MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY GIÚP HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM GIẢI THÀNH THẠO DẠNG TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY GIÚP HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG
THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM GIẢI THÀNH THẠO DẠNG TOÁN PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. Lí do đề xuất sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là một mơn khoa học tự nhiên quan trọng. Để có kết quả tốt ở mơn
tốn trong q trình học tập địi hỏi học sinh phải nắm chắc lí thuyết, vận dụng sáng
tạo, trình bày lơgic. Để giúp các em học tập mơn tốn đạt kết quả tốt thì người giáo
viên khơng chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải biết vận dụng các phương pháp
giảng dạy một cách linh hoạt để các em có thể lĩnh hội kiến thức một cách dễ dàng và
chắc chắn.
Như chúng ta đã biết giải toán là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học
vào các vấn đề cụ thể, vào các vấn đề mới. Ngồi ra giải tốn là hình thức rất tốt để
rèn luyện kĩ năng tính tốn, kĩ năng biến đổi, kĩ năng suy luận và kĩ năng vận dụng các
kiến thức đã được học... Nhưng để tìm ra một cách giải hoặc một cách giải hay không
phải là dễ. Trong q trình dạy học mơn Tốn 8 tơi nhận thấy rằng một trong những
nội dung cơ bản của chương I Đại số 8 là: Học sinh biết thế nào là phân tích đa thức
thành nhân tử, hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử; Giải thành thạo
loại bài tập phân tích đa thức thành nhân tử; Biết việc phân tích đa thức thành nhân tử
có thể có ích cho việc giải một số loại toán. Mặc dù các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử đã được trình bày cụ thể trong sách giáo khoa qua một số tiết học
nhưng khi giải dạng bài tập này thì học sinh cịn lúng túng khơng biết áp dụng
phương pháp nào giải trước, tiếp đó là phương pháp nào? Nói chung là các em khơng
tìm được hướng giải thích hợp. Ngồi ra một số bài tập khơng trực tiếp yêu cầu phân
tích đa thức thành nhân tử nhưng khi giải có thể vận dụng phân tích đa thức thành
nhân tử thì việc tính tốn sẽ nhanh hơn. Chính vì lí do trên nên sau nhiều năm liên tiếp
giảng dạy tốn 8, bản thân tơi đã chọn đề tài này để giới thiệu một số kinh nghiệm
giảng dạy giúp học sinh giải thành thạo dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử .
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
- Đề xuất một số kinh nghiệm trong giảng dạy để giáo viên giúp học sinh giải thành
thạo dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao chất lượng bộ môn.

- Giúp các em biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử. Hiểu các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử.
- Đối với loại tốn phân tích đa thức thành nhân tử giúp các em biết nhận xét các đa
thức và tìm hướng giải thích hợp trước khi giải.
- Giới thiệu một số dạng toán thường gặp trong chương I mà việc phân tích đa thức
thành nhân tử có thể có ích trong khi giải.
III. Cơ sở và đối tượng của sáng kiến kinh nghiệm:
1.Cơ sở:
1


- Dựa vào kiến thức chương I đại số 8
- Kinh nghiệm thực tế qua q trình giảng dạy Tốn 8.
2. Đối tượng:
Học sinh lớp 8 trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm.
IV. Phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm:
- Từ bài 6 đến bài 10 trong chương I sách giáo khoa Toán 8 (tập 1).
V. Phương pháp nghiên cứu:
Mỗi nội dung được thể hiện gồm ba phần:
-Tóm tắt lí thuyết.
-Bài tập mẫu.
-Bài tập rèn luyện.
Các bài tập mẫu có đưa ra nhận xét về đa thức từ đó tìm ra cách giải thích hợp.
* Thời gian để hồn thành: Tháng 3 năm 2013.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
I. Quá trình thực hiện:
1. Những tồn tại trong việc dạy – học toán :
*Đối với giáo viên:
- Thiên về cung cấp bài giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ động, chưa chú ý dạy
học sinh giải tốn, khơng rèn cho học sinh kĩ năng hoạt động trí tuệ.

