Định lý điểm bất động leray schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận
được sự tạo điều kiện và động viên của nhiều thầy cô, bạn bè. Nhân
dịp này, lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ
nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, các
bạn sinh viên Lớp K55 ĐHSP Toán, đặc biệt là TS. Vũ Việt Hùng,
người thầy đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tôi cũng như động
viên tôi hoàn thành khóa luận này.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn
bè đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận. Nhân dịp
này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về những sự giúp đỡ quý
báu nói trên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Sinh viên thực hiện
Hoàng Tùng Lâm

1


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric . .

8

1.1.3

Không gian metric đầy . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5

Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . .

10

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

1.3

1.4

1.5

Tôpô trên một tập hợp. Tập đóng, tập mở của
một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận

. . . . . .

12

1.2.3

Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô . . .

12

1.2.4

Không gian tôpô liên thông . . . . . . . . . . .

13

Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Định lý Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . .

14

Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . .

14

1.4.1

Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . .

14

1.4.2

Không gian định chuẩn và không gian Banach .

16

Một số định lý quan trọng . . . . . . . . . . . . . . .

17

2


2 Ứng dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder để
khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân
hàm cấp hai có chậm

19

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm
(2.1) - (2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3
2.4

20

Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm
(2.1) - (2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Khảo sát bài toán đầu có đối số chậm (2.1) - (2.4) . .

39

Kết luận và Kiến nghị

47

Tài liệu tham khảo

48

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Lý thuyết điểm bất động được hình thành từ những công trình đầu
tiên của Brouwer và Banach, cụ thể là Brouwer với công trình điểm
bất động cho ánh xạ đơn trị liên tục năm 1912 và Banach nghiên cứu
điểm bất động cho ánh xạ co năm 1922. Hai công trình này khởi đầu
cho hai hướng khác nhau, vạch ra hướng phát triển cho lý thuyết quan
trọng này và trở thành công cụ ứng dụng trong các ngành khoa học
khác nhau.
Có thể nói, từ khi ra đời, lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là
lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực
đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học
trong nước và quốc tế. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã
hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động “. Sự phát triển của “ Lý
thuyết điểm bất động “ gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn
trên thế giới: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani,....
Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong
không gian metric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm
bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các
mở rộng của nó đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong
chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các
bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Cùng với sự phát triển và

các tác động tích cực của các lý thuyết khác mà lý thuyết điểm bất
động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định
lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học,
sinh học, cơ học. Các ứng dụng của định lý điểm bất động trong việc
nghiên cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình
vi phân, tích phân, đạo hàm riêng cũng được rất nhiều nhà khoa học
quan tâm nghiên cứu.
Với mong muốn được tìm hiểu về ứng dụng lý thuyết điểm bất
động để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân
4


và được tiếp cận với những kết quả mới trong lĩnh vực này cùng với
sự định hướng của giảng viên hướng dẫn, tôi chọn khóa luận “Định lý
điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý
ánh xạ co" để tìm hiểu và nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Khảo sát sự tồn tại nghiệm, tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm của bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương
trình vi phân cấp hai có chậm.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương
trình vi phân cấp hai có chậm.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu, trình bày và chứng minh sự tồn tại nghiệm,
tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài
toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có chậm.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến

thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như
Seminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn và các sinh viên khác.
Từ đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua
đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận nghiên cứu khoa học.
6. Đóng góp của khóa luận
- Khóa luận đã chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ
thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình
vi phân cấp hai có đối số chậm.
- Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện
biên hỗn hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm
7. Cấu trúc của khóa luận
Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với
những nội dung chính sau đây:
5


Chương 1: Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái
niệm cần thiết và các kiến thức cơ bản về không gian metric,không
gian tôpô, không gian tôpô liên thông, không gian compact, không
gian định chuẩn,... và một số định lý quan trọng dùng cho chương hai
của khóa luận.
Chương 2: Trong chương này chúng tôi áp dụng định lý điểm bất
động Leray-Schauder và nguyên lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn
tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài
toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có đối số chậm.
Cũng với phương pháp này sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm của
bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu
cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu.
Cuối cùng, trong phần Kết luận, chúng tôi điểm lại các kết quả

nghiên cứu chính trình bày trong khóa luận. Đồng thời, tôi cũng mạnh
dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên cứu tiếp theo. Tôi hy vọng sẽ nhận
được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của các thầy cô, bạn bè và những
người quan tâm tới chủ đề này giúp hoàn thiện các kết quả của khóa
luận.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tôi trình bày một số khái niệm cần thiết và các
kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian tôpô, không gian
tôpô liên thông, không gian compact, không gian định chuẩn,... và
một số định lý quan trọng dùng cho chương sau của khóa luận.

