Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường q(√− 3)

Mục lục

Lời cảm ơn

3

Mở đầu

4

1

TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI
VÀ VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA NÓ

6

1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA
√
TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q( d) . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3

Xác định phần tử cụ thể của Z A . . . . . . . . . . . . . . .

16

NHÓM NHÂN CÁC ƯỚC ĐƠN VỊ CỦA VÀNH Z A . . . . . . . .

20

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
√
Xác định nhóm nhân U A trong trường K = Q( d) là trường

1.2

1.3

TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI

1.3.3

đại số bậc hai ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

22

LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ
√
CỦA TRƯỜNG Q( −3)

26
2.1

ĐỒNG DƯ THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.1

26

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1


2.1.2

Một số tính chất của đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.3

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2

CÁC LỚP THẶNG DƯ - HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ

- HỆ THẶNG DƯ THU GỌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.2

Ước chung lớn nhất của một lớp thặng dư với modun . . .

30

2.2.3

Vành các lớp thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.4

Hệ thặng dư đầy đủ modun µ . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.5

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.6

Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.7

Hệ thặng dư thu gọn modun µ . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

2


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Đại số với đề tài " Lý thuyết đồng dư
√

trong vành các số nguyên đại số của trường Q( −3) " là kết quả của q trình
cố gắng khơng ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên của các Thầy
Cô, bạn bè và người thân.
Qua trang viết này, tôi xin tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô giáo
- Ths.Nguyễn Thị Hải đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cũng như cung
cấp tài liệu thơng tin khoa học cần thiết cho khóa luận này.
Tơi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên quý báu của các Thầy Cô,
bạn bè, các bạn sinh viên lớp K55 Đại học Sư phạm Toán đã giúp đỡ tơi trong
q trình học tập và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp.

Sơn La, tháng 05 năm 2018
Đinh Thị Thu Uyên

3


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN
Lý thuyết đồng dư là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết số. Nó là một
cơng cụ để giải quyết nhiều bài toán số học và một số bài toán trong các lĩnh vực
khác. Trong chương trình phổ thơng và đại học, cao đẳng, chúng ta chỉ được tìm
hiểu lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyên Z. Trong khi đó, lý thuyết đồng
dư có thể khái quát lên các miền nguyên.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nội dung kể trên, tôi chọn
√
" Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường Q( −3) " để
nghiên cứu vì những kiến thức này được ít tài liệu đề cập tới, một số tài liệu chỉ
nói sơ qua, khơng chi tiết hoặc trình bày bằng tiếng Anh.
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Khóa luận tìm hiểu về lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số

√
của trường Q( −3).
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Trường đại số bậc hai và vành các phần tử nguyên đại số của nó.
Nghiên cứu về lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường
√
đại số Q( −3).
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Các định nghĩa, tính chất của vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc
√
hai và lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của trường Q( −3).
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
Dịch trọn vẹn một chương tiếng anh trong tài liệu [4].

4


6. CẤU TRÚC KHĨA LUẬN
Từ mục đích và nhiêm vụ nghiên cứu đặt ra, bố cục của khóa luận được sắp
xếp như sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham
khảo, nội dung của khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Trường đại số bậc hai và vành các phần tử nguyên của nó.
Trong chương này tôi nghiên cứu về trường đại số bậc hai và các đặc trưng
của nó. Sau đó nghiên cứu vành các phần tử nguyên đại số của trường đại số
bậc hai tương ứng. Cuối cùng nghiên cứu nhóm nhân các ước của đơn vị đồng
thời xác định nhóm nhân các ước của đơn vị trong trường đại số bậc hai ảo.
Chương 2: Lý thuyết đồng dư trong vành các số nguyên đại số của
√
trường Q( −3).

Chương này là nội dung cơ bản của khóa luận, tơi trình bày về đồng dư thức
và các lớp thặng dư, hệ thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư thu gọn và đặc trưng của
nó.
7. NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA KHĨA LUẬN
Khóa luận trình bày được một số vấn đề cơ bản về lý thuyết đồng dư trong
√
vành các số nguyên đại số của trường Q( −3) mà ở các tài liệu chỉ nói sơ qua,
khơng chi tiết hoặc trình bày bằng tiếng Anh.

