Chứng minh. Với bất kì n ∈ N, chọn phân hoạch P sao cho
∆xi =

(b − a)
, i = 1, 2, ...n
n

Giả sử f đơn điệu không giảm. Khi đó
Mi = f (xi ), mi = f (xi−1 )

Suy ra
(b − a)
[f (xi ) − f (xi−1 )]
n
(b − a)
=
[f (b) − f (a)] <
n

U (P, f ) − L(P, f ) =

với n đủ lớn. Định lí (1.3) cho ta f khả tích.
Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.3

Tính khả tích của hàm gián đoạn

Định lý 1.7. Nếu f bị chặn trên [a, b], f có ít nhất một số hữu hạn các điểm
gián đoạn trên [a, b] thì f khả tích.
13


Chứng minh. Để đơn giản, ta giả sử f có một điểm gián đoạn duy nhất là
c ∈ (a, b). Vì α liên tục tại c nên tồn tại (u, v) sao cho a < u < c < v < b và
(u − v) < . Lấy K = [a, u] ∪ [v, b]. Rõ ràng K compact và liên tục trên K . Do đó,
f liên tục đều trên K . Vì vậy tồn tại δ > 0 sao cho
f (s) − f (t) < , ∀t, s ∈ K, |t − s| < δ

Bây giờ lập phân hoạch P = {x0 , ..., xn } như sau
a = x0 < x1 < ... < xj−1 = u < v = xj < xj+1 < ...xn = b

và sao cho |P | < δ . Để ý rằng
Mj − mj = 2M, M = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]}

với mỗi i và
Mi − mi < , ∀i = j

Từ đó suy ra
U (P, f ) − L(P, f ) =

(mi − mi )∆xi + (Mj − mj )(v − u)
i=j

≤ (b − a) + 2M

Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.4

Tính khả tích của hàm hợp

Định lý 1.8. Giả sử f khả tích trên [a, b], m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b] và g
là hàm số liên tục trên [m, M ]. Khi đó, h = g ◦ f khả tích trên [a, b].
Chứng minh. Chọn > 0. Vì g liên tục trên [m, M ] nên g liên tục đều trên [m, M ].
Do đó, tồn tại δ > 0 sao cho |g(s) − g(t)| ≤
14


với s, t ∈ [m, M ] và |s − t| < δ
Ta có thể chọn δ < .
Mặt khác, f khả tích có nghĩa là tồn tại P = {x0 , x1 , ..., xn } ∈ τ sao cho
U (P, f ) − L(P, f ) < δ 2

(1.6)

Giả sử Mi , mi là sup và inf của f trên [xi−1 , xi ] và Mi∗ , m∗i là sup và inf của h trên
[xi−1 , xi ]. Chia các số 1, 2, ..., n thành hai lớp:

i∈A

nếu Mi − mi < δ

i∈B

nếu Mi − mi ≥ δ

Đối với i ∈ A, do cách chọn δ ta có Mi∗ − m∗i ≤
Đối với i ∈ B , Mi∗ − m∗i ≤ 2K , trong đó K = sup {|g(t)| : m ≤ t ≤ M }
Từ (1.6) ta có
δ

∆xi
i∈B

Do đó:

(Mi − mi )∆xi < δ 2

≤
i∈B

∆xi < δ . Từ đó suy ra:
i∈B

(Mi∗ − m∗i )∆xi +

U (P, h) − L(P, h) =

i∈A

(Mi∗ − m∗i )∆xi
i∈B

≤ (b − a) + 2Kδ
< (b − a) + 2K

Suy ra điều phải chứng minh.

