Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa 1
Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un1
Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un1
2. Định nghĩa 2
Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

un  M ,

n  *

un  m,

n  *

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho
m  un  M , n  *

3. Định lý 1
a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
4. Định lí 2
a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới  .
b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới  .
5. Định lý 3

a. Nếu một dãy  un  hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  un  cũng hội tụ đến a .
b.

 un 

hội tụ đến a   u2n  và  u2 n1  hội tụ đến a .

6. Định lý 4
a. Nếu lim un  0 và un  0, n 
n 

b. Nếu lim un   và un  0, n 
n

1

n  u
n
1
thì lim
0
n  u
n

thì lim

7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và
lim un  lim vn  a thì lim xn  a

8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn


u1  a
Bài toán. Chứng minh dãy số  un  xác định bởi 
có giới hạn hữu hạn và

un  f  un1  ; n  2
tìm giới hạn đó ( f  x  là hàm số liên tục).

Phương pháp giải
a) Dãy  xn  bị chặn. Nếu f  x  là hàm số tăng trên  a; b thì dãy  xn  đơn điệu và hội
tụ đến L là nghiệm của phương trình f  x   x .
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

1


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

b) Nếu f  x  là hàm số nghịch biến thì các dãy con  x2 n  ;  x2 n1  của dãy  xn  ngược
chiều biến thiên.
Nhận xét:
Nếu dãy  x2n  hội tụ đến L , dãy  x2 n 1  hội tụ đến K :
Với L  K thì dãy  xn  không có giới hạn;
Với L  K thì dãy  xn  có giới hạn là L .
II. BÀI TẬP
1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN
u1

Bài 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức

un

3
1
2un
3

1

3
; (n
un2

*

).

. Chứng minh

dãy số có giới hạn. Tính lim un ?
Lời giải
Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un

n

0;

*

.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

un

1

1
2un
3

Do đó: un
Mặt khác: un

3
un2
3

1

1
u
3 n
*

3; n

3

un2 .

3
un2

3

3 ; n

*

.

.

2
u
3 n

un

3
un2

un

1
un2

un

1 3
3 un2

3
1 3 un
3
un2

un

0.

Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.
Giả sử, lim un
Kết luận. lim un

2
a
3

a .Ta có: a
3

1
a2

a

3
a2

a

3

3.

3.

Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
u0  1

Bài 3. Chứng minh dãy số 
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
1
un  3  u ; n  1, 2,3...
n 1

3x n
1
, xn 1
a)
x n : x1
6
2x n 1

b)

x n : x1

2; xn

c)

xn : xn

d)

x n : x1

13; xn

e)

x n : x1

1
;x
2 n

n!
2n

2

1

1 !!

1

1

;n

xn
N

12

xn

4
x
3 n

x n2

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

f)

1
2

u1

un

un

1

x1
xn

g)

xn

xn :

xn

1

xn :

xn

x1
j)

xn :

xn

10x n

2

1

2x n

2

1

13
,n
xn

20

1

,n

2

1, 2...

1

1
x
2 n

1

2014
,n
xn

1

1
u

n 1
2
n 1

u

k)

x n : x1

3
;x
2 n

l)

x n : x1

0; xn

m)

x n : x1

1; x n

n)

x n : x1

1; x 2

o)

x n : x1

p)

x n : x1

f x

3 3
x
2

minh un

1
3x n

1

1

x1

i)

4
,n
1

0; x 2

x1
h)

3un
2un

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1

,n

2

3xn

1

xn ; n

6

1

2; n

2 2x n
1

xn
2; xn

4
;x
9 n
1
;x
2 n

1

4
9

1

3 2
x
2 n

1

1

1

1

;n

3
xn

1
xn 1 ; n

2

8
3x n ; n 1

9
1 3
x ; n 1 . Hướng dẫn: Xét hàm số.
2 n

1 3
x , x 0;1 , f ' x
0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 . Chứng
2
f un 1 & un un 1 cùng dấu, và do
0;1 bằng quy nạp. Do f x tăng nên f un

đó cùng dấu với u2

3
16

u1

q)

x n : x1

2; xn

r)

x n : x1

2; xn

s)

x n : x1

1982; x n

1

2

1

2 2 ;n

un

1

0 . Từ đó suy ra un là dãy giảm và bị chặn dưới.

xn ; n

1 HD: Xét hàm số f x

x ;x

2

0;2

x

1 HD: Xét hàm số f x

1
;n
4 3x n

22 ; x

1 HD: Xét hàm số f x

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

3

1;2
1
4

3x

;x

0;1 .


