luận văn thạc sĩ TIÊU CHUẨN về ĐAN r¨i CHO hệ BA MODE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

LÊ THANH TUẤN

TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI
CHO HỆ BA MODE
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số

: 60 44 01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2010
i


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã trình bày, các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tính
toán lượng tử và thông tin lượng tử. Tuy nhiên, giới hạn giữa các trạng thái bị
rối và các trạng thái chia tách được vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưng
của trạng thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác. Có
thể nói những tiêu chuẩn của Horodecki và Peres đã làm tiền đề cho việc tìm

kiếm các tiêu chuẩn phát hiện rối trong các hệ sau này, trong đó có tiêu chuẩn
đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Hai ông xây dựng
hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển
vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đan
rối trong các hệ hai mode. Về nguyên tắc, các đại lượng có mặt trong bất đẳng
thức và độ bất định của chúng là có thể đo lường được, do đó các điều kiện mà
hai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện rối trong phòng thí nghiệm.
Ở đây các điều kiện được biểu diễn trong các số hạng của biến liên tục dẫn
đến một họ các điều kiện khác cho việc phát hiện rối.
Vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu hút được sự chú
ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và những ứng dụng cực
kỳ to lớn của nó. Được sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Đức, tôi đã tìm
hiểu những vấn đề liên quan về rối và thấy đây là một đề tài thực sự hấp dẫn.
Trên cơ sở những tài liệu đã tìm hiểu, tôi chọn đề tài "TIÊU CHUẨN MỚI
VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE", với mong muốn tìm ra những tiêu chuẩn
mới để phát hiện rối trong các hệ ba mode và áp dụng những tiêu chuẩn đó
nghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển.
1


2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu tiêu chuẩn mới về
đan rối cho hệ ba mode, sau đó áp dụng tiêu chuẩn mới tìm được để nghiên
cứu tính chất rối của một số trạng thái ba mode phi cổ điển như trạng thái
|GHZ , trạng thái chân không bị nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ nhũng mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu
cụ thể như sau:
• Trình bày những vấn đề chung liên quan đến rối lượng tử.

• Giới thiệu về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và
Asoka Biswas.
• Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.
• Áp dụng các tiêu chuẩn tìm được để dò tìm đan rối đối với một số trạng
thái phi cổ điển.

4. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và đưa ra tiêu chuẩn
mới về đan rối cho hệ ba mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu tính chất
đan rối của một số trạng thái phi cổ điển.

5. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu
lý thuyết, cụ thể sử dụng kiến thức các môn học như cơ lượng tử, lý thuyết
2


trường lượng tử, vật lý thống kê... để xây dựng các bất đẳng thức và tính các
trị trung bình.
Để thực hiện tính toán, đề tài sử dụng phần mềm tính toán và vẽ đồ thị
Mathematica.

6. Bố cục luận văn
Sau phần mở đầu, luận văn được tiếp tục bằng Chương 1. Chương này
trình bày một số vấn đề tổng quan như ma trận mật độ, trạng thái thuần và
trạng thái hỗn hợp, tiêu chuẩn chia tách được của trạng thái hỗn hợp, chuyển
vị từng phần, một số trạng thái phi cổ điển. Trong Chương 2 trình bày về tiêu
chuẩn đan rối trong các hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas, quá
trình xây dựng và đưa ra tiêu chuẩn đan rối mới trong các hệ ba mode. Trong
Chương 3 chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn tìm được để nghiên cứu tính chất rối

trong một số trạng thái phi cổ điển. Phần kết luận tóm tắt các kết quả chính
của luận văn, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo... Cuối cùng là phần Tài liệu
tham khảo và Phụ lục.
Các kết quả chính của Luận văn được thể hiện trong bài báo đã được
nhận đăng trong tạp chí Khoa học và Giáo dục của trường Đại học Sư phạm
- Đại học Huế.

3


NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
1.1.

Ma trận mật độ

Đối với một hệ vật lý đã cho, tồn tại một vectơ trạng thái Ψ chứa các
thông tin có thể có về hệ. Muốn biết được các thông tin về đại lượng động lực
A, ta phải tính toán giá trị trung bình của toán tử A tương ứng trong trạng
thái của hệ như sau:
A = Ψ|A|Ψ .

(1.1)

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ
mà chỉ biết được xác suất PΨ để hệ ở trạng thái Ψ. Trong trường hợp đó, ta
không chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợp
thống kê. Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có
pi Ψi |A|Ψi ,

A =

(1.2)

i

với
i

pi = 1.

Nếu ta định nghĩa toán tử ma trận mật độ như sau:
ρ=

|Ψ PΨ Ψ| =
ψ

PΨ |Ψ Ψ| ,

(1.3)

ψ

thì giá trị trung bình trong (1.2) có thể được biểu diễn bằng ma trận mật độ
như sau:
A = T r(ρA).
4

1.2.

Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp

1.2.1.

Trạng thái thuần (pure state)

Nếu một hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác
giữa hệ với trường ngoài đã biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử được
gọi là trạng thái pure, còn gọi là trạng thái thuần, trạng thái sạch hoặc trạng
thái tinh khiết. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng thái
thuần" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này. Lúc đó giá trị trung
bình của một đại lượng được tính theo công thức (1.1).
Trong trường hợp này, tất cả PΨ = 0 ngoại trừ trạng thái Ψ0 , do đó ma
trận mật độ có dạng
ρ = |Ψ0 Ψ0 |.

(1.4)

Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau
Tính chất 1:

A = T r(ρA), với

Tính chất 2:

T r(ρ) = 1.

Tính chất 3:

ρ2 = ρ,

Tính chất 4:

ρ = ρ+ .

1.2.2.

T rX =

l

l|X|l .

T r(ρ2 ) = 1.

Trạng thái hỗn hợp (mixed state)

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh không
xác định được một cách chính xác, khi đó chúng ta không thể giải phương trình
Schrodinger để xác định hàm sóng của hệ, do đó trạng thái của hệ được gọi là
trạng thái mixed. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng thái
hỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này. Để mô tả hệ lượng
5


tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét (gọi là hệ con) và
các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn). Khi đó ta có thể dùng khái
niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín. Giá trị trung bình của một đại

lượng của hệ con được tính theo công thức (1.2).
Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau
Tính chất 1:

A = T r(ρA).

Tính chất 2:

T r(ρ) = 1.

Tính chất 3:

ρ2 = ρ,

Tính chất 4:

ρ = ρ+ .

T r(ρ2 ) < 1.

Như vậy, tiêu chuẩn để nhận biết một trạng thái là thuần hay hỗn hợp là
T r(ρ2 ) = 1 hay T r(ρ2 ) < 1.

1.3.

Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một điều kiện cần cho sự chia tách
được đó là ma trận mật độ thu được từ phép chuyển vị từng phần với các giá
trị riêng không âm. Điều kiện này thu được từ phép kiểm tra đại số đơn giản

như sau:
Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ con trong không gian Hilbert H = H1 ⊗H2
là chia tách được nếu ma trận mật độ ρ của nó được viết dưới dạng
∞

ρ=

pA ρA ⊗ ρA ,

(1.5)

A=1

với ρA và ρA lần lượt là ma trận mật độ của hai hệ con trong không gian H1 ,
H2 và pA thỏa mãn điều kiện

∞
A=1

pA = 1. Như vậy, một hệ lượng tử được cho

là bị rối nếu toán tử ma trận mật độ của chúng không chia tách được, tức là
không thể biểu diễn dưới dạng tổng lồi của các toán tử ma trận mật độ ρA và
6


ρA của hai hệ lượng tử như trên (1.13).
Một hệ chia tách được thì luôn luôn thỏa mãn bất đẳng thức Bell, nhưng
điều ngược lại thì không nhất thiết lúc nào cũng đúng. Thật vậy, để tồn tại cho
sự phân tích (1.13), chúng tôi sẽ sử dụng cách kiểm tra đại số như sau. Viết lại

điều kiện tách (1.13) dưới dạng các yếu tố của ma trận một cách tường minh
với tất cả các chỉ số của chúng. Phương trình (1.13) trở thành
∞

ρmµ,nν =

pA (ρA )mn ⊗ (ρA )µν ,

(1.6)

A=1

với các chỉ số m, n quy ước gán cho hệ con thứ nhất, các chỉ số µ, ν quy ước
gán cho hệ con thứ hai, hai hệ này có thể khác nhau về số chiều. Chú ý rằng
phương trình này có thể thỏa mãn nếu ta thay các ma trận mật độ lượng tử
bằng các hàm Lioville cổ điển (còn các chỉ số gián đoạn được thay bằng các
biến p và q). Nguyên nhân chỉ là do sự ràng buộc rằng một hàm Lioville phải
thỏa mãn điều kiện không âm. Điều chúng ta muốn là ma trận mật độ lượng
tử có giá trị riêng không âm, và điều kiện này sẽ khó thỏa mãn hơn.
Bây giờ ta định nghĩa một ma trận mới
σmµ,nν ≡ ρmµ,nν ,

(1.7)

ở đây các chỉ số m và n đã bị hoán vị, nhưng các chỉ số µ và ν thì không. Đây
không phải là phép biến đổi Unita, nhưng ma trận σ là một ma trận Hermite.
Khi phương trình (1.13) có giá trị thì
∞

pA (ρA )T ⊗ ρA .