1.1

Không gian metric

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho tập X = ∅. Ta gọi hàm số thực:

ρ : X × X → R+
(x, y) → ρ(x, y)
là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện
sau:

0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X,
3. ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X , được gọi là một không gian metric.
1. ρ(x, y)

Định nghĩa 1.2. Cho (X, ρ) là một không gian metric. Ta nói dãy

(xn )n∈N∗ ∈ X hội tụ tới phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy
(xn )n∈N∗ ) nếu:
lim ρ(xn , x) = 0.
n→∞

7


Kí hiệu: xn → x khi n → ∞ hoặc lim xn = x.
n→∞

Như vậy lim xn = x khi và chỉ khi
n→∞

(∀ε > 0)(∃N = N (ε) > 0) : (∀n ∈ N∗ )(n

N ⇒ ρ(xn , x) < ε).

Định lý 1.3. Hàm khoảng cách ρ(x, y) là hàm liên tục theo các biến

x, y theo nghĩa: Nếu xn → x, yn → y khi n → ∞ thì ρ(xn , yn ) →

ρ(x, y) khi n → ∞.
Chứng minh. Cho (x, y) ∈ X × X. Giả sử (xn , yn )n∈N∗ ⊂ X × X
thỏa mãn xn → x, yn → y khi n → ∞. Khi đó, với mọi n ∈ N∗ ta
có:

|ρ(xn , yn ) − ρ(x, y)|

ρ(xn , x) + ρ(yn , y) → 0 khi n → ∞.

Suy ra: lim ρ(xn , yn ) = ρ(x, y).
n→∞

Định nghĩa 1.4. Cho tập A ⊂ X và điểm x0 ∈ X . Ta nói điểm x0
là điểm trong của tập A khi và chỉ khi:

(∃r > 0) | B(x0 , r) ⊂ A.
Tập hợp tất cả các điểm trong của tập A gọi là phần trong của tập A
và kí hiệu là IntA.
Định nghĩa 1.5. Ta nói tập A ⊂ X là tập mở nếu mọi điểm của A
đều là điểm trong của A, nghĩa là IntA = A. Ta gọi tập B ⊂ X là
tập đóng nếu CB = X\B là tập mở trong X .
1.1.2

Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric

Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là các không gian metric và f : A → Y
là một ánh xạ từ tập con A của X đến Y . Ta nói:
1) f liên tục tại x0 ∈ A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(x0 , ε) >

0) sao cho

(∀x ∈ A)(ρ(x, x0 ) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε);
8


2) f liên tục trên A nếu và chỉ nếu f liên tục tại mọi điểm của A.
3) f liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu:

(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)|(∀(x , x ) ∈ A × A)
(ρ(x , x ) < δ ⇒ ρ(f (x ), f (x )) < ε).
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric X vào
không gian metric Y được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu thỏa mãn điều
kiện:

(∀x, y ∈ X)ρ(f (x), f (y)) = ρ(x, y)
Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ X lên Y thì không gian metric X và Y
được gọi là đẳng cự với nhau.
Định nghĩa 1.8. Ta gọi ánh xạ f : X → Y là phép đồng phôi từ
không gian metric X lên không gian metric Y nếu f là song ánh liên
tục và ánh xạ ngược f −1 liên tục.
Hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu
tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y .
1.1.3

Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.9. Dãy phần tử (xn )n∈N∗ trong không gian metric X
được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu và chỉ nếu:

(∀ε > 0), (∃nε ∈ N∗ )|
(∀m, n ∈ N∗ ), (m, n

nε ⇒ ρ(xn , xm ) < ε).