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

x n : x1

t)

1; x n

1

1
;n
xn

1

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1

u1 
Bài 1. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2
u  u 2  u , n  1
n
n
 n 1

. Tìm giới hạn sau:

(1)

 1
1
1 
lim 

 ... 
.
n  u  1
u2  1
un 1  1 
 1
Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  3



Xét tính đơn điệu của

 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

un1  un  un2  0   un  tăng.

Tính tổng:
un 1  un2  un 


1
1
1
1

 
un 1 un  un  1 un un  1
1
1
1
 
un  1 un un 1

(n  1, 2,...)

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1
1
1
1

 ... 
 2
u1  1 u2  1
un1  1
un1


Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  a 2  a  a  0 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:

1
0
n u
n 1

lim un    lim un1    lim

n 

n

 1

1
1 
1 

 ... 

 lim  2 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim 

2
n  u  1
n 
u

1
u

1
u
2
n 1
n 1 
 1




 1
1
1 

 ... 
Vậy lim 
2
n  u  1
u2  1

un 1  1 
 1

.


u1  2
Bài 2. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2

un 1  un  un  1, n  1
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 4

(1)


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1 1
1
Tìm giới hạn sau: lim    ...   .
n  u
un 
 1 u1
Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: un  2 , n  1



Xét tính đơn điệu của
n 





 un 

Từ hệ thức (1) ta suy ra được

, un1  un   un  1  0 , vậy  un  tăng.
2

Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
1
1
1
1
un 1  1  un  un  1 



un 1  1 un  un  1 un  1 un


1

1
1


un un  1 un 1  1

(n  1, 2,...)

 

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1 1
1
1
  ...   1 
u1 u1
un
un 1  1


Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  a2  a  1  a2  2a  1  0  a  1 (vô lý)

không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:

lim un    lim  un1  1    lim

n 

n 

n

1
un1  1

0

1 1

1
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    ...    lim 1 
 1
n  u
un  n  un 1  1 
 1 u1

1 1
1
Vậy lim    ...    1  .
n  u
un 

 1 u1
u1  3

Bài 3. Cho dãy số un xác định bởi 
1
un 1   un2  un  4  , n  1; 2;3....

5



a) Chứng minh dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên ;
n

1
, n  1, 2,3... Tính lim Sn .
k 1 uk  3

b) Đặt Sn  

Bài 4. (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số

x1  2012; xn1  xn2  5xn  9 với mọi n nguyên dương.

a) Chứng minh  xn  là dãy số tăng;

b) Chứng minh  xn  không có giới hạn hữu hạn;
n

c) Xét dãy  yn  xác định bởi yn  

1
. Tìm lim yn .
k 1 xk  2

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

5

 xn  xác định bởi


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Lời giải
a) Xét hiệu: xn1  xn  x  5xn  9  xn  ( xn  3)2  0
2
n



Do x1  2012  3 nên xn1  xn  0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng.

b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn  a(a  2012) .
Từ công thức truy hồi xn1  xn2  5xn  9 .
Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a  a2  5a  9  a  3 (không thỏa mãn).
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.
c) Ta có:

1
1
1


xn  2 xn  3 xn1  3
n

1
1
1
1
1

 ... 


