KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG φCO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN TIN
MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Đồng Tháp, năm 2014
i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN TIN
MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Chí Tâm
Giảng viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Văn Dũng
Đồng Tháp, năm 2014
ii
MỤC LỤC
Mở đầu 1
1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tổng quan về đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7 Kế hoạch nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric . . . . . . . . . 7
2 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong
không gian mêtric và ví dụ minh họa 9
2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không
gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kết luận và kiến nghị 20
1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
trình bày trong đề tài là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép
sử dụng và đề tài hoàn toàn không trùng lập với bất kì tài liệu nào khác.
Đồng Tháp, ngày 24 tháng 4 năm 2014
Nguyễn Chí Tâm
1
MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ xuất hiện năm
1922 là một kết quả nổi bật trong Giải tích. Kết quả này được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên nhiều không gian khác
nhau [2]. Một hướng mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach là định lí điểm bất
động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric [15].
Ở trong nước, hướng nghiên cứu về định lí điểm bất động trên không gian
mêtric và mêtric suy rộng cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm
2012, K. P. Chi và các cộng sự đã chứng minh định lí điểm bất động cho các lớp
ánh xạ thỏa mãn điều kiện co

´
Ciri´c trong [11]; thiết lập và chứng minh định lí
co Meir-Keeler dựa trên các lớp ánh xạ T -co trong [3]. Năm 2013, N. V. Dung
[5] đã mở rộng kết quả của M. E. Gordji và các cộng sự trong [8]; N. T. Hieu
và các cộng sự [10] đã mở rộng kết quả của E. Karapinar và các cộng sự trong
[11]. Gần đây, N. T. Hieu và V. T. L. Hang [9] đã thiết lập và chứng minh được
định lí điểm bất động kép cho ánh xạ α-ψ-co trong không gian kiểu-mêtric sắp
thứ tự. Những kết quả trong [15] đã được chúng tôi nghiên cứu, mở rộng cho
không gian kiểu-mêtric, xem [14].
Nhìn chung, với nhiều định lí điểm bất động trên không gian mêtric và mêtric
suy rộng, chúng ta thấy rằng điều kiện co thường chứa tối đa năm giá trị là
d(x, y), d(T x, x), d(T y, y), d(y, T x), d(x, T y) trong [4], [13]. Gần đây, N. V. Dung
và cộng sự [6] đã bổ sung thêm bốn giá trị mới d(T
2
x, x), d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y),
2
d(T
2
x, T y) vào điều kiện co và đã chứng minh định lí điểm bất động đối với điều
kiện co mới này. Hơn nữa, kĩ thuật này có thể áp dụng cho những định lí điểm
bất động khác.
Bằng cách tương tự, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng những kết quả trong [15]
đối với không gian mêtric bằng việc thêm ba giá trị d(T
2
x, T x), d(T
2

x, y),
d(T
2
x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng.
Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Mở rộng định lí
điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric”
làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2 Tổng quan về đề tài
Năm 1997, tác giả Alber và Guerre-Delabriere đã giới thiệu khái niệm φ-co
yếu như sau:
2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X là một
ánh xạ. T được gọi là một ánh xạ φ-co yếu nếu tồn tại φ : [0, +∞) −→ [0, +∞)
sao cho φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và
d(T x, T y) ≤ d(x, y) − φ

d(x, y)

với mọi x, y ∈ X.
Tiếp đến năm 2009, Q. Zhang và Y. Song [15] đã mở rộng ánh xạ co thành
dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và đã chứng minh định lí điểm
bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng này. Nội dung định lí như sau:
2.2 Định lí ([15], Theorem 2.1). Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ
và T, S : X −→ X là hai ánh xạ sao cho với mọi x, y ∈ X,
d(T x, Sy) ≤ M(x, y) − φ

M(x, y)

3
ở đây φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là một hàm số nửa liên tục dưới, φ(t) > 0 với
mọi t > 0, φ(0) = 0 và