- Giáo viên thường bằng lịng, kết thúc cơng việc giải tốn khi đã tìm ra một cách giải
nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh tìm tịi cách giải, cách giải hay, khai thác thêm
bài toán vừa giải nhằm phát huy tư duy, sáng tạo của học sinh.
- Chú ý về số lượng hơn là chất lượng, lo sưu tầm những bài khó, lạ cịn bài tập cơ bản
thì lại bỏ qua.
*Đối với học sinh:
- Không nắm vững những kiến thức đã học, lúng túng với đề tốn, khơng biết bắt đầu
từ đâu cũng như không biết vận dụng kiến thức nào để giải.
- Trình bày cịn luộm thuộm, khơng rõ ràng, chính xác.
2. Hướng khắc phục và yêu cầu đặt ra:
*Đối với học sinh:
- Phải hiểu rõ thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử, các phương pháp cơ bản
phân tích đa thức thành nhân tử và ý nghĩa của việc vận dụng phân tích đa thức thành
nhân tử để giải các dạng tốn khác.
- Biết cách xử lí đối với từng loại bài tập, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương
pháp đã học vào phân tích đa thức thành nhân tử.
*Đối với giáo viên:
- Giúp học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử, hiểu được các phương
pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử.
- Đối với mỗi bài tập cần tập cho học sinh biết quan sát, nhận xét đề bài, từ đó học
sinh biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học cũng như phối hợp các phương
pháp một cách hợp lí để phân tích đa thức thành nhân tử.
2


- Tăng cường cho học sinh bài tập thực hành tại lớp. Giáo viên cần có sự hướng dẫn,
gợi mở đối với bài tập khó. Sau khi giải xong cần giúp học sinh hệ thống lại cách giải.
- Luôn động viên, khích lệ việc học sinh tìm ra cách giải.
3. Nội dung minh họa:
Sau đây là một số bài tập mà bản thân tôi đã áp dụng một số kinh nghiệm giảng dạy

giúp học sinh giải thành thạo dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.
*Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn
thức và đa thức khác.
*Bài tập mẫu:
Bài tập 1: Trong các cách biến đổi sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân
tử? Tại sao những cách biến đổi cịn lại khơng phải là phân tích đa thức thành nhân tử?
2x2+ 3x – 5 = x(2x + 3)- 5 (1)
5
) (2)
x
3
5
2x2 + 3x – 5 = 2(x2 + x - ) (3)
2
2
5
2x2 + 3x -5 = ( x- 1)(x + ) (4)
2

2x2 + 3x – 5 = x(2x+ 3-

Giải:
Hai cách biến đổi (3) và (4) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1)
khơng phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một
tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng khơng phải là phân
tích đa thức thành nhân tử vì đa thức được biến đổi thành một tích của một đơn thức
và một biểu thức khơng phải là đa thức.
*Bài tập rèn luyện:
Bài tập 2: Câu hỏi như bài tập mẫu cho các cách biến đổi sau:

x2 + 4x – 6 = x(x + 4 )- 6
(5)
2
3x -9xy = 3x(x-3y)
(6)
5x - 5y + ax – ay = 5(x - y) + a(x -y) (7)
5x - 5y + ax – ay = (x -y)(5 + a)
(8)
* Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử .
1. Phương pháp đặt nhân tử chung :
- Dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức ta được :
AB + AC – AD = A(B + C - D)
- Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên :
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của lũy thừa là số mũ
nhỏ nhất của nó.
3


- Đôi khi để xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử.
- Sau khi đặt nhân tử chung ta phải xét đa thức còn lại trong ngoặc để phân tích ra kết
quả cuối cùng.
*Bài tập mẫu :
Bài tập 3 (bài 39/sgk trang 19): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)

2 2
x + 5x3 +x2y
5

b) 14x2y -21xy2 +28x2y2

c) 10x(x - y)-8y(y - x)

