Vẽ kỹ thuật Khai thác mỏ

LỜI NÓI ĐẦU
Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn Vẽ kỹ thuật của Trường
Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường Miền Trung và cho sinh viên khối kỹ
thuật nói chung, tôi biên soạn cuốn Bài giảng Vẽ kỹ thuật trên tinh thần tổng
hợp chung các kiến thức cơ bản về vẽ kỹ thuật và dựa theo chương trình khung
đào tạo cho hệ trung cấp khai thác đã được Bộ Giáo dục thông qua.
Bài giảng được biên soạn cho đối tương là học sinh TCCN, công nhân
lành nghề bậc 3/7 trong quá trình biên soạn tôi đã cố gắng trình bày đầy đủ, chi
tiết những kiến thức cũng như các tài liệu liên quan nhằm giúp cho sinh viên dễ
dàng sử dụng sách.
Tất cả những tiêu chuẩn được giới thiệu trong sách đều được trích ra từ
những Tiêu chuẩn Việt Nam bản vẽ, phù hợp với các tiêu chuẩn Tổ chức quốc tế
về Tiêu chuẩn hoá ( International organization for Standardization – ISO )
Bản vẽ kỹ thuật là ngôn ngữ của ngành Kỹ thuật, do vậy trong quá trình
hoàn thành bản vẽ chúng ta phải tuyệt đối tuân thủ những quy định, những tiêu
chuẩn về vẽ kỹ thuật.
Môn Vẽ kỹ thuật mang tính đặc trưng của một môn học thực hành cho
nên ngoài việc học và nắm vững các kiến thức lý thuyết trình tự hoàn thành bản
vẽ, thói quen cầm bút, thước kẻ... sao cho phải khoa học nhất.
Cùng với sự phát triển của tin học, những ứng dụng của nó vào cuộc sống.
Vẽ kỹ thuật cũng đã thừa hưởng nhiều thành tựu, đặc biệt trong lĩnh vực thiết
kế. Với sự trợ giúp của các phần mềm đồ hoạ chuyên dùng như Autodesk Cad,
Autodesk Inventor, SolidWorks... công nghệ vẽ và thiết kế đã có sự thay đổi cơ
bản. Sự trợ giúp của máy tính và phần mềm đồ hoạ cho phép tự động hoá việc
sử lý thông tin vẽ, tự động hoá việc lập các bản vẽ kỹ thuật hoặc giải các bài
toán hình học... Nhưng để hoàn thành một bản vẽ bằng máy tính điện tử, người
sử dụng máy vẫn phải nắm vững các kiến thức cơ bản về vẽ kỹ thuật như khi
hoàn thành một bản vẽ bằng tay
Trong quá trình biên soạn cuốn sách này, tôi đã cố gắng tham khảo nhiều
tài liệu, kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong các trường kỹ thuật đầu ngành,
nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của tất

cả các bạn đọc để cuốn sách ngày càng hoàn thiện.
Mọi ý kiến thắc mắc có thể liên lạc theo địa chỉ:
GV: Trịnh Thanh Thiên - Trường Cao đẳng công nghiệp Phúc yên, Phường
Trưng Nhị, Phố Chùa Cấm, Thị xã Phúc Yên – Vĩnh Phúc
Email:
Tel: 0975.494.898
Tác giả
1


Chương I: VẬT LIỆU DỤNG CỤ VẼ, CÁCH SỬ DỤNG VÀ NHỮNG TIÊU
CHUẨN VỀ TRÌNH BÀY BẢN VẼ KỸ THUẬT
I. VẬT LIỆU, DỤNG CỤ VẼ VÀ CÁCH SỬ DỤNG

1 Giấy vẽ
Dùng giấy crôki, đó là loại giấy dày, hơi cứng có mặt phải nhẵn và mặt
trái ráp. Khi dùng đều dùng mặt phải của giấy.
2 Bút chì
Có hai loại: một loại cứng và một loại mềm
- Loại cứng ký hiệu bằng chữ H (Dùng để vẽ nét liền mảnh)
- Loại mềm ký hiệu bằng chữ B (dùng để vẽ nét liền đậm hay viết chữ)
Kèm theo mỗi chữ đó có chữ số đứng ở trước làm hệ số để chỉ độ cứng hoặc
độ mềm khác nhau. Hệ số càng lớn thì bút chì có độ cứng hoặc độ mềm càng
lớn.
VD: H, 2H, 3H Loại bút chì mềm B, 2B, 3B. Bút chì loại vừa có ký hiệu là
HB. Ngoài giấy vẽ và bút chì ra còn có một số vật liệu khác như tẩy giấy giáp
đinh.
3 Thước chữ T
Thước chữ T được làm bằng gỗ hoặc chất dẻo. Thước chữ T gồm thân
ngang mỏng và đầu chữ T. Mép trượt của đầu vuông với mép trái của thân

ngang. Thước chữ T dùng để vẽ các đường nằm ngang.

