timeTỔNG hợp 50 câu tích phân và ứng dụng có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (344.53 KB, 25 trang )
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
ÔN THI THPT QUỐC GIA 2018
BIÊN SOẠN: THẦY TÌNH
BỘ 57 CÂU TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG ĐỊNH KỲ.
Họ và tên thí sinh :………………………………
Số báo danh : ………………………………
2
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 x + 1 là
3
2
A. F ( x ) = x + x + x + C
Câu 2:
C. F ( x ) = 6 x − 2 + C
D. F ( x ) = x + C
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = e x , y = e 2− x , x = 1 , x = 2 bằng
A.
Câu 3:
3
2
B. F ( x ) = x − x + x + C
π ( e 2 − 1)
2
2
Tính: P = ∫
B.
.
π ( e 2 + 1)
2
C.
.
2
C. P = x + 1 + ln
Nếu
A.
Câu 5:
4
2
x2 + 1
dx
x
1 + x2 + 1
+C .
x
1
3
B.
.
2
− 1)
2
2
.
)
(
∫ ( x − 1) ( x − 2 ) dx = ln ( m ) thì m
4
3
e
D. (
2
2
B. P = x + 1 + ln x + x + 1 + C .
A. P = x x 2 + 1 − x + C .
Câu 4:
π ( e 2 − 1)
x2 + 1 −1
1
2
D. P = x + 1 + ln
2
x2 + 1 + 1
C.1
D.12
+C .
bằng
3
4
Cho f ( x ) = A.sin 2 x + B , Tìm A và B biết f ' ( 0 ) = 4 và
2π
∫
f ( x ).dx = 3
0
1
3
3
1
B. A = 1, B =
C. A = 2, B =
D. A = 1, B =
2π
2π
2π
2π
2
2
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6 x , x + y = 16 trong miền x ≥ 0 bằng:
4
4
8π
4
7π − 3 .
4π + 3 .
.
8π + 3 .
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt đầu xuất
phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc va ( t ) = 2t + 1( km h ) ; ô tô thứ hai xuất phát từ
A. A = 2, B =
Câu 6:
(
Câu 7:
)
(
)
(
)
O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10 km h , sau một khoảng
thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc
vo ( t ) = −5t + 20 ( km h ) . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau.
Câu 8:
A. 6h .
B. 8h .
C. 7h .
D. 4h .
Cho hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình là
Trang 1/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
3
A. ∫
−2
0
C. ∫
−2
Câu 9:
−2
f ( x ) dx .
B. ∫
0
0
0
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
D. ∫
−2
3
3
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
2
3
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
0
Chọn công thức sai trong các công thức sau đây.
A. ∫ cos x dx = sin x + C . B. ∫ sin x dx = − cos x + C .
x
x
C. ∫ e dx = e + C .
10
Câu 10: Nếu
∫
D.
8
f (x) dx = 17 và
0
∫
1
∫ sin
2
x
dx = − tan x + C .
10
f (x) dx = 12 thì
0
∫ −3 f ( x) dx bằng
8
A. -15.
B. 29.
C. 15.
D. 5.
3
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x − x và y = x − x 2 có kết quả là
37
A. 12.
B. 37.
C.
.
D. 11.
12
1
2
Câu 12: Cho tích phân I = ∫ 3 x − 2 x + ln(2 x + 1) dx = a ln b + c . Giá trị của P = 2a + b − c là
0
A. 6.
B. 7.
C. -6.
D. -7.
s inx
cos x − s inx
dx = ∫ A + B
Câu 13: Biết I = ∫
÷dx . Kết quả của P = A + B là
cos x + s inx
cos x + s inx
A. 1.
B. -1.
C. 0.
D. 2.
Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ thỏa mãn
9
∫
f
( x ) dx = 4 và
1
x
π
2
∫ f ( s inx ) cosxdx = 2 . Tính tích
0
3
phân I = ∫ f ( x ) dx bằng
0
A. 2.
B. 6.
C. 4.
D. 10.
2
y
=
f
(
x
)
f
'(
x
)
=
3(
x
+
2)
,
f
(0)
=
8
Câu 15: Nếu
thì hàm số
là hàm số nào sau đây?
5
2
A. 2( x + 2) − 8 .
B. ( x + 2) + 4 .
C. 6( x + 2) − 4 .
D. ( x + 2)3 .
1
2
Câu 16: Cho tích phân I = ∫ 3 x − 2 x + ln ( 2 x + 1) dx . Xác định a biết I = b ln a − c với a, b, c là các số hữu
0
tỉ.
A. a = 3 .
C. a =
B. a = −3 .
2
.
3
2
D. a = − .
3
b
Câu 17: Tìm tập hợp các giá trị của b sao cho I = ∫ (2 x − 4)dx = 5 là
A. { 5}
B. { −1;5}
0
C. { −1}
D. { −1; 4}
a
2
Câu 18: Xác định số a dương để ∫ ( x − x )dx đạt giá trị lớn nhất.
0
1
3
C. a = 2
D. a =
2
2
4
2
2
2
Câu 19: Tìm m ∈ ¡ sao cho hàm số y = x − ( m + 2 ) x + m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho
A. a = 1
B. a =
hình phẳng giới hạn bởi hàm số với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích bằng
A. m = 2
B. m = −2
C. m = ±2
D. m = 1
96
.
15
Trang 2/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Câu 20: Cho parabol ( P ) : y = 3 x và đường thẳng (d ) đi qua M (1;5) có hệ số góc là k . Tìm k để hình
phẳng giới hạn bởi ( P ) và (d ) có diện tích nhỏ nhất.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
2
Câu 21: Cho parabol ( P ) : y = x + m . Gọi (d ) là tiếp tuyến với ( P ) qua O có hệ số góc k > 0 . Xác định m
để khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi ( P ), (d ) và trục tung có thể tích bằng 6π .
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 5 x.
2
1
A.
∫ f ( x ) dx = − 5 sin 5 x + C .
C.
∫ f ( x ) dx = 5 sin 5x + C .
1
B.
∫ f ( x ) dx = 5sin 5 x + C .
D.
∫ f ( x ) dx = −5sin 5 x + C .
1
Câu 23: Cho hàm số g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [ −1;1] . Có g ( −1) = 3 và tích phân I = ∫ g ′ ( x ) dx = −2.
−1
Tính g ( 1) .
B. −5 .
A. 1.
C. −6 .
3
D. − .
2
1
Câu 24:
x
Biết rằng tích phân ∫ (2 x + 1)e dx = a + b.e , tích ab bằng
0
A. 1.
Câu 25: Cho
B. -1.
2
4
1
2
C. -15.
D. 20.
x
∫ f ( x ) dx = −3, tính I = ∫ f 2 ÷ dx.
3
B. − .
C. −1 .
D. 5 .
2
ln 2
1
1 a
5
Câu 26: Biết rằng: ∫ x + x
÷dx = ln 2 + b ln 2 + c ln . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó
2e + 1
2
3
0
S = a + b − c bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
2
2
Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 − x và y = 6 − 3 x bằng
A. −6 .
π
3
.
+
3 6
4000
Câu 28: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ′ ( t ) =
và lúc đầu đám vi
1 + 0,5t
trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
A. 258 959 con.
B. 253 584 con
C. 257 167 con.
D. 264 334 con.
A.
2π 7 3
.
−
3
6
B.
π 7 3
.
+
3
6
C.
2π
3
.
−
3
6
D.
1
2
Câu 29: Giá trị của I = ∫ x ln ( 1 + x ) dx là
0
1
A. I = ln 2 − .
2
5
2
.
− 2 + ln
2
2
5
2
5
2
C. I = − 2 − ln
.
