Rèn kỹ năng “Vẽ đường phụ ” để giải bài toán hình học lớp 7

Rốn k nng V ng ph gii bi toỏn hỡnh hc lp 7
I. Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính
trừu tợng nhng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi
trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và
khoa học ứng dụng.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy
học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho
học sinh phơng pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các
em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ
năng, kỹ xảo - hoàn thiện nhân cách.
Nói đến toán học, ngời ta không thể không nhắc tới bộ môn
hình học. Hình học không chỉ là nền móng vững chắc cho các
môn khoa học tự nhiên mà hình học còn là một công cụ rèn trí
thông minh, sáng tạo thúc đẩy sự t duy của học sinh. Có lẽ cũng
chính vì thế mà hình học là một phần không thể thiếu trong
hành trang toán học của các em học sinh.
Phát triển năng lực trí tuệ theo từng mức độ cho học sinh ngay
từ các lớp dới là trách nhiệm của nhà trờng, là đòi hỏi của xã hội, là
nỗi mong mỏi của các bậc phụ huynh và cũng là ớc muốn chính
đáng của bản thân các em học sinh. Trong các môn học, môn Toán
đặc biệt có u thế về mặt này, song phát triển trí tuệ cho trẻ em
thông qua hoạt động học tập, hoạt động vui chơi là một quá trình
bền bỉ, không thể tính bằng tuần, bằng tháng. Hơn nữa, còn phải
xuất phát từ trình độ nhận thức và hoàn cảnh sống của trẻ em để
cho các em luyện tập dần từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
1


tạp nhằm phát huy ở trẻ óc quan sát nhanh nhạy, t tởng tợng phong

phú, khả năng suy luận lôgíc...
Vậy làm thế nào để môn hình học dù khó vẫn có một sức hấp
dẫn cuốn hút kỳ lạ và gây hứng thú cho ngời học ?
Đứng trớc yêu cầu đó, là một giáo viên làm công tác bồi dỡng học
sinh giỏi, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, tiếp cận việc đổi
mới phơng pháp giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có đợc cái nhìn
nhanh nhậy từ mỗi bài toán, tạo sự say mê hứng thú trong việc học
tập của mình. Từ mỗi bài toán nhỏ, tôi cố gắng khai thác phát triển
dới nhiều góc độ khác nhau làm cho học sinh phải tự suy nghĩ,
phải tự tìm tòi và thấy rằng việc học toán thật thú vị, hấp dẫn.
Qua mỗi tiết học nâng cao, giáo viên đa ra kiến thức nào thì nó sẽ
là chiếc chìa khoá mở ra cho học sinh nhiều điều mới lạ, thú vị và
từ đó xây dựng đợc khả năng tự học, tự nghiên cứu.
Trớc thực tế đó, tôi muốn qua bài viết này sẽ trao đổi kinh
nghiệm với tất cả các đồng chí đồng nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh nắm đợc cách vẽ đờng phụ khi giải một số bài toán
so sánh độ dài các đoạn thẳng:
So sánh hai đoạn thẳng, một đoạn thẳng với tổng hai đoạn
thẳng.
3. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tợng nghiên cứu là học sinh các khối 7, 8, 9. Chủ yếu là học sinh
lớp nâng cao khối 7.
- Phạm vi nghiên cứu các bài toán hình học có liên qua đến yếu tố
vẽ đờng phụ trong tam giác (Hình học lớp7).
2


4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Rèn khả năng t duy trong hình học khi nào nên vẽ đờng phụ

