BÀI KIỂM TRA BẤT ĐẲNG THỨC CHUẨN BỊ CHO VMO 2019

TP. HCM, ngày 24 tháng 6 năm 2018
PREPARE FOR VMO 2019

The ART of MATHEMATICS
TRAO ĐỔI TOÁN HỌC

1


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic

BÀI KIỂM TRA BẤT ĐẲNG THỨC
CHUẨN BỊ CHO VMO 2019
1. Problem.
If a, b, c are non-negative real numbers such that 2a3 + 3b2 + c ≤

7
3
then a + b − c ≤ .
16
4
Proposed by Sladjan Stankovic

2. Problem.
Let x, y, z be positive real numbers such that xyz ( x + y + z) = 1. Prove that
1 »
2 ( x + z)
( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ √ 3 4 ( x 6 z6 + 1) +
( x + y) (y + z)
xz
Proposed by Le Minh Cuong

3. Problem.
Let a, b, c be non-negative real numbers such that a2 + b2 + c2 + abc = 4. Prove that
x2 + y2 + z2 ≥ yza + zxb + xyc, ∀ x, y, z ∈ R.
Proposed by Le Khanh Sy

4. Problem.
Let x, y, z be non-negative real numbers such that x2 + y2 + z2 + xyz = 4. Prove that
Ã

3x4 y3
2x5 − x4 + y3 + 1

Ã

+

3y4 z3
+
2y5 − y4 + z3 + 1

3z4 x3
≤ xyz + 2
2z5 − z4 + x3 + 1
Proposed by Hoang Le Nhat Tung

5. Problem.
Let a, b, c be non-negative real numbers such that ab + bc + ca = 3. Prove that
bc + 2
ca + 2

ab + 2
+ 2
+ 2
≥3
2
a + bc b + ca c + ab
Proposed by Pham Quoc Sang

The art of Mathematics - TAoM

2


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic

6. Solution.
Bài tập 1. If a, b, c are non-negative real numbers such that 2a3 + 3b2 + c ≤

7
3
then a + b − c ≤ .
16
4

Proposed by Sladjan Stankovic
Using AM-GM inequality, we have
1 1 4 3 1 1
a + +
a = 4.a. . ≤
2 2 3

8 8
Ç

and

1
1
b = 4.b. ≤ 2 b2 +
4
16
2
−c ≤ c
3
Ç

å

å

4
1
= a3 +
3
3

= 2b2 +

1
8

So

ä
1
1 2
2Ä
11 3
4
≤ .
a + b − c ≤ a3 + + 2b2 + + c = 2a3 + 3b2 + c +
3
3
8 3
3
24 4
1 1
The equation holds ( a; b; c) = ( ; ; 0).
2 4
Nhận xét. Đây là bài toán khá cơ bản về kỹ thuật cân bằng hệ số. Khá nhiều bạn làm được câu
này.
Các bạn sau đây có lời giải tốt cho bài toán trên:

• Lê Trần Duy Anh.
Lớp 10, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội.
• Lê Khánh Huy.
Lớp 11 Toán 1, THPT chuyên Lương Văn Chánh, Tuy Hòa, Phú Yên.
• Nguyễn Quốc Anh.
Lớp 9A5, THCS Ngô Gia Tự, Hà Nội.
• Huỳnh Nguyên Phúc.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Chu Văn An, tỉnh Bình Định.

• Lê Đức Minh.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
• Nguyễn Đăng Khoa.
Lớp 9A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ.
• Trần Huy Hoàng.
Lớp 11, THPT số 1 Phù Mỹ , Bình Định.
• Đặng Tiến Dũng.
Lớp 9A1, THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc.
• Nguyễn Đoàn Anh Minh.
THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
The art of Mathematics - TAoM

3


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
• Nguyễn Lê Tùng Dương.
Hà Nội.
• Hoàng Phú.
THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu , Long Xuyên, An Giang.
• Hà Quang Minh.
Trường PTNK , ĐHQG TP Hồ Chí Minh.
• Cù Trọng Tèo (nick: FB)
Bình Phước.
• Svac xơ (nick: FB)
• Haru Seal.
• Nasal Nguyễn.
• Nguyễn Bá Hoàng Anh.
• Nguyễn Ngọc Hữu Ân.
• Quỳnh Nguyễn.

