TÀI LIỆU THAM KHẢO QUAN điểm DUY vật BIỆN CHỨNG về cơ sở PHÁT TRIỂN của TOÁN học

QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ CƠ SỞ PHÁT
TRIỂN CỦA TOÁN HỌC
1. Ảnh hưởng của những yếu tố khách quan đối với sự phát
triển của toán học
Xuất phát từ lịch sử của toán học chúng ta có thể phân chia tất cả
những yếu tố quan trọng nhất có ảnh hưởng đến qua trình phát triển của
toán học thành những yếu tố bên ngoài và yếu tố bên trong. Có thể nói rằng
tất cả những nhu cầu của sản xuất xã hội, của kinh tế và kỹ thuật, đồng thời
cả những nhu cầu của khoa học xã hội - nhân văn và khoa học tự nhiên đều
có liên quan đến yếu tố bên ngoài của sự phát triển những học thuyết và tư
tưởng toán học. Trên thực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị và môi trường
văn hóa - khoa học của thời đại cũng có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển
của toán học.
Trước hết toán học cũng như tất cả các khoa học khác, sự xuất hiện
của nó nhất thiết phải đáp ứng cho nhu cầu của sản xuất xã hội. Điều này
được thể hiện rất rõ từ thời Ai Cập cổ đại, khi đó toán học có tính chất thực
dụng một cách thuần túy, đồng thời đa số các phương pháp toán học được
sử dụng là để giải quyết các nhiệm vụ do nhu cầu thực tiễn của việc đo đạc
đất đai, của việc tính toán thể tích của các vật thể và xây dựng các công
trình (chẳng hạn như công trình nổi tiếng kim tự tháp) v.v...
Rõ ràng rằng, từ cội nguồn xuất phát đó, các phép đếm sơ đẳng và
những cách đo đạc đã được sử dụng trong nhiều thế kỷ. Nhưng cùng với sự
xuất hiện các nền văn minh, sự phát triển tiếp theo của các tri thức toán học
đã diễn ra trong sự tác động qua lại, gắn bó hữu cơ với tự nhiên học.
Lịch sử toán học và văn hóa nói chung đã tích lũy được một khối tư
liệu khổng lồ, nó đã chứng tỏ một cách chắc chắn rằng những khái niệm
xuất phát và các phương pháp của những ngành cổ xưa nhất của toán học là
có nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể như số học và hình học. Trên thực tế

1

những tư tưởng toán học đầu tiên đã được hình thành dưới ảnh hưởng của
các nhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế, kỹ thuật, thương mại, quân sự v.v... và
hiện tại, đa số các nhà khoa học đã không phủ nhận điều đó.
Trong lịch sử của khoa học đặc biệt là trong triết học đã có không ít
các nhà hoạt động khoa học đã xem xét sự phát triển của toán học độc lập
với bất kỳ kinh nghiệm và thực tiễn nào. Những quan điểm về tính chất tiên
nghiệm của tri thức toán học đã được truyền bá rộng rãi trong triết học duy
tâm, kể cả trong xã hội hiện đại. Về vấn đề này, một số nhà khoa học đã có
những quan niệm sai lầm rằng, một khi những lý thuyết toán học mới được
thiết lập cùng với việc giải quyết những vấn đề của các khoa học kỹ thuật
và tự nhiên, thì điều đó dường như đã chứng tỏ toán học đã phát triển trên
cơ sở những tài liệu của tự nhiên học và các khoa học cụ thể khác, chứ
không phải là sản xuất, kỹ thuật và kinh tế v.v... Sự thực là những người
đứng về phía quan điểm trên đã thừa nhận rằng đặc điểm quan trọng trong
sự phát triển của tri thức toán học là ở chỗ, từ một thời điểm xác định nào
đó, các nhu cầu của sản xuất, kỹ thuật và kinh tế đã thường xuyên được
phản ánh thông qua các nhu cầu của các khoa học gần gũi với sản xuất.
Nhưng chính điều đó lại hoàn toàn không phải là cơ sở để loại trừ sự tác
động của thực tiễn đến sự phát triển của toán học. Đồng thời nó cũng
không chứng tỏ rằng, toán học được phát triển chỉ dựa trên cơ sở những tư
liệu của tri thức thuần túy. Điều quan trọng nhất là chúng ta phải lý giải
được sự cần thiết về việc tác động của các nhu cầu sản xuất, kỹ thuật và
kinh tế đối với sự phát triển của toán học. Sự tác động đó đang trở nên gián
tiếp và ngày càng phức tạp. Ở đây, cần phải nói rằng, toán học phát triển
được là dựa trên cơ sở của các khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật và các
khoa học xã hội nhân văn, nhưng các khoa học này lại khai thác các tư liệu,
những vấn đề và đưa ra mục đích của mình từ thực tiễn. Cho dù các khoa
học đó có tính độc lập tương đối, có tính lôgic bên trong của sự phát triển các
khái niệm và lý thuyết của mình thì cũng không phải vì thế mà nghi ngờ

2


rằng, mối liên hệ của chúng với sản xuất xã hội, với kỹ thuật và kinh tế bị
giảm bớt.
Mặt khác, do bản chất trừu tượng của toán học và tính chất tư biện
của các phép chứng minh toán học, cho nên sự tác động của các yếu tố bên
trong là rất mạnh. Chính vì vậy, người ta thường vin vào tình tiết đó với tư
cách là chứng cớ để chứng minh rằng, sự phát triển của toán học được diễn
ra độc lập với thực tiễn. Tính thiếu căn cứ của chứng cớ trên là ở chỗ, nó đã
cường điệu và tuyệt đối hóa một cách quá mức thời điểm của tính độc lập
tương đối trong sự phát triển của tri thức toán học, mà không hề cân nhắc
đến vai trò của yếu tố bên ngoài, đặc biệt là vai trò của sản xuất xã hội
trong sự phát triển của khoa học nói chung và qua đó kéo theo sự phát triển
của toán học. Trong khi giải thích sai lệch vai trò của các yếu tố bên trong
về sự phát triển của toán học, những nhà khoa học duy tâm đôi khi đã phủ
định hoàn toàn một khuynh hướng nào đó của nhận thức toán học. Điều
này đã thể hiện rất rõ trong các quan điểm của một số nhà khoa học, khi
xuất hiện các phát minh về hình học phi ơclít. Các nhà triết học duy tâm,
khi giải thích về vai trò của các yếu tố bên trong của sự phát triển toán học
đã không hề chú ý đến tính kế thừa trong sự phát triển của lý luận và về khả
năng phát triển nội tại của tri thức toán học.
Từ lập trường duy vật biện chứng, chúng ta có đầy đủ cơ sở khoa
học để nhận thấy rằng, những biến đổi căn bản trong bản thân toán học về
nhiều mặt đã được quyết định bởi nhu cầu của khoa học tự nhiên, kỹ thuật
và qua đó chúng được quyết định bởi nhu cầu của sản xuất xã hội. Chẳng
hạn, việc chuyển từ toán học về những đại lượng bất biến sang toán học về
những đại lượng biến thiên đã dẫn đến sự ra đời của môn giải tích toán học,
mà cơ sở của nó là các phép tính vi phân và tích phân. Sự chuyển biến đó

đã được quyết định trước hết bởi các nhu cầu của cơ học, của thiên văn học
và tri thức kỹ thuật. Cụ thể hơn, những vấn đề nghiên cứu sự vận động và
các quá trình biến đổi của các sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan

3


đã tạo ra sự phát triển trong các khoa học nói trên, trong đó hệ thống toán
học về các đại lượng biến thiên đã được thành lập để phân tích những vấn
đề đó. Tiếp theo, nhu cầu phát triển của lực lượng sản xuất cũng như việc
chuyển từ lao động chân tay sang sản xuất cơ khí trong xã hội tư bản đã
kích thích cơ học và thiên văn học phát triển. Chính những điều đó đã nói
về cuộc cách mạng mới nhất trong toán học, nó đã được đánh dấu bằng
việc mở rộng tiếp theo phạm vi nghiên cứu của toán học, bằng việc chuyển
từ việc nghiên cứu tính phụ thuộc giữa các đại lượng đến việc nghiên cứu
các cấu trúc trừu tượng của những hình dạng không gian và những quan hệ
số lượng phức tạp nhất. Việc thành lập môn kỹ thuật - điện toán đã mở rộng
một cách đáng kể những khả năng áp dụng các phương pháp toán học trong
khoa học, trong kinh tế và trong kỹ thuật. Có thể nói rằng, việc áp dụng
rộng rãi các phương pháp toán học như thế chính là kết quả của sự phát
triển mạnh mẽ của khoa học - kỹ thuật và rốt cuộc đã dẫn đến cuộc cách
mạng khoa học và công nghệ hiện đại.
Sự tác động của những yếu tố bên ngoài như triết học và văn hóa
tinh thần nhìn chung được thể hiện trước hết ở các nguyên tắc lập luận của
toán học, ở bản chất của những giá trị khoa học và của sự tập trung chú ý
đến những vấn đề lý luận này hay lý luận khác. Đặc biệt sự tác động đó còn
thể hiện ở việc giải thích những vấn đề căn bản nhất của toán học như: tính
chân lý và các phép chứng minh, mối quan hệ qua lại của vô hạn và hữu
hạn, của lôgic và trực giác, của nội dung và hình thức. Trên thực tế, những
vấn đề nói trên thường là vũ đài của những cuộc tranh luận về các chương

trình khác nhau của lập luận toán học, chẳng hạn như chúng đã được đưa ra
cùng với việc xuất hiện các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp. Bản thân triết
học đã có vai trò to lớn trong việc giải thích bản chất của lý thuyết tập hợp,
nó đã chỉ rõ thực chất của các cuộc tranh luận giữa các trường phái triết học
khác nhau về bản chất của các tập hợp và của những khách thể trừu tượng
khác của toán học. Sự ảnh hưởng tiêu cực của triết học tiên nghiệm và kinh
nghiệm đến sự phát triển của toán học đã thể hiện rõ nhất trong việc phát

4


minh ra hình học phi ơclít. Trái lại với những quan điểm trên, chủ nghĩa
duy vật biện chứng cho rằng những phát minh ra hình học phi ơclít đã
chứng tỏ một cách đúng đắn về sức sáng tạo của tri thức lý luận và về con
đường biện chứng của nhận thức qua những chân lý tương đối.
Như vậy, ảnh hưởng của những tư tưởng triết học và văn hóa tinh
thần nói chung đến sự phát triển của toán học là quá rõ ràng. Để minh
chứng cho điều này chúng ta hãy xem xét một số thí dụ trong lịch sử khoa
học. Trước hết là hoạt động của nhà triết học kiêm toán học vĩ đại Hy Lạp
cổ đại - Đêmôcrít. Ông là một nhà bác học đầu tiên đã sử dụng có kết quả
phép phân chia các vật thể thành những lớp mỏng để tính thể tích của
chúng. Về thực chất, phương pháp này liên hệ chặt chẽ với học thuyết về
cấu tạo nguyên tử của các vật thể mà Đêmôcrít đã phát triển sau Lơxíp.
Bằng phương pháp đó, Đêmôcrít. đã chứng minh những quy tắc không
những chỉ để tính thể tích hình chóp, mà còn tính được thể tích hình trụ,
hình nón, hình cầu và nhờ đó ông đã khắc phục được khó khăn mà trước đó
những nhà hình học của trường phái Pitago không thể vượt qua được. Như
vậy, Đêmôcrít đã tiến được một bước đầu tiên trong việc xây dựng tiên đề
của phép tính tích phân và lý thuyết về giới hạn, từ đó ta có thể đoán trước
được kết quả cần tìm.

Nhà toán học cổ đại Hy Lạp nổi tiếng là Acsimét đã đánh giá đúng
tác dụng của phương pháp Đêmôcrít, đã phát triển phương pháp đó và đã
sử dụng nó để giải những bài toán tĩnh học và hình học phức tạp nhất. Nhờ
việc đánh giá đúng phương pháp Đêmôcrít, Acsimét đã thấm nhuần những
đòi hỏi của thực tiễn nghiên cứu sự tiến bộ của thời đại. Trong khi đó,
Platôn - người sáng lập ra chủ nghĩa duy tâm khách quan, lại tỏ thái độ
hoàn toàn khác đối với Đêmôcrít.. Platôn đã thể hiện thái độ đối đầu với
học thuyết của Đêmôcrít về thế giới, bởi vì cơ sở duy vật và quan điểm của
Đêmôcrít về sự chuyển động vĩnh viễn và không thể tiêu diệt được của
nguyên tử không thể dung hòa với những tư tưởng sai lầm là công nhận sự

5


tồn tại của thượng đế. Platon không những chỉ phê bình học thuyết của
Đêmôcrít mà còn muốn mua tất cả và đốt tất cả những công trình của
Đêmôcrít. Điều mà Platon không làm được thì những kẻ có quyền lực cùng
tư tưởng với ông ta đã thực hiện một thời gian ngắn. Ở thời đại Acsimét,
việc tìm kiếm các tác phẩm của Đêmôcrít là rất khó khăn trong bất cứ
trường hợp nào. Rõ ràng là điều đó đã cản trở sự truyền bá rộng rãi những
tư tưởng tiến bộ của Đêmôcrít, đặc biệt là những tư tưởng duy vật của ông.
Một sự thật lịch sử nữa là vào thời kỳ phong kiến, đặc biệt là ở các nước
tây Âu, do sự thống trị của nhà thờ, người ta đã ban hành những đạo luật
trừng phạt rất nặng các nhà khoa học, nếu đi ngược lại lý thuyết thần học.
Dưới các đạo luật đó, không phải chỉ một mình nhà khoa học Brunô bị chết
trong lửa thiêu. Cơ sở thực tế của những sự kiện dã man đó là trong thời kỳ
phong kiến, ngoài những nhận thức về chính trị và lý luận khác nhau, những
yêu cầu của hoạt động sản xuất đối với toán học nói chung là rất nhỏ, là
không đáng kể.
Để sáng tỏ thêm vấn đề, chúng ta hãy xem xét thêm về hoạt động của

nhà toán học vĩ đại người Pháp là Cô-si, đồng thời cũng là một tín đồ tôn giáo.
Như chúng ta đã biết vào nửa đầu của thế kỷ XIX, lý thuyết về giới hạn được
thiết lập đã đánh dấu sự ra đời của bộ môn giải tích học. Những vấn đề về vô
hạn tiềm năng đã trở thành những khái niệm cơ sở của giải tích học. Bây giờ
chúng ta hãy tìm hiểu quan điểm của Cô-si về vô hạn. Đầu tiên Cô-si đã chỉ ra
một cách đúng đắn rằng, nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay mỗi
vật thể có thể chia ra đến vô hạn, thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả
những vật thể đó, cũng như tập hợp các phần của một vật thể không thể
biểu diễn bằng bất cứ số tự nhiên nào. Đó là một luận điểm đúng, nhưng để
mô tả cho nội dung của nó thì chỉ có sử dụng số vô hạn. Nhưng Cô-si lại
khẳng định rằng, không thể có được ý kiến về số vô hạn những sinh vật hay
là số vô hạn những vật thể cùng tồn tại mà không rơi vào những mâu thuẫn
hiển nhiên. Theo Cô-si, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp vô hạn là ở chỗ,
nếu một tập hợp đối tượng mà vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả những đối

6


tượng đó theo một dãy nào đó, và có thể đánh số chúng sao cho những số
hiệu của chúng lập thành một dãy số tự nhiên 1, 2, 3,..., n,... và khi đó đã
phải giả thiết rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn. Cô-si cho rằng điều giả
thiết này là vô lý. Ông đã lập luận như sau: Nếu dãy số tự nhiên kéo dài
mãi đến số vô hạn thì một mặt, có bao nhiêu số tự nhiên là có bấy nhiêu số
tự nhiên chính phương, bởi vì, với mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số
n2 và ngược lại.
1, 2, 3,..., n,...
12, 22, 33,..., n2,...
Mặt khác, nếu số tự nhiên n càng lớn, thì tỷ số giữa các số chính
phương từ 1 đến n càng trở nên nhỏ đi, từ đó phải kết luận rằng, nếu các
dãy số tự nhiên có thể kéo dài đến vô hạn, thì các bình phương của dãy số