Nhận xét :
a) Ta thấy lũy thừa của x có mặt trong các hạng tử với số mũ nhỏ nhất là 2. Nên các
hạng tử có nhân tử chung là x2.
b) ƯCLN(14,21,28) = 7, lũy thừa của x, lũy thừa của y có mặt trong các hạng tử với số
mũ nhỏ nhất là 1. Nên các hạng tử có nhân tử chung là 7xy.
Các hạng tử có thể viết: 14x2y = 7xy.2x; -21xy2 = 7xy.(-3y); 28x2y2 =7xy.4xy
c) Để làm xuất hiện nhân tử chung (x-y) ta đổi dấu (y-x) = -(x-y)
Giải
a)

2 2
2
x + 5x3 +x2y = x2( + 5x + y)
5
5

b) 14x2y- 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy)
c) 10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x-y) = 2(x - y)(5x + 4y)
*Bài tập rèn luyện :
Bài tốn 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 5x2y2 + 20x2y - 35xy2
b) 3x(x - 2y) + 6y(2y - x)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
.Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng
thức đó để biễu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
*Bài tập mẫu :

Bài toán 5 (bài 43/sgk trang 20): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 +6x + 9

b) 8x3 -

1
8

c)

1 2
x  64 y 2
25

Nhận xét :
a) Đa thức có dạng vế phải của hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Nên áp
dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng theo chiều ngược để phân tích.
b) Đa thức có thể đưa về vế trái của hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Nên áp dụng
hằng đẳng thức hiệu hai lập phương theo chiều xi để phân tích.
c) Đa thức có dạng vế trái của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Nên áp dụng
hằng đẳng thức hiệu hai bình phương theo chiều xi để phân tích.
Giải :
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
4


3

1
1

1
1
b) 8x - = (2x)3 -   = (2x - )(4x2 + x + )
8
2
4
 2
2
1 2
1
1
1
2
x  64 y 2 =  x    8 y   x  8 y   x  8 y 
c)
25
5 
5
 5

3

*Bài tập rèn luyện :
Bài toán 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 9x2 + 6xy + y2
b) (x+1)3 + (x-2)3
c) 9x2 - (x-y)2
3.Phương pháp nhóm hạng tử :
- Dùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng
tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác (đặt nhân tử

chung, dùng hằng đẳng thức) phân tích đa thức thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân
tích chung đối với các nhóm.
- Với phương pháp này mỗi bài có thể có nhiều cách nhóm khác nhau vẫn cho cùng
một kết quả. Tuy nhiên nhiều bài các em lúng túng khơng biết nhóm những hạng tử
nào với nhau là thích hợp.
+Kinh nghiệm cho thấy sau khi nhóm các hạng tử thành từng nhóm thì thường mỗi
nhóm các hạng tử có nhân tử chung hoặc có hằng đẳng thức đáng nhớ.
+Sau khi phân tích cho từng nhóm thì giữa các nhóm phải có nhân tử chung hoặc có
dạng hằng đẳng thức đáng nhớ thì q trình phân tích mới được tiếp tục.
+Nếu sau khi phân tích đa thức thành từng nhóm mà q trình phân tích khơng thực
hiện tiếp được thì cách nhóm hạng tử vừa chọn là khơng thích hợp. Khi đó các em
phải tìm cách nhóm khác.
+Khi nhóm các hạng tử nếu nhóm nào đặt dấu trừ đằng trước dấu ngoặc thì ta phải đổi
dấu các hạng tử trong ngoặc.
*Bài tập mẫu :
Bài toán 7 (bài tập 47,48/sgk trang 22): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - xy + x - y
b) xz + yz – 5(x+y)
2
2
c) x + 4x - y + 4
d) x2 - y2 - 5x + 5y
Nhận xét:
a) Nếu nhóm x2 - xy + x - y = (x 2 - xy) + (x - y) thì nhóm thứ nhất có nhân tử chung là
x. Sau khi đặt nhân tử chung cho nhóm thứ nhất thì giữa hai nhóm lại có nhân tử
chung là (x - y) nên quá trình phân tích được tiếp tục. Vậy có thể nhóm theo cách này.
b) Nếu nhóm xz + yz – 5(x+y) = (xz + yz) – 5(x + y) thì nhóm ( xz + yz ) có nhân tử
chung là z. Sau khi đặt nhân tử chung cho nhóm này thì các hạng tử xuất hiện nhân tử
chung(x+y) nên q trình phân tích được tiếp tục.Vậy có thể nhóm theo cách này.
c) Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + 4 = (x2 - y2) + (4x + 4) = (x - y)(x + y) + 4(x + 1) thì q