5


Chương 1
TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI
VÀ VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN
CỦA NÓ
1.1
1.1.1

TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1 (Số đại số bậc hai)
Số phức α được gọi là số đại số bậc hai nếu α là nghiệm của đa thức bậc
hai trong Q[ x ] và không là nghiệm của bất cứ đa thức nào bậc nhỏ hơn hai
trong Q[ x ].
Định nghĩa 1.2 (Trường đại số bậc hai)
Giả sử α là một số bậc hai. Khi đó tập hợp:
Q(α) = { a + bα với a,b ∈ Q}

là một trường con của trường số phức C. Các phần tử của Q(α) đều là những số
đại số có bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai.
Trường Q(α) gọi là trường đại số bậc hai.
Vì trường A các số đại số là một trường con của trường số phức C và
Q(α) ⊂ A nên Q(α) là trường con của trường A các số đại số.

6


1.1.2

Các tính chất

Từ các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.3
Giả sử α là một số đại số bậc hai và f ( x ) là đa thức tối tiểu của nó.
Khi đó ta có:
Q[ x ] / < f ( x ) > ∼
= Q( α )
Chứng minh.
Xét ánh xạ:
ϕ : Q[ x ] → Q( α )
g( x ) → ϕ [ g( x )] = g(α).
Với phần tử tùy ý β ∈ Q(α) ta có: β = a + bα với a, b ∈ Q. Thế thì ắt có đa thức
g( x ) = a + bx ∈ Q[ x ] thỏa mãn
ϕ [ g1 ( x ) + g2 ( x )] = ϕ [ g1 ( x )] + ϕ [ g2 ( x )]
ϕ [ g1 ( x ) g2 ( x )] = ϕ [ g1 ( x )] ϕ [ g2 ( x )] .
Hơn nữa Kerϕ=< f ( x ) >. Thật vậy:
Giả sử g( x ) ∈ Q[ x ] thì ta có: q( x ) ∈ Q[ x ] và r ( x ) = a0 + a1 x ∈ Q[ x ] sao cho
g ( x ) = f ( x ) q ( x ) + r ( x ).

Và giả sử ϕ [ g( x )] = 0, khi đó ta có: g(α) = 0 mà f (α) = 0 nên r (α) = 0.
Nếu r ( x ) = 0 thì bậc của α nhỏ hơn hai, trái với giả thiết.
Vậy r ( x ) = 0 suy ra g( x ) ∈< f ( x ) >.
Đảo lại, giả sử g( x ) ∈< f ( x ) >. Nghĩa là g( x ) = f ( x )q( x ) với q( x ) ∈ Q[ x ].
Khi đó g(α) = f (α)q(α) = 0. Do đó g( x ) ∈ Kerϕ.
Áp dụng Định lý đồng cấu ta được
Q[ x ] / < f ( x ) > ∼
= Q( α ).
7


Mệnh đề 1.4
Giả sử α là một số đại số bậc hai. Khi đó mọi phần tử của K = Q(α) có thể
biểu diễn duy nhất dưới dạng a + bα với a, b ∈ Q. Từ đó suy ra rằng K = Q(α) là
không gian vectơ hai chiều trên Q.
Chứng minh.
Từ định nghĩa trường đại số bậc hai ta suy ra các phần tử của K = Q(α)
(trường con bé nhất của trường đại số phức C chứa trường số hữu tỉ Q và α)
đều biểu diễn được dưới dạng a + bα với a, b ∈ Q.
Giả sử x = a + bα = a + b α là hai cách biểu diễn của phần tử x ∈ K với
a, b, a , b ∈ Q. Khi đó ta có: a − a = (b − b)α.
Rõ ràng b − b = 0 vì nếu b − b = 0 thì α =

a−a
∈ Q là vơ lý. Vậy b = b kéo
b −b

theo a − a = 0, nghĩa là a = a .
Như vậy K = Q(α) là một không gian vectơ hai chiều trên Q với một cơ sở
chẳng hạn {1, α}.

Mệnh đề 1.5
Giả sử K là một trường con của trường số phức C và là một mở rộng bậc hai
của trường số hữu tỉ Q và α ∈ K \ Q. Khi đó ta có:
K = Q( α )
Chứng minh.
Rõ ràng Q(α) ⊂ K và coi Q là không gian vectơ trên trường Q(α) ta có:
K : Q( α ) Q( α ) : Q = K : Q

(1.1)

Từ (1.1) với Q(α) : Q = 2 và K : Q = 2 suy ra K : Q(α) = 1 nên K = Q(α).
Vậy ta có điều cần chứng minh.