4 Ván vẽ
Làm bằng gỗ, mặt ván phẳng và nhẵn mép ván phải phẳng để có thể trượt
thước chữ T

2


5. Êke
Có thể phối hợp với thước chữ T để kẻ các đường thẳng đứng hoặc đường
nghiêng

6. Compa
Dùng để vẽ đường tròn hoặc đo độ dài từ thước ra bản vẽ
II. NHỮNG TIÊU CHUẨN VỀ TRÌNH BÀY BẢN VẼ KỸ THUẬT

Bản vẽ kỹ thuật là tài liệu kỹ thuật quan trọng dùng trong thiết kế cũng
như trong sản xuất và sử dụng, nó là phương tiện thông tin kỹ thuật dùng mọi
lĩnh vực kỹ thuật. Trong viêc buôn bán, chuyển giao công nghệ giữa các quốc
gia, trong việc trao đổi hàng hóa hay dịch vụ và thông tin. Việc áp dụng các tiêu
chuẩn quốc tế và tiêu chuẩn nhà nước có ý nghĩa rất lớn đối với nền kinh tế quốc
dân nó nhằm mục đích thúc đẩy tiến bộ kỹ thuật, nâng cao năng suất lao động,
cải tiến chất lượng sản phẩm vv...
Tiêu chuẩn việt nam

KH: TCVN

Tiêu chuẩn quốc tế KH : ISO (International organization for standardization )
1. Khổ giấy

Được chia ra làm 2 loại: khổ giấy chính và khổ giấy phụ
Các khổ giấy chính gồm khổ giấy A0 có kích thước là 841x1189mm, diện tích
bằng 1m2 và các khổ giấy khác chia ra từ khổ A0

Ký hiệu và kích thước các khổ giấy chính như sau :
3


Bảng 1-1: Khổ giấy
Kích thước các cạnh khổ 1189x
594x841 594x420 297x420 297x210
giấy tính bằng mm
841
Kí hiệu khổ giấy bằng chữ

A0

A1

A2

A3

A4

Ký hiệu bằng số

44

24

22

12

11

Ngoài các khổ giấy chính ra, còn cho phép dùng các khổ giấy phụ. Kích
thước cạnh của khổ giấy phụ là bội số của kích thước cạnh khổ giấy chính.
2. Khung vẽ và khung tên
Mỗi bản vẽ phải có khung vẽ và khung tên riêng
2.1. Khung vẽ
Được kẻ bằng nét cơ bản, cách các mép giấy một khoảng bằng 5mm. Nếu
bản vẽ được đóng thành tập thì cạnh trái của khổ giấy là 25mm.

2.2. Khung tên
Khung tên được bố trí ở góc phải phía dưới bản vẽ
Kích thước khung tên gồm có 2 loại:
Loại 1: - Dùng trong trường học

Tên bản vẽ

6. Ngày hoàn thành bản vẽ

1. Vật liệu của chi tiết

7. Chữ ký người kiểm tra

2. Tỷ lệ bản vẽ

8. Ngày kiểm tra

3. Số thứ tự bài tập, ký hiệu bản vẽ

9. Tên trường lớp

4. Tên người vẽ
4


Loại 2: - Dùng trong sản xuất
1: Tên của sản phẩm
2: Ký hiệu của tài liệu
3: Ký hiệu của vật liệu
4: Số lượng của chi tiết, nhóm, bộ phận sản phẩm
5: Khối lượng của chi tiết, nhóm, bộ phận sản phẩm
6: Tỷ lệ dùng để vẽ
7: Số thứ tự của tờ
8: Tổng số tờ của tài liệu
9: Tên hay biệt hiệu của cơ quan, xí nghiệp phát hành tài liệu
10: Chức năng của những người đã ký vào tài liệu
11: Họ tên những người ký vào tài liệu
12: Chữ ký
13: Ngày tháng năm ký tài liệu
14: Ký hiệu của miền tờ giấy đó trên đó có phần tử được sửa đổi
15 - 19: Các ô trong bảng ghi sửa đổi được điền vào theo quy đinh
20: Số liệ khác của cơ quan thiết kế
21: Họ tên những người can bản vẽ
22: Ký hiệu khổ giấy
3. Tỷ lệ