trình phân tích khơng tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là khơng phù hợp ta tìm
cách nhóm khác.
5


- Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + 4 = (x2 + 4x) + (4 - y2) = x(x + 4) + (2 - y)(2 + y) thì quá
trình phân tích khơng tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là khơng phù hợp ta tìm
cách nhóm khác.
- Nếu nhóm x2 + 4x - y2 + 4 = ( x2 + 4x +4) -y2 ,sau khi dùng hằng đẳng thức bình
phương của một tổng phân tích nhóm (x2+4x+4) thì giữa các hạng tử của đa thức lại
xuất hiện hằng đẳng thức nên q trình phân tích được tiếp tục. Vậy có thể nhóm theo
cách này.
d) Nếu nhóm x2-y2-5x+5y=(x2-y2)-(5x-5y) thì nhóm (x2-y2 ) có hằng đẳng thức, nhóm
(5x - 5y) có nhân tử chung, sau khi phân tích cho từng nhóm thì giữa hai nhóm có
nhân tử chung là (x - y) nên q trình phân tích được tiếp tục. Vậy có thể nhóm theo
cách này.
Giải
a) x2 - 2xy + 5x - 10y = (x2 - 2xy) + (5x -10y) = x(x - 2y) + 5(x - 2y)
= (x - 2y)(x + 5)
2
b) x(2x - 3y) - 4xy + 6y = x(2x -3y) - (4xy - 6y2 ) = x(2x - 3y) - 2y(2x - 3y)
= (2x - 3y)(x-2y)
2
2
2
2
2
2
c) x + 4x - y + 4 = ( x + 4x + 4) - y = (x + 2) - y = (x + 2 + y)(x + 2 - y)
d) x2 - y2 - 5x + 5y =(x2 - y2) - (5x - 5y) = (x + y)(x - y) -5(x - y)=(x - y)(x + y - 5)

*Bài tập rèn luyện:
Bài tốn 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3x2 -3x – ax + ay
b) x2 + 2xy + y2 - 4

c) 2xy - x2 - y2 + 16

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
- Để phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt các phương pháp đã
nêu và thường phải phối hợp các phương pháp trên một cách hợp lí. Kết quả phân tích
đa thức thành nhân tử là duy nhất.
Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử để quá trình làm bài thuận lợi hơn thì ta
tiến hành như sau:
+Nếu các hạng tử đều có nhân tử chung thì ta áp dụng ngay phương pháp đặt nhân tử
chung để phân tích ở bước 1.
+Dùng hằng đẳng thức nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó.
+Nếu hai phương pháp trên đều khơng áp dụng được thì ta mới xét phương pháp nhóm
hạng tử.
*Bài tập mẫu:
Bài tốn 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x3 -2x2 + x
b) 3x2 - 3y2 - 12x + 12y
c) 2x3 - 4x2y + 2xy2 - 2xz2
d) x2 -2x - 4y2 - 4y
e) a3 - a2b - ab2 + b3
f) x4 - 5x2
Nhận xét :
+Ta thấy các hạng tử của đa thức ở các câu a, b, c, f đều có nhân tử chung nên bước 1
ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích các đa thức này.
6