M(x, y) = max

d(x, y), d(T x, x), d(Sy, y),
1
2

d(y, T x) + d(x, Sy)


.
Khi đó T, S có điểm bất động chung duy nhất.
Gần đây, chúng tôi đã mở rộng kết quả chính trong [15] cho dạng φ-co yếu
suy rộng trong không gian kiểu-mêtric [14].
Trong khóa luận này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh
xạ φ-co yếu suy rộng trong [15] bằng việc thêm ba giá trị d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y)
d(T
2
x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trên cùng một không gian mêtric.
Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
3 Mục tiêu nghiên cứu
- Thiết lập và chứng minh mở rộng định lí điểm bất động đối với dạng φ-co
yếu suy rộng trong không gian mêtric.
- Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng
trong không gian mêtric.

- Khóa luận thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trong không gian mêtric.
5 Nội dung nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng
trong không gian mêtric. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong
2 chương:
4
Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi
trình bày khái niệm mêtric, các tính chất cơ bản của mêtric, khái niệm ánh xạ
co và φ-co yếu.
Chương 2: Định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric
và áp dụng. Trong chương này, chúng tôi trình bày mở rộng định lí điểm bất
động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric, xây dựng ví dụ minh họa cho
những kết quả đạt được.
6 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, bằng cách tương tự những kết quả đã có để đề xuất kết
quả mới. Các kết quả này được thảo luận chi tiết với các tác giả cùng lĩnh vực
nghiên cứu.
Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững những kết
quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận. Cùng với sự hướng dẫn của
giảng viên, sinh viên đề xuất mở rộng và chứng minh.
7 Kế hoạch nghiên cứu
Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian
thực hiện
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
- Hệ thống những khái niệm,
tính chất cơ bản về dạng φ-co
yếu và không gian mêtric.
- Tổ chức thảo luận
nhóm, kiểm tra kết quả.
Từ 12/2013 đến

1/2014
5
Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian
thực hiện
Chương 2. Định lí điểm bất
động cho dạng φ-co yếu suy
rộng trong không gian mêtric
và ví dụ minh họa.
- Đưa ra và chứng minh được
mở rộng định lí điểm bất động
cho dạng φ-co yếu suy rộng
cho không gian mêtric.
- Ví dụ minh họa cho kết quả
đạt được.
- Tổ chức thảo luận
nhóm, kiểm tra kết quả.
Từ 1/2014 đến
3/2014
- Trình bày kết quả trước
nhóm nghiên cứu, bộ môn.
- Hướng dẫn sinh viên
chỉnh sửa các ý kiến
đóng góp.
Tháng 4/2014
- Hoàn thành khóa luận. - Kiểm tra khóa luận. Tháng 5/2014
6
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về không gian

mêtric được dùng trong khóa luận.
1.1.1 Định nghĩa ([7], Định nghĩa 1.1). Cho X là một tập khác rỗng và d :
X × X −→ R là một hàm thỏa mãn điều kiện sau:
(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,
(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X,
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không gian
mêtric.
1.1.2 Định nghĩa ([7]). Cho (X, d) là một không gian mêtric và {x
n
} là một
dãy trong X. Khi đó
(1) Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ đến x ∈ X, kí hiệu là lim
n→∞
x
n
= x, nếu
lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0. Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {x
n
}.
(2) Dãy
{
x
n

} được gọi là một dãy Cauchy nếu lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
7
(3) Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong (X, d) là
một dãy hội tụ.
1.1.3 Mệnh đề ([7], Tính chất 1.5.2). Cho (X, d) là một không gian mêtric.
Nếu dãy {x
n
} hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử dãy {x
n
} hội tụ về x và y trong X. Khi đó với mọi n ta có
d(x, y) ≤ d(x, x
n
) + d(x
n
, y).
Cho n → ∞ ta được d(x, y) = 0 hay x = y.
Vậy điểm giới hạn của dãy {x
n
} là duy nhất.
1.2 Dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về dạng φ-co
yếu suy rộng trong không gian mêtric.
1.2.1 Định nghĩa ([7], trang 70). Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và