Tất cả các vật thể biểu diễn trên bản vẽ đều phải vẽ theo một tỷ lệ nhất
định được quy định trong TCVN 3-74
Tỷ lệ: là tỷ số kích thước đo được trên hình vẽ với kích thước tương ứng
đo được trên vật thể
Ký hiệu tỷ lệ là TL
5


VD : TL 2:1; TL 1:5
Tương ứng với ISO 5455-1979
Bảng 1-2: Tỷ lệ
Tỷ lệ thu nhỏ

1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10 ; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40

Tỷ lệ nguyên hình

1:1

Tỷ lệ phóng to

2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10 :1; 15:1; 20:1; 25:1; 40:1

Trị số kích thước ghi trên hình biểu diễn không phụ thuộc vào tỷ lệ của hình
biểu diễn đó. Trị số kích thước chỉ giá trị thực của kích thước vật thể
4. Đường nét
Để biểu diễn vật thể một cách sáng sủa, rõ ràng người ta dùng các loại
đường nét khác nhau được quy định trong TCVN 8-1993.
Bảng 1-3: Đường nét
Nét vẽ

Tên gọi

Áp dụng tổng quát

Nét liền đậm

Cạnh thấy, đường bao thấy, đường ren
thấy, đường đỉnh răng thấy

Nét
mảnh

liền

Đường kích thước, đường dóng kích
thước, đường gạch trên mặt cắt, đường
chân ren thấy

Nét
sóng

lượn

Đường giới hạn hình cắt hoặc hình
chiếu khi không dùng đường trục làm
đường giới hạn

Nét dích dắc

Đường giới hạn hình cắt hoặc hình
chiếu

Nét đứt đậm

Đường bao khuất, cạnh khuất

Nét đứt mảnh Đường bao khuất, cạnh khuất
Nét
gạch
Đường tâm, đường trục đối xứng
chấm mảnh
Nét cắt

Vết của mặt phẳng cắt
Đường bao của chi tiết lân cận

Các vị trí đầu, cuối và trung gian của
Nét gạch hai
chi tiết di động
chấm mảnh
Bộ phận của chi tiết nằm ở hai phía
trước mặt phẳng cắt
5. Chữ viết
6


Trên bản vẽ kỹ thuật ngoài hình vẽ ra, còn có con số kích thước những ký
hiệu bằng chữ, những ghi chú bằng lời văn khác… chữ và chữ số đó phải được
ghi rõ ràng, thống nhất dễ đọc và không gây nhầm lẫn.

TCVN 6-85 chữ viết trên bản vẽ quy định chữ viết gồm chữ, số và dấu
dùng trên các bản vẽ và tài liệu kỹ thuật.
5.1. Khổ chữ
Khổ chữ (h) là giá trị được xác định bằng chiều cao của chữ hoa tính bằng mm
có các khổ chữ sau: 2.5; 3.5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40
Chiều rộng nét chữ (d) phụ thuộc vào kiểu chữ và chiều cao chữ
5.2.Kiểu chữ
Có các kiểu chữ sau :
- Kiểu A đứng và A nghiêng 750 với d = 1/14h
- Kiểu A đứng

Hình 1-8: Kiểu chữ A đứng
- Kiểu B đứng và nghiêng 750 với d = 1/10 h
- Kiểu B nghiêng 750

Hình 1- 9: Kiểu chữ B nghiêng 750
6. Ghi kích thước
7


Kích thước ghi trên bản vẽ thể hiện độ lớn của vật thể được biểu diễn.
Ghi kích thước trên bản vẽ kỹ thuật là vấn đề rất quan trọng khi lập bản vẽ, kích
thước phải được ghi thống nhất, rõ ràng theo quy định của TCVN 5705-1993.
6.1. Quy định chung
- Các kích thước ghi trên bản vẽ là kích thước thật của vật thể, chúng không
phụ thuộc vào tỷ lệ của hình vẽ
- Dùng mm làm đơn vị đo kích thước dài , trên bản vẽ không cần ghi đơn vị.
Nếu dùng đơn vị đo khác như centimet, met… thì đơn vị đo được ghi sau con số
kích thước.
- Dùng độ, phút, giây làm đơn vị đo góc.