D. I = + 2 − ln
.
2
2
2
2
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + x + 2 và y = 2 x + 4 là
7
5
9
11
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
Câu 31: Giả sử
B. I =
1
4
4
0
1
0
∫ f ( x ) dx = 2 , ∫ f ( x ) dx = 3 , ∫ g ( x ) dx = 4 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Trang 3/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
4
A.
f ( x ) − g ( x ) ) dx = 1
∫(
4
Câu 32: Cho
( x + 1)
∫
x + 2x + 2
2
0
0
D. ∫ f ( x ) dx = 5
0
1
0
4
C. ∫ f ( x ) dx < ∫ g ( x ) dx
0
4
B. ∫ f ( x ) dx > ∫ g ( x ) dx
0
4
4
0
dx = a − b . Khi đó a − b bằng
A. 5
B. 1
C. 2
D. 3
2
Câu 33: Một vật chuyển động với vận tốc 10 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) . Tính quảng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
430
4300
A.
B. 130
C.
D. 4300
3
3
π
6
Câu 34: Cho I =
∫
0
1
dx = ln a + ln b . Tính 4a − b bằng
2sin x − 3
A. 0
B. − 2
1
Câu 35: Cho I = ∫
0
A. 0
C.
D. 2
2
dx
π 1
= + + ln c . Vậy a + b − 2c bằng
6
x +1 a b
B. 1
C. 2
2
Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + 1 . Tính
D. 3
1
∫ f ′ ( x ) dx .
0
1
A.
∫
1
f ′ ( x ) dx = ln 2 .
B.
0
1
C.
∫
∫ f ′ ( x ) dx = ln 1 +
2 .
0
1
f ′ ( x ) dx = 1 + ln 2 .
D.
0
∫ f ′ ( x ) dx = 2 ln 2 .
0
Câu 37: Tính ∫ ( x − sin 2 x)dx
A.
x2
+ sin x + C .
2
B.
Câu 38: Cho hàm số f ( x ) thỏa
1
x2 1
2
C. x + cos 2 x + C . D.
+ cos 2 x + C .
2
2 2
x2
+ cos 2 x + C .
2
2017
1
0
0
∫ f ( x ) dx = 1 . Tính ∫ f ( 2017 x ) dx .
1
A.
∫ f ( 2017 x ) dx = 2017.
1
B.
0
1
C.
∫
∫ f ( 2017 x ) dx = 0.
0
1
f ( 2017 x ) dx = 1.
D.
0
1
∫ f ( 2017 x ) dx = 2017 .
0
2
Câu 39: Giả sử
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b, ( a; b ∈ ¤ ) . Khi đó a + b bằng
1
3
5
A. .
B. 2.
C. 1.
D. .
2
2
2
Câu 40: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x − x, y = 0, x = 0 và x = 2 được tính bởi công
thức nào sau đây.
2
2
A. S = ∫ (x − x )dx.
2
1
1
0
2
2
B. S = ∫ (x − x)dx − ∫ (x − x )dx.
0
1
2
0
1
2
2
C. S = ∫ (x − x)dx + ∫ (x − x)dx.
2
2
D. S = ∫ (x − x)dx.
0
Trang 4/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Câu 41: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4
quanh trục Ox . Đường thẳng x = a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị
y
M
y = x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn
tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết
O
V = 2V1 . Khi đó
A. a = 2 .
a
K
D. a =
C. a = 3 .
B. a = 2 2 .
hàm
H
4
x
xoay
rằng
5
.
2
Câu 42: (VDC) Tìm nguyên hàm ∫ sin xdx .
A. ∫ sin xdx =
1
B. ∫ sin xdx = −2 cos x + 2sin x + C .
cos x + C .
2 x
C. ∫ sin xdx = − cos x + C .
Câu 43: (VDC)
Cho
f ,g
là
hai
D. ∫ sin xdx = cos x + C .
hàm
liên
tục
trên
[ 1;3]
3
thỏa: ∫ f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 .
1
3
3
1
1
∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx .
A. 8.
B. 9.
C. 6.
D. 7.
20 x 2 − 30 x + 7
3
2
; F ( x ) = ( ax + bx + c ) 2 x − 3 ; x > . Để hàm số F ( x ) là
2
2x − 3
một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì tổng T = a + b + c là
Câu 44: Cho các hàm số f ( x ) =
A. T = 7
C. T = 3
B. T = 1
2
2
1
1
D. T = 5
2
Câu 45: Cho biết A = ∫ 3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1; B = ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) = −3 . Giá trị của A = ∫ f ( x ) dx bằng
A. 1.
B. 2 .
2
Câu 46: Cho tích phân I = ∫
1
các khẳng định sau.
A. b > 0
π
6
( x − 2) ( x2 − x + 2)
x+2
1
5
C. − .
7
1
D. .
2
dx = a + b ln 2 + c ln 3; a, b, c ∈ Q . Chọn khẳng định đúng trong
B. c > 0
C. a < 0
D. a + b + c > 0
Câu 47: Nếu I = sin n x cos xdx = 1 thì n bằng
∫0
64
A. n = 3
B. n = 4
C. n = 6
D. n = 5
Câu 48: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ∈ [ 0; 2] là một phần tư đường tròn bán
kính
2x 2 , ta được kết quả nào sau đây?
16
π
D. V = 8π
5
Câu 49: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày ngày thứ t với số lượng là F ( t ) , biết nếu phát
hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc
1000
độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F ' ( t ) =
và ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn.
2t + 1
Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày và
bệnh nhân có cứu chữa được không?
A. 5434 và không cứu được
B. 1499 và cứu được
A. V = 32π
B. V = 64π
C. V =
Trang 5/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
C. 283 và cứu được
D. 3717 và cứu được
2
2
Câu 50: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m / s thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) . Quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu?
4000
4300
1900
2200
m
m
m
m
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 51: Hàm nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x ?
1
1
A. − cos 2 x .
B. − cos 2 x .
C. sin 2 x .
D. cos 2 x .
2
2
x
Câu 52: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
biết F ( 1) = 3 2 .
x2 + 1
1 2
5 2
A.
.
B. x 2 + 1 + 2 2 .
C. − x 2 + 1 + 4 2 .
D. 2 x 2 + 1 + 2 .
x +1 +
2
2
Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 3 − x; y = 2 x và các đường x = −1; x = 1
được xác định bởi công thức
A.
1
1
∫ ( 3x − x ) dx .
A. S =
B. S =
3
−1
0
C. S =
∫( x
−1
3
−1
1
3
∫ ( 3x − x ) dx.
− 3 x ) dx + ∫ ( 3x − x 3 ) dx.
0
D. S =
1
∫ ( 3x − x ) dx + ∫ ( x
3
−1
0
Câu 54: Cho hàm số f ( x ) và f ' ( x ) xác định và liên tục trên ¡ . Biết
0
3
− 3x ) dx.
2
∫ x f ' ( x ) dx = 6
2
và f ( 2 ) = 5 . Kết
0
2
quả của
∫ xf ( x ) dx
là
0
A. 7 .
B. 6 .
C. 12 .
π
3
D. 14 .
Câu 55: Tích phân I = x cos xdx = π a + b với a, b là các phân số tối giản. Kết quả của a + b là
∫
0
7
5
11
9
A.
.
B. − .
C.
.
D. − .
12
12
12
12
Câu 56: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) là đường parabol bậc hai như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi ( C )
, trục Ox , đường x = 3 có diện tích S . Đường thẳng x = k với k ∈ ( 0;3) chia S ra thành hai phần
có diện tích là S1 và S2 . Nếu S1 = 2 S 2 thì phát biểu nào sau đây đúng ?