T : X −→ X là một ánh xạ. T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ (0, 1)
sao cho d(T x, Ty) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
1.2.2 Định nghĩa ([1]). Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X
là một ánh xạ. T được gọi là một ánh xạ φ-co yếu nếu tồn tại φ : [0, +∞) −→
[0, +∞) sao cho φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và
d(T x, T y) ≤ d(x, y) − φ

d(x, y)

với mọi x, y ∈ X.
1.2.3 Nhận xét ([13]). Ánh xạ co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ φ-co yếu
với φ(t) = (1 − k)t, t ≥ 0, k ∈ (0, 1).
8
1.2.4 Định nghĩa ([12], Definition 7.0.1). Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô
và φ : X −→ R là một ánh xạ. Khi đó φ được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
nếu
với mỗi φ(x
0
) ∈ (r; +∞) tồn tại tập mở U ∈ τ sao cho x
0
∈ U ⊂ φ
−1
(r; +∞).
Ánh xạ φ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu như φ nửa liên tục dưới
tại mọi điểm x
0
∈ X.
1.2.5 Bổ đề ([12], Proposition 7.1.1). Cho (X, d) là một không gian mêtric.
Hàm φ : X −→ R là nửa liên tục dưới tại điểm x

0
∈ X nếu và chỉ nếu
φ(x
0
) ≤ lim inf
x→x
0
φ(x).
9
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI DẠNG
φ-CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu
suy rộng trong không gian mêtric
Trong mục này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh xạ
φ-co yếu suy rộng trên không gian mêtric trong [15] bằng việc thêm ba giá trị
d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y), d(T
2
x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trong không
gian mêtric.
2.1.1 Định lí. Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T : X −→ X là
một ánh xạ sao cho với mọi x, y ∈ X,
d(T x, T y) ≤ M(x, y) − φ

M(x, y)


ở đây φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là một hàm số nửa liên tục dưới, không giảm,
φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và
M(x, y) = max

d(x, y), d(T x, x), d(T y, y),
1
2

d(y, T x) + d(x, T y)

,
d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y), d(T
2
x, T y)

. (2.1)
Khi đó T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm u ∈ X
sao cho u = T u.
10
Chứng minh. Trường hợp 1: Tồn tại x, y sao cho M(x, y) = 0. Khi đó x = y là
điểm bất động của T .
Thật vậy vì M(x, y) = 0 và
d(x, y) ≤ M(x, y), d(T x, x) ≤ M (x, y), d(T y, y) ≤ M(x, y),
nên d(x, y) = d(T x, x) = d(T y, y). Điều này có nghĩa là x = y = T x = T y.
Trường hợp 2: Với mọi x, y ta có M(x, y) > 0.

Bước 1: Xây dựng dãy lặp {x
n
} thỏa mãn lim
n→∞
d(x
n
, x
n+1
) = 0.
Lấy x
0
∈ X, đặt x
1
= T x
0
, x
2
= T x
1
, x
3
= T x
2
, . . . Tiếp tục quá trình này
ta chọn được x
n
∈ X sao cho x
n+1
= T x
n

với mọi n ≥ 0.
Khi đó, từ (2.1) ta có
d(x
n
, x
n+1
) = d(T x
n−1
, T x
n
)
≤ M(x
n−1
, x
n
) − φ

M(x
n−1
, x
n
)

≤ M(x
n−1
, x
n
)
trong đó
M(x

n−1
, x
n
)
= max

d(x
n−1
, x
n
), d(x
n
, x
n−1
), d(x
n+1
, x
n
),
1
2

d(x
n
, x
n
) + d(x
n−1
, x
n+1

)

,
d(x
n+1
, x
n
), d(x
n+1
, x
n
), d(x
n+1
, x
n+1
)

= max

d(x
n−1
, x
n
), d(x
n+1
, x
n
),
1
2


d(x
n−1
, x
n
) + d(x
n
, x
n+1
)