• Scott Thịnh.
Bài tập 2. Let x, y, z be positive real numbers such that xyz ( x + y + z) = 1. Prove that

2 ( x + z)
1 »
( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ √ 3 4 ( x 6 z6 + 1) +
( x + y) (y + z)
xz
Proposed by Le Minh Cuong
Letting

( x + y) (y + z) = xz +
We have

( x + z) xz +

2
1
−
xz xz +

( xz)2 +
LHS = ( x + z)

1
xz

1 »
≥ √ 3 4 ( x 6 z6 + 1)
xz

1
xz

1
2

√
( xz)
≥ 2 xz
1
xz +
xz

( xz)2 +

1

( xz)2
1
xz +
xz

We need show that
2

( xz) +

1

( xz)2
≥
1
xz +
xz

Œ
3

The art of Mathematics - TAoM

( xz)3 +
2

1

( xz)3

⇔ ( A − B)4 A2 + AB + B2 ≥ 0
Ä

ä

4


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
with
A = xz; B =

1
.
xz

The equation holds






1
√
xz
2 − 1.
⇔
x
=
z
=
1,
y
=
 xzy ( x + y + z ) = 1


 x=z
xz =

Nhận xét. Đây là một bài bất đẳng thức đối xứng 2 biến x, z. Điều kiện khá đẹp, chỉ cần tinh tế

đổi biến về xz sẽ giải quyết được bài toán.
Có 2 bạn đưa ra lời giải tốt cho bài toán này là:
• Lê Trần Duy Anh.
Lớp 10, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội.
• Nguyễn Lê Tùng Dương.
Bài tập 3. Let a, b, c be non-negative real numbers such that a2 + b2 + c2 + abc = 4. Prove that

x2 + y2 + z2 ≥ yza + zxb + xyc, ∀ x, y, z ∈ R.
Proposed by Le Khanh Sy
Since a2 + b2 + c2 + abc = 4, we have a, b, c ∈ [0; 2] so we letting
a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C.
Because,

cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2 cos A cos B cos C = 1.

So we need prove that
x2 + y2 + z2 ≥ 2yz cos A + 2yz cos B + 2xy cos C.
Or

( x − y cos C − z cos B)2 + (y sin C − z sin B)2 ≥ 0.

Nhận xét. Đây là một bài toán khá đẹp được xây dựng trên ý tưởng quen thuộc từ một đẳng
thức lượng giác.
Như vậy, ta có thể giải bài toán tổng quát sau: Nếu A, B, C là số đo ba góc của một tam giác, khi đó
với mọi số thực x, y, z ta có:
x2 + y2 + z2 ≥ 2yz cos A + 2yz cos B + 2xy cos C.
Các bạn sau đây có lời giải tốt cho bài toán:
• Lê Đức Minh.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
• Nguyễn Quốc Anh.

Học sinh lớp 10 trường THPT chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
The art of Mathematics - TAoM

5


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
• Huỳnh Nguyên Phúc.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Chu Văn An, tỉnh Bình Định.
• Hoàng Mẫn.
THCS Trần Phú, Thành Phố Vũng Tàu.
Bài tập 4. Let x, y, z be non-negative real numbers such that x2 + y2 + z2 + xyz = 4. Prove that
Ã

3x4 y3
+
2x5 − x4 + y3 + 1

Ã

3y4 z3
+
2y5 − y4 + z3 + 1

3z4 x3
≤ xyz + 2
2z5 − z4 + x3 + 1
Proposed by Hoang Le Nhat Tung

We have:

2x5 − x4 − 2x3 + 1 = 2x4 ( x − 1) + x3 ( x − 1) − x2 ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1)

= 2x4 + x3 − x2 − x − 1 ( x − 1)
Ä

ä

= 2x3 ( x − 1) + 3x2 ( x − 1) + 2x ( x − 1) + ( x − 1) . ( x − 1)
î

ó

= ( x − 1)2 2x3 + 3x2 + 2x + 1 ≥ 0; ∀ x > 0.
Ä

ä

So
»

2x5 − x4 − 2x3 + 1 ≥ 0 ⇒ 2x5 − x4 + y3 + 1 ≥ 2x3 + y3 = x3 + x3 + y3 ≥ 3. 3 x3 .x3 .y3 = 3x2 y.
Hence,
1
1
3x4 y3
3x4 y3
≤
⇔
≤
= x 2 y2 ⇔

2x5 − x4 + y3 + 1 3x2 y
2x5 − x4 + y3 + 1
3x2 y
Similar:

Ã

3y4 z3
≤ yz;
2y5 − y4 + z3 + 1

Ã

3x4 y3
≤ xy.
2x5 − x4 + y3 + 1

3z4 x3
≤ zx.
2z5 − z4 + x3 + 1

Therefore,
Ã

3x4 y3
+
2x5 − x4 + y3 + 1

Ã

3y4 z3
+
2y5 − y4 + z3 + 1

3z4 x3
≤ xy + yz + zx. (1)
2z5 − z4 + x3 + 1

Supposed,

( x − 1) (y − 1) ≥ 0 ⇒ z ( x − 1) (y − 1) ≥ 0 ⇔ xyz − xz − yz + z ≥ 0 ⇔ xyz ≥ xz + yz − z. (2)
We will prove:
xz + yz − z ≥ xy + yz + zx − 2 ⇔ z + xy ≤ 2. (3)
We have,

x2 + y2 + z2 + xyz = 4 ⇔ z2 + z.xy + x2 + y2 − 4 = 0.
Ä

ä

∆ = ( xy)2 − 4 x2 + y2 − 4 = x2 y2 − 4x2 − 4y2 + 16 = 4 − x2
Ä

The art of Mathematics - TAoM

ä

Ä

äÄ

4 − y2 .
ä

6


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
So
z=

− xy +

»

xy +
(4 − x 2 ) (4 − y2 )
⇒ xy + z =
2

»

»
(4 − x 2 ) (4 − y2 )
≤ 2 ⇔ xy + (4 − x2 ) (4 − y2 ) ≤ 4.
2

Hence,
»

(4 − x2 ) (4 − y2 ) ≤ 4 − xy ⇔ x2 y2 − 4 x2 + y2 + 16 ≤ x2 y2 − 8xy + 16.
Ä

Or

ä

4 x2 + y2 − 2xy ≥ 0 ⇔ 4( x − y)2 ≥ 0.
Ä

ä

The last inequality is true, so (3) true.
Since (2), (3), we have
xy + yz + zx ≤ xyz + 2, (4)
From (1), (4), we have
Ã

3x4 y3
+
2x5 − x4 + y3 + 1

Ã

3y4 z3
+
2y5 − y4 + z3 + 1

3z4 x3
≤ xyz + 2.

2z5 − z4 + x3 + 1

Equality occurs if:










x, y, z > 0; x2 + y2 + z2 + xyz = 4
x−1=y−1=z−1=0
⇔ x = y = z = 1.
( x − 1) ( y − 1) = 0
x=y

Nhận xét. Có khá nhiều bạn gửi lời giải bài toán này, đa phần lời giải của các bạn gửi tới đều đi
đúng hướng, tương tự với lời giải của tác giả. Tức là sử dụng BĐT AM-GM hoặc Bunhiacopxki
chứng minh bất đẳng thức trên qua 1 bất đẳng thức trung gian. Việc chứng minh bất đẳng thức:
xy + yz + zx ≤ xyz + 2
có nhiều cách, hoặc là sử dụng lượng giác, hoặc là sử dụng nguyên lí Dirichle để đánh giá ( đã
từng nằm trong 1 đề thi ). Ý tưởng bài toán này không khó nhưng việc nhìn ra và chứng minh
BĐT còn lại là điều không dễ. Nhiều bạn có lời giải còn khá dài dòng nhưng nhìn chung đều
đúng và biết vận dụng các kĩ thuật nói trên.
Các bạn sau đây có lời giải tốt cho bài toán trên:
• Lê Trần Duy Anh.
Lớp 10, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội.

• Lê Khánh Huy.
Lớp 11 Toán 1, THPT chuyên Lương Văn Chánh, Tuy Hòa, Phú Yên.
• Nguyễn Quốc Anh.
Lớp 9A5, THCS Ngô Gia Tự, Hà Nội.
• Huỳnh Nguyên Phúc.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Chu Văn An, tỉnh Bình Định.
The art of Mathematics - TAoM

7


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
• Lê Đức Minh.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
• Nguyễn Đăng Khoa.
Lớp 9A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ.
• Trần Huy Hoàng.
Lớp 11, THPT số 1 Phù Mỹ , Bình Định.
• Đặng Tiến Dũng.
Lớp 9A1, THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc.
• Nguyễn Đoàn Anh Minh.
THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
• Nguyễn Lê Tùng Dương.
Hà Nội.
• Hoàng Phú.
THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu , Long Xuyên, An Giang.
• Hà Quang Minh.
Trường PTNK , ĐHQG TP Hồ Chí Minh.
• Cù Trọng Tèo (nick: FB)
Bình Phước.