σ=

(1.8)

A=1

Vì ma trận chuyển vị (ρA )T ≡ (ρA )∗ là các ma trận không âm với vết bằng đơn
vị nên chúng cũng có thể là ma trận mật độ hợp quy luật, tức là không có trị
riêng nào của σ là âm. Đây là điều kiện cần để phương trình (1.13) đúng.
7


Chú ý rằng, các trị riêng của σ là bất biến dưới phép biến đổi Unita với
U và U là các cơ sở. Ta có
ρ −→ (U

T

⊗ U )ρ(U

T

⊗ U )+ ,

(1.9)

σ −→ (U

T

⊗ U )σ(U

T

⊗ U )+ ,

(1.10)

thế thì

cũng là phép biến đổi Unita, chuyển dời các trị riêng bất biến của σ.
Tiêu chuẩn này mạnh hơn bất đẳng thức Bell hay mạnh hơn bất đẳng
thức entropy − α, nó được chứng minh qua hai ví dụ trong [?].

1.4.

Chuyển vị từng phần

Xét trường hợp đơn mode trong biểu diễn toạ độ
ρ=

dxdx ρxx |x x |,

(1.11)

trong đó xˆ|x = x|x .
Toán tử toạ độ xˆ và toán tử mômen xung lượng được định nghĩa qua hệ
thức a =

x
ˆ√
+iˆ
p
2

và a+ =

x
ˆ√
−iˆ
p
.
2

Hàm CρT (λ) ≡ T r{ρT D(λ)} là hàm đặc trưng cho toán tử mật độ ρ. Còn
hàm đặc trưng cho toán tử mật độ chuyển vị ρT =

dxdx ρxx |x

x| được đưa

ra bởi
CρT (λ) ≡

dxdx ρxx |x D(λ)x |

=

∗

(1.12)
∗

dxdx ρxx |x D(−λ )x | = Cρ (−λ ),

ở đây CρT (λ) là hàm đặc trưng của trạng thái ban đầu và D(λ) = eλa
8

+

−λ∗ a

là


toán tử dịch chuyển. Vì vậy ρT có mối quan hệ với ρ là:

1
π2
1
= 2
π

d2 reαλ

WρT (α, s) =

2

d re

∗

−α∗ λ

αλ∗ −α∗ λ

2

.es|λ|

/2

s|λ|2 /2

.e

CρT (λ)
∗

(1.13)
∗

Cρ (−λ ) = Wρ (α , s).

Xét trong biểu diễn GlauberP (s = 1). Toán tử mônmen a+m an

ρT

của toán tử

mật độ chuyển vị được đưa ra từ mômen trạng thái ban đầu,

a+m an

ρT

=

d2 αα∗m αn PρT (αx , αy )

=

d2 αα∗m αn Pρ (αx , −αy )

=

d2 ααm α∗n Pρ (αx , αy ) = a+n am ρ .

(1.14)

Mở rộng kết quả phép chuyển vị từng từng phần cho trạng thái đa mode. Ví
dụ trong trường hợp chuyển vị từng phần cho mode b, ta có

a+m an b+p bq

ρP T

= a+m an b+q bp ρ .

1.5.

Một số trạng thái phi cổ điển ba mode

1.5.1.

Trạng thái |GHZ

(1.15)

Trạng thái |GHZ , được nghiên cứu lần đầu tiên bởi D. Greenberger, MA
Horne và Anton Zeilinger năm 1989. Đây là một trạng thái phi cổ điển, bị rối
9


và gồm tám trạng thái sau:
1
|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1

|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1
|GHZ = √ (|0
2
1.5.2.

|0 |0 + |1 |1 |1 ),

(1.16)

|0 |0 − |1 |1 |1 ),

(1.17)

|0 |1 + |1 |1 |0 ),

(1.18)

|0 |1 − |1 |1 |0 ),

(1.19)

|1 |0 + |1 |0 |1 ),

(1.20)

|1 |0 − |1 |0 |1 ),

(1.21)

|1 |1 + |1 |0 |0 ),

(1.22)

|1 |1 − |1 |0 |0 ).

(1.23)

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock, được định
nghĩa như sau:
∞
2 1/2

xn |n a |n b |n c ,

|ψ = (1 − x )

(1.24)

n=0

trong đó 0 ≤ x ≤ 1, |n a , |n

1.5.3.

b

và |n

c

là các trạng thái Fock.

Trạng thái kết hợp bộ ba

Trạng thái kết hợp bộ ba được đưa ra bởi TS. Trương Minh Đức năm
2005. Từ trạng thái kết hợp cặp |ξ, q , với hai toán tử hủy boson a và b tương
ứng với hai mode độc lập nhau, ta có
ab|ξ, q = ξ|ξ, q ,

(a+ a − b+ b)|ξ, q = q|ξ, q ,

trong đó ξ = r.eiφ với r và φ là thực, q là một số nguyên không âm.
10

(1.25)


Bây giờ đối với ba toán tử hủy boson a, b, c tương ứng với ba mode độc
lập với nhau, một trạng thái mới gọi là trạng thái kết hợp bộ ba |ξ, p, q được
định nghĩa như sau:

abc|ξ, p, q = ξ|ξ, p, q ,
(Na − Nb )|ξ, p, q = p|ξ, p, q ,
(Nb − Nc )|ξ, p, q = q|ξ, p, q ,
trong đó ξ = r.eiφ với r, φ là thực và q, p là một số nguyên không âm và toán
tử số hạt Nx = x+ x. Khi khai triển thông qua trạng thái Fock |n thì trạng
thái kết hợp bộ ba được biểu diễn dưới dạng
∞
2

|ξ, p, q = ℵp+q,q (r )
n=0

ξn
(n + p + q)!(n + q)!n!