8


Định lý 1.6
Giả sử K là một trường con của trường số phức C. Khi đó K là trường đại số
bậc hai khi và chỉ khi
K = Q( α )
với α là nghiệm của đa thức x2 − d, d là số ngun hữu tỉ khác 1 và khơng có
nhân tử bình phương.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử K là một trường đại số bậc hai. Khi đó ắt có phần tử
θ ∈ K \ Q sao cho θ là nghiệm của đa thức x2 + px + q, nghĩa là θ 2 + pθ + q = 0
p 2 p2 − 4q
−
= 0. Khi đó theo Mệnh đề 1.5 ta có K = Q(θ ).
suy ra θ +
2

4
p
Đặt θ + = β, ta có β ∈ K \ Q. Lại theo Mệnh đề 1.5 ta có K = Q( β) và β là
2
r
nghiệm của đa thức x2 − với r = p2 − 4q.
4
Đặt 2β = γ ta có γ ∈ K \ Q nên K = Q(γ) và γ là nghiệm của đa thức
x 2 − r ∈ Z[ x ].
Giả sử r = n2 d với d ∈ Z, hiển nhiên d = 1 vì γ ∈
/ Q và d khơng có nhân tử
bình phương khác 1. Khi đó đặt
α2 − d =

γ
= α, ta có α ∈ K \ Q nên K = Q(α) và
n

γ2
γ2 − n2 d γ2 − r
−
d
=
=
= 0.
n2
n2
n2

Nghĩa là α là nghiệm đa thức x2 − d ∈ Z[ x ].

Nói cách khác K = Q(α), ở đó α là nghiệm của đa thức x2 − d với d là một số
nguyên hữu tỉ khác 1 và khơng có nhân tử bình phương khác 1.
Điều kiện đủ: Giả sử K = Q(α), trong đó α là nghiệm của đa thức x2 − d
với d là một số nguyên hữu tỉ khác 1 và khơng có nhân tử bình phương khác 1.
Ta phải chứng minh K là một trường đại số bậc hai.
Ta thấy x2 − d là một đa thức bất khả quy. Thật vậy:
Giả sử ngược lại x2 − d (∗) không phải là đa thức bất khả quy trong Q[ x ].
9


Khi đó do bậc của (∗) bằng 2 nên (∗) phải có nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn nghiệm
đó là

r
với r, s ∈ Z, s > 0, (r, s) = 1.
s

.
Từ đó suy ra r2 = ds2 . Do (r, s) = 1 nên ta có d .. r2 . Mà d = 1 nên suy ra r = 1,
mâu thuẫn với giả thiết là d khơng có nhân tử bình phương khác 1.
Vậy x2 − d là đa thức bất khả quy trong Q[ x ] và là đa thức tối tiểu của α.
Do đó bậc của α bằng 2, nghĩa là K = Q(α) là một trường đại số bậc hai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.7.
1.7.1. Qua chứng minh ở Định lý 1.6 ta thấy K là trường đại số bậc hai khi và
√
chỉ khi K = Q( d), với d là số nguyên hữu tỉ khác 1 và khơng có nhân tử bình
phương.
Khi d = 1 ta có đa thức x2 − 1 khơng cịn là đa thức bất khả quy trong Q[ x ].
√

1.7.2. Mọi α ∈ K = Q( d) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

√
α = a + b d với a, b ∈ Q.
1.7.3. Ánh xạ

√
√
δ : Q( d ) → Q( d )
√
√
α = a + b d → δ(α) = a − b d
√
là song ánh và là một tự đồng cấu của trường K = Q( d).
√
√
√
Thật vậy, với α1 = a1 + b1 d, α2 = a2 + b2 d ∈ Q( d) ta có:
√
√
α1 = α2 ⇔ a1 + b1 d = a2 + b2 d


 a1 = a2
⇔

b = b
2
1
√

√
⇔ a1 − b1 d = a2 − b2 d
⇔ δ ( α1 ) = δ ( α2 ).
10


Do đó δ là đơn ánh.
Rõ ràng δ là tồn ánh. Vậy δ là song ánh.
Hơn nữa

√
δ(α1 + α2 ) = ( a1 + a2 ) − (b1 + b2 ) d
√
√
= ( a1 − b1 d) + ( a2 − b2 d)
= δ ( α1 ) + δ ( α2 ).
√
δ(α1 α2 ) = a1 a2 + b1 b2 d − ( a1 b2 + a2 b1 ) d
√
√
= ( a1 − b1 d)( a2 − b2 d)
= δ ( α1 ) δ ( α2 ).
Vậy δ là đồng cấu. Chứng tỏ δ là tự đồng cấu.
√
√
Phần tử δ(α) = a − b d chính là phần tử liên hợp của phần tử a + b d.