= max

d(x
n
, x
n+1
), d(x
n
, x
n−1
)

.
Nếu tồn tại n sao cho max

d(x
n
, x

n+1
), d(x
n
, x
n−1
)

= d(x
n
, x
n+1
) thì
M(x
n−1
, x
n
) = d(x
n+1
, x
n
) > 0.
Do đó
d(x
n
, x
n+1
) ≤ d(x
n
, x
n+1

) − φ

d(x
n
, x
n+1
)

.
11
Điều này là vô lí. Vậy M(x
n−1
, x
n
) = d(x
n
, x
n−1
).
Với mọi n ≥ 0, d(x
n
, x
n+1
) ≤ d(x
n
, x
n−1
), suy ra

d(x

n
, x
n+1
)

là một dãy số
thực không tăng và bị chặn dưới bởi 0. Vì thế tồn tại r ≥ 0 sao cho
lim
n→∞
d(x
n
, x
n+1
) = lim
n→∞
M(x
n−1
, x
n
) = r. (2.2)
Vì φ là hàm nửa liên tục dưới nên theo Bổ đề 1.2.5 ta có
φ(r) ≤ lim inf
n→∞
φ

M(x
n−1
, x
n
)


.
Lưu ý rằng, với mọi n ta có
d(x
n
, x
n+1
) ≤ M(x
n−1
, x
n
)) − φ

M(x
n−1
, x
n
)

. (2.3)
Lấy giới hạn dưới khi n → ∞ trong (2.3) và sử dụng (2.2) ta có
r ≤ r − lim inf
n→∞
φ

M(x
n−1
, x
n
)


≤ r − φ(r).
Vậy φ(r) ≤ 0 hay φ(r) = 0. Suy ra r = 0. Từ đó ta có
lim
n→∞
d(x
n
, x
n+1
) = r = 0.
Bước 2: Chứng minh dãy lặp {x
n
} là một dãy Cauchy.
Đặt c
n
= sup

d(x
j
, x
k
) : j, k ≥ n

. Khi đó {c
n
} là một dãy không tăng.
Nếu lim
n→∞
c
n

= 0 thì lim
n→∞
sup

d(x
j
, x
k
) : j, k ≥ n

= 0. Nói cách khác, với
mỗi ε > 0, tồn tại n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
ta có sup

d(x
j
, x
k
) : j, k ≥ n

< ε.
Vậy d(x
j
, x
k
) < ε với mọi j, k ≥ n. Chọn n = n
0

, khi đó với mọi j, k ≥ n
0
thì
d(x
j
, x
k
) < ε. Điều này có nghĩa {x
n
} là một dãy Cauchy.
Giả sử rằng lim
n→∞
c
n
= c > 0. Chọn ε <
c
8
, khi đó tồn tại N sao cho với mọi
n ≥ N, ta có
d(x
n
, x
n+1
) ≤ ε và c
n
< c + ε. (2.4)
Vì c
N+1
= sup {d(x
m

, x
n
) : m, n ≥ N + 1} nên tồn tại m, n ≥ N + 1 sao cho
d(x
m
, x
n
) > c
N+1
− ε ≥ c − ε. (2.5)
12
Điều này kéo theo, với mọi m, n ≥ N + 1 ta có
d(x
m−1
, x
n−1
) ≥ c − 4ε. (2.6)
Mặt khác, ta có
d(x
m
, x
n
) = d(T x
m−1
, T x
n−1
) ≤ M(x
m−1
, x
n−1

) − φ

M(x
m−1
, x
n−1
)

. (2.7)
Áp dụng (2.6) và ε <
c
8
ta suy ra
M(x
m−1
, x
n−1
)
= max

d(x
m−1
, x
n−1
), d(x
m
, x
m−1
), d(x
n

, x
n−1
),
1
2

d(x
n−1
, x
m
) + d(x
m−1
, x
n
)

,
d(x
m+1
, x
m
), d(x
m+1
, x
n−1
), d(x
m+1
, x
n
)