×|n + p + q a |n + q b |n c ,

(1.26)

trong đó trạng thái Fock được hiểu là
a+ a|m1 , m2 , m3 = m1 |m1 , m2 , m3 ,
b+ b|m1 , m2 , m3 = m2 |m1 , m2 , m3 ,
c+ c|m1 , m2 , m3 = m3 |m1 , m2 , m3 .
Hệ số ℵp+q,q (r2 ) được xác định bởi điều kiện chuẩn hóa, từ đó
∞

2
ℵ−2
p+q,q (r )

r2n
=
.
n!(n + q)!(n + p + q)!
n=0

11

(1.27)


Chương 2
TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI
CHO HỆ BA MODE
2.1.

Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của
Agarwal G. S. và Asoka Biswas

Xuất phát từ các toán tử được định nghĩa như sau:
a+ b + ab+
Sx =
,
2
a+ b − ab+
,
Sy =
2i
a+ a + b+ b
Sz =

,
2

(2.1)

Sử dụng hệ thức bất định cho các toán tử trên và phép chuyển vị từng phần
cho hệ con thứ hai b ↔ b+ , ta được
a+ abb+ + aa+ b+ b + a+2 b+2 + a2 b2 − a+ b+ + ab
×

2

a+ abb+ + aa+ b+ b − a+2 b+2 − a2 b2 + a+ b+ − ab

2

(2.2)

≥ | a+ a − b+ b |2 .
Tương tự, với các toán tử được định nghĩa như sau:
a+ b+ + ab
,
2
a+ b+ − ab
,
Ky =
2i
a+ a + b+ b + 1
Kz =
.

2

Kx =

12

(2.3)


Cách làm tương tự như trên, ta có
a+ ab+ b + aa+ bb+ + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+
×

2

a+ ab+ b + aa+ bb+ − a+2 b2 − a2 b+2 + a+ b − ab+

≥ | a+ a + bb+ |2 .

2

(2.4)

Bất đẳng thức (2.2) và (2.4) được gọi là tiêu chuẩn đan rối của Agarwal G.
S và Asoka Biswas. Nếu một trạng thái hai mode bị rối khi nó vi phạm một
trong hai bất đẳng thức trên.

2.2.

Tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode

Xuất phát từ tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và

Asoka Biswas, ở phần này tôi đưa ra các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn
để phát hiện rối trong các hệ ba mode. Xét ba mode của trường điện từ, với
(a, a+ ), (b, b+ ), (c, c+ ) lần lượt là các toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ
nhất, mode thứ hai và mode thứ ba. Ta định nghĩa các toán tử sau:
a+ bc + ab+ c+
,
2
a+ bc − ab+ c+
Iy =
,
2i
a+ a + a+ ab+ b + a+ ac+ c − b+ bc+ c
.
Iz =
2

Ix =

(2.5)

Các toán tử Ii tuân theo hệ thức bất định
a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c + a+2 b2 c2 + a2 b+2 c+2 − a+ bc + ab+ c+

2

× a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c − a+2 b2 c2 − a2 b+2 c+2 + a+ bc − ab+ c+

2

≥ | a+ a + a+ ab+ b + a+ ac+ c − b+ bc+ c |2 .
(2.6)
13


Bất đẳng thức này xuất phát từ hệ thức bất định nên nó luôn luôn thỏa mãn
đối với mọi trạng thái. Để nghiên cứu tính chất rối của một trạng thái nào đó
ta sử dụng phép chuyển vị từng phần. Thực hiện phép chuyển vị từng phần
đối với hệ con thứ nhất (a ↔ a+ ), hệ con thứ hai (b ↔ b+ ) và hệ con thứ ba
(c ↔ c+ ) ta có một lớp các bất đẳng thức sau:
a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c + a2 b2 c2 + a+2 b+2 c+2 − abc + a+ b+ c+

2

× a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c − a2 b2 c2 − a+2 b+2 c+2 + abc − a+ b+ c+

2

≥ | a+ a + a+ ab+ b + a+ ac+ c − b+ bc+ c |2 ,
(2.7)

a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c + a+2 b+2 c2 + a2 b2 c+2 − a+ b+ c + abc+