x1  3
xn1  3 2009 xn1  3
k 1 xn  2

Do đó, ta có: yn  

1
.
2009
u1 1

Mà limxn   nên limyn 

Bài 5. Cho dãy số un

un

n

u1u2u3 ...un

1

1

1, 2,... Đặt Sn

;n

k

1
. Tìm lim Sn .
n
1 uk

Lời giải
Ta có un

un

1

un

1
1
1

un

1

1

1

u1u2...un (n

un , n

2

un

1

n

1
u1

Sn

un
k

1
1 un

1
2 uk

1

1

1
un

1

n

1
u1

1); un
un

1 un

1

un

1
un

1

k 2

uk

Kết hợp với giả thiết suy ra Sn

u1u2...un 1; n

1

1

uk

1

2

1

un

1

1

1

2 , suy ra

1
1
u1

un

1

1

1
u2

1
un

1

1

1

1
un

1

1

Ta có
u2  1  u1 ; u3  1  u1u2  1  u1 1  u1   1  u1

 un  1  u1  u1u2 ....un  1  u1 
Mặt khác un
un

1

1

1

un

u1u2 ...un

1

n 1

un u1u2...un

u1 1

Bài 6. Cho dãy số x n : x1

u1

n 1

1, xn

2n
1

0 hay un tăng nên

1

1

1

lim un

n

xn xn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

1 xn
6

1

lim Sn

1

2 xn

2

n

3

1 . Tính lim
n

n
i 1

1
xi

2

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Lời giải
Ta có x 2
xn

xn (xn

1

0 với mọi n  1, 2,

5 và xn
1)(xn

2)(xn

1

xn2

xn

1 xn

3)

3xn xn2

3xn

2

xn2

1

3xn

1 (1)

Từ đó suy ra

xn

xn2

1

1

3xn

1
xn

1

1

Từ (1) xk

xi

2

xk2

1

3xk

xi

1

3.3k

3xk

1

xn

1

xi

i 1

1
(vì do (2) xn
2

n

3n

Suy ra a 2

a a

1)(a

1 a

1

1
xn

1

1

xn

2

1

1

1
xn

1

1
2

1

1

1
xn

1

1

(2)

3n )

1

với cách khác:

Dễ thấy x n là dãy tăng, giả sử lim xn
a(a

xn

1

3k

1

Ta có thể chứng minh lim xn

Nên ta có a

2

x1

1

1

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn
Nên lim yn

1

1

xn 1

2

1

=

2

1

n

1

i 1

1
1 xn

xn

n

Do đó yn

2

2)(a

2 a

3)

a (a 1)

1

1 hay a 4

3

6a 3

10a 2

6a

1

0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a  1 . Vậy lim xn
Bài 7. Xét dãy số xn ; n

n

1

. . Đặt Sn

1, 2, 3,

xác định bởi x1

1, 2, 3,
1

1
x1

1

1 2
(x
2 n

1) với mọi

1
. Tìm lim Sn .
n
1 xn

...

x2

1

2 và x n

Lời giải
Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:
Cho dãy un thỏa mãn

u1
un

n

Ta chứng minh Sn

a
un2
1

1
b

c )un
b c

c2

u1

c2

c )un
b c

1

ui

i 1

(b

1
c

un

c

1

Thật vậy.
Ta có un
Từ đó

un2
1

(b

1

un

1

1
c

un

suy ra un

1
c

un

c

1

un2

1
b

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

un
7

(b

c )un
b c

1
b

un

bc

1
c

un

1

c

(un

b)(un
b c

c)


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Khai triển và ước lượng được

1
u1

1
b

u1

1
u2

1
c

u2

c

1
b

1

u2

c

u3

c

…………………….

1
un

1
b

1

un

c

un

c

1

1

Do đó Sn

u1

1
c

un

c

1

Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có

1

Sn

1

x1

Mà x n

1

1

1

1

x
2 n

– xn

a2

> 2). Thì 2a

xn

1

1

1

xn

1

1

2

N * nên dãy x n là dãy tăng. Giả sử lim xn

1 >0 n

n

a (a

1 suy ra a = 1. Vô lý.

Vậy lim xn

. Do đó lim Sn

n

1

n

Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài
toán mới. Chẳng hạn:

(2x n 1)2012
Bài 8. Cho dãy số x n được xác định bởi: x1 = 1; x n 1
x n . Với n là số nguyên
2012
(2x1 1)2011 (2x 2 1)2011 (2x 3 1)2011
(2x n 1)2011
dương. Đặt un
. Tìm lim un .
...
2x 2 1
2x 3 1
2x 3 1

2x n 1 1
Lời giải
Ta có x n
Suy ra
n
i 1

1

1
2x n

2(x n

1
2x n

1

(2x i 1)2011
2x i 1 1

Mặt khác: xn

(2x n 1)2012
, n
2012

– xn

1

1

1

(2x n

n

1006

– xn

i 1

1

xn )

1)(2x n

1
2x i

1

1

1)

1
1

2x i

1

1

(2x n 1)2011
1006(2x n 1 1)
1006

0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n

tại.