11

1.2

VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA
√
TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q( d)

1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.8

√
Giả sử K = Q( d) là một trường đại số bậc hai và α ∈ K. Số α được gọi là
số nguyên của K nếu đa thức tối tiểu của nó có các hệ số thuộc Z.
√
Tập hợp các số nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( d) lập thành một
vành, ta gọi là vành các số nguyên đại số trên K và ký hiệu là Z A .
Nhận xét 1.9.
1.9.1. Nếu α là số nguyên của K thì liên hợp của nó cũng là số nguyên của K.
1.9.2. Ký hiệu A là tập hợp các số nguyên của trường đại số K, ta có
Z A = K ∩ A.

1.2.2

Các tính chất

Tính chất 1.10.
Giả sử α ∈ K. Khi đó α là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức
với hệ số nguyên hữu tỉ mà hệ số bậc cao nhất bằng 1.

Chứng minh.
Giả sử ta có
F ( x ) = x n + a 1 x n −1 + · · · + a n ∈ Z [ x ] .
sao cho F (α) = 0. Ta sẽ đi chứng minh đa thức tối tiểu của α thuộc Z[ x ].
Bậc của α bằng 1 hoặc bằng 2 nên ắt có đa thức F ( x ) = b0 x2 + b1 x + b2 hoặc
f ( x ) = b0 x + b1 thuộc Z[ x ] là đa thức nguyên bản sao cho f (α) = 0 và f ( x ) bất
khả quy trong Q[ x ]. Vì F ( x ) và f ( x ) có chung nghiệm α và f ( x ) bất khả quy
trong Q[ x ] nên f ( x ) chia hết F ( x ) trong Q[ x ].

12


Giả sử ta có
p
f ( x ) g( x )
q

F(x) =

với g( x ) là một đa thức nguyên bản; p, q ∈ Z, pq = 0. Khi đó ta có
qF ( x ) = p f ( x ) g( x ).
Nhưng tích f ( x ) g( x ) và F ( x ) là những đa thức nguyên bản nên p = q.
Từ đó ta có F ( x ) = f ( x ) g( x ). Lại vì hệ số bậc cao nhất của F ( x ) là 1 nên ta cũng
có b0 = 1 và f ( x ) là đa thức tối tiểu của α.
Vậy α là số nguyên đại số.
Tính chất 1.11.

Ta có

Z A ∩ Q = Z.

Chứng minh.

√
Rõ ràng Z ⊂ Z A ∩ Q. Vì với mọi a ∈ Z ta có a = a + 0 d và đa thức tối tiểu
của nó là x − a ∈ Z[ x ].
Hơn nữa Z A ∩ Q ⊂ Z. Thật vậy:

√
Giả sử α ∈ Z A ∩ Q thì ta có α = a + b d với a, b ∈ Q. Khi đó b = 0 vì nếu b = 0
√
α−a
∈ Q ( vô lý ). Suy ra b = 0 và α = a ∈ Q.
thì d =
b
Mặt khác, x − a là đa thức tối tiểu của α. Mà đa thức tối tiểu là duy nhất,
thêm nữa do α ∈ Z A nên ta phải có x − a ∈ Z[ x ], nghĩa là α = a ∈ Z.
Mệnh đề 1.12

√
Giả sử α = a + b d ∈ K.
Khi đó α ∈ Z A nếu và chỉ nếu 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z.
Chứng minh.

√
Điều kiện cần: Giả sử α = a + b d ∈ K là một số nguyên đại số của trường K,
ta có 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z. Thật vậy:
13

∗ Nếu α ∈ Q thì theo tính chất 1.11 ta có
α = a ∈ ZA ∩ Q = Z
nên 2a ∈ Z và ta cũng có a2 − db2 ∈ Z.