≥ d(x
m−1
, x
n−1
)
≥ c − 4ε
>
c
2
.
Vì M(x
m−1
, x
n−1
) >
c
2
và φ là một hàm không giảm nên
φ

M(x
m−1
, x
n−1
)

≥ φ

c

2

.
Mặt khác, với m, n ≥ N + 1 thì M(x
m−1
, x
n−1
) ≤ c
N
. Do đó, theo (2.7) ta có
d(x
m
, x
n
) ≤ c
N
− φ

c
2

với mọi m, n ≥ N + 1. Từ đó suy ra
c
N+1
< c
N
− φ

c
2


. (2.8)
Từ (2.4), (2.5) và (2.8) ta có c − ε < c + ε − φ

c
2

. Cho ε → 0
+
ta suy ra
c ≤ c − φ

c
2

. Điều này là vô lí vì c > 0.
Vậy c = 0, nghĩa là {x
n
} là một dãy Cauchy.
Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy {x
n
} hội tụ về điểm bất động của T .
13
Vì X là một không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho lim
n→∞
x
n
= u.
Tiếp theo, ta chứng minh u = T u.
Ta có

d(x
n+1
, T u) = d(T x
n
, T u)
≤ M(x
n
, u) − φ

M(x
n
, u)

(2.9)
trong đó
M(x
n
, u) = max

d(x
n
, u), d(x
n+1
, x
n
), d(T u, u),
1
2

d(u, x

n+1
) + d(x
n
, T u)

,
d(x
n+2
, x
n+1
), d(x
n+2
, u), d(x
n+2
, T u)

(2.10)
Cho n → ∞ trong (2.10) ta được M

x
n,
u

→ d(u, T u). Sau đó lấy giới hạn khi
n → ∞ trong (2.9) ta được d(u, T u) ≤ d(u, T u) − φ

d(u, T u)

. Điều này là mâu
thuẫn với d(u, T u) > 0. Vậy u = T u.

Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy ra T có điểm bất động.
Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động của T là duy nhất. Giả sử tồn tại
v sao cho v = Tv. Ta có
d(u, v) = d(T u, T v)
≤ M(u, v) − φ

M(u, v)

= d(u, v) − φ

d(u, v)

.
Suy ra d(u, v) = 0. Vậy u = v.
Từ Định lí 2.1.1 bằng cách chọn φ(t) = (1 − k)t, t ≥ 0, k ∈ (0, 1) ta có hệ
quả sau.
2.1.2 Hệ quả. Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T : X −→ X là
một ánh xạ sao cho với mọi x, y ∈ X,
d(T x, T y) ≤ kM (x, y)
14
ở đây
M(x, y) = max

d(x, y), d(T x, x), d(T y, y),
1
2

d(y, T x) + d(x, T y)

,

d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y), d(T
2
x, T y)

.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
2.2 Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho Định lí 2.1.1. Chứng
tỏ Định lí 2.1.1 mạnh hơn [15, Theorem 2.1].
2.2.1 Ví dụ. Xét X = {0, 1, 2, 3, 4} và d xác định bởi
d(x, y) =






















0 nếu x = y
3
2
nếu (x, y) ∈

(0, 3), (0, 4), (3, 0), (4, 0)

1
2
nếu (x, y) ∈

(0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)

1 ngược lại.
Khi đó (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp các điều kiện của một mêtric, ta có d là một
mêtric trên X.
Mặt khác, giả sử {x
n
} là một dãy Cauchy trong (X, d). Khi đó
lim
n,m→∞
d(x
n

, x
m
) = 0.
Do đó với ε =
1
3
, tồn tại n
0
sao cho với mọi m, n ≥ n
0
ta có d(x
n
, x
m
) <
1
3
. Vậy
d(x
n
, x
m
) = 0 với mọi m, n ≥ n
0
. Khi đó x
n
= x
m
= x
n

0
với mọi m, n ≥ n
0
. Suy
ra lim
n→∞
x
n
= x
n
0
. Vậy {x
n
} là một dãy hội tụ.
Do đó (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ.
15
2.2.2 Ví dụ. Xét X = {0, 1, 2, 3, 4} và d xác định bởi
d(x, y) =






