15


1.3
1.3.1

Các tính chất
Các tính chất đơn giản của nguyên hàm

Nếu F (x), G(x) lần lượt là một nguyên hàm nào đó của f (x), g(x) và k là một
hằng số, thì ta có
Tính chất 1:
d

f (x)dx = f (x)dx

Tính chất 2:
dF (x) = F (x) + C

Tính chất 3:

k.f (x)dx = k

f (x)dx

Tính chất 4:
[f (x) + g(x)]dx =

Tính chất 5:

1.3.2

f (x)dx +

g(x)dx

1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C
a

Các tính chất của tích phân Riemann

Định lý 1.9. (i) Nếu f, g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và c, d là các
hằng số thực thì cf + dg khả tích trên đoạn [a, b] và
b

b

(cf + dg)(x)dx = c
a

b

f (x)dx + d
a

g(x)dx
a

(ii) Nếu f khả tích trên [a, b] và α ∈ R là một hằng số thì
b

b

αf (x)dx = α
a

f (x)dx
a

(iii) Tích phân Riemann bảo toàn thứ tự, tức là, nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b]
thì

b

b

f (x)dx ≤
a

g(x)dx

a

16


Đặc biệt, nếu f khả tích trên [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] thì
b

f (x)dx ≥ 0
a

(iv) Nếu f khả tích trên [a, b] và nếu a < c < b thì f khả tích trên [a, c] và [c, b]
thì

c

b

f (x)dx +
a

b

f (x)dx =
c

f (x)dx
a

(v) Nếu f khả tích trên [a, b] và nếu |f (x)| ≤ M trên [a, b] thì

b

f (x)dx ≤ M (b − a)
a

(vi) Nếu f (x1 ) khả tích và f (x2 ) khả tích thì f (x1 + x2 ) khả tích và
b

b

f d(x1 + x2 ) =
a

b

f dx1 +
a

f dx2
a

Nếu f (x) kh� x2 = 2py

Giải.
Giao điểm của chúng là các điểm O(0, 0) và M (2p, 2p). Nhánh nằm trên trục Ox
của parabol thứ nhất được biểu diễn bởi
y=

2px

Vậy diện tích cần tìm là
2p

2px −

S=

x2
2p

dx = (

2
3

2px

3/2

−

0

Ví dụ 3.8. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
ln x
y = 0, y = √ , x = 1, x = e
2 x

Giải.
Ta có

e

e

ln x
√ dx =
2 x

S=
1

ln x
√ dx
2 x
1

46

x3 2p 4 2
)| = p
6p 0
3


Vì x ∈ [1, e] ⇒ ln x ≥ 0
Đặt

u = ln x



du = 1 dx
x
⇔
v = √ x

1

dv = √

2 x

e

e

√
ln x
√ dx = x ln x|e1 −
2 x

S=
1

√

x
dx
x

1

√
√
= ( x ln x − 2 x)|e1
√
=2− e

Ví dụ 3.9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3

Giải.
Giải phương trình
|x2 − 4x + 3| = x + 3
⇔x=0

hoặc x = 5

và
|x2 − 4x + 3| ≤ x + 3, ∀x ∈ [0; 5]

Do vậy
5

(x + 3) − |x2 − 4x + 3| dx

S=
0
1

3

(x + 3) − (x2 − 4x + 3) dx +

=
0

(−x2 + 5x)dx +

5

(x2 − 3x + 6)dx +
1

−x3

3
109
=
6

+

5x2
2

|10

+

(−x2 + 5x)dx

3

x3
3

−

3x2
2

+6

(x + 3) − (x2 − 4x + 3)
3

3

0

=

(x + 3) + (x2 − 4x + 3) dx +
1

1

=

5

|31

47

+

−x3 5x2
+
3
2

|53


Ví dụ 3.10. Tính diện tích hình elip
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b

Giải.
Hình elip đối xứng qua các trục tọa độ, nên diện tích của nó gấp 4 lần diện tích
phần nằm trong góc phần tư thứ nhất:
a

ydx

S=4
0

trong đó y = y(x) biểu diễn cung elip AB.
Để dễ tính tích phân trên, ta biểu diễn cung AB dưới dạng tham số:
π
x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, ]
2
π
2

Bằng phép đổi biến số x = a cos t, t ∈ [0, ] ta được:
π
2

0

S=4

sin2 tdt = πab

b sin t(−a sin t)dt = 4ab
π
2

0

Ví dụ 3.11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = (e + 1)x, y = (1 + ex )x