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

8

1
2x1

1
1

2x n

1

1

1 . Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
Đặt lim xn

a

hay lim xn

a

suy ra lim

(a

1 và a

1
2x n

1

1

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1)2012
2012

a (vô lý). Suy ra x n không bị chặn trên

=0. Suy ra lim un
n

1006
3

u1  1

Bài 9. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
Tìm giới hạn sau:
un2
u


u
,

n

1
 n 1
n
2012

u u

u 
lim  1  2  ...  n  .
n  u
un 1 
 2 u3

Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1



Xét tính đơn điệu của

un2
 0 , vậy  un  tăng.
2012
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
u2
un 1  n  un  un2  2012  un 1  un 
2012
u  u 
u
 n  2012 n 1 n
un 1
un .un 1
n 



 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được



, un 1  un 



1
un
1 
 2012  

un 1
 un un 1 

 n  1, 2,...

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1

u
u1 u2
1 
1 
  ...  n  2012  

  2012 1 

u2 u3
un1
 u1 un1 
 un1 



(2)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  1 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a2
a
 a  a  0 (vô lý)
2012
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
1
0
n u
n 1

lim un    lim un1    lim

n 



n

u u

u 
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim 2012 1 
  2012
n  u
un1  n
 2 u3
 un1 

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

9


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước


u u
u 
Vậy lim  1  2  ...  n   2012

n  u
un 1 
 2 u3

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

.

u1  2

Bài 10. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un2  2011un
u

, n  1
 n 1
2012

 u
un 
u
sau: lim  1  2  ... 

n  u  1
u3  1
un 1  1 
 2

(1)

Tìm giới hạn

Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1



Xét tính đơn điệu của
n 



 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
u  u  1

, un 1  un  n n
 0 , vậy  un  tăng.

2012
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

un2  2011un
 un2  2012un  2012un 1  un  un  1  2012  un 1  un 
2012
 u  1   un  1  un  2012  1  1  n  1, 2,... (*)
un

 2012 n 1



 
un 1  1
 un1  1 un  1 un1  1
 un  1 un 1  1 
un 1 

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

un
u1
u
1 
 2  ... 
 2012 1 

u2  1 u3  1
un1  1
 un1  1 


(2)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

a(a  1)
 a  a(a  1)  0  a  0  a  1 (vô lý)
2012
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
a

2) Dãy  un 

lim un    lim  un1  1    lim

n 

n 

n

1
un1  1

0



 u

un 
u
1 
 lim 2012 1 

Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ... 

  2012 .
n  u  1
u3  1
un1  1  n
 2
 un1  1 



 u
un 
u
Vậy lim  1  2  ... 
  2012 . 
n  u  1
u

1
u

1
3
n 1
 2


Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 10

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1

u1  2

Bài 11. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2
u  un 1  4un 1  un 1 , n  2
 n
2
 1 1
1 
hạn sau: lim  2  2  ...  2  .
n  u
un 
 1 u2

Tìm giới
(1)

Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1



Xét tính đơn điệu của

un  un 1 

 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

un21  4 xn 1  un 1
2

 un 1 

un21  4 xn 1  un 1
2



2un 1
un21  4 xn 1  un 1

0

Suy ra:  un  tăng.


Tính tổng:

un  un1 


2un1
un21  4 xn1  un1

 un2   un  1 un1 

1 1 1


un2 un1 un

(n  1,2,...)

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1 1
1
1 1 1
1
 2  ...  2  2    6 
(2)
2
u1 u2
un u1 u1 un
un
Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

n 

a 2  4a  a
 a  0 (vô lý)
2
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
a

2) Dãy  un 

lim un    lim

n 




n

1
0
un

 1 1

1 
1
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  2  2  ...  2   lim  6    6
n  u
un  n 

un 
 1 u2
 1 1
1 
Vậy lim  2  2  ...  2   6  .
n  u
un 
 1 u2


u1  2012
Bài 12. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2

un  2011un  2013un 1  1  0, n  1


1
1
1

 ... 
giới hạn sau: lim 
.
n  u  2012
u2  2012
un  2012 
 1

Lời giải
Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 11

(1)