A. k ∈ ( 2, 2; 2,3) .
B. k ∈ ( 2,3; 2, 4 ) .
C. k ∈ ( 2, 4; 2,5 ) .
D. k ∈ ( 2,5; 2, 6 ) .
2
Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) = x có đồ thị là đường parabol như hình bên. Biết đường tròn trong hình có
tâm là gốc tọa độ và bán kính
2 . Diện tích phần hình phẳng được tô màu là
Trang 6/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
A. π +
4 2
.
3
B. π −
4 2
.
3
C.
π 1
− .
2 3
D.
π 1
+ .
2 3
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B D D A C B A C D A C B C C D A B A C C D C A A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C A D A A C D C B C B D D A B C B C C C B A C D B
51 52 53 54 55 56 57
D B C A B C A
Trang 7/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Câu 1:
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 x + 1 là
2
3
2
A. F ( x ) = x + x + x + C
3
2
B. F ( x ) = x − x + x + C
C. F ( x ) = 6 x − 2 + C
Câu 2:
D. F ( x ) = x + C
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
3
2
Áp dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản: F ( x ) = ∫ ( 3 x − 2 x + 1) dx = x − x + x + C
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = e x , y = e 2− x , x = 1 , x = 2 bằng
A.
π ( e 2 − 1)
2
B.
.
2
π ( e 2 + 1)
2
.
C.
π ( e 2 − 1)
2
Hướng dẫn giải
e
D. (
.
2
− 1)
2
2
.
Chọn D.
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = e x , y = e 2− x , x = 1 , x = 2 là:
2
I =π∫ (e
1
) −( e )
x 2
2− x 2
dx = π
2
∫( e
2x
1
− e 4− 2 x ) dx (vì e 2 x − e 4− 2 x = 0 ⇔ 2 x = 4 − 2 x ⇔ x = 1)
2
e 2 x e 4− 2 x
e4 1 e2 e2
e 4 − 2e 2 + 1 π ( e − 1)
=π
+
=
.
÷ = π + ÷− + ÷ = π
2 1
2
2
2
2 2 2 2
2
2
Câu 3:
x2 + 1
dx .
x
Tính P = ∫
2
C. P = x + 1 + ln
1 + x2 + 1
+C .
x
1
2
D. P = x + 1 + ln
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x2 + 1
x2 + 1
P=∫
dx = ∫
xdx
x
x2
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx
t
1
1
1
P = ∫ 2 tdt = ∫ 1 +
dt
=
1
+
−
÷
∫
÷
2 ( t − 1) 2 ( t + 1)
t −1
( t − 1) ( t + 1)
1
Vậy P = x + 1 + ln
2
2
Câu 4:
Nếu
A.
x2 + 1 −1
x2 + 1 + 1
1
4
∫ ( x − 1) ( x − 2 ) dx = ln ( m )
3
4
3
)
(
2
2
B. P = x + 1 + ln x + x + 1 + C .
A. P = x x 2 + 1 − x + C .
B.
x2 + 1 −1
x2 + 1 + 1
+C .
1 t −1
dt
=
t
+
ln
+C
÷
÷
2
t
+
1
+C .
thì m bằng
3
4
C.1
D.12
Hướng dẫn giải
Chọn A.
4
4
x−2
4
dx = ln
= ln
Ta có: ∫
x − 1) ( x − 2 )
x −1 3
3
3 (
4
1
4
4
⇒∫
dx = ln ( m ) ⇔ ln = ln ( m ) ⇒ m =
3 x −1 x − 2
3
3
(
)(
)
1
Trang 8/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Câu 5:
Cho f ( x ) = A.sin 2 x + B . Tìm A và B biết f ' ( 0 ) = 4 và
2π
∫
f ( x ).dx = 3
0
A. A = 2, B =
1
2π
3
3
C. A = 2, B =
2π
2π
Hướng dẫn giải
B. A = 1, B =
D. A = 1, B =
1
2π
Chọn C.
Ta có : f ' ( x ) = 2 A cos 2 x ⇒ f ' ( 0 ) = 4 ⇔ A = 2
2π
∫
0
2π
A cos 2 x
f ( x ) dx = ∫ ( A sin 2 x + B ) dx = −
+ Bx ÷
2
0
2π
= 2π B
0
2π
3
∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ 2π B = 3 ⇒ B = 2π
.
0
Câu 6:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 6 x , x 2 + y 2 = 16 trong miền x ≥ 0 bằng:
4
4
8π
4
7π − 3 .
4π + 3 .
.
8π + 3 .
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Với x ≥ 0
x = 2
2
2
Xét phương trình: 16 − x = 6 x ⇔ x + 6 x − 16 = 0 ⇔
x = −8(ktm)
(
)
(
)
(
)
x = 4
• 16 − x 2 = 0 ⇔
x = −4 ( ktm )
• 6x = 0 ⇔ x = 0
4
8 3
2
2
+ I′÷
Diện tích hình phẳng: S = 2 ∫ 6 xdx + ∫ 16 − x dx ÷ = 2
÷
2
0
3
4
2
Với I ′ = ∫ 16 − x dx
2
Đặt: x = 4sin t ⇒ dx = 4 cos tdt
x 2
4
t
π
π
6
2
π
2
π
2
π π
I ′ = ∫ 16 ( 1 − cos 2 t ) .4 cos tdt = 16 ∫ cos 2tdt vì x ∈ ; nên cos t > 0
6 2
π
π
6
6
π
2
⇒ I ′ = 16 ∫
π
6
π
cos 2t + 1
8π
1
dt = 8 sin 2t + t ÷ π2 =
−2 3
2
2
6 3
8 3 8π
4
S = 2
+
−2 3÷
÷ = 3 4π + 3 .
3
3
Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt đầu xuất
phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc va ( t ) = 2t + 1( km h ) ; ô tô thứ hai xuất phát từ
(
Câu 7:
)
O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10 km h , sau một khoảng
thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc
vo ( t ) = −5t + 20 ( km h ) . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau.
A. 6h .
B. 8h .
C. 7h .
D. 4h .
Trang 9/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Khoảng thời gian xe 2 xuất phát đến lúc đạp phanh là: t = 2h .
Quãng đường các xe đi được trong khoảng thời gian trên:
2
Xe 1: Đi từ A đến C là AC = ∫ ( 2t + 1) dt = 6 km
0
Xe 2: : Đi từ O đến D là OD = 2.10 = 20 km
⇒ CD = 22 + 20 − 6 = 36 km .
Chọn mốc thời gian tại vị trí xuất phát, sau thời gian t1 hai xe gặp nhau. Hai xe đang ở các vị trí tức
thời C, D
t1
Li độ xe 1 là X 1 = ∫ ( 2t + 1) dt ( km )
2
t1
Li độ xe 2 là: X 2 = ∫ ( −5t + 20 ) dt + CD ( km )
2
Để 2 xe gặp nhau thì: X 1 = X 2 ⇔
Câu 8:
t1
t1
2
2
∫ ( 2t + 1) dt = ∫ ( −5t + 20 ) dt + 36
⇔ t1 = 6 ( h ) .
Vậy sau khoảng thời gian là 6h hai xe gặp nhau.
Cho hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình là?
3
−2
0
C. ∫
−2
−2
3
0
2
B. ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
A. ∫ f ( x ) dx .
0
0
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
D. ∫
−2
3
3
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Nhìn đồ thị ta thấy:
• Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại O ( 0;0 )
S=
Câu 9:
•
Trên đoạn [ −2;0] , đồ thị (C ) ở trên trục hoành nên f ( x ) = f ( x )
•
Trên đoạn [ 0;3] , đồ thị ( C ) ở dưới trục hoành nên f ( x ) = − f ( x )
3
0
3
0
3
0
0
−2
−2
0
−2
0
−2
3
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Chọn công thức sai trong các công thức sau đây:
A. ∫ cos x dx = sin x + C . B. ∫ sin x dx = − cos x + C .
x
x
C. ∫ e dx = e + C .
D.