Định nghĩa 1.10. Không gian metric X được gọi là không gian metric
đầy nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ tới một phần tử thuộc
nó.
1.1.4

Tập compact

Định nghĩa 1.11. Giả sử A là tập con trong không gian metric X .
Khi đó ta nói:
9


1) A là tập compact trong X nếu và chỉ nếu:

∀(xn )n∈N∗ ⊂ A đều ∃(xkn ) ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ A;
2) A là tập compact tương đối trong X nếu và chỉ nếu

∀(xn )n∈N∗ ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ X;
3) A là tập hoàn toàn bị chặn trong X nếu
n

∀ε > 0, ∃H = {x1 ; . . . ; xn } ⊂ X sao cho A ⊂

B(xi , ε).
i=1

Trong trường hợp này tập hữu hạn H ở trên được gọi là một ε- lưới

hữu hạn của A.
4) A là tập bị chặn trong X nếu tồn tại hình cầu B(x0 , r) ⊂ X
sao cho A ⊂ B(x0 , r).
Định lý 1.12. Cho f : A → Y là một ánh xạ liên tục từ tập A trong
không gian metric X đến không gian metric Y . Khi đó, nếu A là tập
compact trong X thì f (A) là tập compact trong Y .
Chứng minh. Lấy dãy phần tử tùy ý (yn )n∈N∗ ⊂ f (A), khi đó tồn
tại dãy (xn )n∈N∗ ⊂ A sao cho f (xn ) = yn , (∀n ∈ N∗ ). Vì A là tập
compact nên tồn tại dãy con (xkn )n∈N∗ sao cho xkn → x ∈ A. Do f
liên tục tại x ∈ A nên ykn = f (xkn ) → f (x) = y ∈ f (A). Như vậy,
dãy (yn ) có dãy con {ykn } hội tụ trong f (A), chứng tỏ f (A) là tập
compact trong Y .
1.1.5

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.13. Ánh xạ f : X −→ X từ không gian metric (X, ρ)
vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số θ : 0 ≤ θ < 1 sao
cho:

ρ f (x), f (y) ≤ θρ(x, y),

∀x, y ∈ X.

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X −→ X
nếu f (x0 ) = x0 .
10


Định lý 1.14. (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ một không

gian metric đầy vào chính nó có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy và f : X →

X là một ánh xạ co. Lấy điểm tùy ý x0 ∈ X và đặt:
x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ..., (n = 0, 1, 2, ...),
Ta được dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X . Ta có:

ρ(x1 , x2 ) = ρ(f (x0 ), f (x1 ))

θρ(x0 , x1 )

ρ(x2 , x3 ) = ρ(f (x1 ), f (x2 ))

θ2 ρ(x0 , x1 )...

Bằng quy nạp ta có (∀n ∈ N∗ ), ρ(xn , xn+1 )

θn ρ(x0 , x1 ). Từ đó,

với mọi n, p ∈ N∗ ta có

0

ρ(xn , xn+p )

ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + ... + ρ(xn+p−1 , xn+p )
(θn + θn+1 + ... + θn+p−1 )ρ(x0 , x1 )

p−1

∞

θ

n+k

ρ(x0 , x1 )

k=0

θ

n+k

k=0

(1.1)

θn
n→∞
ρ(x0 , x1 ) −−−→ 0
ρ(x0 , x1 ) =
1−θ

Như vậy, dãy (xn ) là một dãy Cauchy trong X . Do X là không gian
đầy nên tồn tại lim xn = x ∈ X . Vì f liên tục tại x nên:
n→∞

x = lim xn+1 = lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (x).
n→∞

n→∞

n→∞

Vậy x là điểm bất động của f .
Cuối cùng, nếu y cũng là điểm bất động của f thì ta có

0

ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y))

Suy ra (1 − θ)ρ(x, y)

θρ(x, y).

0. Do 0 < θ < 1 nên ta có: ρ(x, y) = 0, hay

y = x. Vậy f chỉ có duy nhất một điểm bất động.