Tìm


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2012 , n  1



Xét tính đơn điệu của





 u  1
 n

2

 0   un  tăng.
2010
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

u 2  2011un  1
un2  2011un  2013un 1  1  0  un 1  n
2013
2
u  2011un  1
 un 1  1  n
1
2013
 u  1 un  2012 
 un 1  1  n
2013
1
1
1



(n=1,2,...)
un  2012 un  1 un 1  1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1
1
1
1
1
1
1

 ... 





u1  2012 u2  2012
un  2012 u 1  1 un1  1 2011 un1  1
un 1  un



 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

(*)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2012 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a2  2011a  2012a  1  0  a  1 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:

lim un    lim  un1  1    lim

n 

n 

n

1
un1  1

0

Vì thế từ (2) ta suy ra:


 1
1
1
1
1 
1
lim 

 ... 
 lim 



n  u  2012
n

u2  2012
un  2012 
 1

 2011 un1  1  2011



1
1
1
1
.

 ... 

Vậy lim 

n  u  2012
u2  2012
un  2012  2011
 1
1

u1 
2012
Bài 13. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
u  2012u 2  u , n  1
n
n
 n 1


u u

u 
sau: lim  1  2  ...  n  .
n  u
un 1 
 2 u3
Lời giải


Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 12

. Tìm giới hạn
(1)


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước


Xét tính đơn điệu của

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

 un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

un1  un  2012un2  0   un  tăng.



Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2012un2  un 1  un 



2012un2 un 1  un
u
1 1
1 

 n 
 

unun 1
unun 1
un 1 2012  un un 1 

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1
u
u1 u2
1  1 1   1 1 
1 
  ...  n 
        ...   

u2 u3
un 1 2012  u1 u2   u2 u3 
 un un 1  





(n=1,2,...)

1 
1 
 2012 

2012 
un 1 

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên
nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  2012a2  a  a  0 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:

lim un    lim un1    lim

n 

n

n

1
0
un1



 1 
u u
u 
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim 
2012 

  1
n  u
un 1  n  2012 
un 1  
 2 u3



u u
u 
Vậy lim  1  2  ...  n   1
n  u
un1 
 2 u3

.

u1  3

Bài 14. Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
. Tìm giới hạn sau:
un2  2009un  2
u

,

n

1
 n 1
2012

 u  1 u2  1
u 1 
lim  1

 ...  n

n  u  2
u3  2
un 1  2 
 2

Lời giải

 Biến đổi un1 

u  2009un  2
(u  1)(un  2)
 un 1  un  n
2012
2012
2
n

( 1)

Vì u 1 = 3 nên 3 = u 1 < u 2  Giả sử dãy {u n }bị chặn trên   L 
Suy ra limu n1 = lim

: limu n = L ( L > 3)

un2  2009un  2
L2  2009 L  2
hay L =
2012
2012

 L 2 -3L+2 = 0  L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)
1
0
n  u
n

Do đó {u n } không bị chặn trên hay lim u n = +  hay lim

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 13

(*)


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

 Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un)


un  1
1
1
= 2012 (
) (*)
un 1  2
un  2 un 1  2

 Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được:
n

Sn =


Vậy lim S n = 2012

ui  1
1

= 2012 ( 1)
un 1  2
i 1  2

u
i 1

.

Bài 15. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau x1  3 và xn1 
mỗi số nguyên dương n, đặt yn 
Lời giải.
Do

xn1  2 

n

x
i 1

2
i

xn3  2 xn  4
với n  1,2,... Với
xn2  xn  6

1
. Tìm lim yn .

4

( x  4)( xn  2)
(1)
xn2  xn  6
2
n

x1  3 nên bằng qui nạp chứng minh được

(x n  2)2
xn1  xn  2
 0  ( xn ) là dãy tăng (2).
xn  xn  6
Giả sử dãy ( xn ) bị chặn trên  a  3

để

xn  2 với mọi n 

lim xn  a

a  2a  4
 a 2  4a  4  0  a  2 (loại)
2
a a6
Do đó: lim xn   (3)
1
1
1

1
1
1

 2


Từ (1) suy ra :
 2
xn1  2 xn  2 xn  4
xn  4 xn  2 xn1  2
n
1
1
 1
(4)
 yn   2
xn1  2
i 1 xi  4
Từ (3) và (4) suy ra : lim yn  1
2017

x

1

2
Bài 16. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau 
 x  2 x2  5x  9 ;  n 
n

n
 n1
2
n
1
nguyên dương n, đặt un  
. Tính lim un .
k 1 xk  1
a

.