2

× a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c − a+2 b+2 c2 − a2 b2 c+2 + a+ b+ c − abc+

2

≥ | a+ a + a+ ab+ b + a+ ac+ c − b+ bc+ c |2 ,
(2.8)

a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c + a+2 b2 c+2 + a2 b+2 c2 − a+ bc+ + ab+ c

2

× a+ abb+ cc+ + aa+ b+ bc+ c − a+2 b2 c+2 − a2 b+2 c2 + a+ bc+ − ab+ c

2

≥ | a+ a + a+ ab+ b + a+ ac+ c − b+ bc+ c |2 .
(2.9)
Tiếp theo, ta xét các toán tử trong biểu diễn đại số SU (1, 1). Ta định
nghĩa các toán tử như sau:
a+ b+ c+ + abc
,
2
a+ b+ c+ − abc
,
Jy =
2i
a+ a + b+ b + c+ c + a+ ab+ b + b+ bc+ c + c+ ca+ a + 1
Jz =
.
2

Jx =

14

(2.10)


Cách làm tương tự như trên, ta có được các bất đẳng thức sau:
a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ + a2 b+2 c+2 + a+2 b2 c2 − ab+ c+ + a+ bc

2

× a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ − a2 b+2 c+2 − a+2 b2 c2 + ab+ c+ − a+ bc

2

≥ | a+ a + b+ b + c+ c + a+ ab+ b + b+ bc+ c + c+ ca+ a + 1 |2 ,
(2.11)
a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ + a+2 b2 c+2 + a2 b+2 c2 − a+ bc+ + ab+ c

2

× a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ − a+2 b2 c+2 − a2 b+2 c2 + a+ bc+ − ab+ c

2

≥ | a+ a + b+ b + c+ c + a+ ab+ b + b+ bc+ c + c+ ca+ a + 1|2 ,
(2.12)
a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ + a+2 b+2 c2 + a2 b2 c+2 − a+ bc + abc+

2

× a+ ab+ bc+ c + aa+ bb+ cc+ − a+2 b+2 c2 − a2 b2 c+2 + a+ b+ c − abc+

2

≥ | a+ a + b+ b + c+ c + a+ ab+ b + b+ bc+ c + c+ ca+ a + 1|2 .
(2.13)
Như vậy, ở phần này chúng tôi đã đưa ra được hai lớp bất đẳng thức: lớp
bất đẳng thúc thứ nhất gồm các bất đẳng thức (2.7), (2.8) và (2.8), lớp bất
đẳng thức thứ hai gồm các bất đẳng thức (2.11), (2.12) và (2.13). Nếu một
trạng thái ba mode vi phạm bất đẳng thức (2.7) hoặc (2.11) thì trạng thái đó
sẽ bị rối giữa phần A với phần còn lại BC, nếu vi phạm bất đẳng thức (2.8)
hoặc (2.12) thì trạng thái đó sẽ bị rối giữa phần B với phần còn lại AC, tương
tự với bất đẳng thức (2.9) hoặc (2.13) thì sẽ bị rối giữa phần C với phần AB.
Nếu một trạng thái vi phạm đồng thời ba bất đẳng thức (2.7), (2.8) và (2.9)
hoặc (2.11), (2.12) và (2.13) trên thì trạng thái đó sẽ bị rối hoàn toàn. Vì vậy,
các lớp bất đẳng thức mà chúng tôi đã đưa ra ở trên được gọi là tiêu chuẩn để
dò tìm đan rối trong các hệ ba thành phần.
15


Chương 3
NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI
CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN
Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng các tiêu chuẩn đã được đưa ra
ở Chương 2 cho trường hợp hệ là một trạng thái ba thành phần A, B và C
của hệ lần lượt tương ứng với ba mode a, b và c của trạng thái đó để kiểm tra
tính chất rối của hệ. Các trạng thái mà chúng tôi nghiên cứu trong chương này
đó là trạng thái |GHZ , trạng thái chân không bị nén ba mode trong không
gian Fock và trạng thái kết hợp bộ ba. Dựa vào các tiêu chuẩn phát hiện rối ở
Chương hai, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các trạng thái trên là bị rối (có thể là bị
rối một phần hoặc rối hoàn toàn).

3.1.

Trạng thái |GHZ
Trạng thái |GHZ gồm tám trạng thái đã được nêu ra ở Chương 1, ở

phần này chúng tôi chỉ nghiên cứu tính chất rối của trạng thái
1
|GHZ = √ (|0 |0 |1 + |1 |1 |0 ).
2

(3.1)

Tính các số hạng có trong lớp các bất đẳng thức nhất và thứ hai, ta có
aa+ b+ bc+ c = 0,

a+ abb+ cc+ = 1,

aa+ bb+ cc+ = 3,

(3.2)

abc + a+ b+ c+

2

= 0,

abc − a+ b+ c+

2

= 0,

a+ b+ c + abc+

2

= 1,

(3.3)

a+ b+ c − abc+

2

= 0,

a+ bc+ + ab+ c

2

= 0,

a+ bc+ − ab+ c

2

= 0,

(3.4)

16


ab+ c+ + a+ bc

2

ab+ c+ − a+ bc

= 0,

2

= 0.