11


1.2

Không gian tôpô

1.2.1

Tôpô trên một tập hợp. Tập đóng, tập mở của một

tập hợp

Định nghĩa 1.15. Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi một
họ τ các tập con của X là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các tiên
đề sau:
1. ∅ ∈ τ, X ∈ τ
2. Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ .
3. Nếu {Gi }i∈I ⊂ τ thì

∈ τ.
i∈I

Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô. Mỗi phần tử của τ được
gọi là một tập mở trong X đối với tôpô τ .
Cho τ1 , τ2 là hai tôpô trên X . Nếu τ1 ⊂ τ2 thì ta nói tôpô τ1 yếu
hơn τ2 hay tôpô τ2 mạnh hơn τ1 và kí hiệu là τ1 ≤ τ2 hay τ2 ≥ τ1 .
Khi đó, mọi tập mở theo tôpô τ1 đều mở theo tôpô τ2 .
Định nghĩa 1.16. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Khi đó tập

G ⊂ X được gọi là tập mở nếu G ∈ τ . Tập A ∈ X là tập đóng nếu
và chỉ nếu X\A là tập mở.
Định lý 1.17. Trong không gian tôpô (X, τ ) ta có:
1) Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở. Hợp của
một họ tùy ý các tập mở là tập mở.
2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. Giao
của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng.
1.2.2

Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận

Định nghĩa 1.18. Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X . Ta gọi tập
hợp V ∈ X là một lân cận của điểm x nếu tồn tại một tập hợp G ∈ τ
sao cho x ∈ G ⊂ V . Tập tất cả các lân cận của điểm x được kí hiệu
là νx .

12


Ta thấy rằng với mọi x ∈ X , bản thân không gian X là một lân
cận của x nên X ∈ νx , vì thế νx = ∅. Họ νx có các tính chất sau đây:
a) Nếu V ∈ νx thì x ∈ V ,
b) Nếu V ∈ νx , U ⊃ V thì U ∈ νx ,
c) Nếu U, V ∈ νx tì U ∩ V ∈ νx ,
d) Nếu V ∈ νx thì tồn tại W ⊂ V

| x ∈ W và W ∈ νy với

mọi y ∈ W .
Định lý 1.19. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X được đặt tương ứng với
một họ υx các tập con của X có các tính chất a), b), c), d) ở trên. Khi
đó họ τ tất cả các tập con D ⊂ X sao cho D ∈ υx với mọi x ∈ D
lập nên một tôpô trên X . Trong tôpô này họ tất cả các lân cận của
mỗi điểm x ∈ X chính là υx . Ta gọi tôpô τ đó là tôpô cho bởi hệ lân
cận {υx }x∈X .
1.2.3

Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô

Định nghĩa 1.20. Cho f : X → Y là một ánh xạ từ không gian
tôpô X đến không gian tôpô Y . Ta nói f liên tục tại x0 ∈ X nếu và

chỉ nếu : Với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại lân cận U của x0
sao cho f (U ) ⊂ V .
Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi điểm
của X .
Định lý 1.21. Cho f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X
đến không gian tôpô Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
1) f liên tục trên X ;
2) Nghịch ảnh qua f của mọi tập mở trong Y là tập mở trong

X;
3) Nghịch ảnh qua f của mọi tập đóng trong Y là tập đóng trong

X.

13


1.2.4

Không gian tôpô liên thông

Định nghĩa 1.22. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô X và ∅ =

A ⊂ X . Khi đó họ σ tất cả các tập con của A có thể biểu diễn được
dưới dạng giao của A và một tập mở trong X , nghĩa là:
σ = {A ∩ G|G ∈ τ }
là một tôpô trên A - gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X và được
kí hiệu σ = τ |A . Khi đó không gian tôpô (A, τ |A ) được gọi là không
gian tôpô (X, τ ).
Định nghĩa 1.23. Không gian tôpô X được gọi là không gian tôpô

liên thông nếu và chỉ nếu mọi tập con D của X vừa đóng vừa mở
trong X thì D = ∅ hoặc D = X .
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông nếu và
chỉ nếu bản thân A với tôpô của X cảm sinh trên A là một không
gian tôpô liên thông.
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là một thành phần liên
thông của X nếu A là tập liên thông cực đại của X ( theo quan hệ
bao hàm).

