Xet su Hoi tu cua tich phan suy rong

Kết quả phải nhớ
I. Tích phân suy rộng loại 1
Trước tiên ta lưu ý sử dụng các kết quả sau trong xét sự hội tụ của tích phân


1. Tích phân



dx
x

a

, a  0.

Hội tụ khi   1.
Phân kì khi   1.
Điều kiện a  0 là rất cần lưu ý.
Chú ý 1. Cũng xét tích phân trên nhưng cận dưới không phải là số dương.


Khi xét tích phân trên


m

dx
x

, m  0 lúc này ta tách ra thành hai tích phân




m
a

Tích phân

dx

 x

dx
x

a



dx



 x  
m

a

dx
x

, a  0.

là tích phân xác định nên hội tụ. Như vậy tích phân ban đầu hội tụ khi và chỉ khi

m




a

dx
x

hội tụ.

a

Chú ý 2. Xét tích phân sau



dx


 x

, a  0 , bằng cách đổi biến số t  x ta cũng có kết quả như trên

Hội tụ khi   1.
Phân kì khi   1.
Tích phân này có cận trên âm, khi cận trên bằng không hoặc dương ta cũng tách ra hai tích phân.
I. Tích phân suy rộng loại 1
a

dx

 x, a  0
0

0

hoặc

dx

 x

a


b


a

b

dx



x  a 



, b  a hoặc

a

dx


b  x 

, b  a.

Hội tụ khi   1.
Phân kì khi   1.
Ví dụ bài tập 3.15.
1

2.

cos(x 2 )
 x 2  1 dx

Đổi biến số, đặt t  x , lim(x )   , vậy tích phân ban đầu có dạng
t 
1

cos(t 2 )
 2
dt 
 t  1




1

cos(t 2 )
dt .
t2  1

Ta có đánh giá sau

cos(t 2 )
t2  1



1
t2  1



1
t2

t  1.

,

Mà tích phân



1



1
t



dt hội tụ nên tích phân
2

1

cos(t 2 )
t2  1



dt hội tụ. vậy



1

cos(t 2 )
dt hội tụ.
t2  1

Lưu ý. Trên đây đã dùng phép đổi biến, nếu không đổi biến ta vẫn có thể áp dụng kết quả lý
thuyết trình bày phía trên.
Bài này dùng kĩ thuật đối với định lý so sánh 1.


3.


3

xdx
3

x 7 x  1x  3

(phân tích thấy tích phân này suy rộng loại 1 tại cận dưới, cận trên

suy rộng loại 2 nên đầu tiên là tách cận)



3

xdx

3

x 7 x  1x  3

4





3 3

xdx
x 7 x  1x  3






4

xdx
3

x 7 x  1x  3

(3)

4

Trước hết xét tích phân



xdx

3 3

dưới dấu tích phân tương đương

1



x  3

3

x 3

f x 
g x 

x  3 3

Mà



3

x 7 x  1x  3

x 7 x  1x  3

và tích phân

3 3





Xét tích phân

dx
3

x 3

xdx
x

7

x  1x  3



3
9 3 12

cùng hội tụ và cùng phân kì.

hội tụ.

xdx
3

4


3



x 7 x  1

x  3 3
4

hội tụ suy ra tích phân

x 3

x

 lim

4

dx
3

 0, x  3

xdx

3 3

)

x .3 x  3

 lim



Vậy tích phân

x 3



 0, x  0

4

4

3

x 7 x  1x  3

3

Xét g x 

Ta có lim

1

x



Đặt f x 



(suy rộng ở nhân tử x  3 , do vậy biểu thức

x 7 x  1x  3

x 7 x  1x  3

(phân tích thấy rằng trên tử bậc 1, mẫu bậc 3 vậy hàm dưới mẫu tương đương với



x

Đặt f x 



Xét g x 

Ta có lim

x 

3

x

1
x2

7

x  1x  3

1
x2

 0, x  4. .

 0, x  4

f x 
g x 

 lim

x  3

x3
x 7 x  1x  3

 lim

x 

1
1



1
3
3
1   1  

x 
x 

.)





4

4

 f x dx,  g x dx

Suy ra tích phân




1

 g x dx  
4

x

4

2

cùng hội tụ và cùng phân kì. Mà tích phân



dx hội tụ nên


4

xdx
3

x 7 x  1x  3

hội tụ.

Do hai tích phân suy rộng ở vế phải của (3) đều hội tụ nên suy ra tích phân ban đầu hội tụ.


6.

x3



3

3

với

x

1
13
3
x3

2



1

x3



3

x



Xét hàm g x 

x 





1

4
3
x3



2

1 x

1
4
x3

f x 
g x 

Suy ra tích phân

13
, vậy đã thức mẫu tương đương
3

)

4
3
x

Đặt f x 

Mà



 1 x 11  1



Ta có lim

dx (nhận thấy tử bậc 3, mẫu bậc

11



 0, x  3

1

 0, x  3.
3

x 3. x 4

 lim

x 

3

x

2





3

3





 1 x 11  1

 f x dx,  g x dx

 lim

x 

1
1




1
1

3
1  2  1  11 


x 
x 

cùng hội tụ và cùng phân kì.

dx hội tụ nên tích phân ban đầu hội tụ.