∗ Nếu α ∈
/ Q thì đa thức f ( x ) = x2 − 2ax + a2 − db2 là đa thức tối tiểu của α.
Mà α ∈ Z A nên f ( x ) ∈ Z[ x ]. Suy ra 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z.
√
Điều kiện đủ: Giả sử α = a + b d ∈ K và 2a ∈ Z, a2 − db2 ∈ Z, ta phải chứng
minh α ∈ Z A .
Do 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z nên f ( x ) = x2 − 2ax + a2 − db2 ∈ Z[ x ].
Ta thấy f ( x ) có hệ số của hạng tử cao nhất bằng 1 và f ( x ) nhận α làm nghiệm.
Xét hai trường hợp:

∗ Nếu α ∈
/ Q thì α là số đại số bậc hai, do đó f ( x ) là đa thức tối tiểu của α.
Vậy α ∈ Z A .

∗ Nếu α ∈ Q thì b = 0. Từ giả thiết 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z suy ra 2a, a2 ∈ Z
do đó α = a. Vậy α ∈ Z A .
Định nghĩa 1.13 (Chuẩn và vết của α)
√
√
Với α = a + b d ∈ Q( d) thì N (α) = a2 − db2 được gọi là chuẩn của α và
Tr (α) = 2a được gọi là vết của α.
Chú ý 1.14. Theo nhận xét 1.9.1 ta có:

√
√
δ : Q( d ) → Q( d )

√
√
α = a + b d → δ(α) = a − b d.
là một đồng cấu. Do đó suy ra rằng:
Tr (α + β) = Tr (α) + Tr ( β)
N (αβ) = N (α) N ( β)
N (α) = 0 ⇔ α = 0.
14


Với hai khái niệm chuẩn và vết của một phần tử thuộc K, Mệnh đề 1.12 được
phát biểu như sau:


 Tr (α) ∈ Z

α ∈ ZA ⇔


 N (α) ∈ Z

Định lý 1.15

√
√
Giả sử α = a + b d là một phần tử của K = Q( d). Khi đó:





2a = u ∈ Z



α ∈ ZA ⇔
2b = v ∈ Z





 u2 − dv2 ≡ 0(mod 4)
Chứng minh.

√
Điều kiện cần: Giả sử α = a + b d ∈ Z A thì ta có 2a = u ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z.
Khi đó

u
2

2

− db2 = c ∈ Z hay 4db2 = u2 − 4c ∈ Z, nghĩa là d(2b)2 = dv2 ∈ Z.

Ta có v = 2b ∈ Z. Thật vậy:
p
dp2
với p, q ∈ Z, q > 1, ( p, q) = 1 thì dv2 = 2
q

q
.. 2
2
2
2
2
suy ra q | dp . Vì ( p , q ) = 1 nên d . q do đó d chứa nhân tử bình phương một
Giả sử v ∈
/ Z, chẳng hạn v =

số nguyên khác 1, điều này trái với giả thiết.
Vậy ta có 2a = u ∈ Z, 2b = v ∈ Z do đó
u2 − dv2 = 4a2 − 4db2 = 4( a2 − db2 ) ≡ 0(mod 4).

√
Điều kiện đủ: Giả sử α = a + b d ∈ K, 2a = u ∈ Z, 2b = v ∈ Z và
u2 − dv2 ≡ 0(mod 4). Khi đó:
a2 − db2 =

u
2

2

−d

v
2

2

=

Vậy ta có 2a ∈ Z và a2 − db2 ∈ Z nên α ∈ Z A .

15

u2 − dv2
∈ Z.
4


1.2.3

Xác định phần tử cụ thể của Z A

Định lý 1.16
Nếu d ≡ 2(mod 4) hoặc d ≡ 3(mod 4) thì vành các số nguyên đại số của
√
trường K = Q( d) là

√
Z A = { a + b d với a, b ∈ Z}.
√
Nếu d ≡ 1(mod4) thì vành các số nguyên đại số của trường đại số K = Q( d)
là
ZA =

√
1+ d

a+b
với a, b ∈ Z .
2

Chứng minh.
Trước hết ta lưu ý rằng với số nguyên a bất kỳ ta ln có:




2
 a ≡ 1 (mod 2)
 a ≡ 1 (mod 4)
⇒

a ≡ 0 (mod 2)
a2 ≡ 0 (mod 4)

nghĩa là bình phương của một số nguyên hoặc đồng dư 0 môđun 4 hoặc đồng
dư 1 môđun 4.