6.2. Đường kích thước
- Đường kích thước được vẽ bằng nét liền mảnh
- Đường kích thước thẳng được kẻ song song với đoạn thẳng được ghi (hình
1-8a)
- Đường kích thước độ dài của cung tròn là cung tròn đồng tâm (hình 1-8b)
- Đường kích thước của góc là cung tròn có tâm ở đỉnh góc (hình 1-8c)
- Không được dùng bất kỳ đường nào của hình vẽ thay thế đường kích thước

6.3.Đường dóng
Là đường giới hạn phần tử được ghi kích thước, được vẽ bằng nét liền
mảnh kẻ từ hai đầu mút đoạn cần ghi kích thước và kẻ vượt quá đường kích
thước từ 2-2.5mm.
Đường dóng kích thước của một đoạn thẳng được vẽ vuông góc với
đoạn thẳng cần ghi kích thước, khi cần chúng được kẻ xiên góc

8


6.4. Mũi tên
- Được vẽ đầu mút đường kích thước
- Độ lớn mũi tên tùy theo nét vẽ

Hình 1-10: Mũi tên
- Trường hợp đường kích thước ngắn quá thì mũi tên được vẽ bên ngoài
đường dóng (Hình 1-11a)
- Trường hợp đường kích thước nối tiếp nhau mà không đủ chỗ vẽ mũi tên thì
dùng dấu chấm hoặc gạch xiên thay cho mũi tên (Hình 1-11 b,c)

Hình 1 – 11: Cách ghi kích thước
6.5. Chữ số kích thước

- Được đặt khoảng giữa phía trên đường kích thước có khổ chữ từ 2,5 trở lên
- Trường hợp không đủ chỗ để viết, chữ số được viết ở phía kéo dài
- Hướng chữ số kích thước dài theo hướng nghiêng của đường kích thước,
nếu đường kích thước có độ nghiêng quá lớn thì con số được phép ghi trên giá
ngang
9


Hình 1-12: Chữ số kích thước
- Hướng chữ số kích thước góc theo hướng nghiêng của tiếp tuyến đường
kích thước góc.
- Không cho phép đường nét nào của bản vẽ kẻ chồng lên con số ghi kích
thước, trong trường hợp đó được vẽ ngắt đoạn.

Hình 1-13: Cách ghi con số
6.6.

Các dấu hiệu và ký hiệu

- Trước con số kích thước đường kính ký hiệu là Ø (Hình 1-11a)
- Bán kính ký hiệu R (Hình 1-11b)
- Độ dài cùng tròn phía trên con số kích thước độ dài cung tròn ghi dấu
cung (Hình 1-11c)
- Trước con số cạnh hình vuông ghi dấu vuông

(Hình 1-11d)

Hình 1-14: Dấu hiệu

10

Chương II: VẼ HÌNH HỌC
I. DỰNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, CHIA
ĐỀU ĐOẠN THẲNG

1. Dựng đường thẳng song song
Bài toán: Cho một đoạn thẳng a và một điểm c bất kỳ ở ngoài đường thẳng
a. Hãy vạch qua c đường thẳng b song song với đường thẳng a.
Cách dựng :
Trên đường thẳng a lấy một điểm b
bất kỳ làm tâm vẽ cung tròn bán kính BC
cung tròn này cắt đường thẳng a tại điểm
A. Lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán kính
BC và cung tron tâm B bán kính CA hai
cung tròn này cắt tại D, nối C và D ta
được đường thẳng b song song với
đường thẳng a.
2. Dựng đường thẳng vuông góc
Bài toán:
Cho một đường thẳng a và một điểm c nằm ngoài đường thẳng a. Qua c
hãy dựng một đường thẳng vuông góc với đường thẳng a.
Cách dựng :
Lấy C làm tâm vẽ một cung tròn
có bán kính lớn hơn khoảng cách từ a
đến c cung tròn này cắt đường thẳng a
tại A và B lấy A và B làm tâm vẽ một
cung tròn có bán kính lớn hơn AB/ 2.
Hai cung tròn này cắt nhau tại D nối C
với D ta được đương thẳng vuông góc

với đường thẳng a.

3. Chia đều một đoạn thẳng
3.1. Chia đôi một đoạn thẳng

11


Cách dựng :
Để chia đôi một đoạn thẳng AB ta
lần lượt lấy A và B làm tâm vẽ cung tròn
cùng bán kính R lớn hơn AB/2 cắt AB
tại C đó là điểm giữa của đoạn thẳng AB
phải dựng.

3.2.

