ĐỀ THI 02 học phần toán cao cấp

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề số 02
ĐỀ THI 02
Học phần Toán cao cấp
Thời gian thi: 90 phút
Câu 1 (4,0 điểm)
1
1
1
1

a) Tính định thức:

1 1 1
2 3 4
3 6 10
4 10 20

6x1 + 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3x5 = 1
3x + 2 x + 4 x + x + 2 x = 3
 1
2
3
4
5
b) Giải hệ phương trình: 
3x
+
2
x

−
2
x
+
x
=
−
7
2
3
4
 1
9x1 + 6 x2 + x3 + 3 x4 + 2 x5 = 2

Câu 2 (3,0 điểm)
n

 1 + n2 
a) Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 
2 ÷
n =1  1 + 3n 
∞

∞

b) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∑ ( −1)

n +1

n =1

xn
n

Câu 3 (3,0 điểm)
2
a) Giải phương trình vi phân: y '+ 2 xy = xe − x
b) Tính giới hạn: lim
x →0

x − sin x
.
x3

Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.


Đề số 02
ĐÁP ÁN ĐỀ THI
Học phần: Toán cao cấp
Thời gian thi: 90 phút
Câu hỏi
Câu 1
(4đ)

Nội dung
a)

b)

1
1
1
1

1 1 1
1 1
2 3 4
0 1
=
3 6 10
0 2
4 10 20
0 3

Điểm
0.5

1 1
2 3
=1
5 9
9 19

Biến đổi ma trận bổ sung:
6 4 5 2 3  0
3 2 4 1 2 ÷ 3


÷→ 
 3 2 -2 1 0 ÷  0

÷ 
9 6 1 3 2  0

0.5
0.5
0.5

0 -3 0 -1 
2 4 1 2 ÷
÷→
0 -6 0 -2 ÷
÷
0 -11 0 -4 

 0 0 -3 0 -1 
3 2 4 1 2 ÷

÷
 0 0 -11 0 -4 ÷

÷
0 0 0 0 0 
Hệ đã cho tương đương với:
-3x3
− x5 = 0


 x3 = 13


3x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 + 2 x5 = 0 ⇔  x5 = −34

 x = −3x − 2 x
− 11x3
− 4 x5 = 0
1
2

 4
Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất: (c1; c2; 13; -3c1-2c2;-34), với c1 , c2 là
tham số. Nghiệm riêng của hpt là ( 0;0;13;19; −34 ) . Do đó nghiệm tổng
quát của hệ đã cho: (c1, c2, 13, 19-3c1-2c2,-34) , với c1 , c2 là tham số.
Câu 2
(3đ)

a)
n

 1 + n2 
1
Vì lim n 
= > 0 nên chuỗi
2 ÷
n →∞
3
 1 + 3n 
Côsi.

b)

−1
n
Đặt un ( x ) = an x , trong đó an = ( )

n

a
n
lim n+1 = lim
=1
n →∞ a
n→∞ n + 1
n

n

0.5

0.5

0.5
0.5
0.5

 1 + n2 
0.5
∑


2 ÷ hội tụ theo dấu hiệu
n =1  1 + 3n 
∞

0.5

n +1

. Ta có:
0.5


Do đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa R = 1. Nên chuỗi hội tụ với
−1 < x < 1 .
0.5
Tại x = 1, ta có chuỗi

∞

∑

( −1)

n =1

Tại x = −1, ta có chuỗi

∞

n

n

hội tụ theo tiêu chuẩn Lépnit.

1

∑ n phân kỳ

0.5

n =1

Câu 3
(3đ)

a)

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là −1 < x ≤ 1.
PT thuần nhất:

dy
dy
y '+ 2 xy = 0 ⇔
= −2 xy ⇔
= −2 xdx ⇔ ln y = − x 2 + C
dx
y
⇔ y = C 'e− x

2

2

Coi

2

C ' = C '( x) ⇒ y ' = C '( x)e − x + C ( x)e − x ( −2 x).
2

PT ⇔ C '( x)e − x = xe − x
x2
⇔ C ( x) = + C '' .
2

0.5

2

x

+ C '' ÷e − x .
 2

x − sin x
1 − cosx
sinx 1
lim
= lim

= lim
=
3
2
x →0
x →0
x →0 6 x
x
3x
6

Suy ra, phương trình có nghiệm: y = 
b)

0.5

2

0.5

2

Ghi chú: Mọi cách làm khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.5
0.5
0.5