0 nếu x = y
3
2
nếu (x, y) ∈

(0, 3), (0, 4), (3, 0), (4, 0)

1
2
nếu (x, y) ∈

(0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)

1 ngược lại.
Theo Ví dụ 2.2.1 thì khi đó (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh
xạ T : X −→ X xác định bởi
T 0 = T 1 = T 2 = 0, T 3 = 1, T 4 = 2, với mọi x ∈ X.
Khi đó
d(T x, T y) =




















1 nếu (x, y) ∈

(3, 4), (4, 3)

1
2
nếu (x, y) ∈

(4, 0), (4, 1), (4, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3),
(2, 4), (1, 3), (1, 4), (0, 3), (0, 4)

0 ngược lại.
và

M(x, y) = max

d(x, y), d(T x, x), d(T y, y),
1
2

d(y, T x) + d(x, T y)

,
d(T
2
x, T x), d(T
2
x, y), d(T
2
x, T y)

.
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. x = y = 0. Khi đó
M(x, y) = max

d(0, 0), d(T 0, 0), d(T 0, 0),
1
2

d(0, T 0) + d(0, T 0)

,
d(T

2
0, T 0), d(T
2
0, 0), d(T
2
0, T 0)

= 0.
Trường hợp 2. x = 0, y = 1. Khi đó
M(x, y) = max

d(0, 1), d(T 0, 0), d(T 1, 1),
1
2

d(1, T 0) + d(0, T 1)

,
d(T
2
0, T 0), d(T
2
0, 1), d(T
2
0, T 1)

=
1
2
.

16
Trường hợp 3. x = 0, y = 2. Khi đó
M(x, y) = max

d(0, 2), d(T 0, 0), d(T 2, 2),
1
2

d(2, T 0) + d(0, T 2)

,
d(T
2
0, T 0), d(T
2
0, 2), d(T
2
0, T 2)

=
1
2
.
Trường hợp 4. x = 0, y = 3. Khi đó
M(x, y) = max

d(0, 3), d(T 0, 0), d(T 3, 3),
1
2


d(3, T 0) + d(0, T 3)

,
d(T
2
0, T 0), d(T
2
0, 3), d(T
2
0, T 3)

=
3
2
.
Trường hợp 5. x = 0, y = 4. Khi đó
M(x, y) = max

d(0, 4), d(T 0, 0), d(T 4, 4),
1
2

d(4, T 0) + d(0, T 4)

,
d(T
2
0, T 0), d(T
2
0, 4), d(T

2
0, T 4)

=
3
2
.
Trường hợp 6. x = 1, y = 0. Khi đó
M(x, y) = max

d(1, 0), d(T 1, 1), d(T 0, 0),
1
2

d(0, T 1) + d(1, T 0)

,
d(T
2
1, T 1), d(T
2
1, 0), d(T
2
1, T 0)

=
1
2
.
Trường hợp 7. x = y = 1. Khi đó

M(x, y) = max

d(1, 1), d(T 1, 1), d(T 1, 1),
1
2

d(1, T 1) + d(1, T 1)

,
d(T
2
1, T 1), d(T
2
1, 1), d(T
2
1, T 1)

=
1
2
.
Trường hợp 8. x = 1, y = 2. Khi đó
M(x, y) = max

d(1, 2), d(T 1, 1), d(T 2, 2),
1
2

d(2, T 1) + d(1, T 2)


,
d(T
2
1, T 1), d(T
2
1, 2), d(T
2
1, T 2)

= 1.
Trường hợp 9. x = 1, y = 3. Khi đó
M(x, y) = max

d(1, 3), d(T 1, 1), d(T 3, 3),
1
2

d(3, T 1) + d(1, T 3)

,
d(T
2
1, T 1), d(T
2
1, 3), d(T
2
1, T 3)

