Boi duong HSG - Ly thuyet dong du

Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Chuyên đề:
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số
dạng toán về phép chia hết và phép chia
còn d.
I) Lí thuyết về đồng d :
1) Định nghĩa:
Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c 0) mà có cùng số d thì ta
nói a đồng d với b theo môđun c; kí hiệu là a b (mod c).
Nh vậy: a b (mod c)

a b chia hết cho c.
Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi là một đồng d thức, a gọi là vế trái
của đồng d thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun.
2) Một số tính chất:
Kí hiệu a; b; c; d; m; là các số nguyên dơng (Z
+
), ta luôn có:
a) Tính chất 1:
* a a (mod m);
* a b (mod m) b a (mod m);
* a b (mod m) và b c (mod m) thì a c(mod m);
b) Tính chất 2: Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì:
* a c b d (mod m);
* ac bd (mod m);
* Nếu d là một ớc chung của a; b; m thì:
a
d

b
d

(mod
m
d
);
c) Tính chất 3:
Nếu a b (mod m) và c Z
+
thì ac bc (mod mc).
3) Một số kiến thức liên quan:
Trong khi làm bài tập sử dụng đồng d thức, ta nên chú ý tới các tính
chất hay dùng sau đây:
* Với mọi a, b Z
+
(a b) và n là số tự nhiên: a
n
b
n

M
a b;
* Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia
hết cho n;
* Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n 1) đem chia cho n thì phải có
hai số khi chia cho n có cùng số d; (Theo nguyên lí Đirichlet);
* Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10
m
;
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d.

1
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d :
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Phơng pháp: Muốn tìm số d trong phép chia số A cho m, ta phải
tìm đợc số x (0

x < m) sao cho A x (mod m).
Ví dụ: Tìm số d trong phép chia số 1993
2000
cho số 3 ?
Giải
Ta có: 1993 1 (mod 3) 1993
2000
1
2000
(mod 3) 1 (mod 3)
Vậy: số 1993
2000
khi chia cho 3 thì d 1.
Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số
A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là
f(A) sao cho A f(A) (mod m).
Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ?
Giải
Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A =
n n-1 1 0
a a ...a a
Ta có: A =

n n-1 1 0
a a ...a a
r (mod 3) (1)
a
n
.10
n
+ a
n-1
.10
n-1
+ + a
1
.10
1
+ a
0
r (mod 3)
(a
n
. 99...9 + a
n
) + (a
n-1
. 99...9+ a
n-1
) + + (a
1
.9 + a
1

)+ a
0
r (mod 3)
(a
n
. 99...9 + a
n-1
. 99...9 + + a
1
.9) + (a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0
) r (mod 3)
Nhận xét: a
n
. 99...9 + a
n-1
. 99...9 + + a
1
.9 0 (mod 3)
Nên: (a
n
+ a
n-1
+ + a

1
+ a
0
) r (mod 3) (2)
Vậy: A =
n n-1 1 0
a a ...a a
a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0
(mod 3)
Hay: A =
n n-1 1 0
a a ...a a
khi chia cho 3 có cùng số d khi chia tổng
các chữ số của A cho 3.
Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3.
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d.
2
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh
A 0 (mod m).

Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7 ?
Giải
Nhận xét: 2222 3 (mod 7) (1)
Từ đó: 2222
4
3
4
(mod 7) hay 2222
4
81 (mod 7)
Mà 81 4 (mod 7) 2222
4
4 (mod 7) (2)
Nhân vế với vế (1) và (2) ta đợc 2222
5
3.4 (mod 7)
Hay là: 2222
5
5 (mod 7) 2222
5555
5
1111
(mod 7) (3)
Tơng tự ta có: 5555
2222
2

1111
(mod 7) (4)
Cộng vế với vế (3) và (4) ta có: A 2
1111
+ 5
1111
(mod 7) (5)
Mặt khác: 2
1111
+ 5
1111
= (2 + 5).M = 7.M 0 (mod 7) (6)
Từ (5) và (6) ta đợc: A 0 (mod 7)
Vậy: A = 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 4
2n+1
+ 3
n+2

luôn chia hết cho 13 ?
Giải
Nhận xét 1: 4
2
= 16 3 (mod 13) (4
2
)

n
3
n
(mod 13)
4
2n
3
n
(mod 13)
Mà 4 4 (mod 13)
4
2n+1
4.3
n
(mod 13)
Hay 4
2n+1
4.3
n
(mod 13) (1)
Nhận xét 2: 3
2
= 9 - 4 (mod 13) mà 3
n
3
n
(mod 13)
Từ đó 3
2
.3

n
- 4.3
n
(mod 13), hay là: 3
n+2
- 4.3
n
(mod 13) (2)
Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta đợc B 0 (mod 13).
Nghĩa là B = 4
2n+1
+ 3
n+2
luôn chia hết cho 13 với mọi n N.
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d.
3
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1:
Đa thức A = n
n
n
2
+ n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1)
2
?
Giải
Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B.
Với n > 2, ta biến đổi A nh sau:

A = n
n
n
2
+ n 1 = n
2
(n
n-2
- 1) + (n - 1)
= n
2
(n - 1)(n
n-3
+ n
n-4
+ + 1) + (n - 1)
= (n 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1)
Nhận xét 2: n 1 (mod n 1) n
k
1 (mod n 1), kN
Từ đó: n
n-1
+ n
n-2

+ + n
2
n 2 (mod n 1)
Nên: n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1 n 1 (mod n 1)
Hay: n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1 0 (mod n 1) (1)
Nên: (n 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1) 0 (mod (n 1)
2
)
Hay: A = (n 1)(n
n-1
+ n
n 2

+ + n
2
+ 1) chia hết cho (n 1)
2
.
Vậy: A = n
n
n
2
+ n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1)
2
.
Dạng 4: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn
Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia
A cho 10
m
.
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A =
4
3
2
?
Giải
Ta có: A =
4
3
2
= 2
81
= 2

4.20 + 1
= 2.(2
4
)
20
= 2.16
20
Nhận xét: 16 6 (mod 10) 16
20
6
20
(mod 10)
Từ đó: 16
20
6 (mod 10), mà 2 2 (mod 10)
Nên: 2.16
20
6.2 (mod 10) 2.16
20
2 (mod 10)
Vậy A chia cho 10 d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2.
Ví dụ 2: Tìm sáu chữ số tận cùng của số B = 5
21
?
Giải
Nhận xét: B = 5
15
= 5
3.5
= 125

5
(-3)
5
(mod 2
6
)
Hay 5
15
13 (mod 2
6
) 5
15
.5
6
13.5
6
(mod 2
6
.5
6
)
Hay là: B = 5
21
13.15625 (mod 10
6
)
B 203125 (mod 10
6
)
Vậy B chia cho 10

6
d 203125, nên B có 6 chữ số tận cùng là 203125.
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d.
4
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng:
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532
5
1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 4)
Bài 2: Cho số nguyên n > 1. Tìm d trong phép chia:
A = 19n
n
+ 5n
2
+ 1890n + 2006 cho B = n
2
2n + 1 ?
Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Bài 3: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số tự nhiên 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ?
Bài 4: Tìm dấu hiệu chia hết cho 21 của một số tự nhiên có 3 chữ số ?
ĐS: a 2b + 4c chia hết cho 21.
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Bài 5: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:
3
n
+ 1 chia hết cho 10 3
n+4

+ 1 chia hết cho 10 ?
Bài 6: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng:
a) A = 2
4n
1 chia hết cho 15;
b) B = 2
5n
1 chia hết cho 31;
c) C =
5
2
2
+ 1 chia hết cho 641;
d) D = 6
2n
+ 19
n
2
n+1
chia hết cho 17;
e) E = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19;
f) F = 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8

2n+1
chia hết cho 59.
Bài 7: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n > 0, ta luôn có:
5
2n-1
.2
n+1
+ 3
n+1
.2
2n-1
chia hết cho 38 ?
Bài 8: Chứng minh rằng: a) A =
69
119
220
+
220
69
119
+
119
220
69
chia hết cho 102 ?
b) B =
1930 1975
1890 + 1945 + 1
chia hết cho 7 ?
Bài 9: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

Số M = 21
2n+1
+ 17
2n+1
+ 15 không chia hết cho 19 ?
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:
A = n
n
+ 5n
2
11n + 5 chia hết cho (n 1)
2
?
Bài 11: Cho a; b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ?
Dạng 4: tìm chữ số tận cùng của một số lớn
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của số: A =
9
9
9
? (ĐS: 1)
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của số: B =
14
14
14
? (ĐS: 6)
Bài 14: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số C =
( ) ( )
1976 1974 1975 1973
1976 - 1974 1976 + 1974

?
(ĐS: 0000)
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d.
5