- Rèn kĩ năng vẽ hình (đờng phụ) khi cần thiết. Không bị lạm dụng
trong vẽ đờng phụ dẫn đến rối hình
5. Phơng pháp nghiên cứu.
- Khai thác từ những bài toán cơ bản trong sách giáo khoa kết hợp
với các tài liệu tham khảo từ đó định hớng các dạng toán.
- Phơng pháp thực nghiệm. Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm
tra kết quả áp dụng của đề tài.
6. Nội dung của đề tài.
Trong chứng minh hình học, phần nhiều phải tự vẽ thêm đờng
mới, tức là phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc. Việc vẽ thêm
đờng phụ rất nhiều loại nên không có phơng pháp vẽ cố định. Vẽ
đờng phụ hợp lý là một phơng pháp để giải các bài toán hình học.
Để tìm ra hớng đi đúng cho một bài toán khó và lạ là một điều
không đơn giản. Nhằm giúp các em giải quyết vấn đề khó này, tôi
xin đề cập đến cách hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải
một số bài toán hình học 7. Song trong phạm vi của đề tài này, tôi
sẽ xoay quanh dạng toán về so sánh độ lớn hai đoạn thẳng. Đây là
dạng toán quen thuộc mà các em thờng gặp.
Trong đề tài này tôi đa ra hai dạng toán cơ bản sau:
Phần 1: Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng
Phần 2: Các bài toán so sánh một đoạn thẳng với tổng(hiệu)
hai đoạn thẳng

II. nội dung

3


Chơng I: Cơ sở lí luận liên quan đến đề tài:
1. Cơ sở pháp lí:

+ Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải
đào tạo ra con ngời có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có
tính nhân văn cao.Định hớng này đã đợc pháp chế hóa trong luật
giáo dục điều 24 mục II đã nêu Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải đợc phát huy tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh,
phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn, học sinh tích cực.
+ Xuất phát từ kế hoạch, nghị quyết hoạt động của tổ chuyên môn
Trờng THCS nơi tôi công tác .
2. Cơ sở lí luận.
Trớc hết cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:
+ Cộng đoạn thẳng.
+ Các trờng hợp bằng nhau của tam giác.Tam giác vuông.
+ Tính chất các đờng trong tam giác, đặc biệt trong tam giác
cân, đều.
Học sinh phải thấy đợc việc kẻ đờng phụ nhằm
- Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng
hơn trớc
- Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc
biệt nào đó.
Trong thực tế, việc kẻ thêm đờng phụ là một việc làm thực sự
khó. Việc kẻ thêm đờng phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng
hình vì nếu không bài toán càng trở nên phức tạp, không tìm ra
hớng giải.
4


Chính vì vậy, khi đứng trớc một bài toán, các em cần chú ý các
điểm sau:
- Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đờng phụ.

- Khi vẽ không đợc tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc
các phép dựng hình cơ bản.
3. Cơ sở thực tiễn.
- Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy việc học sinh đa số học
sinh cha thực sự hứng thú với môn hình học và trong các bài kiểm
tra đa số các em thờng không đào sâu suy nghĩ để giải quyết
những câu khó từ đó dẫn đến việc t duy hình học của các em
ngày càng yếu và dần không muốn học môn hình học. Để khắc
phục phần nào nhợc điểm trên tôi xây dựng đề tài này.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy không có phơng pháp chung cho
việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là sự sáng tạo trong khi giải Toán,
bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ là cần đạt đợc mục đích là tạo
điều kiện để giải đợc các bài toán một cách ngắn gọn chứ không
phải là một công việc tùy tiện.
- Việc vẽ thêm đờng phụ khi cần thiết đây là một trong những
con đờng rèn khả năng t duy hình học tốt nhất. Vẽ thêm đờng phụ
cũng là một trong những giải pháp hữu hiệu trong việc phát triển
hình học .
Trên đây là những cơ sở lí luận giáo dục môn Toán cho học trờng
THCS, đó là ngọn đèn soi sáng con đờng nghiên cứu của chúng tôi .
Chơng II. Thực trạng của đề tài nghiên cứu.
1. Khái quát phạm vi trờng THCS nơi tôi công tác .