+Các hạng tử của đa thức ở các câu d, e khơng có nhân tử chung cũng khơng có dạng
hằng đẳng thức đáng nhớ nào nên ta dùng phương pháp nhóm hạng tử.
Giải
a) x3 - 2x2 + x = x(x2 -2x + 1) = x(x - 1)2
b) 3x2 - 3y2 - 12x + 12y = 3(x2 - y2 - 4x + 4y) = [(x2 - y2) - (4x - 4y)]
= [(x - y)(x + y) -4(x - y)] = (x – y)(x + y – 4)
3
2
2
2
c) 2x - 4x y + 2xy - 2xz = 2x(x2 - 2xy +y2 –z2) = 2x[(x2 - 2xy + y2) - z2]
= 2x[(x - y)2 - z2] = 2x(x – y + z)(x – y - z)
d) x2 - 2x - 4y2 - 4y = (x2 - 4y2) - ((2x + 4y) = (x - 2y)(x + 2y) -2(x + 2y)
= (x + 2y)(x - 2y -2)
3
2
2
3
3
2
2
3
2
e) a - a b - ab + b = (a - a b) - (ab - b ) = a (a - b) - b2(a - b)
= (a - b)(a2 - b2) = (a + b)(a - b)2
f) x4 - 5x2 = x2(x2 - 5) = x2(x - 5 )(x + 5 )
*Bài tập rèn luyện:
Bài toán 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
b) x2 + 6x - y2 + 9
c) 5x3 - 5x2y - 10x2 + 10xy
d) 5x2 + 5xy – x - y
III. Các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
Phân tích đa thức thành nhân tử nếu khơng áp dụng được các phương pháp: Đặt nhân
tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử thì ta sử dụng một trong hai
phương pháp sau :
1. Phương pháp tách hạng tử :
+ Để phân tích đa thức bậc hai ax 2+bx+c thành nhân tử. Nếu khơng áp dụng được
hằng đẳng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để phân tích thì
ta dùng phương pháp tách hạng tử, có nhiều cách để tách hạng tử. Ở đây giới thiệu
cách tách hạng tử bx thành b1x+b2x. Sao cho b1+b2=b và b1.b2=a.c.
*Cách tìm b1 và b2
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích tích ac thành tích của hai số ngun.
Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng b làm b1 và b2
+Lưu ý sau khi tách hạng tử ta sẽ dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân
tích bước tiếp theo.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 3x + 2 thành nhân tử.
(a = 1, b = -3 ,c=2)
Tích ac = 2 = 1.2 = (-1).(-2).
Chọn b1,b2 là hai thừa số có tích bằng 2 mà tổng bằng -3 đó là -1 và -2.
Ta có: x2 - 3x + 2 = x2 – x - 2x + 2 = (x2 - x) - (2x - 2) = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x-2)
*Bài tập mẫu:
Bài tốn 11: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
7


a) x2 + 5x + 4

b) 3x2 - 7x - 10
c) x2 + x - 6
Nhận xét:
Các đa thức thức ở các câu a,b,c đều là đa thức bậc hai và khơng có dạng bình phương
của một tổng hoặc bình phương của một hiệu nên ta dùng phương pháp tách hạng tử.
Giải
2
a) x +5x+4 = x2+x+4x+4 = (x2+x)+(4x+4) = x(x+1)+4(x+1) = (x+1)(x+4)
b)3x2-7x-10 = 3x2+3x-10x-10=(3x2+3x)-(10x+10)=3x(x+1)-10(x+1)=(x+1)(3x-10)
c) x2+x-6 = x2-2x+3x-6 = (x2-2x)+(3x-6) = x(x-2)+3(x-2) = (x-2)(x+3)
*Bài tập rèn luyện:
Bài tốn 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x2-5x-7
b) 7x-6x2-2
c) x2-5x+6
2.Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
*Bài tập mẫu :
Bài tốn 13: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x4+4

b) x4+

1
4

Nhận xét:
a) x4+4 = (x2)2 + 22 nên để có hằng đẳng thức bình phương của một tổng ta cần cộng
thêm hạng tử 2.2x2 vào đa thức. Khi đó để giá trị của đa thức khơng thay đổi ta phải
trừ đa thức cho 2.2x2
b) Ta làm tương tự