∗ Trường hợp d ≡ 2 (mod 4) hoặc d ≡ 3 (mod 4):
√
Giả sử α = a + b d ∈ Z A , theo chứng minh của Định lý 1.15 ta có:




2a = u ∈ Z




α ∈ ZA ⇔
2b = v ∈ Z





 u2 − dv2 ≡ 0 (mod 4).
Nếu v = 2b ≡ 1 (mod 2) thì v2 ≡ 1 (mod 4). trong khi đó:





u2 ≡ dv2 (mod 4)


2

u ≡ 2 (mod 4)
.
⇒
d ≡ 2 (mod 4)

2




u ≡ 3 (mod 4)


 d ≡ 3 (mod 4)
16


Điều này trái với lưu ý trên.
Vậy v = 2b ≡ 0( mod 2) nghĩa là b =

v
∈ Z.
2

Từ v ≡ 0 (mod 2) ⇒ v2 ≡ 0 (mod 4), kết hợp với u2 ≡ dv2 (mod 4) ta được
u
u2 ≡ 0 (mod 4). Do đó u = 2a ≡ 0 (mod 2), nghĩa là a = ∈ Z.
2
√
Như vậy, nếu α = a + b d ∈ Z A thì a, b ∈ Z.
√
Đảo lại, với α = a + b d sao cho a ∈ Z, b ∈ Z thì rõ ràng:




u = 2a ∈ Z




√
⇒ α = a + b d ∈ ZA.
v
=
2b
∈
Z





 u2 − dv2 = 4( a2 − db2 ) ≡ 0 (mod 4)
Vậy nếu d ≡ 2 (mod 4) hoặc d ≡ 3 (mod 4) thì vành các số nguyên đại số của
trường đại số K là

√
Z A = { a + b d với a, b ∈ Z}.
∗ Trường hợp d ≡ 1 (mod 4):
√
Giả sử α = a + b d ∈ Z A , theo chứng minh Định lý 1.15 ta có:




2a = u ∈ Z



2b = v ∈ Z






 u2 − dv2 ≡ 0 (mod 4)
Nếu u = 2a ≡ 0 (mod 4) thì u2 ≡ 0 (mod 4). Mà theo giả thiết và kết quả
Định lý 1.15 ta có u2 − db2 ≡ 0 (mod 4) và d ≡ 1 (mod 4) suy ra v2 ≡ 0 (mod 4)
do đó v ≡ 0 (mod 2).
Nếu u = 2a ≡ 0 (mod 2) nghĩa là a =

u
∈ Z thì ta cũng có v = 2b ≡ 0 (mod 2)
2

v
∈ Z.
2
√
√
√
1+ d
1+ d
Từ đó α = a + b d = a − b + 2a
=n+m
, với n = a − b ∈ Z,
2
2

nghĩa là b =

m = 2b ∈ Z.
Nếu u = 2a ≡ 1 (mod 2) thì u2 ≡ 1 (mod 4). Mà theo giả thiết và kết quả
17


Định lý 1.15 ta có u2 − db2 ≡ 0 (mod 4) và d ≡ 1 (mod 4) suy ra v2 ≡ 1 (mod 4)
do đó v ≡ 1 (mod 2).
Vậy nếu u = 2a ≡ 1 (mod 2) nghĩa là u = 2a + 1 với a ∈ Z thì cũng có
v = 2b ≡ 1 (mod 2) nghĩa là v = 2b + 1 với b ∈ Z. Từ đó ta có:

√
u v√
2a + 1 2b + 1 √
d=
+
d
α=a+b d= +
2 2
2
2
√
√
1+ d
1+ d
=n+m
.
= a − b + (2b + 1)
2
2

Với n = a − b ∈ Z; m = 2b + 1 ∈ Z.
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu α = Z A thì ta có:

√
1+ d
α=n+m
với m, n ∈ Z
2
√
1+ d
Ngược lại, nếu α = n + m
với m, n ∈ Z thì
2
α=

√
2n + m m √
+
d ∈ K = Q( d ).
2
2

2n + m
m
, b = luôn thỏa mãn 2a = 2n + m ∈ Z và
2
2
2 + 4nm + m2 (1 − d )
4n
∈ Z ( với m, n ∈ Z ) nên theo định nghĩa

a2 − db2 =
4

Ta thấy a =

Vết và chuẩn ta có α ∈ Z A .
Vậy nếu d ≡ 1 (mod 4) thì ta có:
ZA =

√
1+ d
n+m
với m, n ∈ Z .
2

Ví dụ 1.17. .
1.17.1. Với d = −1 ≡ 3 (mod 4) khi đó ta có:

√
√
K = Q( −1) = Q(i ) và Z A = { a + b −1 với a, b ∈ Z}
= a + bi

18

a, b ∈ Z .


