Các bài toán hình học không gian tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11,12.

CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại B ta lấy điểm S sao cho: SB = BA = AC = 1. (P) là mặt phẳng song song
với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H.
Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích của tứ giác DEFH lớn nhất.
2. Cho tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1, đặt BC = x. Tìm x để thể tích của tứ
diện ABCD lớn nhất.
3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
a) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O; gọi
α
là góc giữa mặt
phẳng (SAB) và (ABC). Hãy tính cos
α
để O cách đều tất cả các mặt của SABC
b) Biết:
∠
ASB = 30
0
. Xết mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp’(P) cắt các
đoạn thẳng SB, SC theo thứ tự tại B’, C’. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác
AB’C’ theo a.
4. Cho mặt phẳng (P) trong đó có một đường thảng (d) cố định và một điểm A cố
định không thuộc (d). Trên tia Az vuông góc với mp’(P) ta lấy một điểm D cố định.
Góc vuông xAy quay quanh A sao cho (d) cắt Ax, Ay lầ lượt tại B và C. Gọi H là
hình chiếu của A trên mp’(BCD), K là điểm đối xứng của H qua (d). Chứng minh tứ
giác DBKC nội tiếp trong một đường tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó.
5. Cho ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, M và N là hai điểm di động trên AB, AC
sao cho mp’(DMN) luôn vuơng góc với mp’(ABC). Xác định vị trí của M và Nđể tứ
diện ADMN có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất.
6. Cho d và

∆
là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi A, B là hai điểm cố định trên d và
CD = l ( không đổi ) di động trên
∆
. Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của
tứ diện ABCD là nhỏ nhất.
7. Xét tất cả các tam giác ABC trong không gian.
a) Với điều kiện nào của các góc A, B, C trong tam giác ABC thì sẽ tồn tại điểm P
trong không gian mà các góc APB, BPC, CPA là các góc vuông.
b) Giả sử ttồn tại điểm P thoả mãn tính chất ở câu a); gọi d là độ dài lớn nhất trong ba
đoạn thẳng PA, PB, PC và h là độ dài đường cao lớn nhất trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
6
3
h d h≤ ≤
.
8. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H, O lần
lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
2
2
1
2
4cos cos cos
OH
SH A B C
+ =
, trong đó cosA, cos, cosC là cosin của
các góc của tam giác ABC.
9. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì tròng ba đường thẳng Ox, d

1
, d
2

cùng bằng hai đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thoả mãn B’ và D
∈
Ox,
A’ và C’
∈
(d
1
); A v à D’
∈
(d
2
). Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ .
10. Mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giả sử O nằm trong tứ diện và giả sử
diện tích của các mặt của tứ diện ABCD đối diện với các đỉnh A, B, C, D lần lượt là
S
1,
S
2

,
S
3,
S
4;
; Bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, CDA, DAB, ABC
lần lượt là R

1
, R
2
, R
3
, R
4
; Khoảng cách từ tâm các đường tròn các đường tròn ngoại
tiếp các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC theo thứ tự đến các đỉnh A , B, C, D lần
lượt là d
1
, d
2
, d
3
, d
4
; Độ dài các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D lần
lượt là h
1
, h
2
, h
3
, h
4
.
Chứng minh:
a)
2 2

2 2 2 2 2 2
3 3
1 1 2 2 4 4
2 2 2 2
1 2 3 4
2
d R
d R d R d R
h h h h
−
− − −
+ + + =
.
b)
4
2 2 2
1
1 1
[ ( )]
3 2
i i i
i
V S d R
=
= −
∑
.