• Svac xơ (nick: FB)
Bài tập 5. Let a, b, c be non-negative real numbers such that ab + bc + ca = 3. Prove that

ca + 2
ab + 2
bc + 2
+ 2
+ 2
≥3
2
a + bc b + ca c + ab
Proposed by Pham Quoc Sang
Assume that c = min{ a; b; c}.
Cause 1: c = 0. The inequality is evanlent to
2
2
ab + 2
+
+
≥3
a2 b2
ab
Ussing AM-GM, we have
2
2
ab + 2
4
ab + 2
ab + 6
+ 2+

≥
+
=
2
a
b
ab
ab
ab
ab
So we need prove that
ab + 6
≥ 3 ⇔ ab ≤ 3 (∗)
ab
But since
ab + bc + ca = 3 ⇒ ab = 3 − bc − ca ≤ 3
The art of Mathematics - TAoM

8


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
So

2
ab + 2
2
+ 2+
≥3
2

a
b
ab
Cause 2: c > 0. The inequality is evanlent to
bc
ca
ab
1
1
1
+ 2
+ 2
+2 2
+ 2
+ 2
2
a + bc b + ca c + ab
a + bc b + ca c + ab
Ç

å

≥3

Applying Cauchy - Schawrz, we have
bc
ca
ab
( ab + bc + ca)2
+

+
≥
a2 + bc b2 + ca c2 + ab
abc ( a + b + c) + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2

≥

( ab + bc + ca)2
a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc ( a + b + c)

=

( ab + bc + ca)2
= 1.
( ab + bc + ca)2

Now, we prove that
a2
Or

1
1
1
+ 2
+ 2
≥1
+ bc b + ca c + ab

ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
+

+
≥3
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab

We have

ab + bc + ca
a (b + c − a)
=1+
2
a + bc
a2 + bc

So we prove that
a (b + c − a) b (c + a − b) c ( a + b − c)
+
+
≥0
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
On the other hand, we have a + b − c > 0, so we need prove that
a (b + c − a) b (c + a − b)
+
≥ 0.
a2 + bc
b2 + ca
We can write the inequality as

( a − b)2 ( a − c) (b − c) + abc ( a + b + 2c) ≥ 0.
The last inequality is obviously true.
So
bc + 2
ca + 2
ab + 2
+ 2
+ 2
≥3
2
a + bc b + ca c + ab
√
The equality holds for a = 0 and b = c = 3 (or any cyclic permutation thereof).
Nhận xét. Đây là bài toán khá đẹp và khó. Bài toán có thể được tiếp cận bởi nhiều hướng như
dồn biến, đổi biến, pqr, v.v..
Chỉ có 2 bạn đưa ra lời giải tốt cho bài toán này:
The art of Mathematics - TAoM

9


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
• Huỳnh Nguyên Phúc.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Chu Văn An, tỉnh Bình Định.
• Lê Đức Minh.
Lớp 10 chuyên toán, trường THPT chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
Ngoài ra, chúng tôi còn nhận một lời giải khá tốt từ bạn Nguyễn Đức Việt (Lớp 10 trường THPT
Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc) như sau:
Đặt

a(b + c) b(c + a) c( a + b)
A= 2
+ 2
+ 2
,
a + bc
b + ca
c + ab
ca
ab
bc
B= 2
+ 2
+ 2
.
a + bc b + ca c + ab
5
2
Bài toán tương đương với: A + B ≥ 3, vậy ta sẽ chứng minh A ≥ 2 và B ≥ 1. Không mất tính
3
3
tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c. Ta sẽ chứng minh rằng:
a(b + c) c( a + b)
b2 + ca
+ 2
≥
.
a2 + bc
c + ab
b(c + a)

Xét:

a(b + c)
b2 + ca
c( a + b)
−c( a + b)( a − b)2 c( a + b)
−
+ 2
=
+ 2
a2 + bc
b(c + a)
c + ab
b(c + a)( a2 + bc)
c + ab

≥

−c( a + b)( a − b)2 c( a + b) c( a + b) b(c + 2a − b)
+ 2
= 2
.
≥ 0.
(c2 + ab)( a2 + bc)
c + ab
c + ab
a2 + bc

Do đó,
A≥

b(c + a)
b2 + ca
+ 2
≥ 2.
b(c + a)
b + ca

Nếu c = 0 thì ta đưa bài toán như cách ban đầu.
Nếu c > 0 thì áp dụng bất đẳng thức Schwarzt, ta có:

( ab + bc + ca)2
≥ 1.
bc( a2 + bc) + ca(b2 + ca) + ab(c2 + ab)
√
Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi c = 0, a = b = 3.
Ngoài ra, ta có thể làm chặt bất đẳng thức trên như sau:
Let a, b, c be non-negative real numbers such that ab + bc + ca = 3. Prove that
B≥

bc + 2
ca + 2
ab + 2
16a2 b2 c2
+
+
≥
3
+
a2 + bc b2 + ca c2 + ab

3 ( a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab)

The art of Mathematics - TAoM

10


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic

7. Các hoạt động sắp tới của nhóm TAoM.
7.1 Tổ chức các cuộc thi chuẩn bị VMO 2019
• Bài kiểm tra chuyên đề Giải Tích (dãy số - phương trình hàm - đa thức - liên tục,..). Lịch
dự kiến vào cuối tháng 7/2018.
• Bài kiểm tra chuyên đề Số học - Tổ hợp. Lịch dự kiến vào cuối tháng 8/2018.
• Bài kiểm tra chuyên đề Hình học phẳng. Lịch dự kiến vào cuối tháng 9/2018.
• Bài kiểm tra chuyên đề Đại Số (phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, cực trị,..).
Lịch dự kiến vào cuối tháng 10/2018.
7.2 Lời mời tham gia vào ban ra đề
Hiện nhóm đang có lời mời đến các thầy cô đang dạy chuyên toán hay các bạn sinh viên ngành
toán tham gia vào ban ra đề trong các chuyên đề trên.
Tất cả các bài toán Chính Thức của các bài kiểm tra sẽ được đưa vào cuốn sách Vẻ đẹp của toán
học qua các kì thi HSG cấp THPT với tên của người sáng tác.
Những bạn có lời giải hay sẽ được đưa lời giải của mình vào cuốn sách cùng với tên của người
giải.
7.3 Lời mời tham gia bài kiểm tra
• Đối tượng: Tất cả học sinh trên cả nước.
• Hình thức đăng kí: Đăng kí theo cá nhân hoặc theo TEAM (mỗi TEAM nhiều nhất 2 học
sinh).
• Thời gian đăng kí: 19h ngày 21/7/2018 (chúng tôi sẽ thông báo vào ngày 21/7/2018).

8. Mô tả về nhóm TAoM - The art of Mathematics.
8.1 TAoM là nhóm được thành lập nhằm mục đích
• Tạo điều kiện để mọi người chia sẻ các bài toán do chính mình sáng tác với mọi người.
• Tạo môi trường học tập trao đổi chuyên môn giữa các học sinh, giáo viên chuyên toán trên
cả nước.
• Nhóm luôn đồng hành cùng các cuộc thi học sinh giỏi như kì thi vào THPT chuyên, HSG 9
cấp tỉnh, kì thi chọn đội tuyển VMO và kì thi VMO.
8.2 Hiện nhóm TAoM bao gồm 3 quản trị viên chính
• Phạm Quốc Sang.
• Lê Minh Cường.
• Phạm Hữu Hiệp.
Ngoài ra, nhóm tập trung rất nhiều thầy cô, học sinh chuyên toán đến từ các trường chuyên trên
cả nước.
The art of Mathematics - TAoM

11


Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Lê Khánh Sỹ - Hoàng Lê Nhật Tùng - Sladjan Stankovic
8.3 Nhóm TAoM đến nay có 1 trang và 2 nhóm chính.
Bao gồm:
• Trang The art of Mathematics - đây là nơi lưu trữ các tài liệu mà nhóm đã biên soạn cũng
như các sản phẩm của nhóm.
• Nhóm The art of Mathematics - Trao đổi toán học - đây là nhóm mở cho cộng đồng
chuyên toán trên cả nước. Là nơi giao lưu trao đổi các bài toán do chính mình sáng tác và
các bài toán hay từ các kì thi HSG các cấp.
• Nhóm Toán Chuyên 2k4 là nhóm mà chúng tôi thực hiện dạy kháo tự học TAoM hoàn
toàn miễn phí cho các bạn có dự định thi HSG tỉnh 9 hay luyện thi vào 10 chuyên toán.
Chúng tôi hy vọng rằng, khóa học sẽ giúp đỡ phần nào đối với các bạn vùng sâu - vùng xa,
các bạn có hoàn cảnh khó khăn được tiếp cận những kiến thức mới nhất từ các kì thi HSG

ở Việt Nam cũng như thế giới.

The art of Mathematics - TAoM

12