ĐỀ THI 12 học phần toán cao cấp 1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề số 12
ĐỀ THI 12
Học phần: Toán cao cấp 1
Thời gian thi: 90 phút

Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tính định thức:

1

2

3

2
3

-1 -2
2 -1

-2
-3
.
2

2

-3 2
1

2x1 − 3 x2 + 5 x3 + 7 x4 = −1

b) Giải hệ phương trình: 4x1 − 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 = −2
2x − 3 x + x − 15 x = −1
2
3
4
 1
Câu 2 (3,0 điểm)
∞

a) Xét sự hội tụ của chuỗi số

2n

∑ (n + 1)3

n

n =1

b) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

∑ ( −1)
n =1

n +1

( x − 1)

n

n

Câu 3 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình vi phân: y '+

1
y = 3 x ; y x =1 = 1.
x

x 2 − 1 + ln x
.
b) Tính giới hạn: lim
x →1
ex − e
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.


Đề số 12
ĐÁP ÁN ĐỀ THI 12
Học phần: Toán cao cấp
Số đơn vị học trình: 03 - Thời gian thi: 90 phút
Hệ, ngành: ĐH kế toán liên thông từ TC lên ĐH
Câu
hỏi
Câu

1
a)
(4đ)

b)

Nội dung

Điểm
0.5
0.5
0.5

1

2

3

-2

1

2

3

-2

2

-1

-2

-3

0

-5

-8

1

3

2

-1

2

0

-4

-10

2

-3

2

1

0

-7

-4

=

−5 −8 1
= −4 −10 8 = 288
8 −7 −4 5

5

0.5

Biến đổi ma trận bổ sung:
2

4
2


-3 5
7 
÷
-6 2
3 ÷→
-3 -11 -15 ÷


-3 5
7
÷
0 -8 -11 ÷
0 0 0 ÷

x
3x 2

x1 = - 4 +

 2x1 − 3x2 + 5 x3 + 7 x4 = 0

16
2
⇔ 
Hệ phương trình đã cho ⇔ 
-8x3 − 11x4 = 0

 x = − 11 x
4
 3

8
c4 3c2

 x1 = − 16 + 2
Đặt x2 = c2 ; x4 = c4 , thì 
 x = − 11 c
4
 3
8
c 3c
11
nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất: ( − 4 + 2 ,c2, − c4 ,c4), với c2 , c4 là hằng
8
16 2
số.Nghiệm riêng của hệ đã cho là ( 1;1;0;0 ) . Suy ra nghiệm tổng quát của hệ đã

cho là ( 1 −

2

0
0


-3 5
7 
 2
÷→ 
0 -8 -11 ÷  0
 0

0 -16 -22 ÷



0.5

0.5

0.5

c4 3c2
11
+
,1+ c2, − c4 ,c4) ), với c2 , c4 là hằng số.
8
16 2

0.5
Câu a)
2
(3đ)

Hội tụ vì

2n
2
≤ n , chuỗi
n
(n + 1)3 3

∞

n =1

b)
Đặt un ( x ) = an ( x − 1) , trong đó an
n

2

∑3

n

hội tụ.

0.5
0.5
0.5

( −1)
=

n

n +1

. Ta có:

a
n
lim n+1 = lim
=1
n →∞ a
n→∞ n + 1
n
Do đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa R = 1. Nên chuỗi hội tụ với
−1 < x − 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 .
Tại x = 2, ta có chuỗi

∞

∑

( −1)
n

n =1

Tại x = 0, ta có chuỗi

∞

0.5

0.5

n

hội tụ theo tiêu chuẩn Lépnit.

0.5

1

∑ n phân kỳ
n =1

Câu a)
3
(3đ)

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là 0 < x ≤ 2.
Giải phương trình thuần nhất tương ứng:
1
dy
dx
C
y '+ y = 0 ⇒
=−
( y ≠ 0) ⇒ y =
x
y
x
x

0.5

Coi C = C ( x ) lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức ta được:

dy 1 dC C
1 dC 1 C C
=
− 2⇒
+ . − 2 = 3 x ⇒ dC = 3x 2 dx ⇒ C = x 3 + ε
dx x dx x
x dx x x x
1
ε
Nghiệm tổng quát của phương trình là: y = ( x3 + ε ) . = x 2 +
x
x
Với điều kiện ban đầu ta có: 1 = 1 + ε ⇒ ε = 0.
b)

Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho ứng với điều kiện ban đầu là y = x 2
1
2x +
2
x − 1 + ln x
x =3
lim
= lim
x
x
x →1
x →1
e −e
e
e

Ghi chú: Mọi cách làm khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.5
0.5

0.5
0.5
0.5