đó chỉ là một bộ phận vô cùng nhỏ bé trong dãy số đó. Theo Cô-si, chính
giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn đã đưa đến những mâu thuẫn quá rõ
ràng, cho nên cần phải bác bỏ giả thiết đó. Đó là lý do vì sao Cô-si không
bao giờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vô hạn, đối với ông ta, vô hạn chỉ
là vô hạn tiềm năng. Kết luận của Cô-si sai lầm ở chỗ, ông đã xuất phát từ
việc đồng nhất tính chất của những tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn một
cách không có căn cứ. Điều khẳng định của Cô-si không thể phủ nhận được
tính chất khách quan của khái niệm tập hợp vô hạn, mà chỉ chứng tỏ rằng,
các tập hợp hữu hạn và vô hạn có nhiều tính chất khác nhau. Ví dụ, điều
khẳng định "toàn thể lớn hơn mỗi bộ phận của nó" chỉ đúng với những tập
hợp hữu hạn, mà không đúng trong lĩnh vực của những tập hợp vô hạn.
Lịch sử phát triển của toán học đã ghi nhận rằng, những chuyển
biến quan trọng trong sự phát triển của nội dung và phương pháp luận của
toán học giải tích đã gắn liền với tên tuổi của Cô-si. Nhưng ở đây, vì sao
Cô-si lại phản bác lại phương pháp luận khoa học về vấn đề bản chất của
tập hợp vô hạn. Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì Cô-si là một tín đồ tôn giáo,
mà theo những lời dạy của tôn giáo về nguồn gốc của thế giới là đã có một

7


người đầu tiên, một khoảnh khắc đầu tiên mà trái đất đã xuất hiện trong
không gian và bắt đầu tồn tại. Điều này hoàn toàn trái ngược với việc công
nhận sự tồn tại của tập hợp vô hạn những đồ vật. Có thể nói rằng, sự đầu cơ
thần bí luận đã ngăn cản Cô-si nhìn thấy công cụ có hiệu quả của toán học
giải tích trong khái niệm vô hạn hiện thực. Nhưng thần bí luận đã cản trở
không phải chỉ một mình Cô-si, một sự thật nữa trong lịch sử toán học là
vào nửa cuối thế kỷ XIX, những học thuyết của nhà thờ và những nhà toán
học đi theo lý luận đó đã ngăn cản nhà toán học Cantor hoàn thiện lý thuyết
tổng quát về tập hợp. Họ đã tìm mọi cách để ngăn cản những công trình

nghiên cứu của Cantor, đồng thời trong những lời công kích Cantor, họ đã
sử dụng những công trình nghiên cứu của Cô-si về vô hạn hiện thực.
Nhưng trong thời đại của Cantor, lý thuyết tập hợp đã trở nên rất cần thiết
cho sự phát triển sau này của toán học, chính vì vậy Cantor đã bất chấp sự
công kích của các nhà thần học, tiếp tục hoàn thiện công trình của mình.
Nhưng khi những nghịch lý của lý thuyết tập hợp được phát hiện thì những
nhà thần học lại một lần nữa công kích kịch liệt khái niệm về vô hạn hiện
thực.
Tuy nhiên, cần phải thấy rằng, mặc dù các tư tưởng thần học và hệ
tư tưởng thống trị của giai cấp bóc lột đã cản trở rất nhiều sự phát triển của
khoa học tự nhiên nói chung và toán học nói riêng, song điều đó cũng
không thể buộc khoa học đi ngược lại quy luật khách quan của nó. Điều
này dễ được nhận thấy trong thời kỳ tư bản công nghiệp, khi việc sử dụng
một cách tự giác nội dung khách quan của khoa học tự nhiên và toán học là
vô cùng cần thiết cho sự phát triển sản xuất, thì những nhà thần học đã phải
hạn chế những tham vọng của mình. Một mặt, những nhà duy tâm thần học
vẫn nắm lấy những lý luận mà theo họ là khoa học để phủ định những chân
lý của toán học nhằm bảo vệ sự trong sạch trong lý thuyết của họ. Mặt
khác, họ vẫn để cho các nhà tư bản có khả năng sử dụng toán học theo sự
cần thiết thực tế. Một thực tế nữa là những chân lý của khoa học tự nhiên
cũng như của toán học có tính chất khách quan cho nên chủ nghĩa duy vật

8


luôn luôn là cơ sở triết học của chúng. Những thành tựu tốt đẹp nhất của
khoa học tự nhiên và toán học gắn liền với một thực trạng là trong thực tiễn
hoạt động khoa học, các nhà bác học đã và đang được những quan điểm
duy vật về đối tượng của mình chỉ đạo. Tiếp đó, ta nhận thấy, trong bất cứ
xã hội nào, đặc biệt là xã hội được xây dựng trên cơ sở bóc lột và áp bức

quần chúng lao động, bao giờ ta cũng thấy có những người tiến bộ đối với
thời đại của mình. Những người đó đã nhận thức rõ vai trò cao cả của khoa
học trong sự nghiệp phục vụ nhân dân một cách vô tư và kiên quyết đấu
tranh chống lại việc sử dụng khoa học vào mục đích có hại cho loài người,
đồng thời phản đối lại sự xuyên tạc nội dung của khoa học.
Vào thế kỷ thứ XIX, những quan điểm toán học phổ biến về những
vấn đề khoa học, sự đổi mới vĩ đại về mặt tư tưởng và sự nhận thức rõ ý
nghĩa xã hội quan trọng bậc nhất của giáo dục và các hoạt động khoa học,
đó là những nét đặc sắc gắn liền với nhau trong sự sáng tạo toán học tiến bộ
của nhân loại. Chẳng hạn, Lôbasepxki là một nhà duy vật có tinh thần
chiến đấu rất cao. Ông đã nhìn nhận vấn đề cơ sở phát triển của toán học
trên quan điểm duy vật, đã đấu tranh chống lại những luận điệu xuyên tạc
duy tâm và siêu hình trong nhận thức về nội dung và những quy tắc của
toán học. Điều đó đã đóng vai trò to lớn trong những thành tựu sáng tạo của
Lôbasepxki, đặc biệt là trong việc xây dựng hình học Hypecbôlíc. Quan
điểm duy vật đối với những vấn đề giảng dạy toán học đã giúp cho
Lôbasepxki hoàn thiện một cách khoa học một loạt vấn đề cơ bản về
phương pháp dạy toán ở trường phổ thông. Đối với Se-bư-trép, sự phát
triển của toán học có liên quan chặt chẽ đến sự phân tích khoa học toàn
diện và những vấn đề thực tiễn. Những thành công của Sê-bư-trép, đặc biệt
là những công trình nghiên cứu của ông về những hàm số đã gắn liền với
quan điểm duy vật khoa học về mối quan hệ tương hỗ giữa toán học và
thực tiễn.
Nói tóm lại, cả chủ nghĩa duy tâm lẫn chủ nghĩa duy vật mác-xít
đều công nhận rằng, trong sự phát triển của toán học, những nguyên nhân
tư tưởng đóng một vai trò quan trọng. Nhưng chủ nghĩa duy tâm đã giải
9