Chia một đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau

Bài toán : Chia đoạn thẳng AB thành 5 phần bằng nhau
Cách chia : Từ đầu mút A kẻ một đoạn
thẳng AX tùy ý . Dùng com pa đo 5
đoạn bằng nhau A1’ = 1’2’ = 2’3’ = 3’4’ =
4’5’
Nối 5’ với B sau đó dùng thước kẻ kẻ
các đường thẳng song song với các
đường thẳng 5’B lần lượt đi qua các
điểm 5’ ,4’, 3’, 2’, 1’ chúng cắt AB tại các
điểm 1,2...4 chia đều đường thẳng ra 5
phần bằng nhau

II. VẼ GÓC – ĐỘ DỐC – ĐỘ CÔN

1. Vẽ góc

12


1.1. Chia đôi góc: Chia đôi góc O
AB ta vẽ như sau :
- Lấy O làm tâm vẽ một cung tròn
với bán kính tùy ý. Lần lượt lấy điểm
A và điểm B làm tâm quay hai cung
tròn cùng bán kính R ( R>AB/2). Hai
cung tròn này cắt nhau tại I. Nối OI
thì OI là một đường phân giác của
góc OAB
1.2. Chia góc vuông ra làm 3 phần bằng nhau

Hình 2-6
1.3. Vẽ các góc: 750, 1050, 150, 1650
Dùng hai e ke phối hợp với nhau để vẽ các góc trên

Hình 2-7
2. Vẽ độ dốc
Mặt phẳng của chi tiết có vị trí nằm nghiêng trên bản vẽ được thể hiện
bằng độ dốc

13

Hình 2-8
- Độ dốc đặc trưng cho độ nghiêng giữa đường thẳng này với đường thẳng
kia
- Độ dốc được tính theo phần

trăm hay tỷ lệ

- Ký hiệu độ dốc trên bản vẽ

là

3. Vẽ độ côn
Độ côn là tỷ số giữa hiệu hai đường kính hai mặt cắt vuông góc với
khoảng cách giữa hai mặt cắt đó của hình côn
Ký hiệu độ côn như hình sau:

Hình 2-9
III. CHIA ĐỀU ĐƯỜNG TRÒN

1. Chia đường tròn ra ba phần và sáu phần bằng nhau
1.1. Chia đường tròn thành ba phần bằng nhau (Hình a)
1.2. Chia đường tròn thành sáu phần bằng nhau (Hình b)

Hình 2-10
2. Chia đường tròn thành 4 phần và 8 phần bằng nhau
14


2.1. Chia đường tròn thành 4 phần bằng nhau (hình a)

2.2. Chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau (hình b)
C

A

C

B

A

B

D

D

( hình a)

( hình b)

Hình 2-11: Chia đường tròn ra 4, 8 phần bằng nhau
3. Chia đường tròn thành 5 phần và 10 phần bằng nhau
3.1. Chia đường tròn thành 5 phần bằng nhau
Bài toán: Cho đường tròn tâm o đường kính AB  CD dựng ngũ
giác đều nội
C
tiếp đường tròn.
Phương pháp dựng :
Muốn dựng ngũ giác đều nội tiếp trong

đường tròn ra 5 phần bằng nhau cách chia
như sau :

M

O

A

N

B

- Dựng trung điểm M của bán kính OA
- Vẽ cung tròn tâm M của bán kính MC ,
cung tròn cắt OB tại N
- Nối N với C thì NC là độ dài một cạnh
của ngũ giác đều nội tiếp

D

Hình 2-12: Chia đường tròn 5
phần bằng nhau

3.2. Chia đường tròn thành 10 phần bằng nhau
Dựng thập giác đều nội tiếp. Cách dựng tương tự như chia đường tròn
thành 5 phần bằng nhau. Đoạn ON là độ dài một cạnh của thập giác đều nội tiếp
4. Chia đường tròn thành 7, 9, 11…. Phần bằng nhau
Bài toán: Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB CD chia đường tròn

thành 7 phần bằng nhau
Phương pháp dựng:
- Lấy D làm tâm quay một cung
tròn có bán kính bằng CD. Cung
15


7

C

6

này cắt AB kéo dài tại M và N.
- Chia CD ra 7 phần bằng nhau
được các điểm chia 1’, 2’, 3, 4’…6’
- Nối M và N với các điểm lẻ 1 ’,
3’, 5’ (hoặc các điểm chẵn) kéo dài
cắt đường
tròn tại các điểm
1,2….6 đó là các điểm chia đường
tròn ra làm 7 phần bằng nhau

5
4
M

O

A

B

N

3
2
1

D

- Ta nối các điểm 1,2,… 6 , C bằng
các dây cung, ta sẽ được hình 7
cạnh đều nội tiếp
- Chia đường tròn thành 7 phần và
9 phần bằng nhau ta làm tương tự
như trên nhưng đường kính CD sẽ
được chia thành 9, 11, 13….phần
bằng nhau

Hình 2-13: Chia đường tròn ra 7, 9, 11…
phần bằng nhau

IV. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM CUNG TRÒN

- Lấy 3 điểm tùy ý trên cung tròn đã vẽ ( Điểm A, B, C )
Dựng các đường trung trực của hai dây cung AB và BC. Hai đường trung
trực này cắt nhau tại O thì O là tâm cung tròn cần tìm.