1.3

Không gian compact

1.3.1

Định nghĩa và đặc trưng

Định nghĩa 1.24. Cho X là một không gian tôpô. Tập con A ⊂ X
được gọi là tập compact trong X nếu mọi phủ mở của A đều chứa
một phủ con hữu hạn của A. Không gian tôpô X được gọi là không
gian compact nếu bản thân X là một tập compact của X .
Định lý 1.25. Cho X là một không gian tôpô. Khi đó các tính chất
sau là tương đương:
1) X là không gian compact.
2) Mọi họ các tập đóng trong X có giao rỗng đều chứa một họ
con hữu hạn có giao rỗng.
14


3) Mọi họ các tập đóng trong X có tính chất giao hữu hạn đều

có giao khác rỗng.
1.3.2

Định lý Arzela-Ascoli

Định lý 1.26. (Arzela-Ascoli) Một tập con A ⊂ C(X, Y ) là hoàn
toàn bị chặn khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mỗi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn
trong A.
(ii) A là đồng liên tục địa phương, tức là với mọi x0 ∈ X và với
mọi > 0 đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho ρ(f (x), f (y)) <
với mọi f ∈ A và với mọi x, y ∈ U .
Hệ quả 1.27. Giả sử X là không gian compact và Y là không gian
metric đầy. Khi đó tập con đóng A ⊂ C(X, Y ) là tập compact khi và
chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn
trong Y .
(ii) A là đồng liên tục địa phương.
Hệ quả 1.28. Một tập con đóng A ⊂ C(X, R) là tập compact khi và
chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn
trong R.
(ii) A là đồng liên tục địa phương.

1.4

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Trong mục này, tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết nhất về
không gian định chuẩn và không gian Banach làm kiến thức chuẩn bị

cho chương sau.
1.4.1

Chuẩn trên không gian vector

Định nghĩa 1.29. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được
gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau:
15


1) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0;
2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ;
3) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E .
Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi
điều kiện: 1’) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E , thì ρ được gọi là một nửa
chuẩn trên E .
Khi ρ là một chuẩn, thì số x

:= ρ(x) được gọi là chuẩn của

vector x.
Nhận xét 1.30. Giả sử . là một chuẩn trên E . Khi đó:
1. Công thức: d(x, y) := x − y , ∀x, y ∈ E xác định một khoảng
cách trên E , gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn.
2. Ta có

x − y

≤ x − y với mọi x, y ∈ E , thật vậy cho

x, y ∈ E từ điều kiện 3) ta có:
x = (x − y) + y ≤ x − y + y
Suy ra x − y ≤ x − y và y − x ≤ x − y .
Chứng tỏ

x − y

≤ x−y .

Cuối cùng, nếu E là không gian vector và a, b ∈ E , tổng quát về
đoạn thẳng trong R, ta sẽ gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút

a, b:
[a; b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}.
Định nghĩa 1.31. Tập con X trong không gian vector E được gọi
là:
1. Tập lồi nếu [a; b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X ;
2. Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà

|λ| ≤ 1;
3. Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho

λx ∈ X với mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ ε.

16


Mệnh đề 1.32. Cho . là một chuẩn trên không gian vector E , khi
đó các tập hợp:

B(0; 1) = {x ∈ E : x < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : x ≤ 1},
là lồi, cân, hút.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh B(0; 1) là tập lồi, cân và hút.
Cho a, b ∈ B(0; 1)và 0 ≤ t ≤ 1 ta có:

(ta+(1−t)b ≤ ta + (1−t)b = t a +(1−t) b < t+1−t = 1.
Mặt khác λx = |λ| x ≤ x < 1. Suy ra B(0; 1) là lồi và cân.
Cuối cùng nếu x ∈ E thì do λx ∈ B(0; 1), ∀λ : |λ| <

1
x +1

nên

B(0; 1) là tập hút.
Việc chứng minh B[0; 1] là tập lồi, cân, hút là hoàn toàn tương tự.
1.4.2

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.33. Không gian vector E cùng với một chuẩn . đã
cho trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn hay
thường gọi là không gian định chuẩn.
Chú ý rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric
với khoảng cách sinh bởi chuẩn:

d(x, y) := x − y , ∀x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.34. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là
không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là
một không gian metric đầy.

Mệnh đề 1.35. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn

x → x là liên tục đều trên E .
Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo
nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε > 0
17


bất kỳ, chọn δ = ε . Khi đó theo phần b) nhận xét 1 với mọi x, y ∈

E

nếu

d(x, y) = x − y < δ thì
x − y

≤ x − y = d(x, y) = δ = ε.