thích những lực lượng tư tưởng đó một cách sai lệch, siêu hình. Nó đã giải

thích chúng như một nguyên nhân xuất phát của sự sáng tạo của các nhà
khoa học, không nhìn thấy rằng suy cho cùng thì những lực lượng đó đã
được sinh ra từ những vấn đề phát triển của đời sống vật chất xã hội.
2. Ảnh hưởng của những yếu tố bên trong đến quá trình phát
triển của toán học
Xuất phát từ sự phân tích một cách khoa học ảnh hưởng của những
yếu tố bên ngoài đến sự phát triển của toán học, chúng ta có thể khẳng định
một cách chắn chắn rằng, toán học có nguồn gốc từ hoạt động thực tiễn của
con người. Nhưng không phải vì thế mà lại kết luận rằng, mọi lý thuyết
toán học chỉ có thể xuất hiện khi đã có những yêu cầu cụ thể của hoạt động
thực tiễn của con người. Ở đây ta muốn đề cập đến vai trò của các yếu tố
bên trong đối với quá trình phát triển của toán học. Những yếu tố bên trong
của sự phát triển toán học đã bắt đầu thể hiện rõ nét từ thời điểm hình thành
toán học như một khoa học lý thuyết, có nghĩa là từ thời điểm trong toán
học đã xuất hiện những vấn đề đặc thù có liên quan đến việc hệ thống hóa
và chỉnh lý những tư liệu hiện thực đã được tích lũy, liên quan với việc
hoàn thiện và phát triển những phương pháp, những khái niệm, những lý
thuyết toán học, đồng thời liên quan tới việc khắc phục những khó khăn và
những nghịch lý xuất hiện trong toán học. Chừng nào tất cả những vấn đề
trên xuất hiện trong lĩnh vực toán học thì chúng được gọi là những yếu tố
bên trong của sự phát triển những tri thức toán học.
Chủ nghĩa duy vật biện chứng đã chứng minh rằng, nhờ tính khách
quan của các quy luật lôgic và của các dữ kiện khoa học tự nhiên, đặc biệt là
nhờ những xu hướng thực tế của lý thuyết của các khoa học tự nhiên mà trong
bản thân chúng có khả năng nội tại về sự phát triển. Điều đó cũng có nghĩa là,
sự phát triển của các khoa học tự nhiên là có tính độc lập tương đối. Trong
toán học, nếu xem xét các tiền đề thực tại của quá trình hình thành khái niệm
về số thực và số ảo, cũng như khi xem xét những điều kiện phát sinh của các

10

môn hình học phi ơclít như hình học Lôbasepxki, hình học Rieman v.v...
chúng ta sẽ thấy rất rõ tính độc lập tương đối trong sự phát triển của toán học.
Như vậy, theo quan điểm duy vật biện chứng, khả năng phát triển
nội tại của toán học theo các quy luật lôgic vốn có của nó là hoàn toàn có
thể. Ở đây, khi phản ánh những tính chất và tính quy luật trong các tương
quan về lượng và hình dạng không gian của thế giới vật chất, toán học đã
tìm thấy những số liệu, mà từ đó chỉ cần căn cứ vào tính khách quan của
lôgic nội tại của toán học, chúng ta cũng có thể rút ra được những kết luận
đúng đắn. Sở dĩ Lôbasepxki, Bôliai và Gau-xơ phát triển được hình học
Hypecbôlic chính là do hình học đó phản ánh được những tương quan và
mối liên hệ giữa các đối tượng tồn tại, mặc dù họ chưa biết đến các đối
tượng đó. Từ quan điểm trên, chúng ta hãy xem xét tính quy luật của quá
trình hình thành các số phức. Số ảo i (i 2 = -1) theo quan niệm thông thường
là không có thực, nhưng nếu thừa nhận nó là có thực, chúng ta có thể giải
quyết được một số vấn đề rất phức tạp trong lý thuyết trừu tượng. Nếu
không có số ảo đó, trong nhiều trường hợp chúng ta không thể tìm được cái
vốn là có thật của các lý thuyết trừu tượng, chẳng hạn như khi tìm nghiệm
của phương trình bậc ba: x3 - 7x + 6 = 0. Theo cách lập luận của nhà toán
học Cac-da-nô, để giải phương trình bậc ba tổng quát x 3 + px + q = 0, ta đặt
x = y + z với sự ràng buộc giữa y và z là yz = - . Từ đó ta sẽ rút ra được
nghiệm tổng quát của phương trình này là:
x 3

q
q2 p3
q q2
p3
 


 

2
4 27
2 4
27

Áp dụng công thức này với phương trình x 3 - 7x + 6 = 0 ta tìm
10
10
 1  3  3
 1.
được x = 3  3
3 3
3 3
Đến đây ta dễ thấy phương trình này vô nghiệm vì - 1 là số âm
trong dấu căn bậc hai. Như vậy, theo công thức tổng quát ta không thể tìm
được nghiệm của phương trình. Nhưng rõ ràng là phương trình x 3 - 7x + 6

11


= 0 có tới ba nghiệm thực là 1; 2 và - 3. Ở đây, điều bí ẩn nào dẫn tới mâu
thuẫn này trong nội bộ lý luận. Cách giải của Cac-da-nô là rất chính xác
nhưng lại dẫn đến bế tắc. Vấn đề phải quan tâm đến là cần phải xét lại căn
bậc hai của một số âm. Giả sử ta coi như một dạng số mới, kí hiệu là i và
cứ tính toán bình thường như những con số khác, đồng thời áp dụng
phương pháp Cac-da-nô, thì ta sẽ tìm được ba nghiệm số là x1 = 1; x2 = 2 và
x3 = -3. Trong trường hợp này, số ảo i (i 2 = -1) như là chiếc cầu nối từ cái

thực đến cái thực. Nhưng trong khi sử dụng công thức để giải thì việc đi từ
cái thực đến cái thực phải mượn khái niệm trừu tượng là cái ảo làm cầu nối.
Điều đó có nghĩa là nhận thức của chúng ta đi từ một hiện thực đến một
hiện thực khác là con đường phải thông qua tư duy trừu tượng.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, chặng đường tư duy trừu
tượng trong toán học là hết sức phong phú và phức tạp, do vậy chúng ta
phải chấp nhận trong tư duy trừu tượng có những cái không liên quan gì tới
hiện thực cả và ta phải luôn luôn tôn trọng tính độc lập tương đối của tư
duy trừu tượng. Trong lịch sử toán học, nhiều nhà triết học và toán học đã
bằng mọi cách chứng minh rằng, bất cứ chân lý khoa học nào cũng có
nguồn gốc từ thực tiễn và do vậy theo họ, mọi định lý toán học nhất thiết
phải phản ánh một quan hệ nào đó của hiện thực. Chính điều này đã làm
nghèo nàn bức tranh nhận thức. Trên thực tế ta cần phải hiểu rõ một điều
rằng, xét về toàn thể thì chân lý bao giờ cũng cần phải được kiểm nghiệm
trong thực tiễn, song thực tiễn ấy không phải lúc nào cũng là tiêu chuẩn để
xét từng chân lý tương đối, cũng như đối với mỗi phán đoán được rút ra
trong toàn bộ quá trình nhận thức, đặc biệt là ở khâu tư duy trừu tượng của
nó. Bởi vậy, trong toán học luôn luôn có những phán đoán, những kết luận
không nhất thiết phải phản ánh hiện thực ở một thời điểm nào đó.
Lịch sử toán học đã chứng tỏ rằng, con đường chủ yếu của sự phát
triển và xây dựng cơ sở của các lý thuyết toán học, của các khái niệm, các
nguyên lý và mệnh đề toán học là con đường mở, khái quát hóa, mà trong
đó mọi cái cũ và mới đều được phản ánh dưới một dạng thống nhất, được
12


xem là những mâu thuẫn không đối kháng của một thể thống nhất và tổng
quát hơn. Chẳng hạn, khi xây dựng lý thuyết trường số thực, người ta đã
xuất phát từ thực tế là nếu chỉ hạn chế trong phạm vi số hữu tỷ thì không
thể biểu diễn được độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh là

đơn vị, cũng như độ dài của đường tròn và diện tích của hình tròn bằng một
số được. Từ đó, người ta khám phá ra rằng, trường số hữu tỷ không có tính
liên tục, còn đường thẳng là có tính liên tục. Từ sự khám phá đó, người ta
bắt đầu xem xét hai loại lát cắt đối lập trong lĩnh vực số hữu tỷ. Đó là loại
cắt được xác định bằng một số hữu tỉ và loại cắt không được xác định bằng
một số hữu tỷ nào. Khi đó, những loại lát cắt được xác định bằng các số
hữu tỉ sẽ có tính chất như là số hữu tỷ (tập hợp của tất cả những lát cắt loại
này là đẳng cấu với tập hợp tất cả các số hữu tỷ) và có thể gọi chúng là các
số hữu tỷ, còn những lát cắt không được xác định bằng các số hữu tỷ thì
được xem như là những số thuộc một loại mới và có thể gọi chúng là các số
vô tỷ. Tập hợp tất cả hai loại lát cắt đó là những số thực.
Việc nghiên cứu những tính chất cơ bản của trường số thực cho
thấy rằng, trường số thực cũng có tính chất liên tục như là tập hợp điểm
trên một đường thẳng. Nhờ đó mà giữa các điểm của một đường thẳng và
các số thực ta có thể thiết lập được một sự tương ứng một - một, bảo tồn
thứ tự nối tiếp nhau của các phần tử và giải quyết được các bài toán cơ bản
của hình học và giải tích toán học. Cũng từ đó, ta có thể tìm thấy những kết
quả cần thiết cho toán học, bởi vì tập hợp duy nhất của tất cả các lát cắt
trong trường số thực được coi như là một sự thống nhất của các mâu thuẫn,
mà cụ thể ở đây là sự thống nhất của những dạng lát cắt đối lập. Nghiên
cứu các dạng lát cắt này cho phép ta khám phá ra những quan hệ tương hỗ
và những sự khác nhau, cho phép ta xây dựng lý thuyết về số thực và loại
trừ được các mâu thuẫn đó trong một khái niệm thống nhất là số thực.
Về nguyên tắc, con đường phát triển lôgic của các dạng số khác như
số dương và số âm, số hữu tỷ và số phức, được xây dựng dựa trên lý thuyết