Hình 2-14

V. VẼ NỐI TIẾP

1. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng
Bài toán:
Cho hai đường thẳng d1, d2 cắt nhau. Hãy vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp
với hai đường thẳng đó.
Cách vẽ như sau:

16


- Từ phía trong góc của hai đường thẳng đã cho, kẻ hai đường thẳng song
song với d1, d2 và cách chúng một khoảng bằng bán kính R. Hai đường thẳng
vừa kẻ cắt nhau tại một điểm O, đó là tâm nối tiếp
- Từ tâm O hạ đường vuông góc xuống d1 và d2 ta được hai điểm T1 và
T2 đó là hai tiếp điểm
- Cung nối tiếp hai cung tròn T1 và T2, tâm O bán kính R
d2

d2

T2
O

T1

R

T2

R

d1

O

d1

T1

Hình 2-15: Cung tròn nối tiếp đường thẳng
2. Vẽ cung tròn nối tiếp với một đường thẳng và một cung tròn khác
Bài toán:
Cho cung tròn tâm O1, bán kính R1 và đường thẳng d, vẽ cung tròn bán
kính R nối tiếp với cung tròn tâm O1 và đường thẳng d
Có hai trường hợp: Cung nối tiếp tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong với
cung tròn tâm O1
2.1. Trường hợp tiếp xúc ngoài (h.a)
Cách vẽ:
- Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng d đã cho và cách d một
khoảng bằng bán kính R
- Lấy O1 làm tâm vẽ cung tròn phụ bán kính bằng tổng hai bán kính R+R1
giao điểm của hai đường thẳng song song với d và cung tròn phụ là cung tâm nối
tiếp
- Nối đường liên tâm OO1, đường này cắt cung O1 tại T1 và hạ đường
vuông góc từ O đến đường thẳng d được điểm T 2. T1 và T2 là hai tiếp điểm.
Cung T1,T2 tâm O bán kính R là cung nối tiếp.
2.2. Trường hợp tiếp xúc trong (h.b)
Cách vẽ tương tự như trên. Ở đây đường tròn phụ có bán kính bằng hiệu
hai bán kính R-R1. Cung tròn phụ cắt đường thẳng d tại O, O là tâm cung tròn

nối tiếp.

17


- Nối O với O1 kéo dài cắt cung tròn R1 tại T1, từ O hạ đường OT 2  d. T1,
T2 là hai tiếp điểm.
- Lấy O làm tâm quay cung tròn bán kính R nối T 1, T2 đó chính là cung
tròn nối tiếp cần dựng.

O

R1
R-

T1
O

d

T2

O1
R

R1+R

R

O1

R1

R1

d

R

R

T2

d

( hình a)

T2

d

( hình b)

Hình 2-16: Cung tròn nối tiếp đường thẳng và cung tròn khác
3. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai cung tròn khác
Bài toán:
Cho hai cung tròn tâm O1 và tâm O2 bán kính R1 và R2. Vẽ cung tròn bán
kính R nối tiếp với hai cung tròn đã cho.
Có ba trường hợp
3.1. Trường hợp tiếp xúc ngoài

- Lấy O1 và O2 làm tâm vẽ hai cung tròn phụ bán kính R+R1 và R+R2
- Hai cung tròn phụ cắt nhau tại O, O là tâm cung nối tiếp
- Nối O1 với O cắt đường tròn tâm O1 tại T1, nối O2 với O cắt đường
tròn tâm O2 tại T2. T1, T2 là hai tiếp điểm
- Lấy tâm O bán kính R vẽ cung tròn T1, T2, đó là cùng tròn nối tiếp cần
tìm

18


R1

R2

O2

R

O1

T2

O

R+R
2

R1
R+

T1

Hình 2-17: Tiếp xúc ngoài
3.2. Trường hợp tiếp xúc trong
- Cách vẽ tương tự như trên. Nhưng khi vẽ hai đường tròn phụ tâm O1 và
O2 thì bán kính của hai cung tròn này là R-R1 và R-R2
T1
T2