1
∫ sin
2
x
dx = − tan x + C .
Trang 10/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Hướng dẫn giải
Chọn D.
10
Câu 10: Nếu
8
∫
f ( x ) dx = 17 và
0
10
∫
f ( x) dx = 12 thì
0
A. -15.
∫ −3 f ( x) dx bằng:
8
B. 29.
C. 15.
Hướng dẫn giải
D. 5.
Chọn A.
8
10
10
0
8
0
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
Ta có:
10
10
8
8
0
0
⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 17 − 12 = 5
10
Từ đó
∫ −3 f ( x) dx = -15.
8
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 3 − x và y = x − x 2 có kết quả là:
37
A. 12.
B. 37.
C.
.
D. 11.
12
Hướng dẫn giải
Chọn C.
x = −2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − x = x − x 2 ⇔ x 3 + x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0
x = 1
1
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S =
∫
x 3 + x 2 − 2 x dx =
−2
37
.
12
Mức độ khó
1
2
Câu 12: Cho tích phân I = ∫ 3 x − 2 x + ln(2 x + 1) dx = a ln b + c . Giá trị của P = 2a + b − c là:
0
A. 6.
B. 7.
C. -6.
Hướng dẫn giải
D. -7.
Chọn B.
1
1
1
0
0
0
2
2
Ta có : I = ∫ 3 x − 2 x + ln(2 x + 1) dx = ∫ 3 x − 2 x dx + ∫ [ ln(2 x + 1) ] dx = I1 + I 2
+ I1 = 0
u = ln(2 x + 1)
+ Giải I 2 bằng phương pháp từng phần
dv = dx
3
3
Suy ra I = ln 3 − 1 ⇒ a = ; b = 3; c = −1
2
2
Vậy P = 2a + b − c = 7 .
s inx
cos x − s inx
dx = ∫ A + B
Câu 13: Biết I = ∫
÷dx . Kết quả của P = A + B là:
cos x + s inx
cos x + s inx
A. 1.
B. -1.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
sin x
cos x − s inx A ( cos x + s inx ) + B ( cos x − s inx )
= A+ B
÷=
cos x + sin x
cos x + s inx
cos x + s inx
⇒ s inx =A ( cos x + s inx ) + B ( cos x − s inx ) = ( A + B) cos x + ( A − B)s inx
1
A = 2
A + B = 0
⇔
Do đó:
A − B =1
B = − 1
2
Trang 11/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Vậy P = 0.
Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ thỏa mãn
9
∫
f
( x ) dx = 4 và
1
x
π
2
∫ f ( sin x ) cos xdx = 2 . Tính tích
0
3
phân I = ∫ f ( x ) dx bằng?
0
A. 2.
B. 6.
C. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt t = x ⇒ dt =
Khi đó:
9
∫
f
1
2 x
( x ) dx = 2
x
1
dx . Đổi cận:
3
∫
1
D. 10.
x =1⇒ t =1
x=9⇒t =3
3
f ( t ) dt = 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2
1
x=0⇒t =0
π π
Đặt t = sin x; x ∈ − ; ⇒ dt = cos xdx . Đổi cận
π
x = ⇒ t =1
2 2
2
Khi đó
π
2
1
∫ f ( s inx ) cosxdx = ∫ f ( t ) dt = 2
0
0
3
1
0
0
3
Suy ra I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 = 4
1
Câu 15: (Dễ) Nếu f '( x ) = 3( x + 2) , f (0) = 8 thì hàm số y = f ( x) là hàm số nào sau đây?
A. 2( x + 2)5 − 8 .
B. ( x + 2) 2 + 4 .
C. 6( x + 2) − 4 .
D. ( x + 2)3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x3
x2
2
f
(
x
)
=
f
'(
x
)
dx
=
3(
x
+
2)
dx
=
3
+
4
+ 4 x ÷+ C
Ta có
∫
∫
2
3
2
Ta lại có f (0) = 8 ⇒ C = 8 ⇒ f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2 )
3
1
2
Câu 16: (Dễ) Cho tích phân I = ∫ 3 x − 2 x + ln ( 2 x + 1) dx . Xác định a biết I = b ln a − c với a, b, c là các số
0
hữu tỉ
A. a = 3 .
2
.
3
Hướng dẫn giải
C. a =
B. a = −3 .
2
D. a = − .
3
Chọn A.
1
1
1
0
0
0
2
2
Ta có I = ∫ 3 x − 2 x + ln ( 2 x + 1) dx = ∫ 3x − 2 x dx + ∫ ln ( 2 x + 1) dx = I1 + I 2
Giải tích phân I 2 bằng phương pháp từng phần
3
⇒ I = ln 3 − 1 ⇒ a = 3
2
b
Câu 17: (Vừa) Tìm tập hợp các giá trị của b sao cho I = ∫ (2 x − 4)dx = 5 là
A. { 5}
B. { −1;5}
0
C. { −1}
Hướng dẫn giải
D. { −1; 4}
Chọn B.
Trang 12/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
b = −1
2
b
2
(2
x
−
4)
dx
=
5
⇔
(
x
−
4
x
)
=
5
⇔
b
−
4
b
−
5
=
0
⇔
0
b = 5
∫0
b
a
2
Câu 18: (Vừa) Xác định số a dương để ∫ ( x − x )dx đạt giá trị lớn nhất.
0
B. a =
A. a = 1
1
2
C. a = 2
D. a =
3
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (a )
a = 0
2
Ta có f '( a) = a − a (a > 0) ⇒ f '(a ) = 0 ⇔
a = 1
4
2
2
2
Câu 19: (Khó) Tìm m ∈ ¡ sao cho hàm số y = x − ( m + 2 ) x + m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
sao cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích bằng
A. m = 2
B. m = −2
C. m = ±2
Hướng dẫn giải
D. m = 1
96
15
Chọn C.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
⇔ x 4 − (m 2 + 2) x 2 + m 2 + 1 = 0 ⇔ ( x 2 − 1)( x 2 − m 2 − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
x = ±1
⇒
với m ≠ 0
2
x = ± m + 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục hoành phần phía trên trục hoành là
1
96
S = 2 ∫ x 4 − ( m 2 + 2 ) x 2 + m 2 + 1dx =
15
0
⇒ m = ±2
Câu 20: (Khó) Cho parabol ( P ) : y = 3 x 2 và đường thẳng (d ) đi qua M (1;5) có hệ số góc là k . Tìm k để
hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và (d ) có diện tích nhỏ nhất
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình (d ) : y = kx − k + 5
(1)
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và (d ) : 3 x3 − kx + k − 5 = 0
2
Ta có ∆ (1) = k − 12k + 60 > 0 ⇒ (d ) luôn cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ là
k+ ∆
xA =
6
k− ∆
xB =
6
⇒S=
xB
∫ kx − k + 5 − 3x
xA
2
∆ 2
dx =
(k − 12k + 60)
54
⇒ min S ⇔ k = 6
Câu 21:
(Khó) Cho parabol ( P ) : y = x 2 + m . Gọi (d ) là tiếp tuyến với ( P ) qua O có hệ số góc k > 0 . Xác
định m để khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi ( P ), (d ) và trục tung có thể tích bằng 6π
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trang 13/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Tiếp tuyến (d ) : y = kx, k > 0
Để (d ) là tiếp tuyến của ( P ) thì hệ phương trình sau có nghiệm
x = m
x 2 + m = kx
⇒ x2 = m ⇒
⇒ x = m ⇒ k = 2 m , với m > 0
x = − m
2 x = k
(ở đây loại x = − m vì k > 0 ⇒ x > 0 )
⇒ (d ) : y = 2 mx
⇒V =π
2m
2
y
∫0 2 m ÷ dy − π
2m
∫ ( y − m)dy =
m
π m2
= 6π ⇒ m = ±6 ⇒ m = 6
6
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 5 x.