5


Qua thực tế công tác và trực tiếp giảng dạy tại trờng trong những
năm qua tôi nhận thấy:
+ Thuận lợi:
-Trờng đã tạo mọi điều kiện về chuyên môn nh sách giáo khoa, sách

thiết kế, sách nghiệp vụ, đồ dùng dạy học các tài liệu tham khảo.
- Là một trờng đi đầu về việc áp dụng công nghệ thông tin vào
dạy học .
- Đội ngũ cán bộ giáo viên trong tổ nhiệt tình trong chuyên môn,
mỗi một năm tổ luôn đề ra những đề tài (sáng kiến, giải pháp )
và cùng nhau áp dụng trong dạy học. Có tổng kết rút kinh nghịêm
cho mỗi đề tài.
- Nhà trờng tổ chức khảo sát đầu năm để chia đối tợng để làm
tốt việc dạy nâng cao và bám sát, tạo điều kiện tốt cho việc áp
dụng các đề tài vào giảng dạy
+ Khó khăn:
- Năm học 2017-2018 học sinh khối 7 theo khảo sát đầu năm tỉ lệ
xếp loại khá giỏi còn thấp .
- Khối lợng kiến thức ở môn hình học lớp 7 là nhiều so với khối lớp 6,
học sinh có nắm chắc các định lí, tính chất thì mới làm đợc các
bài tập hình học.
- Hình học nói chung là một môn học mà cơ bản đòi hỏi phải t duy
lôgíc nên tơng đối khó và trừu tợng với học sinh.
2. Thực trạng của đề tài nghiên cứu.
- Đa số học sinh thờng lúng túng khi gặp những bài toán cần phải vẽ
thêm đờng phụ, các em không biết bắt đầu từ đâu, vì cha hình
thành đợc hình.
6


-Qua thực tế dạy học môn hình học chúng tôi nhận thấy học sinh
học thụ động , thầy giao bài học sinh làm bài để đủ số lợng đã
giao gặp phải ý khó nh cần phải kẻ thêm hình đa số các em dừng
lại.

Chơng III: Các giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài.
1. Cơ sở đề xuất các giải pháp.
- Dựa vào cơ sở lí luận , thực trạng đã nêu ở trên. Căn cứ vào đặc
điểm nhà trờng và đặc biệt vấn đề cần thết cho việc dạy phân
hóa đối tờng trong năm học này chúng tôi mạnh dạn đa ra một số
dạng toán hay gặp cần phải vẽ thêm đờng phụ.
2. Một số dạng toán cần phải vẽ thêm đờng phụ.
*. Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng
Một trong những bài toán cơ bản dễ nhận thấy nhất mà các em
thờng nghĩ đến vẽ đờng phụ là chứng minh đoạn thẳng này bằng
nửa đoạn thẳng kia. Do đó đầu tiên chúng ta nên khai thác những
bài toán có liên quan đến vấn đề này
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CM. Trên tia đối
của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh rằng CM =

1
2

CD.
* Hớng giải :
- Hớng thứ nhất :
Trong phần kiến thức cơ bản của hình học 7 chúng ta chỉ có
phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Vậy làm thế
nào để chứng minh đoạn thẳng này bằng nửa đoạn thẳng
7


kia.Cách suy nghĩ đơn giản nhất là dựng đoạn thẳng khác bằng

1

2

CD rồi chứng minh cho đoạn thẳng đó bằng CM.
Với hớng suy nghĩ này, hình thành 3 cách vẽ đờng phụ nh
sau .
Cách 1:
A

Gọi N là trung điểm của AC.
NA = NC =

Mà AM =

1
AC.
2

M

N N

1
AB (vì M là trung
2

B

điểm của AB)
Do AB = AC (gt)

C

NA = AM

Xét ABN và ACM có :

D

AN = AM (cmt)
chung
A
AB = AC (gt)
Vậy ABN = ACM (c - g - c)
BN = CM (1)

Lại có : BA = BD (gt)

A

NA = NC (vì N là trung điểm của AC) BN =
M

B

1
CD (2)
2
C

N

D

8


Từ (1) và (2) CM =

1
CD
2

Cách 2:
Gọi N là trung điểm của DC
ND = NC =

1
DC (1)
2

Ta có : BA = BD (gt)
ND = NC
BN//AC và BN =

1
AC
2

MAC

NBD
(cặp góc đồng vị do BN//AC
1
2

Lại có MA = AB ; AB = AC(gt)
MA =

1
AC
2

BN = MA (cùng bằng

1
AC)
2

Xét AMC và BND có : MA = NB (cmt)
DBN

(cmt)
MAC
AC = BD (cùng bằng AB
AMC = BND (c - g - c)
A

MC = DN(2)