Giải.
Giải phương trình hoành độ giao điểm
(e + 1)x = (1 + ex )x ⇔ x = 0

hoặc x = 1

Ta có
ex ≥ xex , ∀x ∈ [0; 1] ⇒ (e + 1)x ≥ (1 + ex )x, ∀x ∈ [0; 1]

Do vậy
1

|(e + 1)x − (1 + ex )x|dx

S=
0

48


1

(ex − xex )dx

=
0

1

1

(xex )dx

xdx −

=e
0

0

Đặt
u=x
dv = ex

⇔

du = dx
v = ex

Vậy
1


xdx − xex |10 −

S=e
0

3.2.2



1

ex2
− xex + ex
2

ex dx =

|10 =

e
−1
2

0

Tính thể tích và diện tích xung quanh của vật thể tròn
xoay

Ví dụ 3.12. Tính thể tích của khối elipxôit tròn xoay tạo bởi đường elip

x2 y 2
+ =
a2 b 2

1 quay quanh:

a) Trục Ox
b) Trục Oy
Giải.
a) Trường hợp này ta xem elip cho dưới dạng hàm số y = y(x) với x ∈ [−a, +a]

trong đó
y 2 = b2 (1 −

x2
)
a2

Vậy
a

b2
y dx = π 2
a

V =π
−a

=

a

(a2 − x2 )dx

2

−a
a

2πb2
a2

(a2 − x2 )dx
0

49


=

2πb2 2
x3 a 4
) | = πab2
(a
x
−
a2
3 0 3

b) Ở đây ta xem elip cho dưới dạng x = x(y), y ∈ [−b, b] trong đó x2 = a2 (1 −

y2
).
b2

Ta nhận thấy, so với trường hợp a), chỉ có khác là vai trò của x và y thay đổi
4
3

cho nhau. Vì thế suy ra ngay kết quả V = πa2 b
Ví dụ 3.13. Tính thể tích của elipxôit cho bởi phương trình:

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c

Giải.
Thiết diện của elipxôit thẳng góc với trục Ox tại điểm M có hoành độ x là một
elip có phương trình là
y2
b2

z2

+

x2
1− 2
a

c2

=1

x2
1− 2
a

Hai trục của elip là
B=b

1−

x2
a2

,

C=c

1−

x2
a2

Diện tích của elip đó là
S(x) = πB.C = πbc 1 −

x2
a2

Theo công thức tính thể tích:
a

πbc
S(x)dx = 2
a

V =
−a

a
−a

4
a2 − x2 dx = πabc
3

Ví dụ 3.14. Tính thể tích sinh bởi
y = xex , y = 0, x = 1

quay quanh Ox

50


Giải.
Xét phương trình
xex = 0 ⇔ x = 0

Vậy
1

1

0
πe2

=

x2 e2x dx

(xex )2 dx = π

V =π

−

πe2

2
2
π 2
= (e − 1)
2

+

0
2x
e

π
|1
2 2 0

Ví dụ 3.15. Cho y = sin x, y = 0, x = 0, x = π . Tính thể tích khi quay quanh trục
Ox.
Giải.
π

π

0

=

1 − cos 2x
dx
2

sin2 xdx = π

V =π

0

π
1
π2
x − sin 2x |π0 =
2
2
2

Ví dụ 3.16. Tính V sinh bởi
y = ln x, y = 0, x = 2

Giải.
Xét phương trình

ln x = 0 ⇔ x = 1

Vậy
2

2

(ln x)2 dx = πx(ln x)2 |21 − π

V =π
1

xd(ln x)2
1

2

= 2π(ln 2)2 − π

x

2 ln x
dx
x

1

51

2

2
2

2

= 2π(ln 2) − 2π

ln xdx = 2π(ln 2)