1.17.2. Với d = −3 ≡ 1 (mod 4) khi đó ta có:

√

K = Q( −3) và Z A =

=

a+b

1+

a + bξ

19

√
2

−3

với a, b ∈ Z

a, b ∈ Z, ξ =

1+

√
2

−3

.


1.3
1.3.1

NHÓM NHÂN CÁC ƯỚC ĐƠN VỊ CỦA VÀNH Z A

Định nghĩa

Định nghĩa 1.18
√
Cho K = Q( d) là trường đại số bậc hai và Z A là vành số nguyên của nó.
Ta gọi số đại số bậc hai ε khác 0 của K là một ước của đơn vị của Z A nếu như
cả ε và ε−1 đều là những số nguyên đại số. Nghĩa là
ε ∈ Z A và ε−1 ∈ Z A .
Tập hợp các ước của đơn vị của Z A kí hiệu là U A .

1.3.2

Các tính chất

Mệnh đề 1.19
Tập hợp U A các đơn vị của Z A là nhóm nhân.
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh U A là nhóm con của nhóm nhân các số phức khác 0.
Thật vậy:
Rõ ràng U A = 0.
Giả sử ε 1 , ε 2 ∈ U A , khi đó theo định nghĩa trên ta có
1 −1

ε 1 , ε 2 , ε−
1 , ε2 ∈ ZA.

Mà Z A là một vành nên ta có: ε 1 ε 2 ∈ Z A , (ε 1 ε 2 )−1 ∈ Z A do đó ε 1 ε 2 ∈ U A .
Hơn nữa với ε ∈ U A ta có ε, ε−1 ∈ Z A . Do ε−1 ∈ Z A nên ε−1

−1

∈ ZA.

Suy ra ε−1 ∈ U A .
Vậy U A là nhóm con của nhóm nhân các số phức khác 0 nên U A là một
nhóm nhân.

20


Mệnh đề 1.20
Nếu ε là một ước đơn vị thì liên hợp δ( ) của nó cũng là một ước đơn vị.
Chứng minh.
Trước hết ta nhận xét rằng nếu ε ∈ U A mà ε ∈ Q thì ε ∈ Z ( Vì Z A ∩ Q = Z
theo tính chất 1.11 ) nên ε = ±1 nên δ(ε) = ε .
Giả sử ε ∈ U A và ε có bậc là 2. Và giả sử ϕ( x ) = x2 + a1 x + a0 ∈ Z[ x ] là đa
thức tối tiểu của ε.
Đặt δ(ε) = ε . Khi đó ϕ(ε) = 0 và ϕ(ε ) = 0 suy ra ε ∈ Z A .
Ta biết rằng ε ∈ Z A và rõ ràng ε cũng có bậc hai nên ắt có đa thức
g( x ) = x2 + b1 x + b0 ∈ Z[ x ] sao cho g(ε ) = 0.
Đặt f ( x ) = b0 x2 + b1 x + 1, ta có: f ( x ) ∈ Z[ x ] và
f (ε) = b0 ε2 + b1 ε + 1 = ε2 (ε−1 )2 + b1 ε−1 + b0 = ε2 g ε−1 = 0.
Vì ϕ( x ) là đa thức tối tiểu của ε hay ϕ( x ) là đa thức có bậc nhỏ nhất nhận ε là

nghiệm nên từ f (ε) = 0 ta suy ra f ( x ) · · · ϕ( x ), nghĩa là có q( x ) ∈ Q[ x ] sao cho
f ( x ) = 1( x ) ϕ ( x )
cụ thể q( x ) = b0 .
Từ đó f (ε ) = b0 ϕ(ε ) = 0 suy ra g (ε )−1 = ε