=
3

2
.
17
Trường hợp 10. x = 1, y = 4. Khi đó
M(x, y) = max

d(1, 4), d(T 1, 1), d(T 4, 4),
1
2

d(4, T 1) + d(1, T 4)

,
d(T
2
1, T 1), d(T
2
1, 4), d(T
2
1, T 4)

=
3
2
.
Trường hợp 11. x = 2, y = 0. Khi đó
M(x, y) = max

d(2, 0), d(T 2, 2), d(T 0, 0),
1

2

d(0, T 2) + d(2, T 0)

,
d(T
2
2, T 2), d(T
2
2, 0), d(T
2
2, T 0)

=
1
2
.
Trường hợp 12. x = 2, y = 1. Khi đó
M(x, y) = max

d(2, 1), d(T 2, 2), d(T 1, 1),
1
2

d(1, T 2) + d(2, T 1)

,
d(T
2
2, T 2), d(T

2
2, 1), d(T
2
2, T 1)

= 1.
Trường hợp 13. x = y = 2. Khi đó
M(x, y) = max

d(2, 2), d(T 2, 2), d(T 2, 2),
1
2

d(2, T 2) + d(2, T 2)

,
d(T
2
2, T 2), d(T
2
2, 2), d(T
2
2, T 2)

=
1
2
.
Trường hợp 14. x = 2, y = 3. Khi đó
M(x, y) = max


d(2, 3), d(T 2, 2), d(T 3, 3),
1
2

d(3, T 2) + d(2, T 3)

,
d(T
2
2, T 2), d(T
2
2, 3), d(T
2
2, T 3)

=
3
2
.
Trường hợp 15. x = 2, y = 4. Khi đó
M(x, y) = max

d(2, 4), d(T 2, 2), d(T 4, 4),
1
2

d(4, T 2) + d(2, T 4)

,

d(T
2
2, T 2), d(T
2
2, 4), d(T
2
2, T 4)

=
3
2
.
Trường hợp 16. x = 3, y = 0. Khi đó
M(x, y) = max

d(3, 0), d(T 3, 3), d(T 0, 0),
1
2

d(0, T 3) + d(3, T 0)

,
d(T
2
3, T 3), d(T
2
3, 0), d(T
2
3, T 0)


=
3
2
.
18
Trường hợp 17. x = 3, y = 1. Khi đó
M(x, y) = max

d(3, 1), d(T 3, 3), d(T 1, 1),
1
2

d(1, T 3) + d(3, T 1)

,
d(T
2
3, T 3), d(T
2
3, 1), d(T
2
3, T 1)

= 1.
Trường hợp 18. x = 3, y = 2. Khi đó
M(x, y) = max

d(3, 2), d(T 3, 3), d(T 2, 2),
1
2


d(2, T 3) + d(3, T 2)

,
d(T
2
3, T 3), d(T
2
3, 2), d(T
2
3, T 2)

=
3
2
.
Trường hợp 19. x = y = 3. Khi đó
M(x, y) = max

d(3, 3), d(T 3, 3), d(T 3, 3),
1
2

d(3, T 3) + d(3, T 3)

,
d(T
2
3, T 3), d(T
2

3, 3), d(T
2
3, T 3)

=
3
2
.
Trường hợp 20. x = 3, y = 4. Khi đó
M(x, y) = max

d(3, 4), d(T 3, 3), d(T 4, 4),
1
2

d(4, T 3) + d(3, T 4)

,
d(T
2
3, T 3), d(T
2
3, 4), d(T
2
3, T 4)

=
3
2
.