− 2πx ln x|21

+ 2π

1

xd(ln x)
1

2

= 2π(ln 2)2 − 4π ln 2 + 2π

dx
1

2

= 2π(ln 2) − 4π ln 2 + 2π

= 2π(ln 2 − 1)2

3.2.3

Tính độ dài đường cong

Ví dụ 3.17. Tính độ dài cung của đường cong
y = ln cos x

Giải.
Ta có
y =−

π
x ∈ [0, ]
4

,

sin x
= − tan x
cos x

Do đó
π/4

π/4

1 + tan2 xdx =

s=
0
√

√

2/2

π/4

dx
dx =
cos x
0

π/4

cosx
dx =
cos2 x
0

d sin x
dx
1 − sin2 x
0

2/2

1

1
1 1 + t √2/2
dt
1
=
=
+
dt
=
ln
|
1 − t2
2
1−t 1+t
2 1−t 0
0
0
√
√
1 2+ 2
1
√ = ln(3 + 2)
= ln
2 2− 2
2
√

Ví dụ 3.18. Tính độ dài đường cong y = x x (0 ≤ x ≤ 4)
Giải.
4

4

9
4
1 + xdx =
4
9

L=
0

=

42
9
1+ x
93
4

9
1+ x
4
0

3
2

|40
52

1
2

9
d 1+ x
4


=

3.3

√
8
(10 10 − 1)
27

Ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lí

3.3.1

Tính khối lượng của một thanh vật chất

Nếu thanh vật chất là đồng chất thì tỉ khối ρ của nó không đổi và khối lượng
của thanh được tính đơn giản, từ công thức sau
m = ρ.l,

ở đó, l là độ dài của thanh.
Nếu thanh là không đồng chất thì tỉ khối phụ thuộc vị trí các điểm trên thanh,

do đó ρ = ρ(x) xem như hàm số của x):ρ(x). Từ điểm x ta tách ra một phần tử
vi phân dx, khối lượng tương ứng với nó là dm. Trên phần tử vi phân này có
thể xem thanh là đồng chất, có mật độ ρ(x), khi đó:
dm = ρ(x)dx

Từ đó

b

m=

ρ(x)dx
a

3.3.2

Tìm khối tâm của một bản phẳng đồng chất

Ví dụ 3.19. Tìm mômen quán tính và tọa độ khối tâm của hình giới hạn bởi
parabol y =

√

2px, trục Ox và đường thẳng song song với trục Oy tại điểm x.

Giải.
Ta có

x

1
Kx = .2p
2

0

x

Ky =

3/2

2p

t
0

53

1
tdt = px2
2

√
2 2p 5/2
dt =
x
5

Mặt khác,

x

S=

1/2

t

2p

√
2 2p 1/2
dt =
x
3

0

Do đó, tọa độ khối tâm:
3
3
ξ = x, η =
5
8

3.3.3

3

2px = y
8

Tính công cơ học

Tính công của lực căng (hoặc nén) của một lò xo bị gắn chặt một đầu.
Theo định luật Húc (Hooke) trong Vật lí, lực F (x) cần thiết để căng (hoặc nén)
lò xo một khoảng x là:
F (x) = kx

trong đó k là hệ số tỉ lệ, phụ thuộc độ cứng của lò xo. Vậy công sinh ra khi căng
(hoặc nén) lò xo một khoảng x là:
x

W =

x

F (x)dx = k
0

3.4

xdx =

kx2
2

0

Ứng dụng của phép tính tích phân để tìm giới
hạn

Ví dụ 3.20. Cho Sn =

1
2
n
+ 2 + ... + 2 . Tính lim Sn
2
n→+∞
n
n
n

Giải.
Biến đổi
1
2
n
1
Sn = 2 + 2 + ... + 2 =
n
n
n
n

1
2
n

+ + ... +
n n
n

1
=
n

n

i=1

i
n

Xét hàm số f (x) = x liên tục trên [0; 1] nên khả tích trên [0; 1]. Chia đoạn [0; 1]
i
n

bởi các điểm chia xi = ; i = 0, ...n và chọn ξi =

i
∈ [xi−1 ; xi ], (i = 1, ...n).
n

Ta có
lim Sn = lim

n→+∞

x→∞

1
n

n

i=1

i
n

= lim

x→∞

54

1
n

1

n

f
i=1

i
n

=
0

x2 1 1
xdx = |0 =
2
2