Từ (1) và (2) CM =

1
DC
2

M

Cách 3 :

B

C
E

Gọi E, F lần lợt là trung điểmcủa BC và BD

D

F

9


EF =

1
CD (1)
2

Ta có :

E là trung điểm của BC
M là trung điểm của AB (gt)
ME//AC

và ME =

Ta có : BF =

1
AC
2

1
BD
2

Mà AC = BD (cùng bằng AB)
ME = BF

BCA
1800 (2 góc trong cùng phía, ME//AC)
Mặc khác : MEC
ABC
1800 (2 góc kề bù)
EBF
ABC

Mà BCA
( ABC cân tại A)
EBF

MEC
Xét MEC và BFE có: ME = BF (chứng minh trên )
EBF
(cmt)
MEC
EC =EB (vì E là trung điểm của BC )
Vậy MEC = BFE (cgc)
MC =EF (2)

Từ (1) và (2) MC =

1
CD
2

- Hớng thứ hai: Ta dựng đoạn thẳng bằng 2CM rồi chứng minh
đoạn thẳng đó bằng CD. Với hớng suy nghĩ này, hình thành 3
cách vẽ đờng phụ.
10


Cách 4 :

F

Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho
A

CD = CE

E

M

Trên tia đối của tia MD lấy điểm F sao cho
B

MD = MF
CM =

1
EF (1)
2

C

D

Lại có : AB = BD (gt)
CD = CE (cách dựng) (2)
BC//AE

ABC

EAF
(cặp góc đồng vị ) ;

ACB

(cặp góc so le
EAC

trong)
ACB

Mà ABC
( ABC cân tại A)
EAC

EAF
Mặt khác : MF = MD (cách dựng)
MA = MB (gt)
MF - MA = MD - MB
AF = BD

Hơn nữa BD = BA (gt)
AB = AC (gt)
AF = AB = BD = AC

Xét FAE và CAE có
11


AF = AC (cmt)
�  EAC
�
(cmt)
EAF
AE lµ c¹nh chung

VËy  FAE =  CAE (c - g - c)
� EF = CE (3)

Tõ (2) vµ (3) � EF = CD (4)
Tõ (2) vµ (4) � CM =

1
CD
2

C¸ch 5 :
Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm N sao cho CB = CN
Ta cã :
�  CBA
�  1800 (2 gãc kÒ bï)
DBC
�  ACB
�  1800 (2 gãc kÒ bï)
ACN

A

�  ACN
�
�  ACB
�
(v× CBA
do  ABC c©n t¹i A)
DBC
M

Ta cã : CB = CN (c¸ch dùng)
B

MA = MB (gt)
� CM =

1
AN (1)
2

C

N

D

XÐt  DBC vµ  ACN cã
DB = CA (cïng b»ng AB)
�  ACN
�
(cmt)
DBC
BC = CN (c¸ch dùng)
VËy  DBC =  ACN (cgc)
12


DC = AN (2)

Từ (1) và (2) CM =

1
DC
2

Cách 6:
Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = MC CM =
A

Xét BMN và AMC có N

NC (1)

M

MB = MA (vì M là trung điểm của AB )
AMC
(hai góc đối đỉnh )
BMN

1
2

B

MN = MC (cách dựng)

C

Vậy BMN = AMC (c - g - c)
D

BN = AC

MAC

BNM
BN // AC (vì có một cặp góc so le trong bằng nhau )

ACB
1800 (hai góc trong cùng phía bù nhau )
NBC
ABC
1800 ( hai góc kề bù)
Mà DBC
ACB
(ABC cân tại A )
ABC
DBC

NBC
Xét NBC và DBC có
NB = BD (cùng bằng AC )
DBC

(chứng minh trên )
NBC
BC là cạnh chung
Vậy NBC = DBC (c.g.c)

