ứng dụng hệ thức Viet trong giải toán

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong
các kỳ thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớp
chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu
tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau
vài năm dạy lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và
tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiều
dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ
thức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT.
Để hệ thức Viét được ứng dụng rộng vào bài tập và để học sinh dễ nhớ,dễ vận
dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia
thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp.
Để góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi, tôi chọn đề tài này:
“Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán”.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các
em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc
hai.
2. ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
a) Đối tượng: Điều tra 20 học sinh lớp 9 xem có bao nhiêu học sinh thích được
học nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học
sinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức.
Trang 1


b) Khách thể: Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp

9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Tiến hành nghiên cứu trong các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa và
một số tiết học chủ đề Tự chọn và các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
a. Nghiên cứu tài liệu
Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt hai năm học qua, tôi đã tích cực nghiên
cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, chắt góp những
nội dung, ý kiến hay để bổ sung vào ý tưởng của mình, xâu chuỗi lại để lập nên
dàn ý của sáng kiến kinh nghiệm này.
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp
thành 8 nhóm ứng dụng sau:
- Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
- Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
- Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
- Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
- Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
- Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
- Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
2. Nghiên cứu thực tế
Với những tiết dạy thích hợp, tôi mạnh dạn đưa các ứng dụng của hệ thức
Viet vào dạy.

Trang 2


Ghi chép lại những thành công và thất bại, những ưu điểm và hạn chế để tiết

sau thực hiện hoàn chỉnh hơn, hiệu quả hơn.

Trang 3


PHẦN NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.

Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp

học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ
học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học
nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành
bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
-

1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương
trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

-

1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết
vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có

nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và
vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và
hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
2.Thực trạng :
a.

Thuận lợi:

- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi
thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các
bài toán”.
- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Trang 4


- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức và cảm thấy
rất hứng thú khi ứng dụng hệ thức Viet trong việc giải các bài toán nâng cao.
b.

Khó khăn: Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở

chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ
giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển và thi học
sinh giỏi.

Trang 5

Chương II: GIẢI PHÁP SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GIÚP
HỌC SINH ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIET ĐỂ GIẢI TOÁN
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh
nắm được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm :
x1 

b  
b  
; x2 
2a
2a
x1  x2 

Suy ra :
x1 x2

b   b   2b b



2a
2a
2a
a

 b     b     b


4a

2





2
2
  b  b  4ac
4ac c

 2 
2
2
4a
4a
4a
a
2

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
Vậy:

S  x1  x2 
P  x1.x2 

b
a

c
a

Ngược lại, nếu hai số có tổng là S và có tích là P, nếu S2  4P �0thì hai số
đó là nghiệm của phương trình: x2  Sx  P  0
Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải.
Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
- Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
- Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
- Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
- Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
- Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Trang 6


- Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
- Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
Cụ thể như sau:
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 =

c
a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = -

c
a

Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) -7x2 - x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1 = 1, x2 =

c
2
=
a
3

b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1= -1, x2 = -

c
6
=
a
7

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm
nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau

a) x2 - 7x + 10 = 0
b) x2 + 6x +8 = 0
Giải:
a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:
Trang 7


x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5
b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên
x1 = -2, x2 = -4
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0
Ngoài việc sử dụng hệ thức Viet để nhẩm nghiệm ta còn có thể sử dụng để tìm
nghiệm còn lại của phương trình có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm
Ví dụ 3:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm
kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm
kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương
trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0 � p 

1
4
5

5

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x  2
1
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0 � q  50

Trang 8


50

50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x  5  10
1
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 = 11 và
theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
�x1  x2  11 �x1  9
��
�
�x1  x2  7
�x2  2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo

hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
x 5
�x1  2 x2
�
� 2 x2 2  50 � x2 2  52 � �2
�
x2  5
�x1.x2  50
�

Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15
II. Lập phương trình bậc hai :
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ 1:
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
�S  x1  x2  5
�P  x1.x2  6

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0 � x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

Trang 9


2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ 2:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

1
1
y2  x1 
và
x1
x2

Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S  y1  y2  x2 

�1 1 �
x x
1
1
2 9
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  3  
x1
x2
x1 x2