13


cặp cũng được tiến hành như trên. Từ đó, ta có thể rút ra kết luận: Sự phân

đôi của cái thống nhất và sự đấu tranh giữa các bộ phận mâu thuẫn của nó
chính là quy luật cơ bản chi phối cho việc đặt cơ sở của lý thuyết số trong
toán học hiện đại. Chính quy luật đó cũng đóng vai trò là cơ sở cho sự phát
triển lôgic của giải tích toán học. Chính lịch sử xây dựng và phát triển cơ
sở lôgic cho các khái niệm hàm số và tích phân đã chứng minh điều đó.
Trong lịch sử toán học, khi phát minh ra hình học Hypeclôlic,
Lôbasepxki và Bôliai đã nhận thức được rằng, hình học mới đã bao hàm
hình học ơclít. Thế nhưng nhiều nhà toán học đương thời đã không công
nhận điều đó và coi hình học Hypecbôlic là cái đối lập hoàn toàn với hình
học ơclít. Sự đối lập này sâu sắc đến mức là việc xác minh cái này đúng
tương đương với việc thừa nhận cái kia sai. Nhưng sau này, chính các nhà
toán học đã phủ nhận các luận điệu đối lập siêu hình đó. Rieman đã phát
minh ra hình học mới - hình học Eliptíc và chứng minh được rằng, cả ba bộ
môn hình học ơclít, Eliptic và Hypecbôlic chỉ là những lĩnh vực riêng biệt
của một lý thuyết thống nhất về không gian. Trên cơ sở đó, Rieman đã chỉ
ra rằng, trong tiến trình phát triển lôgic của mình, hình học cũng tuân theo
các quy luật cơ bản giống như đối với lý thuyết số và giải tích toán học.
Một vấn đề nữa cũng liên quan chặt chẽ với khả năng phát triển nội
tại của toán học, đó là khi một lý thuyết toán học đã hoặc đang được xây dựng
thì hầu như thường xảy ra những vấn đề và những bài toán có thể trình bày
với những lập luận của lý thuyết đó, nhưng không thể giải được bằng những
phương tiện của nó. Các nhà toán học đã liên tục tìm cách giải quyết các vấn
đề và những bài toán đó và thường đã vượt ra xa khỏi giới hạn của lý thuyết
đang nghiên cứu. Những cố gắng đó là một động lực bên trong thúc đẩy mạnh
mẽ sự phát triển của toán học. Nhìn chung, những kết quả đạt được là hết sức
quý báu so với những bài toán và những vấn đề đã sản sinh ra nó. Chẳng
hạn, những cố gắng nhằm chứng minh định lý lớn của Phecma: "Phương
trình xn + yn = zn với n > 2 và x, y  0 là không thể giải được trong trường
hợp số nguyên" đã thúc đẩy các nhà toán học xây dựng nên lý thuyết Iđêan

14


là cơ sở của lý thuyết vành trong toán học hiện đại. Đồng thời, những nỗ
lực của các nhà toán học cổ Hy Lạp để giải ba bài toán nổi tiếng của thời
xưa: Bài toán về chia ba một góc; gấp đôi hình lập phương và cầu phương
vòng tròn đã thúc đẩy họ nghiên cứu thiết diện hình nón và một số đường
cong siêu việt, phát triển các phương pháp hình học để giải các phương trình
bậc ba.
Nói tóm lại, một khi đã xuất hiện, lý thuyết toán học mới thường
thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ hơn. Dưới ánh sáng của những phát
minh mới, các khái niệm và phương pháp toán học có được một nội dung
và có thể phát triển những nội dung ấy thành những dữ kiện mới của toán
học. Chẳng hạn, như chúng ta đều biết, sự phát minh ra các phép tính vi
phân và tích phân đã có một ảnh hưởng to lớn đến việc xây dựng lý thuyết
số, lý thuyết hình học vi phân và nhiều lý thuyết toán học khác.
Trên cơ sở nghiên cứu sự phát triển nội tại của toán học, có nghĩa là
xem xét những yếu tố bên trong ảnh hưởng đến quá trình phát triển của
toán học, chúng ta có thể rút ra một số kết luận sau đây:
Thứ nhất, trong sự phát triển nội tại của toán học người ta đã thiết
lập mối liên hệ lôgic giữa các kết quả riêng lẻ của toán học và thống nhất
những kết quả đó trong các phạm vi của các lý thuyết toán học được xây
dựng bằng các tiên đề. Đồng thời, trong khi xem xét các tiên đề như những
sự khẳng định đúng đắn ta có thể bổ sung cho chúng những cách giải thích
cụ thể khác nhau, từ đó sử dụng chúng như một phương tiện để nghiên cứu
những hệ thống khác nhau của các sự vật. Mặt khác, trên cơ sở so sánh các
tiên đề chúng ta có thể dễ dàng thiết lập mối liên hệ và sự phân biệt giữa
những lý thuyết toán học khác nhau. Như vậy, có thể nói rằng, phương
pháp tiên đề không những là công cụ quan trọng của lập luận toán học mà
còn là phương tiện phát triển sáng tạo của toán học.

Thứ hai, sự phân hóa các tri thức đang tồn tại là một yếu tố thúc đẩy
sự phát triển nội tại của toán học. Quá trình này diễn ra trong mọi khoa học
và được quyết định bởi việc hướng tới nghiên cứu những lĩnh vực phù hợp

15


với các đối tượng. Ví dụ, sự phát triển của hình học đi đôi với sự xuất hiện
của tất cả các lý thuyết, các bộ phận và các bộ môn của nó như hình giải
tích, hình học xạ ảnh, hình học Afin, hình học vi phân, hình học đại số v.v...
Quá trình phân hóa tri thức đã dẫn đến sự mở rộng và đào sâu đáng kể các
tri thức toán học, đồng thời tăng cường số lượng các bộ môn toán học và sự
phân công lao động giữa các nhà khoa học. Trong quá trình phân hóa này,
bên cạnh mặt tích cực, còn có mặt trái của nó, đó là sự xuất hiện những khó
khăn trong mối giao tiếp giữa các nhà toán học và hạn chế lĩnh vực nghiên
cứu của họ, bởi vì phạm vi của những bộ môn toán học riêng rẽ đã bị thu
hẹp một cách đáng kể.
Thứ ba, sự liên kết giữa các tri thức toán học là một trong những
yếu tố bên trong có ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học. Trong bối
cảnh phát triển của toán học, sự phân hóa tri thức đi đôi với quá trình mâu
thuẫn biện chứng là sự liên kết các tri thức. Sự liên kết các tri thức toán học
đã dẫn tới sự xuất hiện những lý thuyết mới. Những lý thuyết đó là sự kết
hợp của hai hoặc một số lý thuyết của các bộ môn toán học khác nhau.
Trong lịch sử toán học, sự xuất hiện của hình học giải tích là bằng chứng rõ
nét nhất của sự kết hợp đó. Như chúng ta đã biết, trong hình học giải tích
các phương pháp đại số đã được sử dụng để nghiên cứu tính chất của các
hình hình học. Ngày nay, giải tích hàm được ứng dụng rộng rãi trong vật lý
lý thuyết hiện đại là một ví dụ sinh động về phép tổng hợp các quan niệm
lấy ra từ đại số, hình học, giải tích học, Tôpô học v.v... Những ví dụ nêu
trên đã chứng tỏ rằng sự liên kết các tri thức là nguồn gốc quan trọng của