Khi

3

. Với mỗi số
*

Lời giải

9
9
3
. Khi đó f ( x)  x  2 x 2  5 x   x  x  .
2
2
2
3
Vậy hàm số có một điểm bất động là x  .

2
9
3
3

Ta có xn1  2 xn2  5 xn   xn1   2  xn    xn  1
2
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1

 .


Từ đó suy ra


3 2 
3 xn  1
3
xn  1 x  3 x  3
xn1 

xn    xn  1 xn 
n
n 1

2
2
2
2
2



Xét hàm số f ( x)  2 x 2  5 x 

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 14

*

đó


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

n

1
1
1

1
1
.




3
3
3
x

1
1007
k 1 k
x1 
xn1 
xn1 
2
2
2
2017
3
Chứng minh dãy tăng. Do x1 
nên bằng qui nạp chứng minh được xn 
với mọi
2
2
n *
1

2
Xét hiệu xn1  xn   2 xn  3  0  n  *  ( xn ) là dãy tăng.
2
 Chứng minh dãy  xn  không bị chặn trên.
un  

Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a 

3
để lim xn  a . Khi đó
2

9
3
 a  a  (không thỏa mãn). Do đó : lim xn  
2
2
1
Vậy lim un 
.
1007
Bài 17. (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:
 x1  4

.
xn4  9

x

 n1 x3  x  6 ; n  1

n
n

n
1
Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn   3
. Tính lim yn .
k 1 xk  3
2a 2  5a 

Lời giải.

x4  9
x4  9
 x  x  3.

.
Khi
đó
f
(
x
)

x
x3  x  6
x3  x  6
Vậy hàm số có một điểm bất động là x  3 .
xn3  3  xn  3


xn4  9
 xn1  3 
+ Ta có xn1  3
.
xn3  xn  6
xn  xn  6
+ Xét hàm số f ( x) 

xn3  3   xn  3

1
1
1

.



xn1  3  xn3  3  xn  3
 xn  3  xn3  3
1
1
1


.
x  3 xn  3 xn1  3
n
1
1

1
1


 1
 yn   3
.
x1  3 xn1  3
xn1  3
k 1 xk  3



3
n

+ Chứng minh dãy tăng. Do x1  4 nên bằng qui nạp chứng minh được xn  3 với mọi n 

 xn  3
xn1  xn 
0
 xn  2   xn2  2 xn  3
2

Xét hiệu

 ( xn ) là dãy tăng.

+ Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn trên.
Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a  3 để lim xn  a . Khi đó

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 15

*


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

a 9
 a  a  3 (không thỏa mãn).
a a6
Do đó : lim xn  
Vậy lim yn  1 .
4

3

Bài 18. (HSG BP 12-13). Cho dãy số (un ) được xác định:
2
2013
un2 (2 9un 1 )
u1

2un 1(2

5un ), n

1

u1
1 u1

. Xét dãy số vn

u2
1 u2

un
. Tìm
1 un

lim vn .
Lời giải
Ta có un
Khi đó un2 2
Đặt x n

9un

2
un

n

x1
xn

0; n

1.

2un

1

1

9un

2

5un

2

un

2
2
un2

1

1

2

5un

un

9
1

4
un2

10
un

1 . Khi đó ta có dãy mới x n được xác định bởi:

2013
x n2

1

5x n

9 n

1

Chứng minh x n là dãy tăng:
Xét hiệu: xn

xn2

xn

1

Do x1

2013

2

5xn

9

xn

xn

3 nên xn

1

xn

0 suy ra dãy x n là dãy tăng

3

Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn

0

:

Giả sử x n bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn
Từ công thức truy hồi xn

xn2

1

5xn

a, a

2013 .

9

Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 2 5a 9 a 3 (không thỏa mãn)
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.
Ta có:

vn

u1
1 u1

Mà

un
1 un

...

1
xn

2

1
2
u1

1
xn

2

Do đó, ta có: vn

2

2
un

2

2

2

1
x1

2

...

1
xn

2

n

1

1
3

xn

1
x1

1

...