3 2
�x1 x2 �

� 1 �� 1 �
1
1 9
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1 .x2  1  1 
 2 11 
x1 x2
2 2
� x1 �� x2 �

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

9
9
y   0 � 2 y2  9 y  9  0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x1 
5
6

1

1
y2  x2 
và
x2
x1
1
2

(Đáp số: y 2  y   0 � 6 y 2  5 y  3  0 )
2/ Cho phương trình: x 2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4

(Đáp số: y 2  727 y  1  0 )
Trang 10


3/ Cho biết phương trình x 2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 <
x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là :

x1  x2  1 và

x2  1  x1 

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy
lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1  x1  3 và y2  x2  3
b/ y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
(Đáp số: a/ y 2  4 y  3  m2  0 ; b/ y 2  2 y  (4m2  3)  0 )
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ 1:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3

và P = 2

b/ S = -3

và P = 6

c/ S = 9

và P = 20

d/ S = 2x

và P = x2 – y2
Trang 11

Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9

và a2 + b2 = 41

b/ a - b = 5

và a.b = 36

c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a  b  9 �  a  b  2  81 � a 2  2ab  b2  81 � ab 



81  a 2  b 2
2

  20
x 4
�
x2  5
�

1
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x  9 x  20  0 � �

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
x  4
�
x2  9
�

1
2
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x  5 x  36  0 � �

Do đó:

Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9

thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169
2

2

2

2

a  b  13
�
2
�  a  b   132 � �
a  b  13
�

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4
�
x 2  13 x  36  0 � �1
x2  9
�
Trang 12


Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x 4
�
x 2  13x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a  b  11
�
a  b  11
�

2
2
2
2
2
Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � �
2

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x 5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn.
Ví dụ 2: Giải hệ
�x 2  xy  y 2  4
a) �
�x  xy  y  2

b)

�xy ( x  1)( y  2)  2
�2
2
�x  x  y  2 y  1

Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
�S 2  P  4
� S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
�
�S  P  2

Suy ra

x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0
Vậy (x ; y) �  0; 2  ;  2;0  
Trang 13


b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:
�SP  2
�
�S  P  1

suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0

Giải ra ta được x1= -1; x2 = 2

�x 2  x  1
Từ đó ta có � 2
�y  2 y  2

� x2  x  2
hoặc � 2
�y  2 y  1

Vậy (x ; y) �  1;1 ;  2;1 
Hệ thức Viét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận
dụng vào các bài toán chứng minh khác
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:
a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
a � 3 , b > 0, c > 0 và b2 + c2 �2a2
Giải:
Từ a + b + c = abc  b + c = a(bc - 1) = a( a 2 - 1) mà bc = a2 nên b, c là
nghiệm của phương trình:

X2 - (a3 - a)X + a2 = 0

Ta có  =(a3 - a)2 - 4a2 �0  (a2 - 1)2 �4  a2 �3  a � 3 ( vì a > 0)
Khi đó b+ c = a( a2 - 1) > 0 và bc = a2 > 0 nên

b > 0, c > 0.

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c �0. Chứng minh rằng
nếu hai phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x 2 + bx + ca = 0 (2) có đúng
một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn
phương trình x2 + cx + ab = 0
Giải:

Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 và (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 �x2). Ta có:
�x02  ax0  bc  0
� ( a - b)(x0 - c) = 0  x0 = c ( vì a �b)
�2
�x0  bx0  ca  0

Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có:

Trang 14


�x0  x1  a
�
�x0 x1  bc

�x1  b
�x0  x2  b
�x  x  c
�
� �1 2
�
 �x2  a
x x  ab
�x0 x2  ca
�
a  b  c  0 �1 2
�

và

Do đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 ( phương trình này
luôn có nghiệm vì = c2 - 4ab = (a + b)2 - 4ab = (a - b)2 > 0)
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2
2

3
3
2
2
 x1  x2   3x1x2 �
b/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
�
2

 2x 2 x 2
 x1  x2   2 x1x2 �
c/ x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 x2 2  �
�
� 1 2
2

1

1

2

2

2

x x

1
2
d/ x  x  x x
1
2
1 2

Ví dụ 2: x1  x2  ?
Ta biến đổi  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2
2