sự phát triển bên trong của toán học, chính sự liên kết đó đã tạo điều kiện
thúc đẩy sự xuất hiện của các lý thuyết toán học mới khái quát hơn và sâu
sắc hơn.
Thứ tư, trong sự phát triển nội tại của toán học có việc mở rộng
những khái niệm và lý thuyết cũng là một yếu tố bên trong và là một trong
những nguồn gốc cơ bản của sự phát triển toán học. Nhờ có sự mở rộng đó
mà ý nghĩa và ngoại diên của các khái niệm cũ được thay đổi một cách cơ
16


bản và do đó phạm vi ứng dụng của nó cũng được mở rộng. Chẳng hạn,
như sự xuất hiện của các khái niệm số hữu tỷ, số thực, số phức là ví dụ
quen thuộc nhất về sự mở rộng nói trên. Tất cả các khái niệm trên có thể
được xem như những sự mở rộng liên tục của số tự nhiên. Trong hình học,
sự mở rộng khái niệm không gian trên cơ sở không gian ba chiều là điều
đáng nói nhất. Các khái niệm không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều,
các khái niệm xạ ảnh, Tôpô, Mêtric và các dạng khác của không gian toán
học trừu tượng đã xuất hiện nhờ có quá trình mở rộng. Chừng nào sự mở
rộng diễn ra bình thường trong các phạm vi của các lý thuyết xác định thì
với cùng một cơ sở đều có thể nói về sự mở rộng các lý thuyết toán học.
Trong quá trình mở rộng các khái niệm và các lý thuyết toán học cần thiết
phải giữ gìn mối liên hệ và tính kế thừa giữa các lý thuyết cũ và mới.
Tất cả những điều kể trên nói về những nguồn gốc bên trong quan
trọng nhất đối với sự phát triển các tri thức toán học, chúng đã tác động lẫn
nhau hỗ trợ cho nhau tạo thành động lực bên trong cho sự phát triển của toán
học. Ví dụ, quá trình liên kết tri thức đã ước tính sự mở rộng những quan niệm
cũ, việc đưa ra những giả thuyết mới, sự chỉnh lý về mặt lôgic những kiến
thức mới. Nhờ kết quả tác động lẫn nhau của các yếu tố bên trong mà quá
trình phát triển độc lập tương đối của toán học đã được diễn ra. Quá trình này
đã dẫn đến sự xuất hiện những lý thuyết vượt xa hơn nhu cầu của thực tiễn

hiện tại (chẳng hạn như lý thuyết các mặt Cônic, các số phức, hình học phi
ơclít v.v...). Chính điều đó đã giải thích vì sao ta lại không thể không coi trọng
tính lôgic bên trong của sự phát triển các tư tưởng toán học và không chỉ lấy
việc giải quyết các nhiệm vụ thực dụng để hạn chế mục tiêu của toán học.
3. Sự tác động qua lại giữa các yếu tố bên trong và bên ngoài
đối với sự phát triển của toán học
Lịch sử toán học đã chỉ ra rằng, sự phát triển của toán học là một
quá trình chứa đầy mâu thuẫn biện chứng và vô cùng phức tạp, trong đó
phải kể đến sự tác động qua lại giữa các yếu tố bên trong và bên ngoài là

17


một động lực quan trọng. Trong suốt quá trình đó, hoặc là yếu tố bên ngoài;
hoặc là yếu tố bên trong được nổi trội lên hàng đầu. Nói một cách cụ thể
hơn, trong những khoảng thời gian khác nhau, hoặc là những nhiệm vụ đặt
trước toán học, đặt trước thực tiễn và những khoa học ứng dụng; hoặc là
những vấn đề xuất hiện trong bản thân toán học cùng với sự nghiên cứu lý
luận thuần túy là nguồn gốc vận động chủ yếu của sự phát triển toán học.
Tất nhiên, cần phải quán triệt một điều, những nhu cầu thực tiễn xã hội và
những sự ứng dụng thực tế là những yếu tố giữ vai trò quyết định, bởi vì
toán học cũng như tất cả các khoa học khác, nói chung đều phục vụ lợi ích
của con người, đồng thời coi việc hiểu biết sâu sắc và đầy đủ hơn về các
quy luật khách quan của thế giới hiện thực cũng như việc sử dụng chúng vì
hạnh phúc của con người là mục đích cao nhất của mình.
Vấn đề mối quan hệ biện chứng giữa các yếu tố bên trong và bên
ngoài trong quá trình phát triển của toán học chỉ có thể được sáng tỏ trên cơ
sở phân tích cụ thể từng thời kỳ phát triển của toán học.
Thời kỳ đầu tiên trong lịch sử phát triển của toán học, xét về thực
chất được gọi là thời kỳ hình thành, ra đời của toán học như một khoa học.

Như chúng ta đã biết, những tri thức toán học ở giai đoạn này đã mang tính
chất thực dụng và kinh nghiệm. Xét về bản chất có thể coi toán học khi đó
là những phương pháp đa dạng, những đề xuất và cách thức giải quyết những
nhiệm vụ thực tiễn một cách thuần túy. Nhưng trong giai đoạn này, nhiều các
cách diễn giải những tư liệu lý luận đã được hình thành, chủ yếu là trong quá
trình giảng dạy và học tập toán học ở các trường học. Sự cần thiết phát triển
các cách diễn giải như thế đã bắt buộc phải có, không những chỉ vì số lượng
tăng lên của các hình thức và phương pháp giải quyết những nhiệm vụ khác
nhau, mà còn vì những khát vọng tìm kiếm các mối liên hệ giữa những
nhóm xác định của các nhiệm vụ và việc mở rộng các nhiệm vụ đó. Đến lượt
mình sự đa dạng và tính phức tạp tăng lên của các nhiệm vụ đã được quyết
định bởi tất cả tính phức tạp ngày càng tăng của thực tiễn sản xuất xã hội. Do

18


đó ở giai đoạn này của sự phát triển toán học, thực tiễn được thể hiện với tư
cách là động lực quyết định nhất sự phát triển của các tri thức toán học.
Giai đoạn thứ hai trong lịch sử phát triển của toán học từ thế kỷ thứ
VI (trước công nguyên) đến thế kỷ XV (sau công nguyên). Đây là giai đoạn
toán học sơ cấp, trong đó ta có thể tách ra thời kỳ hình thành toán học như
một khoa học lý thuyết trong khoảng từ thế kỷ thứ VI đến thế kỷ thứ III
(trước công nguyên), khi đó toán học có nguồn gốc từ những thông tin đa
dạng và các phương pháp giải quyết những nhiệm vụ mang tính thực tiễn
đã được biến thành hệ thống suy luận của tri thức. Cụ thể, trong thời gian
đó, những yếu tố bên trong của sự phát triển toán học bắt đầu được thể hiện
rõ nét nhất, mà trước hết là khuynh hướng hệ thống hóa và chỉnh lý về mặt
lôgic các tri thức đã được hoàn thiện nhờ sự thiết lập các nguyên lý trong
tác phẩm "cơ sở" của ơclít. Những nguyên lý này trong suốt gần 2000 năm
đã là một mẫu mực về cách trình bày của toán học.