1
A. ∫ f ( x ) dx = − sin 5 x + C .
B. ∫ f ( x ) dx = 5sin 5 x + C .
5
1
C. ∫ f ( x ) dx = sin 5 x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = −5sin 5 x + C .
5
Hướng dẫn giải
Đáp án C
1
1
∫ f ( x ) dx = 5 ∫ cos 5 xd ( 5 x ) = 5 sin 5x + C .
1
Câu 23: Cho hàm số g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [ −1;1] . Có g ( −1) = 3 và tích phân I = ∫ g ′ ( x ) dx = −2.
−1
Tính g ( 1) .
B. −5 .
A. 1.
3
D. − .
2
C. −6 .
Hướng dẫn giải
Đáp án A
1
I = ∫ g ′ ( x ) dx = g ( x )
−1
1
−1
= g ( 1) − g ( −1) = −2 ⇒g ( 1) = g ( −1) − 2 = 3 − 2 = 1 .
1
Câu 24:
x
Biết rằng tích phân ∫ (2 x + 1)e dx = a + b.e , tích ab bằng:
0
A. 1.
B. -1.
C. -15.
Hướng dẫn giải
Đặt u = (2 x + 1) ⇒ du = 2dx
dv = e x dx ⇒ v = e x
1
∫ (2 x + 1)e dx = ( (2 x + 1)e
x
0
x
)
1
0
1
1
1
0
0
D. 20.
− 2 ∫ e x dx = (2 x + 1) e x − 2 e x = e + 1
0
Đáp án A
2
4
x
Câu 25: Cho ∫ f ( x ) dx = −3, tính I = ∫ f ÷dx.
2
1
2
3
A. −6 .
B. − .
2
C. −1 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Đáp án A
x
Đặt = t ⇒ dx = 2dt . Đổi cận : x = 4 ⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 1 .
2
4
2
2
x
I = ∫ f ÷dx = 2 ∫ f ( t ) dt =2 ∫ f ( x ) dx = − 6 .
2
2
1
1
Trang 14/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
ln 2
∫ x + 2e
Câu 26: Biết rằng:
1
x
0
1 a
5
÷dx = ln 2 + b ln 2 + c ln . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó
+1
2
3
S = a + b − c bằng:
A. 2 .
B. 3 .
D. 5 .
C. 4 .
Hướng dẫn giải
Đáp án C
ln 2
∫
0
ln 2
1
x+ x
÷dx = ∫ xdx +
2e + 1
0
ln 2
Tính
∫ 2e
1
x
0
ln 2
∫ 2e
ln 2
1
x
0
+1
dx . Tính
∫
0
x2
xdx =
2
ln 2
=
0
ln 2 2
2
dx
+1
dt
. Đổi cận : x = ln 2 ⇒ t = 5, x = 0 ⇒ t = 3 .
t −1
ln 2
5
5
5
1
dt
5
1 1
d
x
=
=
∫0 2e x + 1 ∫3 t ( t − 1) ∫3 t − 1 − t ÷dt = ( ln t − 1 − ln t ) 3 = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 = ln 2 − ln 3 .
x
x
Đặt t = 2e + 1 ⇒ dt = 2e dx ⇒ dx =
ln 2
1 2
5
÷dx = ln 2 + ln 2 − ln ⇒ a = 2, b = 1, c = −1
+1
2
3
0
Vậy a + b − c = 4 .
Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 − x 2 và y 2 = 6 − 3 x bằng:
∫ x + 2e
A.
1
x
2π 7 3
.
−
3
6
B.
π 7 3
.
+
3
6
2π
3
.
−
3
6
Hướng dẫn giải
C.
D.
π
3
.
+
3 6
Đáp án A
Ta có: y 2 = 6 − 3 x ⇔ y = ± 6 − 3 x
Phương trình hoành độ giao điểm:
x ≤ 2
6 − 3 x ≥ 0
x =1
4 − x = 6 − 3x ⇔ 2
⇔ x = 1 ⇔
.
x = 2
x − 3x + 2 = 0
x = 2
2
4 − x 2 = − 6 − 3x ⇔ 4 − x 2 = 6 − 3 x = 0 ⇔ x = 2 .
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
S=∫
1
(
)
2
2
4 − x − 6 − 3x dx = ∫ 4 − x dx − ∫ 6 − 3xdx =
2
2
1
1
2π 7 3
−
.
3
6
Câu 28: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ′ ( t ) =
4000
và lúc đầu đám vi
1 + 0,5t
trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
A. 258 959 con.
B. 253 584 con
C. 257 167 con.
D. 264 334 con.
Hướng dẫn giải
Đáp án D
4000
dt =8000.ln 1 + 0,5t + C
Ta có: N ( t ) = ∫ N ′ ( t ) dt = ∫
1 + 0,5t
Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng 250000 con nên C = 250000 .
Do đó: N ( t ) = 8000.ln 1 + 0,5t + 250000 .
Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng bằng: N ( 10 ) = 8000.ln 6 + 250000 = 264334 con.
1
2
Câu 29: Giá trị của I = ∫ x ln ( 1 + x ) dx là:
0
1
A. I = ln 2 − .
2
B. I =
5
2
.
− 2 + ln
2
2
Trang 15/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
C. I =
5
2
.
− 2 − ln
2
2
5
2
.
+ 2 − ln
2
2
Hướng dẫn giải
D. I =
Chọn A.
Bấm máy giá trị I ≈ 0,193
Bấm các đáp án tìm giá trị đúng là đáp án
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + x + 2 và y = 2 x + 4 là:
7
5
9
11
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng:
x2 + x + 2 = 2x + 4
2
x = −1
9
2
2
. Vậy S = ∫ x − x − 2 dx =
⇔ x −x−2 =0 ⇔
2
x = 2
−1
Câu 31: Giả sử
1
4
4
0
1
0
∫ f ( x ) dx = 2 , ∫ f ( x ) dx = 3 , ∫ g ( x ) dx = 4 khẳng định nào sau đây là sai?
4
A.
∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = 1
4
0
0
4
0
0
B. ∫ f ( x ) dx > ∫ g ( x ) dx
0
4
4
4
C. ∫ f ( x ) dx < ∫ g ( x ) dx
D. ∫ f ( x ) dx = 5
0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
∫ f ( x ) dx = 2 ⇔ F( ) − F( ) = 2
•
1
0
0
4
∫ f ( x ) dx = 3 ⇔ F( ) − F( ) = 3
•
4
1
1
4
4
4
0
0
0
⇒ F( 4) − F( 0) = 5 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 5 . Vậy ∫ f ( x ) dx = 5 > ∫ g ( x ) dx = 4 nên C sai.
( x + 1)
1
Câu 32: Cho
∫
x + 2x + 2
2
0
A. 5
dx = a − b . Khi đó a − b bằng:
B. 1
C. 2
Hướng dẫn giải
D. 3
Chọn D.
Đặt t = x 2 + 2 x + 2 ⇒ t 2 = x 2 + 2 x + 2 ⇒ 2tdt = 2 ( x + 1) dx ⇒ tdt = ( x + 1) dx
Đổi cận:
5
•
x = 0 ⇒ t = 2 , x =1⇒ t = 5 ⇒ I =
∫ dt=
5 − 2 ⇒ a −b = 3
2
2
Câu 33: Một vật chuyển động với vận tốc 10 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) . Tính quảng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
430
4300
A.