1

3

1
3

xn

1

3

2

1
2013

1
3

xn

1

3

1
.
1005

Bài 19. (Quảng Ngãi) Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện: a1  2,  4  an  6  an1   24
Mà lim xn

nên lim vn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 16


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
Tính S2012 

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1 1
1
.
  ... 
a1 a2
a2012

HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy ra an 

Đặt tn 

4an1

6  an1

1



2
1

3an1 4

1
2
1

 .
an 3an1 4

1
1
3
1
1 3
1
(t1  )  tn  tn1   tn   (tn1  )
an
2
2
4
2 2
2

1
3

3
Đặt un  tn  (u1  1)  un  un1  Sn  2[( )n  1]
2
2
2
3 2012
Cho n  2012 , ta có S2012  2[( )  1]  1006.
2

5

u1  2
Bài 20. Cho dãy số (un ) thỏa mãn: 
u  1 u 2  u  2
n
 n1 2 n

u1  2

Bài 21. Cho dãy số: 
un2015  un  1
u

 n1 u 2014  u  3
n
n


n 

 n 1
 . Tìm lim   u  .
 k 1 k 

*

(n  N * )

*
a) Chứng minh un  1, n  N và (un ) là dãy số tăng.

n

b) Tìm lim

u
i 1

1

2014
i

2

.

Bài 22. Cho dãy số un thỏa mãn u1  2017; un1  un
Bài 23. Cho dãy số x n : x1

1,

Bài 24. Cho dãy số x n : x1
Bài 25. Cho dãy số x n

n 1

xn

1

xn

3, xn

1

1





n

un  1 ; n  1, 2,3... Tính lim 

x n2014 n

2

i 1

1 . Tìm lim
n

xn

4 n

được xác định bởi x1

12, x n

1 . Tìm lim
n

xn 1

1
n

n

1
,x
24 n

Bài 26. Cho dãy số x n được xác định bởi x1

x1

x2

...

x 22014
x3
n

1 2
x
5 n

x n là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. Tìm lim

Sn

x12014
x2

k 1

3
n

1
xk

k 1

3

1

x n2014
.
xn 1

1
.
xk

. Chứng minh rằng

.

xn
1

...

1
ui  1

1

3 n

2 n

1

2x n2

1, n

3 xn

. Đặt

xn . Tính lim Sn .
n

Bài 27. Cho dãy số x n được xác định bởi x n : x1
Bài 28. Cho dãy số x n : x1

1; x n

x n2
1

1

1

xn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 17

,n

1
;x
2 n

1 . Tìm lim x n .
n

1 . Tìm lim
n

xn
.
n


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

1
;x
2 n

Bài 29. Cho dãy số x n : x n : x1

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1
x
2 n

1

x1

Bài 30. (HSG QG 2012). Cho dãy số x n :
x1

Bài 31. Cho dãy số x n :

2

xn

3n

2

1

1 . Tìm lim x n .
n

. Tìm lim x n .
n

2012
x n3

xn

1

x1
Bài 32. Cho dãy số x n :

3
n

xn

1
,n
4n

x n2

3x n . Tìm lim x n .

3x

2
n

n

1

2012

xn

2012 . Tìm nlim x n
xn

1
x
2 n

1

Bài 33. Cho dãy số un xác định bởi

u1

2014

un

un2
2un

1

6 . Tính nlim un
1

HD: Chứng minh dãy un giảm và bị chặn dưới bởi 2.
Bài 34. Cho un :

u1
un

3
un2

un
5

1

Bài 35. Cho dãy số un

thỏa mãn

un

Bài 37. Cho dãy số x n được xác định

u1

2

2

1

...

u2

2

n
2
n

u

4un

1

u1
thỏa mãn

1

1
2

u1
un

Bài 36. Cho dãy số un

1

9 . Đặt Sn

un

. Tìm lim
n

k

un

1
2
1 uk

2

3

n

1 2
u
2 n

1

u1
un

un

2

. Tìm lim
n

k

1
1 uk

2
un2
2014

1

2013
;n
2014

1, 2...

a) Chứng minh un là dãy số tăng.
b) Với mỗi n

v1

v2

...

1, n

vn

N , đặt vn

2014 , n

un
un

1

1

. Chứng minh rằng

1, 2...