Giải
a) x4 +4=(x2)2+22 =(x2)2+4x2+22-4x2 =[( x2)2+4x2+22 ]-(2x)2 = (x2+2)2-(2x)2
=(x2+2+2x)(x2+2-2x)
2

2

2

1
1
1
1
1
1

b) x + =(x2)2+   = (x2)2+x2+   -x2 =  x 2    x 2 = (x2+ +x)(x2+ -x)
4
2
2
2
 2
 2

4

*Bài tập rèn luyện:
Bài toán 14: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) y4+64

b) y4+

1
25

*Giới thiệu một số dạng toán gặp trong chương I mà việc phân tích đa thức
thành nhân tử có thể có ích trong khi giải.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức:
+Phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử
+Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính giá trị
*Bài tập mẫu:
Bài tốn 15: Tính giá trị của các biểu thức :
a) x(x-1)-y(1-x) tại x=2001,y=1999
8


1
2

b) x2+ x+

1
tại x=49,75
16

c) x2-y2-2y-1 tai x = 93, y = 6
d) 2x2+4x+xy+2y tại x = 88, y= -76
Giải
a) x(x-1)-y(1-x) = x(x-1)+y(x-1) = (x-1)(x+y)
Tại x = 2001, y = 1999 biểu thức có giá trị là :

(2001-1)(2001+1999) = 2000.4000 = 8000000
1
1 
1
b) x + x+ =  x  
2
16 
4

2

2

2

1
2

Tại x= 49,75 biểu thức có giá trị là  49,75    49, 75  0, 25  502 = 2500
4


c) x2-y2-2y-1 = x2-(y2+2y+1) = x2-(y+1)2 =(x+y+1)(x-y-1)
Tại x=93,y=6 biểu thức có giá trị là (93+6+1)(93-6-1)=100.86=8600
d) 2x2+4x+xy+2y = (2x2+4x)+(xy+2y) =2x(x+2)+y(x+2) =(x+2)(2x+y)
Tại x=88,y= -76 biểu thức có giá trị là (88+2).(2.88-76) = 90.100 = 9000
*Bài tập rèn luyện :
Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức
a) x2+xy+x tại x=77, y=22
b) x(x-y)+y(y-x) tại x=53, y=3

3
5

c) x2+xy-7x-7y tại x= 7 , y= 2

2
5

Dạng 2: Tính nhanh
Phân tích biểu thức cần tính nhanh thành nhân tử rồi tính.
*Bài tập mẫu:
Bài tập 17: Tính nhanh
a) 732-272
b) 452+402-152+80.45
c) 170.22,89-128,9.17
d) 4,8.13,3+4,8.6,7+5,2.13,3+5,2.6,7
Giải
a) 732-272 =(73+27).(73-27)=100.46=4600
b)452+402-152+80.45=(452+2.40.45+402)-152=(45+40)2-152=852-152
=(85+15).(85-15) =100.70=7000
c) 170.22,89-128,9.17 =17.228,9-128,9.17=17.( 228,9-128,9)=17.100=1700
d) 4,8.13,3+4,8.6,7+5,2.13,3+5,2.6,7=( 4,8.13,3+4,8.6,7)+( 5,2.13,3+5,2.6,7)
=4,8.(13,3+6,7)+5,2.(13,3+6,7)
=4,8.20+5,2.20=20.(4,8+5,2)=20.10=200
*Bài tập rèn luyện:
Bài toán 18: Tính nhanh
a) 20092 - 92
b) 872 + 732 - 272 - 132
c) 7,8.55,1 + 92,2.55,1 + 7,8.5,1 - 92,2.5,1
9

Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước.
+ Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái của đẳng thức để vế phải bằng 0.
+ Phân tích vế trái thành nhân tử để được đẳng thức dạng A.B = 0 ta được giá trị của x
cần tìm.
*Bài tập mẫu :
Bài tốn 19: Tìm x biết;
a) x3-13x = 0
b) x2-4x+3 = 0
c) 2x3+3x2+2x+3 = 0
d) (2x-1)2-(x+3)2 = 0
Giải
b) x2-4x+3=0
a) x3-13x = 0
x2-x-3x+3=0
x(x2-13) = 0
x(x-1)-3(x-1)=0
x(x+ 13 )(x- 13 )
(x-1)(x-3)=0
=>x = 0 hoặc x+ 13 = 0 hoặc x- 13 = 0
=>x-1=0 hoặc x-3=0
=>x = 0 hoặc x = - 13 hoặc x = 13
=>x=1 hoặc x=3
c) 2x3+3x2+2x+3 =0
d) (2x-1)2-(x+3)2=0
(2x3+2x)+(3x2+3) = 0
(2x-1+x+3)(2x-1-x-3) =0
2x( x2+1)+3(x2+1) = 0
(3x+2)(x-4) = 0

(x2+1)(2x+3) = 0
2
=>3x+2=0 hoặc x-4 = 0
=>2x+3 = 0(vì x +1 > 0)
=>x = 

3
2

=>x= 

2
hoặc x = 4
3

*Bài tập rèn luyện:
Bài toán 20: Tìm x biết
1
4

a) x3- x=0

b) x2+5x=6

c/16x2-9(x+1)2 = 0
d) 5x(x-3)-x+3=0
Dạng 4: Chia đa thức
*Bài tập mẫu:
Bài toán 21: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị
chia thành nhân tử.

a) (x5+x3+x2+1) : (x3+1)
b) (x2-5x+6):(x-3)
c) (x2-2xy+y2):(y-x)
d) (x2-3x+xy-3y) : (x+y)
Giải
a) Vì x5+x3+x2+1= x3(x2+1)+(x2+1) = (x2+1)(x3+1)
Nên /(x5+x3+x2+1) : (x3+1) = ( x2+1)(x3+1) : (x3+1) = x2+1
b) x2-5x+6 = x2-2x-3x+6 = x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3)
Nên (x2-5x+6):(x-3) = (x-2)(x-3):(x-3) = x-2
c) Vì x2-2xy+y2 = (x-y)2 = (y-x)2
Nên (x2-2xy+y2):(y-x) = (y-x)2 : (y-x) = y-x
d) Vì x2-3x+xy-3y = (x2-3x)+(xy-3y) = x(x-3)+y(x-3) = (x-3)(x+y)
Nên (x2-3x+xy-3y) : (x+y) = (x-3)(x+y) : (x+y) = x-3
10


*Bài tập rèn luyện :
Bài toán 22: Thực hiện phép chia sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia
thành nhân tử.
a) (x3+x2+4) : (x+2)
b) (4x2-9y2) : (2x-3y)
Dạng 5: Áp dụng vào số học (Các bài toán chia hết)
Phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử để xuất hiện số chia và áp dụng tính
chất chia hết
*Bài tập mẫu :
Bài toán 23: Chứng minh rằng
a) 55m+1 - 55m chia hết cho 54 với m là số tự nhiên
b) Nếu m là số ngyên thì (m+2)2 – (m-2)2 chia hết cho 8
c) n4+2n3-n2-2n chia hết cho 24 với mọi n  Z
d) Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4.