2

f (ε ) = 0 nghĩa là (ε )−1 là

nghiệm của đa thức g( x ) ∈ Z[ x ] có hệ số bậc cao nhất bằng 1 nên (ε )−1 ∈ Z A .
Vậy ta có (ε )−1 ∈ Z A và ε ∈ Z A nên ε ∈ U A .
Mệnh đề 1.21
Giả sử ε ∈ Z A thì ε ∈ U A ⇔ N (ε) = ±1.
Chứng minh.
Giả sử ε ∈ U A .
Nếu ε có bậc bằng 1 thì ε = ±1 nên δ(ε) = ±1 do đó
N (ε) = εδ(ε) = ±1.
21


Nếu ε có bậc bằng 2 và ϕ( x ) = x2 + a1 x + a0 ∈ Z[ x ] là đa thức tối tiểu của nó
thì bằng cách đặt δ(ε) = ε , ta có ϕ(ε ) = 0 và do đó
ϕ( x ) = x2 + a1 x + a0 = ( x − ε)( x − ε )
cho nên N (ε) = εδ(ε) = εε = a0 ∈ Z. Nhưng tích hai ước của đơn vị lại là ước
của đơn vị nên ta có εε = a0 lại là một ước của đơn vị trong Z do đó εε = ±1
nghĩa là N (ε) = ±1.
Ngược lại, giả sử ε ∈ Z A va N (ε) = ±1. Khi đó ta có:
N (ε) = εδ(ε) = ±1
Suy ra

ε = ±δ(ε) ∈ Z A .

Kết hợp với giả thiết ε ∈ Z A ta được ε ∈ U A .
Như vậy, nếu ε ∈ Z A thì
ε ∈ U A ⇔ N (ε) = ±1.

1.3.3

√
Xác định nhóm nhân U A trong trường K = Q( d) là trường đại
số bậc hai ảo

√
Giả sử K = Q( d) là trường đại số bậc hai với d là một số ngun âm khơng
có nhân tử bình phương.

√
Đặt d = −d , d > 0 và giả sử ε = a + b d ∈ Z A ( a, b ∈ Z). Khi đó:
ε ∈ U A ⇔ N (ε) = εδ(ε) = a2 − db2 = a2 + db2 = 1.
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:




d ≡ 2(mod4)
d ≡ 2(mod4)


⇔

.


d ≡ 3(mod4)
d ≡ 1(mod4)

22


Trong trường hợp này

√
ε = a + b d ∈ UA ⇔




 a, b ∈ Z


 N (ε) = εδ(ε) = a2 − db2 = a2 + db2 = 1.

∗ Nếu d ≥ 2 thì



 a = 1









 b = 0


b = 0
 a, b ∈ Z
ε = 1



⇔
⇔
⇔







 a = ±1
 a2 + d b2 = 1
 a = −1
ε = −1





b = 0
Vậy U A = {±1}.

∗ Nếu d = −1 thì




 a = 0
ε = i








 ε = −i

 a, b ∈ Z
b
=
±
1





⇔
⇔





ε = 1
 a2 + d b2 = 1

 a = ±1






b = 0
ε = −1
Vậy U A = {±1; ±i }.
Trường hợp 2:
d ≡ 1(mod4) ⇔ d ≡ 3(mod4).
Trong trường hợp này

23


√
ε = a + b d ∈ UA ⇔





2a = u ∈ Z







2b = v ∈ Z




u2 − dv2 ≡ 0(mod4)







 N (ε) = 1

u v√



ε = +
d; (u, v ∈ Z)
2
2
⇔
2
2


 N (ε) = u + d v = 1
2
2



u, v ∈ Z
.
⇔


2
2
u + d v = 4

∗ Nếu d > 3 và u, v ∈ Z thì
u2 + d v2 = 4 ⇔





 u2 = 4


 v2 = 0

⇔




 u = ±2


v = 0

nên ta có U A = {−1; 1}.

∗ Nếu d = 3 và u, v ∈ Z thì




 2

 u = 4
  u = ±1





2



v
=
1

  v = ±1
2
2

u + 3v = 4 ⇔  
⇔



 u2 = 4
 u = ±2








 v2 = 0
v = 0

nên ta có U A =

√
3
1
±1; ± ± i
2
2

.

24


Tóm lại:

√
∗ Nếu K = Q( −1) thì U A = {±1; ±i } .
√
√
1
3
∗ Nếu K = Q( −3) thì U A = ±1; ± ± i
.
2
2
∗ Các trường hợp cịn lại thì U A = {±1}.

25