Điều này chứng tỏ hàm . : E → R liên tục đều trên E .
Mệnh đề 1.36. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán
vector trong E là liên tục. Nghĩa là nếu x → x0 , y → y0 và λ →

λ0 , (λ ∈ K) thì
x + y → x 0 + y0 ,

λx → λ0 x0 .

Chứng minh. Thật vậy, phép chứng minh được suy ra nhờ các đánh
giá dưới đây

(x + y) − (x0 + y0 )
λx − λ0 x0

≤

x − x 0 + y − y0

≤ |λ| x − x0 + |λ − λ0 | x0 .

Với chú ý rằng E × E hay K × E được xét là không gian tích hữu
hạn không gian mêtric (khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi
chuẩn, khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông thường).

1.5

Một số định lý quan trọng

Định lý 1.37. ("Leray-Schauder nonliner alternative") Cho E là không
gian Banach,Ω là một tập con mở và bị chặn của E với 0 ∈ Ω. Giả sử

T : Ω → E là toán tử hoàn toàn liên tục. Khi đó hoặc tồn tại x ∈ ∂Ω
sao cho T x = λx, với một số λ nào đó mà λ > 1, hoặc T có một
điểm bất động x ∈ Ω.
Định lý 1.38. ("Định lý Schauder") Cho K là tập con khác rỗng,
lồi, đóng của không gian Bamach E và T : K → K là ánh xạ liên
tục sao cho bao đóng T (K) của T (K) là tập compact. Khi đó T có ít
nhất một điểm bất động.

18

Định lý 1.39. ("Định lý Krasnosel’skii") Cho M là tập con khác rỗng,
lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X . Giả sử U : M → X
là ánh xạ co và C : M → X , nghĩa là C liên tục và C(M ) chứa
trong tập compact, sao cho U (x) + C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M . Khi đó

U + C có điểm bất động.
Bổ đề 1.40. Cho trước η ∈ (0; 1) và giả sử y ∈ C[0; 1]. Khi đó bài
toán:

u + y(t) = 0, t ∈ (0; 1).
u(0) = 0, u(1) = u(η).
có một nghiêm duy nhất được cho bởi:
η

t

u(t) = −

(t−s)y(s)ds−

t
1−η

1

(η−s)y(s)ds+

t

1−η

0

0

(1−s)y(s)ds, t ∈ [0;
0

Bổ đề 1.41. Cho trước η ∈ (0; 1) và α, β ∈ R. Giả sử y ∈ C[0; 1].
Khi đó bài toán giá trị biên hỗn hợp:

u + y(t) = 0, t ∈ (0; 1)
u(0) = 0, u(1) = α(u (η) − u (0)) + β.
có một nghiệm duy nhất được cho bởi :
η

t

u(t) = −

(t−s)y(s)ds−αt
0

1

(1−s)y(s)ds, t ∈ [0; 1]

y(s)ds+βt+t
0

0

Bổ đề 1.42. Giả sử y ∈ C[0; 1]. Khi đó bài toán giá trị đầu:

u (t) + y(t) = 0, 0 < t < 1
u(0) = 0, u (0) = 0
có một nghiệm duy nhất cho bởi:
t

u(t) = −

(t − s)y(s)ds, t ∈ [0; 1].
0

19


Chương 2
Ứng dụng định lý điểm bất động
Leray-Schauder để khảo sát sự tồn
tại nghiệm của phương trình vi
phân hàm cấp hai có chậm
Trong chương này tôi áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder
các định lý, bổ đề trình bày ở chương 1 để chỉ ra sự tồn tại, sự tồn tại
duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán
ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có đối số chậm.

2.1

Giới thiệu

Ta ký hiệu C[0, 1] và C 1 [0, 1] lần lượt là các không gian Banach
của các hàm số thực liên tục và các hàm số thực khả vi liên tục trên
đoạn [0;1], với các chuẩn

u

0

= sup |u(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 , u

1

= max

u 0, u

0

.