B. 130
C.
D. 4300
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
3t 2 t 3
'
2
Gọi v ( t ) là vận tốc của vật.Ta có v ( t ) = a ( t ) = 3t + t ⇒ v ( t ) =
+ +C
2 3
Trang 16/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
3t 2 t 3
+ + 10
2 3
10
3t 2 t 3
4300
+ + 10 ÷dt =
( m)
Quảng đường vật đi được: S = ∫
2 3
3
0
Vì v ( 0 ) = 10 ⇒ C = 10 . Vậy ⇒ v ( t ) =
π
6
Câu 34: Cho I =
∫
0
1
dx = ln a + ln b . Tính 4a − b bằng?
2sin x − 3
A. 0
B. − 2
C. 2
Hướng dẫn giải
D. 2
Chọn B.
π
6
Ta có I = ∫
π
6
1
1
dx = ∫
20
2sin x − 3
π
6
1
1
2
dx= ∫
dx
π
3
0 sin x − sin
sin x −
3
2
x π x π
π
π
π
cos + ÷− − ÷
cos
6
6
2 6 2 6 dx
3
=∫
dx = ∫
π
x π
x π
0 sin x − sin
0 2 cos
+ ÷.sin − ÷
3
2 6
2 6
π
x π
x π
x π
x π
+ ÷.cos − ÷+ sin + ÷.sin − ÷
6 cos
2 6
2 6
2 6
2 6 dx
=∫
x π
x π
0
2 cos + ÷.sin − ÷
2 6
2 6
x π
x π
π
π
x π
x π
π
− ÷
+ ÷
d sin − ÷ π6 d cos + ÷
6 cos
6 sin
6
1
2 6 dx + 1
2 6 dx
2 6
2 6
= ∫
=∫
−∫
∫
20
20
x π
x π
x π
x π
0
0
sin − ÷
cos + ÷
sin − ÷
cos + ÷
2 6
2 6
2 6
2 6
0
π
6
π
6
6− 2
1
2
3
x π
x π
− ln − ln
+ ln
÷
= ln sin − ÷ − ln cos + ÷ = ln
÷
4
2
2
2
2 6 0
2 6 0
6− 2
= ln
+ ln 6 . Vậy a = 6 − 2 ; b = 6 ⇒ 4a − b = − 2
÷
÷
4
4
1
dx
π 1
I
=
Câu 35: Cho
∫0 x6 + 1 = a + b + ln c . Vậy a + b − 2c bằng ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
4
4
1
1
1
dx
dx
1 ( x + 1) − ( x − 1)
I
=
=
=
Ta có:
∫0 x6 + 1 ∫0 ( x 2 + 1) ( x4 − x2 + 1) 2 ∫0 ( x2 + 1) ( x 4 − x2 + 1) dx
1
1
x 4 + 1)
(
1
1
1 − x2
1
1
= ∫ 2
dx+
dx= I1 + I 2
∫
4
2
4
2
2 0 ( x + 1) ( x − x + 1)
2 0 ( x − x + 1)
2
2
•
Tính I1
( x + 1)
=∫
( x + 1) ( x − x
4
1
I1
2
4
0
1
1
2
+ 1)
dx+
1
x4 − x2 + 1 + x2
dx
2 ∫0 ( x 2 + 1) ( x 4 − x 2 + 1)
1
1
x2
I1 = ∫ 2
dx+ ∫ 6
dx=I1a + I1b
0 ( x + 1)
0 ( x + 1)
Trang 17/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
1
1
dx
0 ( x + 1)
Tính I1a = ∫
2
1
dt
cos 2 t
Đặt x = tan t ⇒ dx =
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 , x = 1 ⇒ t =
π
4
1
1
dx = ∫
0 ( x + 1)
0
I1a = ∫
2
π
4
π
4
1
1
π
×
dt= ∫ dt=
2
1
cos t
4
0
2
cos t
1
x2
Tính I1b = ∫ 6 dx
x +1
0
1
1
dt ⇒ x 2 dx =
dt
2
cos t
3cos 2 t
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 , x = 1 ⇒ t =
4
3
2
Đặt x = tan t ⇒ 3x dx =
π
4
π
4
1
1
1
π
×
dt= ∫ dt=
2
1
cos t
30
12
0
2
cos t
π π π
Vậy I1 = + =
4 12 3
1
1 − x2
I
=
dx
•
Tính 2 ∫ 4
(0 x − x2 + 1)
1
I1b = ∫
2
x
1
dx= ∫
x +1
30
6
1 − x2
1 − x2
1 − x2
=
=
2
Ta có: x 4 − x 2 + 1 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2
( x 2 + 1) − 3x
(
=
=
=
(x
1 − x2
2
) (
+ 1 − 3x × x 2 + 1 + 3 x
( Ax + B ) ( x 2 + 1 −
(x
2
)
)
=
2
Ax + B
Cx + D
+ 2
x + 1 + 3x x + 1 − 3x
2
(
3x + ( Cx + D ) x 2 + 1 + 3x
)(
+ 1 − 3x x 2 + 1 + 3x
( A + C ) x3 + ( − A
)
)
) (
3x ) ( x + 1 +
)
)
3 + B + C 3 + D x2 + A − B 3 + C + D 3 x + B + D
(x
2
+1−
2
3x
)
Đồng nhất thức hai vế ta có:
A + C = 0
1
A = −C =
C
−
A
3
+
B
+
D
=
−
1
(
)
3
⇒
A + C + ( B − D) 3 = 0
B = D = 1
B + D = 1
2
1
1
1
1
x+
−
x+
2
2
2
Vậy: 1 − x
= 2 3
+ 2 3
4
2
x − x + 1 x + 1 + 3x x + 1 − 3x
1
1
1
1
x+
x+
1
1
1 −
2
1− x
2
2
I2 = ∫ 4
dx= ∫ 2 3
dx + ∫ 2 3
dx
2
0 ( x − x + 1)
0 x + 1 + 3x
0 x + 1 − 3x
Trang 18/25 - Mã đề thi 003
1
1
(
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
d x + 1 + 3x
2
)+
1
1
(
d x2 + 1 − 3x
2 3 ∫0 x 2 + 1 + 3x
2 3 ∫0 x 2 + 1 − 3 x
1
1
1
2
2
=
ln
x
+
1
+
3
x
−
ln
x
+
1
−
3
x
0
0
2 3
1
=
ln 2 + 3 − ln 2 − 3
2 3
=
(
)
(
) dx
)
2
2+ 3
1
1
=
ln 2 + 3 =
ln 2 + 3
2 3 2− 3 2 3
3
1
1
1 π 1 1
ln 2 + 3
Vậy: I = I1 + I 2 = × + ×
2
2
2 3 2
3
π
1
= +
ln 2 + 3
6 2 3
a = 6
⇒ b = 2 3 ⇒ a + b − 2c = 2
c = 2 + 3
=
1
(
ln
)
(
(
(
)
)
)
Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + 1 . Tính
2
1
∫ f ′ ( x ) dx
0
1
A.
∫
1
f ′ ( x ) dx = ln 2 .
B.
0
1
C.
∫
∫ f ′ ( x ) dx = ln 1 +
2 .
0
1
f ′ ( x ) dx = 1 + ln 2 .
D.
0
∫ f ′ ( x ) dx = 2 ln 2 .
0
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
1
Ta có:
∫
f ′ ( x ) dx = f ( x )
0
(
)
1
1
= ln x + x 2 + 1 = ln 1 + 2 .