Giải
a) Ta phân tích đa thức 55m+1-55m thành nhân tử
55m+1 - 55m = 55m(55-1) = 55m.54 chia hết cho 54 với m là số tự nhiên
Cách 1:
Ta có (m+2)2 – (m-2)2 = (m+2+m-2)(m+2-m+2) = 2m.4 = 8m chia hết cho 8 với
m Z
Cách 2:
Ta có (m+2)2 – (m-2)2 = m2+4m+4-m2+4m-4 = 8m chia hết cho 8 với m  Z
c) Ta có n4+2n3-n2-2n = n(n3+2n2-n-2) = n[n2(n+2)-(n+2)]
= n(n+2)(n2-1) = n(n+2)(n+1)(n-1) = (n-1)n(n+1)(n+2) với mọi n  Z
Đây là tích của bốn số nguyên liên tiếp nên có chứa hai số chẵn liên tiếp trong đó
một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 4 nên tích này chia hết cho
8. Đồng thời tích trên có chứa tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Mà ƯCLN(8,3) = 1, do đó tích trên chia hết cho 24 với mọi n  Z
d) Gọi một số chẵn là 2n thì số chẵn liền sau nó là 2n+2 với n  Z
Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp là:
(2n+2)2 – ((2n)2 = (2n+2+2n)(2n+2-2n) = (4n+2).2 = 4(2n+1) chia hết cho 4.
*Bài tập rèn luyện:
Bài toán 24: Chứng minh rằng:
a) (n+7)2-(n-5)2 chia hết cho 24.
b) (2m+1)2-1 chia hết cho 8.
c) n3-n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
d) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8.
II. Kết quả vận dụng:
*Sau khi áp dụng một số kinh nghiệm trên vào giảng dạy phần nội dung kiến thức
phân tích đa thức thành nhân tử ở Chương I –Đại số 8. Qua bài kiểm tra đánh giá kĩ
năng giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử, tơi nhận thấy đa số các em hiểu
và biết cách giải dạng toán này.
11

Kết quả cụ thể:

Năm học
2011 - 2012
2012 - 2013

Lớp
8A/32
8B/33
8A/30
8B/33

Giỏi

Khá

Trung bình

C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Thiết nghĩ sách giáo khoa đại số 8 trình bày khá rõ các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử ở đây tơi chỉ đi sâu vào kĩ năng nhận xét, phân tích bài tốn từ đó định
hướng được cách giải thích hợp cho loại bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử. Một
số bài tập mẫu đưa ra cũng như bài tập rèn luyện được tôi đã chọn lọc trong sách giáo
khoa và ở nhiều tài liệu tham khảo mỗi bài gồm các câu từ dễ đến khó đều thể hiện rõ
nội dung được trình bày trong phần tóm tắt lí thuyết trước khi đưa ra bài tập đó. Khi
dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử trên lớp giáo viên có thể chọn lọc đưa một
số bài tập này vào giảng dạy sao cho phù hợp với nội dung tương ứng.
2. Kiến nghị:

Để sáng kiến kinh nghiệm được tiếp tục được nghiên cứu, áp dụng trong dạy học bộ
môn đạt kết quả cao hơn, tơi xin có một số kiến nghị như sau:
*Đối với các cấp quản lí: Cần tăng cường chỉ đạo thực hiện, kiểm tra đánh giá việc đổi
mới phương pháp dạy học có hiệu quả của giáo viên.
*Đối với cụm, tổ chuyên môn: Cần tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn tập trung
vào việc xây dựng các chuyên đề dạy học các bài có nội dung kiến thức khó để giáo
viên bộ mơn chia sẻ kinh nghiệm giảng dạy.
*Đối với giáo viên: Cần có sự đầu tư cao trong công tác soạn giảng, không nên áp đặt,
buộc học sinh phải giải như thầy mà cần phải động viên, khích lệ sự tìm tịi, sáng tạo
trong việc xây dựng cách giải của học sinh.
Trên đây là một và kinh nghiệm nhỏ với suy nghĩ chủ quan của riêng cá nhân tôi qua
những năm trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn 8.
Trong phần trình bày chắc chắn sẽ cịn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo,
giúp đỡ của các anh chị đồng nghiệp để đề tài lần sau tôi viết được tốt hơn và thực sự
có ích trong giảng dạy. Xin trân trọng cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGV Toán 8 tập 1
- Sách bài tập Toán 8 tập 1
- Sách 500 bài toán chọn lọc của Nguyễn Ngọc Đạm- Nguyễn Quang Hanh- Ngô Long
Hậu
- Tài liệu dạy học theo các chủ đề của môn toán 8- Nhà xuất bản giáo dục.
12


MỤC LỤC

13