O1

O2

O

Hình 2-18: Tiếp xúc trong
3.3. Trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài
- Cung tròn R1 tiếp xúc trong với cung tròn R thì vẽ cung tròn phụ có bán
kính là R-R1. Còn cung tròn R2 tiếp xúc ngoài với cung tròn bán kính R thì vẽ
cung tròn phụ có bán kính là R+R2
- Cách vẽ tương tự như trên

19


T1

R1

O1

O2
T2

R+
R2

1

R

R
R-

R2

Hình 2-19: Tiếp xúc trong và ngoài
VI. MỘT SỐ ĐƯỜNG CONG HÌNH HỌC

Dựng hình elíp
Cách dựng:
Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AB. Lấy A làm tâm vẽ cung tròn
có bán kính AO cung tròn này cắt
đường tròn tâm O tại hai điểm 1, 2.
Nối 1-2 với tâm O kéo dài cắt đường
tròn tại hai điểm 3,4.
Lấy A làm tâm vẽ cung tròn nối
3-4, tương tự lấy B làm tâm vẽ cung
tròn nối 1-2. Kẻ đoạn thẳng nối 3-A

ta được trung điểm M, tương tự nối
B-2 ta được trung điểm N lần lượt
lấy M, N làm tâm vẽ cung tròn nối 31 và 4-2 ta được hình elip cần dựng

B

3

4
M

N
O

1

2
A

Hình 2-20: Elip
Chương 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
I. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU

1. Phép chiếu xuyên tâm

20


Giả thiết trong không gian lấy một mặt phẳng P và một điểm S tùy ý không
thuộc P. Từ một điểm A bất kỳ trong không gian dựng đường thẳng SA đường

này cắt mặt phẳng P tại điểm A’.
Như vậy ta đã thực hiện một phép chiếu mà
P: gọi là mặt phẳng hình chiếu

S

SA: Gọi là tia chiếu
A’ : Gọi là hình chiếu của điểm A

A

S : Gọi là tâm chiếu
Định nghĩa :
Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu mà
tất cả các tia chiếu đều đi qua một điểm S cố
định gọi là tâm chiếu thì đó gọi là phép chiếu
xuyên tâm

'

A
P

Hình 3-1: Phép chiếu xuyên tâm
Trong thực tế chúng ta thường thấy những hiện tượng của phép chiếu
xuyên tâm. Như ánh sáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất. Mà ngọn
đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng hình Chiếu bóng đồ vật trên mặt đất là
hình chiếu xuyên tâm của đồ vật đó.
S
A

B
C

A

P

'
C

'

B

'

Hình 3-2: Ví dụ về phép chiếu xuyên tâm
Ứng dụng:
Do có sự biến dạng nên trong kỹ thuật chỉ dùng để vẽ phối cảnh và vẽ minh
họa.
2. Phép chiếu song song
Nếu tất cả các tia chiếu không đi qua một điểm cố định mà song song với
một đường thẳng cố định l gọi là phương chiếu thì phép chiếu đó gọi là phép
chiếu song song.
21


Định nghĩa:
Phép chiếu song song là phép chiếu mà tất cả các tia chiếu song song với

nhau và song song với hướng chiếu l
- L: phương chiếu

S

- A A’ tia chiếu
- A’ hình chiếu song song của điểm A

A

l

- P: mặt phẳng hình chiếu
Ứng dụng:
Do không có sự biến dạng dài nên phép
chiếu song song được dùng để vẽ hình chiếu
trục đo.

'

A
P

Hình 3-3: Phép chiếu song song

Trong thực tế ta thấy ánh sáng của mặt trời chiếu đồ vật lên mặt đất giống
như phép chiếu song song. Các tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song,
mặt đất là mặt phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song
của đồ vật đó.

B

P

D
C

A

D'

B'
P

A'

C'

Hình 3-4: Ví dụ về phép chiếu song song
3. Phép chiếu vuông góc
Trong phép chiếu song song, nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu P đó là phép chiếu vuông góc
Ứng dụng:
Do không có sự biến dạng dài và biến dạng góc nên phép chiếu vuông góc
được dùng để vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng.
VD:

22

Như trên ta thấy rằng một điểm A trong
không gian thì có một hình chiếu A’ duy
nhất trên một mặt phẳng hình chiếu. Nhưng
ngược lại điểm A’ không chỉ là hình chiếu
của một điểm A duy nhất mà A còn là hình
chiếu của vô số điểm khác thuộc tia chiếu
AB. Vì vậy một hình chiếu của một vật thể
trên một mặt phẳng hình chiếu chưa đủ để
xác định hình dạng và kích thước của vật
thể đó .

l

A

A' =B' =C'

P
Hình 3-5: Phép chiếu vuông góc

Như vậy để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật
thể trên các bản vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vuông góc để chiếu vật
thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau
II. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, TRONG HỆ THỐNG
HAI VÀ BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU

1. Hình chiếu của điểm, đường thẳng và mặt phẳng
Đặt vấn đề:
Để nghiên cứu hình chiếu của một vật thể, trước hết phải nghiên cứu hình
chiếu của các yếu tố hình học, điểm, đường thẳng, mặt phẳng.