Ta cũng ký hiệu L1 [0; 1] là không gian gồm tất cả hàm số thực x(t)
sao cho |x(t)| khả tích Lebesgue trên đoạn [0;1].
Giả sử C = C [−r, 0] ; R với r > 0 cho trước, là không gian Banach
gồm tất cả các hàm liên tục φ : [−r; 0] → R, với chuẩn φ

=
sup |φ(θ)| : −r ≤ θ ≤ 0 . Với mỗi hàm liên tục u : [−r; 1] → R
và với mỗi t ∈ [0; 1], ta ký hiệu ut để chỉ một phầm tử thuộc C được

20


xác định bởi ut (θ) = u(t + θ), θ ∈ [−r; 0]. Xét phương trình vi phân
hàm cấp hai có đối số chậm như sau:

u + f (t, ut , u (t)) = 0,

0≤t≤1

(2.1)

ở đây f : [0; 1] × C × R → R là hàm liên tục, với một trong những
điều kiện biên :

u0 = φ,
u0 = φ,

u(1) = u(η)

(2.2)

u(1) = α[u (η) − u (0)]

(2.3)

hoặc với điều kiện đầu

u0 = φ, u (0) = 0

(2.4)

trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R.

2.2

Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối
số chậm (2.1) - (2.2)

Mục này trước hết trình bày các định lý về sự tồn tại nghiệm của
bài toán giá trị biên (2.1) - (2.2). Sau đó dựa trên kết quả thu được,
mục này cũng đề cập đến sự phụ thuộc của nghiệm vào một tham số

λ xuất hiện trong số hạng phi tuyến ở vế phải của (2.1).
Định lý 2.1. Cho f : [0; 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử
có các hàm số không âm p, q, r ∈ L1 [0, 1] sao cho:

(H1) |f (t, u, v)| ≤ p(t) u + q(t)|v| + r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×
C × R.
2−η 1
1 η
(H2)
(1 − s)p(s)ds +
(η − s)p(s)ds < 1.
1−η 0
1−η 0
1
1 1
1 η
(H3)

p(s) + q(s) ds+
(1−s) p(s) + q(s) +
(η−
1
−
η
1
−
η
0
0
0
s) p(s) + q(s) < 1.
Khi đó bài toán giá trị biên (2.1) - (2.2) có ít nhất 1 nghiệm.
21


Chứng minh. Chứng minh gồm hai bước:
Bước 1. Xét trường hợp φ(0) = 0. Đặt:

C0 = u ∈ C 1 [0, 1] : u(0) = 0 .
Khi đó C0 là một không gian con của C 1 [0, 1].
t

Ta có chú ý rằng với mọi u ∈ C0 , u(t) =

u (s)ds, do đó:
0

u

0

≤ u

0.

(2.5)

Với mỗi hàm u ∈ C0 , ta định nghĩa hàm u : [−r, 1] → R bởi:

u(t) =

t ∈ [−r, 0],
t ∈ [0, 1].

φ(t),
u(t),

Ta cũng chú ý thêm rằng :

u

k

u k0 , φ

≤ max

k

≤ u

k
0

+ φ k , ∀t ∈ [0, 1], k ≤ 0.
(2.6)

Định nghĩa toán tử tích phân T : C0 → C 1 [0, 1] bởi:
t

T u(t) = −

(t − s)f (s, us , u (s))ds
0
η

−

t
1−η

(η − s)f (s, us , u (s))ds

(2.7)

0
1

+

t
1−η

(1 − s)f (s, us , u (s))ds,

t ∈ [0, 1]

0

Áp dụng bổ đề 1.41, rõ ràng u là một nghiệm của bài toán biên (2.1)
- (2.2) và chỉ khi toán tử T có điểm bất động u ∈ C0 , ở đây:

u(t) =

t ∈ [−r, 0],
t ∈ [0, 1].

φ(t),
u(t),
22


Sử dụng giả thiết (H1) và (2.5), với mỗi u ∈ C0 , với mọi t ∈ [0, 1],
ta thu được:
1

|T u(t)| ≤

(1 − s) p(s) us + q(s)|u (s)| + r(s) ds
0
η

t
+
1−η

(η − s) p(s) us + q(s)|u (s)| + r(s) ds
0
1

+

t
1−η

(1 − s) p(s) us + q(s)|u (s)| + r(s) ds
0

≤ A1 u

0

+ B1 u

0

+ C1 .

trong đó:

A1 =

η

1

2−η
1−η

(1 − s)p(s)ds +

1
1−η

0

2−η
B1 =
1−η

2 − η
C1 = 
1−η

0
η

1

1
(1 − s)q(s)ds +
1−η
0



η

1

(1 − s)p(s)ds +

1
1−η


(η − s)p(s)ds φ
0

η

1

2−η
1−η

(η − s)q(s)ds.
0

0

+

(η − s)p(s)ds.