13


NC =DC (2)
1
2

Từ (1) và (2) MC = DC
*Khai thác bài toán : Kết quả chứng minh vẫn đúng nếu tam
giác ABC vuông cân tại A hoặc ABC là tam giác đều(học sinh tự
chứng minh).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm
của AM. Tia CI cắt cạnh AB tại D. Chứng minh rằng AD =
* Hớng giải : Tạo ra đoạn thẳng bằng

1
BD.
2

1
AD và chứng minh đoạn
2

thẳng đó bằng đoạn thẳng BD.
Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo hai cách sau:
Cách 1: Lấy điểm E là trung điểm của BD DE =

1
BD (1)

2

A
Ta có EM là đờng trung bình của tam giác BDC
EM // CD

Xét tam giác AEM có : AI = IM(gt)
DI // EM
D là trung điểm của AE

D

I

E

C

M

B

AD = DE(2)

Từ (1) và (2) AD =

1
BD(đpcm)
2

Cách 2 : Lấy N là trung điểm của CD
MN là đờng trung bình của tam giác BDCA


MN =

1
BD(1) và MN //BD
2

D

ADI và MNI có AI = IM(gt)
NMI
(slt của AD//MN)
DAI

B

I
M

N
C
14


MIN
(đối đỉnh)
AID

ADI

= MNI(g - c - g)

MN = AD(2)

Từ (1) và (2) AD =

1
BD
2

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB > AC; phân giác AD. Chứng minh
rằng DB > DC.
* Hớng giải: Tạo ra một đoạn thẳng bằng DB(hoặc DC) và so sánh
đoạn thẳng mới với đoạn thẳng còn lại.

A

Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo hai cách sau:
Cách 1: Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC
Xét ADC và ADE có : AE = AC(cách vẽ)

12

E 21
C
D
B

A
(gt)
A
1
2

AD là cạnh chung
ADC = ADE(c - g - c)
D
(2)
ED = DC(1) và D
1
2

Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE E nằm giữa A và B
(3) (Góc ngoài của tam giác AED)
E1 D
2
B
(4) (Góc ngoài của tam giác ABD)
D
1
BD > DE (5)
Từ (2); (3) và (4) E1 B

Từ (1) và (5) BD > DC(đpcm)
A

Cách 2:
Trên tia AC lấy điểm F sao cho AB = AF

12

Xét ADB và ADF có AB = AF(cách vẽ)
A
(gt)
ADC
A
ADB
1
2

AD là cạnh chung
ADB = ADF(c - g - c)

C

D
B

1

F
15


AFD
(7)
BD = DF (6) và ABD

Do AB = AF; AB > AC nên AF > AC C nằm giữa A và Fload
ABD
(8) (Góc ngoài của tam giác ABC)
C
1
AFD

DF > DC(9)
Từ (7) và (8) C
1

Từ (6) và (9) BD > DC(đpcm)

Bài tập tự giải
Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi D, M lần lợt là trung
điểm của các cạnh BC và BD. Chứng minh rằng AC = 2AM
= 1200. Qua A kẻ đờng thẳng
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, A

vuông góc với AB, cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD = 2.DC
Bài 3: Cho tam giác ABC, I là giao điểm các đờng phân giác của
. M là trung điểm của BC. Biết BIM

và C
góc B
= 900; BI = 2.IM.

a) Tính số đo BAC

b) Vẽ IH vuông góc với AC, H thuộc AC. Chứng minh rằng BA = 3.IH

Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các
cạnh AB và AC.