Bài 38. Cho dãy số un được xác định

u1

1
2

a)

n2

; n 1, 2...
1
2013
Chứng minh rằng dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên.

b)

Đặt Sn

un

n
i 1

ui

un

1
. Tính lim Sn
n
2013

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 18

. Tìm lim Sn .


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
u1

Bài 39. Cho dãy số un :

5
u

u1

16

;n

1

1

. Tính lim
n

2
n

u

7un
13

1

;n

2014
2013
un2 2un
;n
2

1

Bài 42. Cho dãy số x n : x1

9

n

1

n

n

1, 2...

x1

Bài 43. Cho dãy số un được xác định bởi u1

x2

1

xn

2

.

10

.
xn

2 . Tính lim

1 . Tìm lim
n

i 1

1

.

xn

n

n

un

1

ui

,n

1

ui

1

i 1

...

2, un

n
i 1

n

2

2

. Đặt lim

. Đặt lim

2n

1; x n

1, 2...

ui

i 1

20

un

un

2un
6

1

u1

Bài 41. Cho dãy số un

n

2

n

un

Bài 40. Cho dãy số un :

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

1
ui

HD
Bước 1. Chứng minh lim un
n

n

Bước 2. Tính
i 1

n

1
, tính lim
n
ui

i 1

1

.
ui

Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu 0
x
1
Bài 44. Cho dãy số x n : 1
x n 1 2014x n2
Bài 45. Cho dãy số x n : x1
lim

n

1
x1

1
1

x2

1

...

Bài 46. Cho dãy số x n : x1

3, xn
xn

a

3xn

1, xn

4n 1

un ; wn

xn
.
xn 1

...

4 . Tìm

xn2 . Tìm lim

1

n

1

Bài 47. Cho dãy số x n được xác định bởi
vn

n

x2
x3

.

1

1

xn2

1

1

xn

x1
x2

. Tính lim

x0

x1
x2

1; x n

x2
1

1

x3

xn
2

1
1

xn

...

xn

1

1

.

. Đặt

u1u2...un . Hãy tính lim vn ; lim wn .

Bài 48. Cho dãy số x n : x1

Bài 49. Cho dãy số x n : x1

8, x n

1

2009, x n

Bài 50. Cho dãy số thực an : a1
Bài 51. Cho dãy số x n : x1

1 2
x
3 n

2, x n

n

1

2009x n2
1

an

1 2
x
2 n

n

xn

1
;n
an

i 1

x n2

xi

1
. Tính lim
n
n
2009

2

.

x i2

n
i 1

x i2

1

an

1 . Chứng minh rằng lim
n

n

1 . Đặt Sn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 19

1

25 . Tính lim

2009x n 1

1;an
1

7x n

k 1

1
xk

1

n

.

2.

. Tính Sn ; lim Sn .
n


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

xn

Bài 52. Cho dãy số x n : x1

2
,x
3 n

Bài 53. Cho dãy số x n : x1

a

1, xn

1

Bài 54. Cho dãy số x n : x1

a

0, xn

1

lim

n

1
1

1
x1

1

x2

...

1

1

2 2n

Bài 55. Cho dãy số x n : x1

1, x n

Bài 56. Cho dãy số (un ) u1

21
,u
10 n

1 xn

1

xn2

xn

1n

xn2

xn n

x n2
n
2014

xn

1

un

un2

2

1

n

b) Đặt x n

k 1

uk

k 1

x k . Tính lim Sn .
n

1 . Tìm lim
n

1
x1

1

x2

...

1
.
xn

x2
x3

...

xn
.
xn 1

1 . Tìm

n

x1
x2

1 . Tìm lim
n

8un

4

2

Bài 57. Cho dãy số un được xác định bởi u1
a) Chứng minh un

n

. Đặt Sn

.

xn

1

GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

2008, un

1

, n

un2

n

*

1

lim

n

i 1

2
i 1

u

20072 ; n

4013un

4
1

2007 .

1
; tính lim x n .
n
2006

Bài 58. (HSG BP 11-12). Cho dãy số un được xác định bởi

u1

2
n

u

2013
2011un

2013un

1

0 n

1

. Tìm lim
n

u1

1
2012

Bài 59.
. . . to be continued . . .

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 20

u2

1
2012

...

un

1
.
2012

.