(1 − s)r(s)ds +

1
1−η

0

(η − s)r(s)ds.
0

Suy ra :

Tu

0

≤ A1 u

0

+ B1 u

23

0

+ C1 , ∀u ∈ C0 .

(2.8)


Mặt khác:
η

t

(T u) (t) = −

f (s, us , u (s) ds −

1
1−η

(η − s) f (s, us , u (s) ds
0

0
1

1
+
1−η

(1 − s) f (s, us , u (s) ds, t ∈ [0, 1].

(2.9)

0

Tương tự, từ (H1) và (2.6) ta có:

(T u)

0

≤ A2 u

0

+ B2 u

0

+ C2 , ∀u ∈ C0 .

(2.10)

trong đó:

A2 =

p(s)ds +

1
1−η

(1 − s)p(s)ds +

1
1−η

0

0

q(s)ds +

B2 =

(η − s)p(s)ds.
0
η

1

1

1
1−η

(1 − s)q(s)ds +

1

1−η

0

0



(η − s)q(s)ds.
0

1


C2 = 

p(s)ds +

1
1−η

(1 − s)p(s)ds + +

1
1−η

0

1

0


(η − s)p(s)ds φ
0

η

1

1
r(s)ds +
1−η



η

1

0

+

η

1

1

1
(1 − s)r(s)ds +
1−η
0

(η − s)r(s)ds.
0

Đặt:

A = max {A1 , A2 + B2 } ,

(2.11)

Từ (H2) − (H3), ta suy ra rằng A1 < 1, A2 + B2 < 1 nên A < 1.
Bây giờ ta chọn một hằng số B > 0 sao cho

B ≥ max

B1 C2
+ C1 , C2 ,
1 − A2 − B2
24

(2.12)


và đặt:

m=

B
, Ω = u ∈ C0 : u
1−A

1


(2.13)

Khi đó Ω là tập con mở và bị chặn của C0 , 0 ∈ Ω, đồng thời ∂Ω =

u ∈ C0 : u 1 = m . Ta sẽ chứng minh toán tử T : Ω = Ω∪∂Ω →
C 1 [0, 1] có một điểm bất động u ∈ Ω bằng cách áp dụng Định lý 1.37
.
(a) Trước hết, T liên tục. Thật vậy với mỗi u0 ∈ Ω, giả sử {un } là
một dãy trong Ω sao cho. Với mọi t ∈ [0, 1], từ (2.7), ta được :

T un (t) − T u0 (t)
t

(t − s) f (s, (un )s , un (s) − f (s, (u0 )s , u0 (s) ds

=−
0

η

1

−
1−η

(η − s) f (s, (un )s , un (s) − f (s, (u0 )s , u0 (s) ds
0
1

+

t
1−η

(1 − s) f (s, (un )s , un (s) − f (s, (uo )s , u0 (s) ds.
0

un s : s ∈ [0, 1], n = 0; 1; 2. . . , thì D là tập compact
trong C. Vì f : [0, 1] × C × R → R nên f liên tục đều trên tập
compact [0, 1] × D × [−m, n]. Suy ra rằng với mọi ε > 0, tồn tại
δ > 0 sao cho với mọi (s1 , φ1 , ν1 ), (s2 , φ2 , ν2 ) ∈ [0, 1] × D × [−m, n]
Đặt D =

|s1 − s2 | < δ,

φ1 − φ2 < δ,

|ν1 − ν2 | < δ

⇒ |f (s1 , φ1 , ν1 ) − f (s2 , φ2 , ν2 ) <

ε

,
2β

2
> 0. Vì lim un = u0 trong Ω, tương ứng với
n→∞
1−η
chuẩn . 1 , nên có số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0

ở đây β = 1 +

(un )s − (u0 )s < δ, |un (s) − u0 (s)| < δ,
25

∀s ∈ [0, 1]