1.1.Hình chiếu của điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu
Trong không gian lấy ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một làm
ba mặt phẳng hình chiếu. P1 thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, P2
nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng, P 3 ở bên phải P1 gọi là mặt phẳng
hình chiếu cạnh. Giao tuyến giữa ba mặt phẳng hình chiếu với nhau gọi là trục
chiếu. Có ba trục chiếu (OX, OY và OZ )
Có một điểm A trong
không gian chiếu vuông góc
điểm A lên 3 MPHC ta được các
hình chiếu của nó là A1, A2, A3
Từ các hình chiếu này hạ đường
vuông góc OX, OY và OZ ta
được các điểm Ax, Ay, Az
Để vẽ ba hình chiếu của điểm A
trên cùng một mặt phẳng , người
ta giữ P1 lúc này A2 chuyển sang
vị trí mới về nằm trên cùng với
mặt phẳng A1.

P

P

3

1

A1

A3

Az
A3

A
Ax

X

A2
A2

P

3

Ay

P

2

Y

P

2

Hình 3-6: Hình chiếu của điểm

23


Tương tự quay P3 xung quanh trục OZ để P 3=P1 lúc này A3 chuyển sang
vị trí mới về nằm trên cùng với mặt phẳng A1 lúc này hình vẽ có dạng như sau:
Một hình vẽ gồm ba hình chiếu của một điểm nằm trên cùng một mặt
phẳng người ta gọi là hình biểu diễn của một điểm (đồ thức của một điểm)
Z

Trong đó :

A1

- A1: là hình chiếu đứng của điểm A

Az

A3

- A2: là hình chiếu bằng của điểm A
-A3: là hình chiếu cạnh của điểm A

X

Các tính chất của đồ thức:

Ax

o

Ay Y

 A1A2OX  AX

Ay

A2

 A1A3OZ  AZ

Y

Hình 3-7: Đồ thức của điểm

 A2A3OY  AY
 A2AX = A3AZ
1.2. Hình chiếu của đường thẳng
Đặt vấn đề:

Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm do đó muốn biểu diến một
đường thẳng chỉ cần biểu diến hai điểm bất kỳ của một đường đó. Sau đây ta xét
các trường hợp.
1.2.1.Đường thẳng bất kỳ
Đường thẳng gọi là bất kỳ nếu nó không vuông góc hoặc không song song
với mặt phẳng hình chiếu nào
Quy tắc: Đường thẳng bất kỳ trong không gian thì hình chiếu của nó trên
mặt phẳng hình chiếu là những đường thẳng bất kỳ đối với hệ trục
VD : Đường thẳng AB là bất kỳ trong không gian
Z

Z

P1

B1

B1
B

B3

A1
X

A1

P3

A2

A3
Y

A3

B2

B2

P2

o

X

o
A

B3

A2
Y

Y

Hình 3-8: Hình chiếu của đường thẳng bất kỳ
24


Nhận xét : Ta thấy các hình chiếu của đường thẳng AB đều bé hơn đường thẳng
AB
1.2.2. Đường thẳng song song với 1 mặt phẳng hình chiếu
Đường thẳng AB song song với P1: Đường thẳng AB song song với P1
nghĩa là khoảng cách tất cả các điểm trên đoạn thẳng AB đến P1 đều bằng nhau
Z

P

1

Z

B1

B1
B

B3

A1
X

P

3

A3

A

A1

A3

o

X

o
B2

A2

B3

Y

A2

B2
Y

P

2

Y

Hình 3-9: Hình chiếu của đường thẳng song song với P1
Tính chất : AB = A1B1
A2 B2 // OX
A3B3 // OZ
Đường thẳng AB song song với P2



Tính chất : AB = A2B2
A1 B1// OX
A3B3 // OY
Đường thẳng AB song song với P3



Z

P1

Z

B1

A3

A1

A1

B

B3

P3

A
X

o

B3

B1
o

A3

X

Y
A2

B2

P2 A 2

B2
Y

Y

Hình 3-10: Hình chiếu của đường thẳng song song với P3
25