16


Chứng minh rằng MN // BC và MN =

1
BC.
2



Bài 5: Cho hai tam giác ABC và ABC có BAC+B'A'C'
1800 , AB =

AB, AC= AC. M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh rằng: AM =

1
BC
2

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm trong tam giác
ADC
. Chứng minh rằng DC > DB.
ABC sao cho ADB
= 540. Trên AC lấy điểm
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có B

D sao cho DBC
= 180. Chứng minh BD < AC

*. Các bài toán so sánh một đoạn thẳng với tổng(hiệu) hai
đoạn thẳng
C
= 400, phân giác BD. Chứng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B

minh rằng
BD + DA = BC
* Hớng giải: Tách BC thành tổng hai đoạn thẳng sao cho từng đoạn
thẳng trong tổng đó lần lợt bằng đoạn thẳng BD, DA.
Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ nh sau
- Lấy điểm I trên đoạn BC sao cho BD = BI. Ta cần chứng minh
thêm
IC = DA
- Để chứng minh IC = DA ta tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam
giác chứa cạnh IC, nghĩa là tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam
giác ICD.Dựa vào đặc điểm tam giác ICD, ta có thể vẽ đờng phụ
nh sau: Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N. Tam
giác AND là tam giác cần dựng.
Giải
17


Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = BD
Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N
ABC;

ADN
ACB
(đồng vị)
Do ND//BC nên AND

A

N

ACB
400 (gt)
Mà ABC

D

ADN
400
AND
AND cân tại A

B

I

C

AN = AD

Mà AB = AC (gt) AB - AN = AC - AD
BN = CD(1)

DBC

ABD
Vì BD là phân giác của ABC
= 200
DBC
(so le trong)
Mặt khác do ND//BC(cách vẽ) nên NDB
NDB

ABD
= 200 BND cân tại N BN = ND(2)

Từ (1) và (2) ND = CD
= (1800 - 200) : 2 = 800.
Do BD = BI nên BDI cân tại B BDI
= 1800 - ( ADN


) = 400
IDC
- NDB
- BDI

(= 400)
Xét AND và IDC có : AND
= ICD

ND = DC(cmt)

(= 400)
= IDC
ADN
AND = IDC(g - c - g)
AD = IC(2 cạnh tơng ứng)

Vì BC = BI + IC; BI = BD; IC = DA nên BD + DA = BC(đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng
AM <

AB + AC
2

* Hớng giải cách 1

18


Nhìn vào bài toán cho phép ta hình dung ra kiến thức sử dụng là
bất đẳng thức tam giác do đó hớng thứ nhất là biến đổi
AM <

AB + AC
2AM < AB + AC
2

Để chứng minh 2AM < AB + AC ta tìm cách tạo ra một tam giác có
ba cạnh bằng 2AM; AB; AC.

Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo cách sau: Trên tia
AM lấy điểm D sao cho AM = MD. Tam giác ADC là tam giác cần
dựng.
Giải
Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD
Xét AMB và DMC có : AM = MD(cách vẽ)
DMC
(đối đỉnh)
AMB

BM = MC(gt)
AMB = DMC(c - g - c)

A

AB = CD(2 cạnh tơng ứng)

E
Xét tam giác ACD có AD < AB + AC(bđt tam giác)
Mà AD = 2AM; AB = CD(chứng minh trên)
2AM < AB + AC
AM <

AB + AC
(đpcm)
2

B

C

M

D

Hớng dẫn cách 2:
Xuất phát từ vế phải

AB + AC
ta tìm cách làm xuất hiện Tổng mới
2

bằng nửa tổng đã cho Do đó ta có thể gọi E là trung điểm của
1
1
AB nh vậy ta đã có AE = AB . Vậy ta chỉ cần chứng minh ME =
2
2
AC. Điều này có thể áp dụng kiến thức của bài tập trớc để chứng
minh hoặc tính chất đờng trung bình

19


Bài tập tự giải
< 900. Vẽ ra ngoài tam giác
< 900; C
Bài 1: Cho tam giác ABC có B

ABC các tam giác ABD, ACE vuông cân tại B và C. Kẻ DI, EK vuông

góc với BC, H; K BC Chứng minh rằng BC = DI + EK.
Bài 2: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2cm, M là điểm nằm
trong tam giác. Qua M kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh
của tam giác ABC, chúng cắt AB, BC, CA tại C; A; B. Tính tổng MA
+ MB + MC ?
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB > AC. Lấy điểm M trên phân giác
AD. Chứng minh rằng AB - AC > MB - MC.