(3.5)

Thay các kết quả trên vào lớp bất đẳng thức thứ nhất, ta có

1 1
+ + 0 − 0 ⇔ 1 ≥ 1,
2 2
1 1
1 + 0 + 0 + 0 − 1 × 1 + 0 − 0 − 0 + 0 ≥ + + 0 − 0 ⇔ 0 ≥ 1,
2 2
1 1
1 + 0 + 0 + 0 − 0 × 1 + 0 − 0 − 0 + 0 ≥ + + 0 − 0 ⇔ 1 ≥ 1.
2 2

1+0+0+0−0 × 1+0−0−0+0 ≥

(3.6)
(3.7)
(3.8)

Từ kết quả trên, ta thấy bất đẳng thức (3.7) bị vi phạm. Như vậy, trạng thái
|GHZ ở (3.1) bị rối giữa phần B với phần AC theo điều kiện (2.8).
Tương tự, đối với lớp bất đẳng thức thứ hai, ta có

0+3+0+0−0 × 0+3−0−0+0 ≥

1 1 1 1
+ + + +0+0+1
2 2 2 2

⇔ 9 ≥ 9,
0+3+0+0−0 × 0+3−0−0+0 ≥

0+3+0+0−1 × 0+3−0−0+0 ≥

(3.9)

1 1 1 1
+ + + +0+0+1
2 2 2 2

⇔ 9 ≥ 9,

2

(3.10)

1 1 1 1
+ + + +0+0+1
2 2 2 2

⇔ 6 ≥ 9.

2

2

(3.11)

Kết quả trên cho thấy trạng thái |GHZ ở (3.1) bị rối giữa phần C với phần
AB theo điều kiện (2.13).
Như vậy, bằng việc sử dụng các tiêu chuẩn tìm được ở Chương 2, chúng
ta đã xác định được trạng thái |GHZ ở (3.1) là một trạng thái bị rối giữa
phần B với AC và rối giữa phần C với phần AB
17


3.2.

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong
không gian Fock

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock đã được
định nghĩa ở Chương 1. Trạng thái này có dạng:

∞
2 1/2

xn |n a |n b |n c ,

|ψ = (1 − x )

(3.12)

n=0

trong đó 0 ≤ x ≤ 1.
Đối với trạng thái này, sử dụng các kiến thức về trạng thái Fock và chuỗi toán
học, ta tính được các số hạng trong hai lớp bất đẳng thức ở Chương 2 như sau:
x2 (1 + 4x2 + x4 )
,
(1 − x2 )3

(3.13)

x2 (1 + x2 ) x2 (1 + 4x2 + x4 )
+
,
(1 − x2 )2
(1 − x2 )3

(3.14)

a+ b+ c+ abc =

aa+ b+ bc+ c =

a+ abb+ cc+ =

x2
x2 (1 + x2 ) x2 (1 + 4x2 + x4 )
+
,
+
2
(1 − x2 )
(1 − x2 )2
(1 − x2 )3

aa+ bb+ cc+ = 1 + 3

+ + + 2

abc + a b c

(3.15)

x2
x2 (1 + x2 ) x2 (1 + 4x2 + x4 )
+
,
+
3
(1 − x2 )
(1 − x2 )2

(1 − x2 )3

∞
x2 + 4x6 + x10
2 2
=2
+ 2(1 − x )
x4n n(n + 1)
2
2
2
4
(1 − x ) (1 + x )
n=0

(3.16)

3/2

,

(3.17)

+ + + 2

abc − a b c

∞
x2 + 4x6 + x10
2 2

=2
− 2(1 − x )
x4n n(n + 1)
2
2
2
4
(1 − x ) (1 + x )
n=0

3/2

,

(3.18)

ab+ c+ + a+ bc

2

= 0,

ab+ c+ − a+ bc
18

2

= 0,

a+ bc+ + ab+ c

2

= 0,

(3.19)


a+ bc+ − ab+ c

2

= 0,

a+ b+ c + abc+

2

a+ b+ c − abc+

= 0,

2

= 0,

(3.20)

Thay các kết quả trên vào các bất đẳng thức (2.8), (2.9), (2.11), (2.12) và
(2.13), ta thấy các bất đẳng thức này không bị vi phạm. Tuy nhiên, đối với

bất đẳng thức (2.7) lại cho ta kết quả sau
4x2 + 32x4 + 52x6 + 68x8 + 28x10 + 8x12 (1 − x2 ) ∞
n(n − 1)
+
(1 − x2 )3 (1 + x2 )4
x2
n=0
∞
2