Trên thực tế, cho dù những nhu cầu của sản xuất và kỹ thuật đã kích
thích sự phát triển của toán học ở một mức độ nhất định trong một giai
đoạn lịch sử lâu dài sau thời kỳ cổ đại, nhưng nhìn chung sự phát triển của
toán học đã diễn ra rất chậm, đặc biệt vào thời trung cổ, hầu như người ta
đã lãng quên "di sản quá khứ" về toán học của những người Hy Lạp, do đó
khi bước vào thời đại phục hưng của khoa học và nghệ thuật, con người đã
khám phá ra rất nhiều các tài liệu toán học của thời cổ đại. Nói chung, toàn
bộ toán học từ thời Hy Lạp cổ đại đến cuối thế kỷ XVI có thể được xem
như toán học về những đại lượng bất biến. Dưới ảnh hưởng của những tác
giả thời cổ đại, vào cuối giai đoạn này, những yếu tố bên trong của sự phát
triển toán học đã được thể hiện một cách rõ nét hơn, điều này dễ thấy ở sự
ước muốn hoàn thiện và mở rộng những thành tựu toán học của thời kỳ cổ
đại. Tuy vậy, trong thời kỳ này những yếu tố đó cũng không thể sánh được
với những nhu cầu phát triển của công nghiệp, thương nghiệp, các yêu cầu
của cơ học, thiên văn học, thủy lực học, và các khoa học kỹ thuật - tự nhiên
khác trong quá trình thúc đẩy sự phát triển của toán học.
19


Giai đoạn thứ ba của sự phát triển toán học là giai đoạn chuyển từ
toán học về những đại lượng bất biến sang toán học về những đại lượng
biến thiên. Giai đoạn phát triển này của toán học đã được quyết định trước
hết bởi những tác động của các yếu tố bên ngoài, sau đó nó đã thúc đẩy sự
tăng cường vai trò của các yếu tố bên trong. Sự tác động của các yếu tố bên
trong đã được biểu hiện ở sự phân hóa tiếp theo của tri thức toán học và ở
sự xuất hiện những bộ phận khác nhau của giải tích học như: Lý thuyết về
phương trình vi phân, phép tính biến phân, hình học vi phân và sự áp dụng
đa dạng các phương pháp của giải tích học vào việc giải quyết những
nhiệm vụ ứng dụng của cơ học, thiên văn học, vật lý học và của các khoa
học kỹ thuật. Sự liên kết của toán học với những ứng dụng thực tiễn vào

giai đoạn này đã chặt chẽ đến mức từ cuối thế kỷ XVI - đầu thế kỷ XVIII,
người ta thường gọi là thời kỳ phát triển rực rỡ của toán học. Những sự
nghiên cứu thuần túy lý luận và ứng dụng vào thời gian đó đã tạo nên
những khả năng cho sự phát triển của toán học. Nhiều nhà toán học nổi
tiếng thời đó đã nghiên cứu đồng thời những vấn đề của cơ học, thiên văn
học và những ngành khác nhau của khoa học tự nhiên.
Vào thế kỷ XIX, sự liên kết của toán học với những ứng dụng thực
tiễn không hề bị giảm bớt, nhưng bắt đầu từ những năm 30, vai trò của các
yếu tố bên trong đã trở nên nổi trội hơn. Sự tác động của các yếu tố này đã
được kích thích bởi những khát vọng đưa lại cách lập luận chặt chẽ cho sự
phân tích các đại lượng vô cùng bé. Mặc dù đạt được những kết quả to lớn
trong các ứng dụng của phép phân tích này, nhưng ở nó đã xuất hiện những
mâu thuẫn và những nghịch lý liên quan đến cách tiếp cận về đại lượng vô
cùng bé như là một đại lượng thực tại. Trong thời gian đó, lý thuyết giới
hạn đã được thiết lập nhằm khắc phục những trở ngại và những nghịch lý
đã xuất hiện trong giải tích. Tuy nhiên, vào thế kỷ XIX, việc phát minh ra
các hình học phi ơclít của Lôbasepxki, Bôliai, Rieman, đồng thời việc thiết
lập lý thuyết trừu tượng về các tập hợp của Cantor đã là những sự kiện vĩ
đại nhất trong lịch sử toán học. Về thực chất, những phát minh đó đã quyết

20


định gương mặt của toán học vào thế kỷ XX. Đó chính là giai đoạn thứ tư
của sự phát triển toán học.
Trong giai đoạn này, toán học đã bắt đầu được xem như một khoa
học về các cấu trúc trừu tượng. Những thành tựu vĩ đại đó của tư duy toán
học đã chỉ ra một cách rõ nét rằng, chất kích thích của lập luận về tính lôgic
bên trong đã đóng vai trò quan trọng như thế nào trong sự phát triển của
toán học. Rõ ràng rằng, những sự nghiên cứu lý luận về các đường thẳng

song song và ý đồ chứng minh tiên đề số 5 của ơclít, tức là những vấn đề lý
luận thuần túy về sự phát triển của hình học đã là động lực trực tiếp thúc
đẩy sự phát minh ra hình học phi ơclít. Điều đó còn được thể hiện rất rõ nét
trong việc Cantor đưa ra tư tưởng cơ bản của lý thuyết các tập hợp là dựa
vào kết quả của việc giải quyết các vấn đề liên quan với sự nghiên cứu các
chuỗi lượng giác.
Sự tác động qua lại giữa các yếu tố bên trong và bên ngoài với một
sức mạnh đặc biệt trong quá trình phát triển của toán học đã được thể hiện
trong thời đại của chúng ta khi mà tin học đang trở thành một trong những
bộ phận quan trọng nhất của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện
đại. Dưới ảnh hưởng trực tiếp của khoa học tin học, toàn bộ toán học đang
được cải tổ lại để thích ứng hơn với những nhu cầu mới của thực tiễn.
Trong điều kiện đó những thay đổi to lớn đang diễn ra trên nhiều mặt của
khoa học toán học mà nổi bật nhất là ở những mặt sau đây: Nhiều bộ môn
toán học mới ra đời để phục vụ cho sản xuất tự động hóa, vai trò của toán
học trong sản xuất, trong kỹ thuật và trong các khoa học khác tăng lên một
cách nhanh chóng chưa từng có. Trong sự biến đổi lớn lao đó phải kể đến
một vấn đề quan trọng là xu hướng thống nhất các khoa học trong đó các
bộ môn toán học khác nhau xâm nhập lẫn nhau và bản thân toán học xâm
nhập vào mọi lĩnh vực khoa học khác.
Như vậy có thể nói rằng, cùng với quá trình phát triển của toán học
thì sự kết hợp các nghiên cứu lý luận thuần túy với những ứng dụng thực

21


tiễn của các phương pháp toán học là một tất yếu khách quan. Vấn đề này
đã được nhà toán học Hinbe nhấn mạnh rằng, không nghi ngờ gì nữa,
những vấn đề xưa nhất trong mỗi lĩnh vực của tri thức toán học đã xuất
hiện từ kinh nghiệm, đã được thiết lập nhờ thế giới bên ngoài. Cùng với sự

phát triển tiếp theo của các ngành toán học, trí tuệ của con người đã thể
hiện tính độc lập bằng những thành tựu của mình. Nó đã đặt ra những vấn
đề bổ ích mới mà thông thường không cần những ảnh hưởng to lớn của thế
giới bên ngoài, mà chỉ nhờ có sự so sánh lôgic, sự mở rộng, sự chuyên môn
hóa, sự phân chia và nhóm lại những khái niệm, sau đó trí tuệ của con
người đã thể hiện như một nhà điều hành các nhiệm vụ. Còn trong thời gian
vận động của sức sáng tạo của tư duy thuần túy, thế giới bên ngoài lại yêu
cầu bằng được các quyền lực của mình như: nó bắt buộc chúng ta công
nhận những vấn đề mới là những sự kiện hiện thực của mình và mở ra cho
chúng ta những lĩnh vực mới của tri thức toán học. Trong quá trình đưa một
lĩnh vực mới vào thế giới của tư duy thuần túy, chúng ta thường tìm thấy
câu trả lời về các vấn đề còn chưa được giải quyết và bằng con đường ấy,
chúng ta đã thúc đẩy những lý thuyết cũ đến sự hoàn mỹ hơn.
Sự tác động qua lại không ngừng giữa các yếu tố bên trong và bên
ngoài chính là cơ sở của tiến bộ toán học, nó đã thúc đẩy sự phát triển của
chính bản thân toán học và đồng thời của cả những ngành khác nhau của
nhận thức khoa học và hoạt động thực tiễn. Từ đó, cần phải nhấn mạnh
rằng, ở một mức độ nhất định khả năng phát triển nội tại theo con đường
lôgic của toán học, thường được điều chỉnh bởi các nhu cầu của xã hội, bởi
trình độ hiểu biết về tri thức khoa học và triết học. Những nhà khoa học
duy vật thường thống nhất với nhau ở một quan điểm: Các lý thuyết càng
gần với hiện thực khách quan càng mang lại những kết quả tốt đẹp và phục
vụ có hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn của con người. Đồng thời, các
khoa học phát triển được cũng là do nhu cầu cải tạo hiện thực của con
người. Điều đó được thể hiện ở chỗ, chính hoạt động thực tiễn của con
người đã phát hiện cho khoa học những đối tượng nghiên cứu mới hoặc