III. Kết quả sau khi thực hiện
Qua việc đa ra Loại toán so sánh đoạn thẳng và cách vẽ
đờng phụ tơng ứng thờng gặp trong hình học 7, vào giảng
dạy đối với lớp nâng cao tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
- Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phơng pháp giải, tạo
điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hớng
cho học sinh cách vẽ đờng phụ khi gặp các bài toán tơng tự. Đồng
thời làm cơ sở cho học sinh có đợc cách vẽ đờng phụ với các bài toán
khó hơn nữa. Giúp cho học sinh rèn đợc những phẩm chất của trí
tuệ nh : Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong t duy,
làm tiền đề cho sự phát triển t duy của học sinh học tập môn Toán,
tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho bản thân phơng pháp
làm Toán, phơng pháp học tập một cách có hiệu quả.
- Nêu ra đợc giải pháp vẽ đờng phụ để giải loại toán giúp cho
học sinh chống đợc t tởng ngại khó, "sợ" giải một bài toán khó, tạo
điều kiện cho học sinh hứng thú học tập, hăng say nghiên cứu tìm
tòi cái mới, cái khó trong quá trình học tập.
20


- Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phơng pháp giảng dạy
(đổi mới cách dạy của giáo viên và cách học của học sinh) nhằm

nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng phát huy tích cực của học
sinh "lấy học sinh làm trung tâm".
- Sau khi áp dụng đề tài trên vào giảng dạy với bộ môn hình học 7
tại lớp nâng cao, chúng tôi đã phơng pháp điều tra về hứng thú
học tập các bộ môn và so sánh giữa 2 bộ môn hình học và đại số 7
trớc và sau khi đa chuyên đề vào giảng dạy đã thu đợc kết quả nh
sau:
Điều tra 45 học sinh lớp nâng cao về hứng thú học tập môn hình
học và đại số:
Trớc khi đa chuyên đề vào dạy: có 13/43 học sinh thích học
hình.
Sau khi đa chuyên đề vào dạy: có 25/43 học sinh thích học
hình.
Trên đây là một số phơng pháp vẽ đờng phụ giúp cho học sinh
biết cách giải một số bài toán so sánh đoạn thẳng. Bớc đầu đã
thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dỡng học
sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình đợc một
cách giải toán ở thể loại này, phát huy tích cực chủ động sáng tạo
trong giải toán nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện đợc nhiều kỹ
năng giải toán, tạo đà cho học sinh đổi mới cách học trong giai
đoạn hiện nay. Đề tài Vẽ đờng phụ này chắc chắn không
tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp , giúp đỡ của các đồng nghiệp.

Quỳnh Phụ , ngày 25 tháng 03
năm 2018
21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 2 của Vũ Hữu Bình.
2) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 của Bùi Văn Tuyên.
3) Tạp chí Toán tuổi thơ 2 của nhà xuất bản giáo dục.
4) Ôn tập và kiểm tra toán 7 của nhà xuất bản giáo dục.
5) Toán cơ bản và nâng cao lớp 7 của Vũ Thế Hựu.
6) Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7 của Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang
Thiều .
MỤC LỤC
I . Phần mở đầu
1 . Lý do chọn đề tài
2 . Mục đích nghiên cứu
3 . Đối tượng , phạm vi nghiên cứu
4 . Nhiệm vụ nghiên cứu
5 . Phương pháp nghiên cứu
6 . Nội dung của đề tài
II . Nội dung
Chương I . Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài
1 . Cơ sở pháp lý
2. Cơ sở lí luận
3. Cơ sở thực tiễn
Chương II . Thực trạng của đề tài nghiên cứu
1 . Khái quát phạm vi trường THCS nơi tôi công tác
2 . Thực trạng của đề tài nghiên cứu
Chương III . Các giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài
1. Cơ sở đề xuất các giải pháp

1
2
2
2

2
2
3
3
3
3
4
5
5
5
6
6
22


2. Một số dạng toán cần phải vẽ thêm đường phụ
III . Kết quả sau khi thực hiện
Tài liệu tham khảo
Mục lục

6
18
20
20

23