+(1 − x )x

2

(n + 1)(n + 2)

3/2 2n

x

∞
2 2

n(n + 1)

− 2(1 − x )

n=0

x

3/2 4n

x

n=0

8x2 + 28x4 + 68x6 + 52x8 + 32x10 + 4x12 (1 − x2 ) ∞
×
−
n(n − 1)
(1 − x2 )3 (1 + x2 )4
x2
n=0
∞

−(1 − x2 )x2

3/2 2n

(n + 1)(n + 2)

3/2 2n

x

∞

− 2(1 − x2 )2

n(n + 1)

3/2 2n

x

3/2 4n

x

n=0

n=0

x2
x2 (1 + x2 )
−
+
(1 − x2 )
(1 − x2 )2

2

≥ 0.
(3.21)

Bây giờ để kiểm tra bất đẳng thức trên có bị vi phạm hay không, chúng tôi vẽ
đồ thị hàm số
4x2 + 32x4 + 52x6 + 68x8 + 28x10 + 8x12
f (x) =

(1 − x2 )3 (1 + x2 )4
(1 − x2 ) ∞
+
n(n − 1)
x2
n=0
∞

−2(1 − x2 )2

n(n + 1)
n=0
2 ∞

3/2 2n

x

x

−2(1 − x )

(n + 1)(n + 2)

3/2 2n

x

x

8x2 + 28x4 + 68x6 + 52x8 + 32x10 + 4x12
(1 − x2 )3 (1 + x2 )4
∞
2

− (1 − x )x

2

(n + 1)(n + 2)

3/2 2n

x

n=0
2

n(n + 1)
n=0

×

3/2 2n

∞
2 2

+ (1 − x )x

2
n=0

3/2 4n

(1 − x )
−
n(n − 1)
x2
n=0

∞
2

3/2 4n

x

x2 (1 + x2 )
x2
.
+
−
(1 − x2 )
(1 − x2 )2

19

(3.22)

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 10 8
2 10 8
3 10 8
4 10 8
5 10 8

Hình 3.1: Đồ thị hàm f (x) với 0 ≤ x ≤ 1

Từ đồ thị của hàm f (x) ta thấy, nếu 0 ≤ x ≤ 0, 7 thì f (x) = 0 còn
0, 7 < x ≤ 1 thì f (x) = 0. Như vậy bất đẳng thức (3.21) không bị vi phạm
khi 0 ≤ x ≤ 0, 7 và bị vi phạm khi 0, 7 < x ≤ 1. Điều đó có nghĩa là trạng
thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock bị rối trong khoảng
0, 7 < x ≤ 1 theo điều kiện (2.7).

3.3.

Trạng thái kết hợp bộ ba
Trạng thái kết hợp bộ ba |ξ, p, q được định nghĩa như sau:
abc|ξ, p, q = ξ|ξ, p, q .

(3.23)

Đặt Na = a+ a , Nb = b+ b , Nc = c+ c . Như vậy, đối với trạng thái kết
hợp bộ ba ta có
Nb = Nc + q,

Na = Nc + p + q,

(3.24)

a+ b+ ab = F + Na Nb ,

(3.25)

b+ c+ bc = F + Nb Nc ,

(3.26)

a+ c+ ac = F + Na Nc .

(3.27)

Dựa vào công thức abc|ξ, p, q = ξ|ξ, p, q , ta có được các kết quả sau:
abc = q , p , ξ |abc|ξ, p, q = ξ,
20

(3.28)

a+ b+ c+ = q , p , ξ |a+ b+ c+ |ξ, p, q = ξ ∗ ,

(3.29)

a+ b+ c+ abc = q , p , ξ |a+ b+ c+ abc|ξ, p, q = |ξ|2 ,

(3.30)

a2 b2 c2 = q , p , ξ |a2 b2 c2 |ξ, p, q = ξ 2 ,

(3.31)

a+2 b+2 c+2 = q , p , ξ |a+2 b+2 c+2 |ξ, p, q = ξ ∗2 ,

(3.32)

a+2 b+2 c2 = a2 b2 c+2 = a+2 b2 c+2 = 0,

(3.33)

a2 b+2 c2 = a2 b+2 c+2 = a+2 b2 c2 = 0,

(3.34)

a+ b+ c = abc+ = a+ bc+ = 0,

(3.35)

ab+ c = ab+ c+ = a+ bc = 0.