Trường hợp 21. x = 4, y = 0. Khi đó
M(x, y) = max

d(4, 0), d(T 4, 4), d(T 0, 0),
1
2

d(0, T 4) + d(4, T 0)

,
d(T
2
4, T 4), d(T
2
4, 0), d(T
2
4, T 0)

=
3
2
.
Trường hợp 22. x = 4, y = 1. Khi đó
M(x, y) = max

d(4, 1), d(T 4, 4), d(T 1, 1),
1
2

d(1, T 4) + d(4, T 1)


,
d(T
2
4, T 4), d(T
2
4, 1), d(T
2
4, T 1)

=
3
2
.
Trường hợp 23. x = 4, y = 2. Khi đó
M(x, y) = max

d(4, 2), d(T 4, 4), d(T 2, 2),
1
2

d(2, T 4) + d(4, T 2)

,
d(T
2
4, T 4), d(T
2
4, 2), d(T
2

4, T 2)

= 1.
19
Trường hợp 24. x = 4, y = 3. Khi đó
M(x, y) = max

d(4, 3), d(T 4, 4), d(T 3, 3),
1
2

d(3, T 4) + d(4, T 3)

,
d(T
2
4, T 4), d(T
2
4, 3), d(T
2
4, T 3)

=
3
2
.
Trường hợp 25. x = y = 4. Khi đó
M(x, y) = max

d(4, 4), d(T 4, 4), d(T 4, 4),

1
2

d(4, T 4) + d(4, T 4)

,
d(T
2
4, T 4), d(T
2
4, 4), d(T
2
4, T 4)

=
3
2
.
Vậy M(x, y) =






















0 nếu x = y = 0
1
2
nếu (x, y) ∈

(0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 2)

1 nếu (x, y) ∈

(1, 2), (2, 1), (3, 1), (4, 2)

3
2
ngược lại.
Xét hàm số φ(t) =
1
6
t, với mọi t ∈ [0, +∞). Khi đó ta có
d(T x, T y) ≤ M(x, y) − φ


M(x, y)

.
Đồng thời, các giả thiết còn lại trong Định lí 2.1.1 đều thỏa mãn. Do đó
Định lí 2.1.1 áp dụng được cho T trên (X, d). Mặc khác, ta thấy [15, Theorem 2.1]
không đúng khi (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3)}. Do đó [15, Theorem 2.1] không áp dụng
được cho T trên (X, d).
20
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết luận
Khóa luận đã đạt được những kết quả sau:
- Hệ thống những khái niệm, tính chất cơ bản về dạng φ-co yếu suy rộng và
không gian mêtric.
- Thiết lập, chứng minh mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu
suy rộng trong không gian mêtric và xây dựng ví dụ minh hoạ. Định lí 2.1.1,
Hệ quả 2.1.2, Ví dụ 2.2.2.
2 Kiến nghị
Khóa luận có thể được phát triển theo những hướng sau:
- Xét tính cốt yếu của giả thiết “không giảm” và của những giá trị trong điều
kiện co trong Định lí 2.1.1.
- Thay thế không gian mêtric trong Định lí 2.1.1 bởi một không gian khác.
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Y. I. Alber and S. Guerre-Delabriere (1997), Principles of weakly contractive
maps in Hilbert spaces, Adv Appl. 98, 7 – 22.
[2] R. P. Agarwal, M. Meehan and D. O’Regan (2004), Fixed point theory and
applications, Cambridge University Press.
[3] K. P. Chi, E. Karapinar and T. D. Thanh (2012), A generalization of the
Meir-Keeler type contraction, Arab J. Math. Sci. 18, 141 – 148.
[4] P. Collaco and J. C. E. Silva, (1997) A complete comparison of 25 contrac-

tion conditions, Nonlinear Anal. 30, no. 1, 471 – 476.
[5] N. V. Dung (2013), On coupled common fixed points for mixed weakly
monotone maps in partially ordered S-metric spaces, Fixed Point Theory
Appl. 2013:48, 1 – 24.
[6] N. V. Dung, P. Kumam and K. Sitthithakerngkiet (2014), A generalization
of
´
Ciri´c fixed point theorem, Filomat, accepted.
[7] N. Định và N. Hoàng (2003), Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[8] M. E. Gordji, M. Ramezani, Y. J. Cho and E. Akbartabar (2012), Cou-
pled common fixed point for mixed weakly monotone mappings in partially
ordered metric spaces, Fixed Point Theory Appl. 2012:95, 1 – 25.