22

những khía cạnh mới trong những đối tượng đã biết từ trước. Nếu một lý
thuyết nào đó thu được nhiều kết quả do những ứng dụng mới mẻ của
phương pháp cũ hay do những sự phát triển mới của nó thì nó còn có nhiều
khả năng hơn nữa để phát hiện ra những phương pháp mới và trong trường
hợp này, các khoa học sẽ tìm thấy ở hiện thực khách quan, ở hoạt động
thực tiễn của con người những chỉ dẫn định hướng đáng tin cậy.
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta
có thể kết luận: mọi lý thuyết toán học đều có tính độc lập tương đối trong
sự phát triển của nó và đều tuân thủ một sự vận động nội tại, tuân thủ các
yêu cầu của thực tiễn sản xuất và của các khoa học đã chi phối sự vận động
đó một cách toàn bộ và dưới dạng tổng quát. Điều đó có nghĩa là, sự phát
triển của toán học cũng có tính quy luật và cũng được quyết định bởi hoạt
động thực tiễn vật chất và cải tạo xã hội của con người, nhờ vậy mà toán
học đã trở thành một khoa học hoàn chỉnh, ngày càng phản ánh một cách
cụ thể hơn và phong phú hơn các hình dạng của không gian và các quan hệ
số lượng của thế giới thực tại. Điều đó đã phủ định hoàn toàn quan điểm sai
lầm của chủ nghĩa duy tâm khi nó chỉ thừa nhận khả năng và sự cần thiết
phải phát triển toán học theo con đường lôgic. Chính Lênin đã khẳng định:
"Tư duy, khi tiến lên từ cái cụ thể đến cái trừu tượng không xa - nếu nó
đúng... - rời chân lý mà đến gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất,
về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị v.v..., tóm lại, tất cả những sự
trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự
nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn. Từ trực quan sinh động đến tư
duy trừu tượng và từ bỏ tư duy trừu tượng đến thực tiễn - đó là con đường
biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức thực tại khách quan"(1).
4. Tính biện chứng trong quá trình phát triển của toán học
Ngày nay chúng ta đã có đầy đủ cơ sở để khẳng định rằng, nhận
thức toán học đã tiến bộ một cách không ngừng, đồng thời các khái niệm
và các phương pháp của toán học ngày càng được áp dụng rộng rãi hơn

23


trong tất cả các lĩnh vực mới nhất của hoạt động thực tiễn và khoa học. Tuy
vậy, vấn đề đáng nói là ở chỗ, những sự tiến bộ đó được thể hiện như thế
nào? Sự phát triển của tri thức toán học được diễn ra theo con đường nào?
Lịch sử của khoa học và triết học đã chỉ ra rằng, trong thực tế đã có nhiều
câu trả lời rất khác nhau về vấn đề này. Một số nhà nghiên cứu cho rằng,
nhận thức khoa học được phát triển bằng con đường tích lũy dần dần những
tri thức mới, tiếp đó là sự chính xác hóa, chỉnh lý và hoàn thiện những tri
thức đó, chứ tuyệt nhiên không xảy ra một sự thay đổi cơ bản nào trong nội
dung của tri thức khoa học. Đó chính là cách tiếp cận tích lũy, trên cơ sở
của nó, sự phát triển của khoa học diễn ra theo con đường tích lũy giản đơn
những chân lý đúng đắn. Quan điểm này dễ dẫn tới một sai lầm nghiêm
trọng, đó là, chừng nào nhà toán học thiết lập những khái niệm của mình và
xây dựng nên lý thuyết, trong đó không hề chú ý tới kinh nghiệm và thực
nghiệm mà chỉ so sánh và phân tích những tri thức cũ, có nghĩa là phát
triển chúng bằng lý luận thuần túy, thì khi đó dễ dàng xuất hiện một ảo
tưởng là toàn bộ quá trình nhận thức toán học chỉ được quy về sự hoàn
thiện và mở rộng những tri thức cũ, về sự tăng lên một cách đơn thuần
những tri thức toán học, chứ hoàn toàn không có sự cải tạo căn bản nội
dung và cơ sở của khái niệm của các tri thức đó. Quan điểm này đã được
các nhà siêu hình ủng hộ. Theo quan điểm của họ, trong khi ở các khoa học
khác có sự phá vỡ thường xuyên những lý thuyết cũ, thì toán học là khoa
học duy nhất được xây dựng trên những cơ sở cũ. Tất nhiên, trong toán
học, do ý nghĩa đặc biệt của những yếu tố bên trong đối với sự phát triển
của nó và việc sử dụng những phương pháp lý luận thuần túy để nghiên
cứu mà có được một cách rõ nét mối liên hệ và tính kế thừa giữa những
kiến thức cũ và mới. Ở đây, sự sai lầm của những nhà siêu hình là ở chỗ, họ
đã cường điệu một cách quá mức tính kế thừa trong sự phát triển của tri

thức toán học. Từ đó, họ đã cho rằng, những cuộc cách mạng không hề có
trong lịch sử toán học. Đó là một quan điểm rất ấu trĩ về cách mạng, theo
quan điểm siêu hình đó thì cách mạng có nghĩa là một số khách thể nào đó
đã tồn tại trước đây cần phải được xóa bỏ một cách hoàn toàn, vĩnh viễn.
24


Đó là một sự phủ định siêu hình. Điều này đã bị Lênin phê phán: "Sự phủ
định bề ngoài sạch trơn đã không đem lại khả năng để hiểu được cái mới
trong sự phát triển xuất hiện bằng cách nào"(2).
Theo quan điểm duy vật biện chứng, tất cả những cái gì liên quan
đến các cuộc cách mạng khoa học thì chúng không bao giờ dẫn tới vứt bỏ
lý thuyết cũ, mà chúng chỉ vạch rõ giới hạn thực tế của việc áp dụng lý
thuyết đó. Rõ ràng, cuộc cách mạng trong hình học được thực hiện bởi
Lôbasepxki đã không hề vứt bỏ hình học ơclít mà đã chỉ ra vị trí của nó
trong hàng loạt những hệ thống hình học trừu tượng khác. Từ quan điểm
đó, chúng ta cũng có thể nói về cuộc cách mạng gắn liền với việc chuyển từ
toán học về những đại lượng bất biến sang toán học về những đại lượng
biến thiên hoặc cuộc cách mạng mới nhất đã đưa đến việc thiết lập các cấu
trúc toán học trừu tượng. Mặc dù vẫn giữ gìn mối liên hệ và tính kế thừa
của lý thuyết cũ, song đã là một cuộc cách mạng trong quá trình phát triển
của các tri thức toán học, thì nhất thiết phải có sự biến đổi sâu sắc và căn
bản về nội dung của nó. Sự biến đổi đó được mô tả trong sự xuất hiện của
những khái niệm mới và những lý thuyết mới tổng quát hơn. Những khái
niệm và lý thuyết mới này được xuất hiện là nhờ vào những ý định giải
quyết những vấn đề khó khăn liên quan đến cả việc mở rộng lĩnh vực
nghiên cứu của toán học và cả việc khắc phục những nghịch lý hoặc những
trở ngại về cơ sở lôgíc của toán học.
Tóm lại, sự phát triển của các tri thức toán học có thể được chia làm
hai giai đoạn cơ bản. Trong giai đoạn đầu tiên đã diễn ra sự tích lũy dần

dần những tư liệu mới, sự chính xác hóa các phương pháp tìm ra cách tiếp
cận mới nhằm giải quyết các nhiệm vụ đặt ra một cách nhanh chóng và có
hiệu quả nhất. Vì vậy, có thể gọi giai đoạn này là giai đoạn tích lũy những
biến đổi về lượng. Giai đoạn thứ hai được đặc trưng bởi sự biến đổi căn
bản về chất của nội dung và cơ cấu khái niệm của tri thức toán học. Giai
đoạn này được quyết định bởi giai đoạn đầu. Trên thực tế chúng ta cần xem

25