ĐỀ THI 14 học phần toán cao cấp 1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề số 14
ĐỀ THI 14
Học phần: Toán cao cấp 1
Số đơn vị học trình: 03 - Thời gian thi: 90 phút
Hệ, ngành: ĐH Kế toán liên thông từ TC lên ĐH
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tính định thức:

1 3 −1 6
7 1 −3 10
17 1 −7 22
3

4 −2 10

 x1 + 2x 2 + x 3 − 5x 4 = 0

b) Giải hệ phương trình: 2x1 − 4x 2 + x 3 +4x 4 = 5
 x − 4x + x + 9x = 8
2
3
4
 1
Câu 2 (3,0 điểm)
∞

a) Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

∑ ( 2n − 1) 2
n=1

2 n−1

∞

b) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1

∑ 2n − 1 ( x − 1)

n

n =1

Câu 3 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình vi phân: y′ =

2xy
x − y2
2

x sin 2 x
.
x →0 3 x 2 + 2

b) Tính giới hạn: lim

Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.


Đề số 14
ĐÁP ÁN ĐỀ THI 14
Học phần: Toán cao cấp
Số đơn vị học trình: 03 - Thời gian thi: 90 phút
Hệ, ngành: ĐH kế toán liên thông từ TC lên ĐH
Câu
hỏi
Câu
1
a)
(4đ)
b)

Nội dung
1
7
17
3

−1 6
1 3 −1 6
−3 10 0 −20 4 −32
=
−7 22 0 −50 10 −80
−2 10 0 −5 1 −8

3
1
1
4

Điểm

5
1
8
5 1 8
= −50 10 −80 = 0 0 0 = 0.
−20 4 −32 −20 4 −32

 1 2 1 −5   1 2 1 −5   1 2 1 −5 
 2 −4 1 4 ÷ →  0 −8 −1 14 ÷ →  0 −2 −1 0 ÷

÷ 
÷ 
÷
 1 −4 1 9 ÷  0 −6 0 14 ÷  0 −6 0 14 ÷

 
 

Hệ đã cho tương đương với

15t


 x1 = 7

 x1 + x3 − 5 x4 = −2 x2
 x 3 = −2t

− x3
= 2 x2 ⇔ 


 x 4 = 3t
− 6 x3 + 14 x4 = 0


7
x = t ∈ ¡
 2

∞

Ta có

∑2
n=1

Mặt khác,

1
2 n−1

là chuỗi có cấp số nhân 0 < q =

0.5

0.5

3t 
 15t
; t ; −2t ; ÷, với t là tham số.
Vậy nghiệm của hệ thuần nhất là 
7
 7
Nghiệm riêng của hệ là ( 2;1;1;1) . Do đó nghiệm tổng quát của hệ đã cho là
3t 
 15t
+ 2; t + 1; −2t + 1; + 1÷, với t là tham số

7
 7

Câu a)
2
(3đ)

0.5
0.5
0.5
0.5

1
< 1 nên hội tụ.

22

1
1
< 2 n−1 ,∀n > 1
2 n−1
( 2n − 1) 2
2

0.5

0.5
0.5
0.5
0.5

Nên theo dấu hiệu so sánh, chuỗi đã cho hội tụ.
b)
Đặt un ( x ) = an ( x − 2 ) , trong đó an =
n

1
. Ta có:
2n − 1

0.5


lim
n →∞

an+1
2n + 1
= lim
=1
n
→∞
an
2n − 1

0.5

Do đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa R = 1. Nên chuỗi hội tụ với
−1 < x − 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 .
Tại x = 0, ta có chuỗi

∞

∑ ( −1)
n =1

Tại x = 2 , ta có chuỗi

n

1
hội tụ theo tiêu chuẩn Lépnit.
2n − 1

∞

1
phân kỳ do chuỗi
∑
n =1 2 n − 1

∞

1

∑n

0.5

phân kỳ

n =1

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là 0 ≤ x < 2.

Câu a)
3
(3đ)

2
0.5
2xy
y′ =
y
dy

⇔
x
y
=
.
Vì
vậy
đặt
u
=
,
tức
là
y
=
ux,
do
đó
u
−
x 2 − y2
x
dx
y x
2
du
du =
du
2u
⇔ u+x

=
1
+ x . Khi đó ta có phương trình: u + x
−u
dx
dx
dx 1 − u 2 0.5
u
du
u + u3
⇔ x
=
0.5
dx
1− u2
2u 
dx
1 − u2
dx
1
⇔
⇔
⇔
du =
du =
 −
2 ÷
3
x
u+u

x
 u 1+ u 
ln x = ln u − ln(1 + u 2 ) + lnC
y′ =

⇔x=
b)

Cy x 2
Cu
2
2
⇔
⇔ x + y = Cy.
x
=
. 2
2
2
x x +y
1+ u

x sin 2 x
sin 2 x + 2 x cos 2 x
4cos 2 x − 4 x sin 2 x 4
=
lim
=
lim
=

x →0 3 x 2 + 2
x →0
x →0
3x
3
3

lim

Ghi chú: Mọi cách làm khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.5
0.5
0.5