(3.36)

Từ các kết quả trên, ta tính được các số hạng có trong các lớp bất đẳng thức
thứ nhất và thứ hai như sau:
a+ b+ c+ abc = |ξ|2 ,

(3.37)

aa+ b+ bc+ c = F + Nb Nc + |ξ|2 ,

(3.38)

a+ abb+ cc+ = 2F + Na + Na Nb + Na Nc + |ξ|2 ,

(3.39)

aa+ bb+ cc+ =1 + 3F + Na + Nb + Nc + Na Nb
+ Na Nc + Nb Nc + |ξ|2 ,

(3.40)

abc + a+ b+ c+

2

= ξ 2 + ξ ∗2 + 2|ξ|2 ,

(3.41)

abc − a+ b+ c+

2

= ξ 2 + ξ ∗2 − 2|ξ|2 ,

(3.42)

21


ab+ c+ + a+ bc

2

= ab+ c+ − a+ bc

2

= 0,

(3.43)

a+ bc+ + ab+ c

2

= a+ bc+ − ab+ c

2

= 0,

(3.44)

a+ b+ c + abc+

2

= a+ b+ c − abc+

2

= 0.

(3.45)

Thay các số hạng trên vào lớp các bất đẳng thức thứ nhất, ta có kết quả sau:
F + 2 Nb Nc ≥ 0,

(3.46)

F + 2|ξ|2 + 2 Nb Nc ≥ 0,

(3.47)

F + 2|ξ|2 + 2 Nb Nc ≥ 0.

(3.48)

Các bất đẳng thức này luôn thỏa mãn. Vậy lớp các bất đẳng thức thứ nhất

không phù hợp để phát hiện rối đối với trạng thái kết hợp bộ ba.
Tiếp theo, ta thay các số hạng trên vào lớp các bất đẳng thức thứ hai, ta
có cùng một kết quả sau:
2|ξ|2 + 3F ≥ 0 ⇔ 2r2 + 3F ≥ 0.

(3.49)
2

Như vậy, trạng thái kết hợp bộ ba sẽ bị rối hoàn toàn nếu F < − 2r3 theo điều
kiện (2.11), (2.12) và (2.13).
Bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn đã đưa ra ở Chương 2, chúng tôi đã
xác định được tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển đó là: trạng thái
|GHZ và trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock là các
trạng thái bị rối một phần còn trạng thái kết hợp bộ ba thì bị rối hoàn toàn.

22


KẾT LUẬN
Quá trình nghiên cứu lý thuyết về rối lượng tử, về cơ bản đã thực hiện
được nhiệm vụ đặt ra của đề tài. Các kết quả chính thu được của luận văn có
thể tóm tắt như sau:
1. Xây dựng được các lớp bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm
đan rối trong các hệ ba mode. Đó chính là kết quả chính của Chương 2.
2. Sử dụng các tiêu chuẩn ở Chương hai để nghiên cứu tính chất rối của
một số trạng thái phi cổ điển, đó chính là nội dung chính của Chương 3. Cụ
thể như sau:
Xác định được trạng thái |GHZ là một trạng thái bị rối một phần.
Cụ thể trạng thái |GHZ ở công thức (3.1) bị rối giữa phần B với phần AC
và rối giũa phần C với phần AB.

Đối với trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock,
chúng tôi xác định được đó là trạng thái bị rối giữa phần A với phần BC khi
0, 7 < x ≤ 1.
Đối với trạng thái kết hợp bộ ba, chúng tôi xác định được đó là một
trạng thái bị rối hoàn toàn.
Các kết quả trên hoàn toàn phù hợp với các kết quả đã được đưa ra trước đó
và cũng chứng tỏ được rằng, tiêu chuẩn mà chúng tôi đưa ra mạnh hơn các
tiêu chuẩn khác vì nó có thể áp dụng để phát hiện rối trong các trạng thái hỗn
hợp và trạng thái phi Gaussian.
Các kết quả chính của luận văn được thể hiện trong bài báo: "Tiêu chuẩn
mới về đan rối cho hệ ba mode" đã được nhận đăng trong tạp chí Khoa học và
Giáo dục của trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.
3. Đề tài này không chỉ dừng lại ở việc phát hiện rối cho các hệ ba mode
mà còn có thể tiếp tục phát triển và mở rộng cho hệ nhiều hơn ba mode. Chẳng
hạn trong trường hợp hệ có bốn thành phần A, B, C và D thì sẽ tồn tại các
kiểu rối như sau: một là phần A rối với phần BCD, hai là phần B rối với phần
ACD, ba là phần C rối với phần ABD và bốn là phần D rối với phần ABC, vì
vậy mà quá trình xây dựng cũng như vận dụng các tiêu chuẩn để dò tìm đan
rối trong các hệ có càng nhiều mode thì càng phức tạp.
23


Hiện nay, việc phát hiện ra tính chất đan rối của các trạng thái là một
trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết thông tin lượng tử. Vấn đề này vẫn
còn không đơn giản, vì vậy việc tìm kiếm các điều kiện hiệu quả, tổng quat
hơn cho việc dò tìm đan rối đối với các hệ đa thành phần là cực kỳ quan trọng
và cần thiết, góp phần to lớn cho sự phát triển của quá trình xử lý thông tin
lượng tử.

24