Hình học không gian giao điểm của đường với mặt dạng 3

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài toán 1: “Tìm tương giao”.
Bài toán 2: “Quan hệ song song”
Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”
Bài toán 4: “Bài toán về góc”
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”
Bài toán 1: “Tìm tương giao”, bao gồm: Giao điểm của hai đường thẳng, giao
điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng.
Chú ý:
Bài toán tìm tương giao, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với
mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là
mấu chốt cơ bản.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một điểm chung
duy nhất. Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này.


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO
DẠNG BÀI TẬP 2

Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chúng ta cần trang bị cho bản
thân những kiến thức sau:
1. Khi nào thì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d?
Khi mặt phẳng (P) chứa ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng d. Hay nói cách khác,
đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng (P) thì d nằm trên mặt phẳng
(P).

2. Làm thế nào để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Sử dụng phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. ( đã học ở dạng bài tập 1,
các em xem lại nhé).
PHÂN TÍCH PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử A là giao điểm của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α), tức là A = Δ ∩ (α). Khi
đó,
α Δ β
– A ∈ Δ (1)
– A ∈ (α) (2)
Gọi (β) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ , Δ ⊂ (β). Do đó, từ (1), A ∈ (β) (3)
Từ (2) và (3), suy ra: A ∈ (α) ∩ (β) hay A là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và
(β). Như vậy, A thuộc đường giao tuyến a của hai mặt phẳng (α) và (β), A ∈ a (4).
Từ (1) và (4), suy ra: A ∈ Δ ∩ a, hay A là giao điểm của Δ và a.
Vậy thực chất của việc tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là tìm giao
điểm của đường thẳng với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Với kết luận như trên, ta có được phương pháp tìm giao điểm như sau:
Để tìm giao điểm giữa đường thẳng Δ với mặt phẳng (α), ta thực hiện các bước:


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO

Thuật toán.
Bước 1. Chọn mặt phẳng (β) đi qua đường thẳng Δ.
Bước 2.Xác định giao tuyến a=(β)∩(α).
Bước 3. Trong (β) gọi A là giao điểm giữa Δ với a.
Bước 4. Kết luận A=Δ∩(α).

Ví dụ 1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm
của đường thẳng CD với mp (MNP).

Bước 1. Chọn mặt phẳng (β) đi qua đường thẳng Δ.
Chọn mặt phẳng (BCD) đi qua đường thẳng CD.
Bước 2.Xác định giao tuyến a=(β)∩(α).
Xác định giao tuyến a=(BCD)∩(MNP). ( ĐÃ HỌC Ở DẠNG 1)


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO
Ta thấy ngay NP=(BCD)∩(MNP)
Bước 3. Trong (β) gọi A là giao điểm giữa Δ với a
Trong (BCD) gọi E là giao điểm giữa CD với NP
với nhau).
Bước 4. Kết luận A=Δ∩(α).
Kết luận E=CD∩(MNP).

( vì NP và CD không song song

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với
điểm S và C. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(ABE).

Bước 1. Chọn mặt phẳng (SBD) đi qua đường thẳng SD.
Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SBD)∩(AEB).( ĐÃ HỌC Ở DẠNG 1)
Nhắc lại nhé:
1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
Ta có : (SBD) và (AEB) có chung điểm B
2:

Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một
điểm chung nữa ( bằng cách tìm giao điểm của 2 đường thuộc 2 mặt (SBD) và (AEB)
và cùng thuộc 1 mặt phẳng thứ 3 khác nữa)
Ta có:


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO
 SF   SBD 

 SF  AE=G
 AE   AEB 
 SF ; AE  ( SAC )


Suy ra BG chính là giao tuyến cần tìm
Bước 3. Trong (SBD) gọi H là giao điểm giữa SD với BG.
Bước 4. Kết luận H=SD∩(AEB).
Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy;
M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B. Tìm
giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường thẳng SD với
mp(P).

Xác định tâm I của SO và (MNB)
Bước 1. Chọn mặt phẳng (SAC) đi qua đường thẳng SO.
Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SAC)∩(MNB).
Ta có : MN=(SAC)∩(MNB). Do MN thuộc cả 2 mặt phẳng
Bước 3. Trong (SAC) gọi I là giao điểm giữa SO với MN
Bước 4. Kết luận I=SO∩(MNB).

Xác định tâm K của SD và (MNB)
Bước 1. Chọn mặt phẳng (SDB) đi qua đường thẳng SD.
Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SDB)∩(MNB).

Nhắc lại nhé:


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9Đ
LTĐH – TRẦN HOÀI THANH
FB: FACEBOOK.COM/TRANHOAITHANHVICKO
1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
Ta có : (SDB) và (MNB) có chung điểm B
2:
Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một
điểm chung nữa ( bằng cách tìm giao điểm của 2 đường thuộc 2 mặt (SDB) và
(MNB) và cùng thuộc 1 mặt phẳng thứ 3 khác nữa)
Ta có :
 SO   SDB 

 SO  MN =I
 MN   MNB 
 SO; MN  ( SAC )


Nên giao tuyến (SDB) và (MNB) là BI
Bước 3. Trong (SDB) gọi K là giao điểm giữa SD với BI
Bước 4. Kết luận K=SD∩(MNB).
BTVN:
Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD, điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Trên cạnh SC lấy điểm M. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng
(SBD).
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và
BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm
của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).