0
0
Câu 37: (NB) Tính ∫ ( x − sin 2 x)dx
A.
x2
+ sin x + C .
2
B.
1
x2
x2 1
2
C. x + cos 2 x + C . D.
+ cos 2 x + C .
+ cos 2 x + C .
2
2
2 2
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Ta có ∫ ( x − sin 2 x)dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx =
Câu 38: (VD) Cho hàm số f ( x ) thỏa
1
A.
∫
x2 1
+ cos 2 x + C .
2 2
2017
1
0
0
∫ f ( x ) dx = 1 . Tính ∫ f ( 2017 x ) dx .
f ( 2017 x ) dx = 2017.
1
B.
0
1
C.
∫
∫ f ( 2017 x ) dx = 0.
0
f ( 2017 x ) dx = 1.
0
1
D.
1
∫ f ( 2017 x ) dx = 2017 .
0
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
1
dt = dx
2017
x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2017 .
Đặt t = 2017 x ⇒
Trang 19/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
1
Suy ra:
∫
f ( 2017 x ) dx =
0
1
2017
2017
∫
f ( t ) dt =
0
1
2017
2017
1
∫ f ( x ) dx = 2017 .
0
2
Câu 39: (VD) Giả sử
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b, ( a; b ∈ ¤ ) . Khi đó a + b ?
1
3
A. .
2
B. 2.
C. 1.
D.
5
.
2
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
1
u = ln x
du = dx
⇒
x .
Đặt
dv = ( 2 x − 1) dx v = x 2 − x
2
Ta có
2
2
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = ( x − x ) ln x 1 − ∫ ( x − 1) dx = 2 ln 2 −
2
1
1
1
2
1
3
Khi đó a = 2; b = − . Vậy a + b = .
2
2
Câu 40: (VD) Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x 2 − x, y = 0, x = 0 và x = 2 được tính bởi
công thức nào sau đây ?
2
2
A. S = ∫ (x − x )dx.
1
2
B. S = ∫ (x − x)dx − ∫ (x − x )dx.
2
2
0
1
1
2
0
1
0
2
2
2
C. S = ∫ (x − x)dx + ∫ (x − x)dx.
2
D. S = ∫ (x − x)dx.
0
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
x = 0
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − x = 0 ⇔
x = 1
2
1
1
0
S = ∫ (x 2 − x)dx − ∫ (x 2 − x )dx.
Câu 41: (VDC) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay
phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4
quanh trục Ox . Đường thẳng x = a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị
y = x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn
tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết
O
V = 2V1 . Khi đó
A. a = 2 .
C. a = 3 .
B. a = 2 2 .
hình
y
M
hàm
a
K
D. a =
H
4
x
5
.
2
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
4
Ta có
x = 0 ⇔ x = 0 . Khi đó V = π ∫ xdx = 8π
(
Ta có M a; a
)
0
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:
Hình nón ( N1 ) có đỉnh là O , chiều cao h1 = OK = a , bán kính đáy R = MK = a ;
Hình nón ( N 2 ) thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2 = HK = 4 − a , bán kính đáy R = MK = a
2
2
1
1
1
1
4
2
2
Khi đó V1 = π R h 1+ π R h 2 = π a .a + π a .(4 − a ) = π a
3
3
3
3
3
( )
( )
Trang 20/25 - Mã đề thi 003
xoay
rằng
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
4
Theo đề bài V = 2V1 ⇔ 8π = 2. π a ⇒ a = 3 .
3
Câu 42: (VDC) Tìm nguyên hàm ∫ sin xdx
A. ∫ sin xdx =
1
B. ∫ sin xdx = −2 cos x + 2sin x + C .
cos x + C .
2 x
C. ∫ sin xdx = − cos x + C .
D. ∫ sin xdx = cos x + C .
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Đặt t = x , ta có ∫ sin xdx = ∫ 2t sin tdt
u = 2t
du = 2dt
Đặt
ta có
dv = sin tdt
v = − cos tdt
∫ 2t sin tdt = −2t cos t + ∫ 2 cos tdt = − 2t cos t + 2sin t + C = −2 x cos x + 2sin x + C
Câu 43: (VDC)
Cho
f ,g
là
hai
hàm
liên
tục
trên
[ 1;3]
3
thỏa: ∫ f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 .
1
3
3
1
1
∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx .
A. 8.
B. 9.
C. 6.
Hướng dẫn giải
D. 7.
Đáp án C.
3
3
3
Ta có ∫ f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 .
1
1
1
3
3
3
1
1
1
Tương tự ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6 .
3
3
u + 3v = 10
u = 4
⇔
u
=
f
x
d
x
v
=
Xét hệ phương trình
, trong đó
∫1 ( ) , ∫1 g ( x ) dx .
2u − v = 6
v = 2
3
3
3
1
1
2
1
Khi đó ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .
20 x − 30 x + 7
3
2
; F ( x ) = ( ax + bx + c ) 2 x − 3 ; x > . Để hàm số F ( x ) là
2
2x − 3
một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì tổng T = a + b + c là:
Câu 44: Cho các hàm số f ( x ) =
A. T = 7
B. T = 1
C. T = 3
Hướng dẫn giải
D. T = 5
Chọn C.
Theo đề bài ta có: F ' ( x ) = f ( x )
2
ax 2 + bx + c 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c
=
2x − 3
2x − 3
5a = 20
a = 4
Suy ra: 3b − 6a = −30 ⇔ b = −2; T = a + b + c = 3.
c − 3b = 7
c = 1
Có: F ' ( x ) = ( 2ax + b ) 2 x − 3 +
2
2
2
1
1
1
Câu 45: Cho biết A = ∫ 3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1; B = ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) = −3 . Giá trị của C = ∫ f ( x ) dx bằng:
A. 1.
B. 2 .
5
C. − .
7
Hướng dẫn giải
D.
1
.
2
Trang 21/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Chọn C.
2
2
2
2
1
1
1
1
Ta có: A = 3∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = 1; B = 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3
5
a = − 7
3a + 2b = 1
⇔
Đặt a = ∫ f ( x ) dx ; b = ∫ g ( x ) dx , ta có hệ phương trình:
2
a
−
b
=
−
3
1
1
b = 11
7
2
5
Suy ra : C = ∫ f ( x ) dx = −
7
1
2
2
2
Câu 46: Cho tích phân I = ∫
1
các khẳng định sau:
A. b > 0
( x − 2) ( x2 − x + 2)
x+2
dx = a + b ln 2 + c ln 3; a, b, c ∈ Q . Chọn khẳng định đúng trong
B. c > 0
C. a < 0
Hướng dẫn giải
D. a + b + c > 0
Chọn B.
2
2
x3 − 3x 2 + 4 x − 4
32
53
dx = ∫ x 2 − 5 x + 14 −
Ta có: I = ∫
÷dx = − 64 ln 2 + 32 ln 3
x+2
x+2
6
1
1
Vậy c > 0
π
6
Câu 47: Nếu I = sin n x cos xdx = 1 thì n bằng:
∫0
64
A. n = 3
B. n = 4
C. n = 6
Hướng dẫn giải
D. n = 5
Chọn A.
Câu 48: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ∈ [ 0; 2] là một phần tư đường tròn bán
kính
2x 2 , ta được kết quả nào sau đây?
A. V = 32π
Chọn C.
16
π
5
Hướng dẫn giải
C. V =
B. V = 64π
(
1
Ta có diện tích thiết diện là: S ( x ) = π
4
2
1 4
16
Thể tích cần tìm là: V = ∫ π x dx = π
2
5
0
2x2
)
2
D. V = 8π
1
= π x4
2
Câu 49: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày ngày thứ t với số lượng là F ( t ) , biết nếu phát
hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc
1000
độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F ' ( t ) =
và ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn.
2t + 1
Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày và
bệnh nhân có cứu chữa được không?
A. 5434 và không cứu được
B. 1499 và cứu được
C. 283 và cứu được
D. 3717 và cứu được
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1000
Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F ' ( t ) =
. Suy ra số lượng vi khuẩn vào ngày
2t + 1
thứ t được tính theo công thức:
Trang 22/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
1000
dt = 500 ln 2t + 1 + C
2t + 1
Lúc đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn nên:
F ( 0 ) = 2000 ⇔ 500 ln 2.0 + 1 + C = 2000 ⇔ C = 2000 ⇒ F ( t ) = 500 ln 2t + 1 + 2000
F ( t ) = ∫ f ' ( t ) dt = ∫
Số vi khuẩn sau 15 ngày là F ( 15 ) = 500 ln 2.15 + 1 + 2000 = 3717 con và bệnh nhân cứu được.
2
2
Câu 50: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m / s thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) . Quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu?
4000
4300
1900
2200
m
m
m
m
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Lấy mốc thời gian tại thời điểm t = 0 (Vận tốc bằng 10 m / s tăng tốc)
Gọi s ( t ) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 10 giây và gọi v ( t ) là vận tốc của ô tô.
3 2 1 3
2
Ta có a ( t ) = v ' ( t ) ⇒ v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t + t ) dt = t + t + C .
2
3
3 2 1 3
Tại thời điểm ban đầu: v ( 0 ) = 10 ⇔ C = 10 ⇒ v ( t ) = t + t + 10
2
3
Ta có v ( t ) = s ' ( t ) ⇒ s ( t ) = ∫ v ( t ) dt
T
10
4300
3 2 1 3
m
Vậy trong 10 giây ô tô đi được quãng đường là: ∫ v ( t ) dt = ∫ t + t + 10 ÷dt =
2
3
3
t
0
Câu 51: Hàm nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x
1
A. − cos 2 x .
B. − cos 2 x .
C. sin 2 x .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
x
Câu 52: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
biết F ( 1) = 3
x2 + 1
1 2
5 2
A.
.
B. x 2 + 1 + 2 2 .
C. − x 2 + 1 + 4 2 .
x +1 +
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
x
F ( x) = ∫
dx . Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx
2
x +1
x
t
F ( x) = ∫
dx = ∫ dt = t + C = x 2 + 1 + C
t
x2 + 1
?
D.
1
cos 2 x .
2
2
D. 2 x 2 + 1 + 2 .
F ( 1) = 3 2 ⇔ 2 + C = 3 2 ⇔ C = 2 2
Vậy F ( x ) = x 2 + 1 + 2 2
Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 3 − x; y = 2 x và các đường x = −1; x = 1
được xác định bởi công thức
1
A. S =
1
∫ ( 3x − x ) dx .
B. S =
3
−1
0
C. S =
∫( x
−1
3
−1
1
3
∫ ( 3x − x ) dx.
− 3 x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx.
3
0
D. S =
∫ ( 3x − x ) dx + ∫ ( x
−1
0
1
3
0
3
− 3x ) dx.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 23/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
Xét phương trình x − x = 2 x ⇔ x 3 − 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ± 3.
3
1
Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức S =
∫x
0
3
− 3x dx =
−1
∫( x
−1
Câu 54: Cho hàm số f ( x ) và f ' ( x ) xác định và liên tục trên ¡ . Biết
1
3
− 3 x ) dx + ∫ ( 3x − x 3 ) dx.
0
2
∫ x f ' ( x ) dx = 6
2
và f ( 2 ) = 5 . Kết
0
2
quả của
∫ xf ( x ) dx
là
0
A. 7 .
B. 6 .
C. 12 .
Hướng dẫn giải
D. 14 .
Chọn A.
u = x 2
du = 2 xdx
⇒
dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )
2
∫ x f ' ( x ) dx = x f ( x )
2
2
0
2
0
2
2
2
0
0
0
− ∫ 2 xf ( x ) dx ⇔ 6 = 20 − 2 ∫ xf ( x ) dx ⇔ ∫ xf ( x ) dx =7
π
3
Câu 55: Tích phân I = x cos xdx = π a + b với a, b là các phân số tối giản. Kết quả của a + b là
∫
0
7
A.
.
12
B. −
5
.
12
11
.
12
Hướng dẫn giải
C.
D. −
9
.
12
Chọn B.
u = x
du = dx
⇒
dv = cos xdx v = sin x
π
3
I = ∫ x cos xdx = x sin x
0
π
3
0
π
3
− ∫ sin xdx =
0
π 3
+ cos x
6
π
3
0
1
a=
1 1
12 ⇒ a + b = − 5
=π
− ⇒
1
12 2
12
b=−
2
Câu 56: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) là đường parabol bậc hai như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi ( C )
, trục Ox , đường x = 3 có diện tích S . Đường thẳng x = k với k ∈ ( 0;3) chia S ra thành hai phần
có diện tích là S1 và S2 . Nếu S1 = 2 S 2 thì phát biểu nào sau đây đúng ?
A. k ∈ ( 2, 2; 2,3) . B. k ∈ ( 2,3; 2, 4 ) .
C. k ∈ ( 2, 4; 2,5 ) .
Hướng dẫn giải
D. k ∈ ( 2,5; 2, 6 ) .
Chọn C.
( C ) : y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ( c ≠ 0 )
qua ( 0;1) , ( 2;3) , ( −2;3) nên ( C ) : y =
1 2
x +1
2
Khi đó
Trang 24/25 - Mã đề thi 003
Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 – GVHD: Nguyễn Đức Tình - 0989435468
k
3
3
x3
x3
1
1
S1 = 2 S 2 ⇔ ∫ x 2 + 1÷dx = 2∫ x 2 + 1÷dx ⇔ + x ÷ = 2 + x ÷
2
2
6
0
6
k
0
k
k
k3
k3
1
+ k = 15 − 2 + k ÷ ⇔ k 3 + 3k − 15 = 0 ⇔ k ≈ 2, 47
6
2
6
2
Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) = x có đồ thị là đường parabol như hình bên. Biết đường tròn trong hình có
⇔
tâm là gốc tọa độ và bán kính
4 2
.
3
A. π +
2 . Diện tích phần hình phẳng được tô màu là
B. π −
π 1
4 2
.
C. − .
2 3
3
Hướng dẫn giải
D.
π 1
+ .
2 3
Chọn A.
Phương trình đường tròn: x 2 + y 2 = 2 .
Phương trình nửa trên trục hoành của đường tròn: y = 2 − x 2 .
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn:
x 2 = −2 ( l )
2
2
4
2
2− x = x ⇔ x + x −2 = 0 ⇔ 2
⇔ x = ±1 .
x = 1
Diện tích phần hình phẳng không được tô đậm bên trong hình tròn là
2
S1 = 2 ∫
0
(
)
2
2
0
0
2 − x 2 − x 2 dx = 2 ∫ 2 − x 2 dx − 2 ∫ x 2 dx = I − J
π
2
2
I = 2 ∫ 2 − x 2 dx = 2 ∫
0
0
2
2
J = 2 ∫ x 2 dx = 2
x3
3
S1 = I − J = π −
4 2
3
0
=
0
π
2
π
2
π
1
2
2 − 2sin 2 t . 2 cos tdt = 4 ∫ cos 2 tdt = 2 ∫ ( 1 + cos 2t ) dt = 2 t + sin 2t ÷ = π
2
0
0
0
4 2
3
Diện tích cần tìm là S hp = Shtron − S1 = 2π − π +
4 2
4 2
=π +
3
3
Trang 25/25 - Mã đề thi 003