2

� x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2
2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ x12  x2 2  ?
2

2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )

b/ x13  x23  ?
Trang 15


3
3
2
2
 ...
 x1  x2   x1x2 �
(HD x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
� )
2

c/ x14  x2 4  ?
4
4
2
2
2
2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )

d/ x16  x26  ?
( HD x16  x26   x12    x22    x12  x2 2   x14  x12 x22  x2 4   ... )
3

3

e/ x16  x26  ?
f/ x17  x27  ?
g/ x15  x25  ?
1

1

h/ x  1  x  1  ?
1
2
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ 3 : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2
1

1

b/ x  x
1
2
Giải:
Ta có:  '  42  15  1  0 nên phương trình có hai nghiệm x1 ; x 2
�S  x1  x2  8
�P  x1.x2  15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �

a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  82  2.15  34
2

1

1

x x

8

1
2
b/ x  x  x x  18
1
2
1 2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/  x12  x22 

2

(Đáp án: 46)

Trang 16


x

x

1
2
b/ x  x
2
1

(Đáp án:

34
)
15

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12  x2 2
1

(Đáp án: 65)

1

b/ x  x
1
2

(Đáp án:

9
)
8

3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12  x2 2
1

(Đáp án: 138)

1

b/ x  x
1
2

(Đáp án:

14
)
29

4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2
x1

(Đáp án: 1)
x2

b/ x  1  x  1
2
1
1

1

c/ x  x
1
2
1 x

(Đáp án:

5
)
6

(Đáp án: 3)
1 x

1
2
d/ x  x
1
2

(Đáp án: 1)

5/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 . Không giải

phương trình, hãy tính: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
5 x1 x23  5 x13 x2

Trang 17


(HD: Q 

6  x1  x2   2 x1 x2





2

 2.8
6 x  10 x1 x2  6 x2
17



3
3
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
�4 3  2.8� 80

5 x1 x2 �
 x1  x2   2 x1 x2 �
�
� 5.8 �
�
�
�
2
1

2

2

6. 4 3





6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1,
x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và
x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó

đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ
thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
5

�
2m
2
�
�
S  x1  x2 
S  x1  x2  2 
(1)
�
�
�
�
m 1
m 1
��
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
�P  x .x  1  3 (2)
1 2
1 2
�
�
m 1
m 1

Trang 18


2

2

Rút m từ (1), ta có: m  1  x1  x2  2 � m  1  x  x  2 (3)
1
2
Rút m từ (2), ta có:

3
3
 1  x1 x2 � m  1 
(4)
m 1
1  x1 x2

Từ (3) và (4), ta có:
2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x 1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị
của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1

�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
5
�
2m
�
S  x1  x2 
�
�
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
m
�P  x .x   4

1 2
�
m 1

Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =
3.

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1
4
5

Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:

Trang 19

1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2  x1  x2   x1 x2  5  0 độc lập đối
với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x 1 và
x2 không phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x1 x2   x1  x2   17  0 không phụ
thuộc giá trị của m.
VI.

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và
x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương
trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần
tìm.

Ví dụ 1 : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của
tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2

Trang 20


Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �0
m �0
�
�
m  1 �0
�
�
�
��
��
2
�
 '  9 m 2  2m  1  9m 2  27 �0
 ' �0
'  �
3  m  21 �
�
�
� 9  m  3 m �0
�
�





m �0
m �0
�
�
��
��
 '  9  m  1 �0
m �1
�
�
6(m  1)
�
S  x1  x2 
�
�
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  9(m  3)
1 2
�
m

Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)
Nên

6(m  1) 9(m  3)

� 6( m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
m

m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: x1  x2  x1 x2
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
'  2m 1
 '  �۳



2

4 m2 2



0

m

7
4

�S  x1  x2  2m  1
2
�P  x1.x2  m  2

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �

Vì 3x1x2  5  x1  x2   7  0 (giả thiết)
m  2(TM )
�
�
Nên 3 m  2  5  2m  1  7  0 � � 4
m  ( KTM )
� 3



2



Trang 21


Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2  6

Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1
và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích
nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về
biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng
tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1:
16
15

ĐKXĐ: m �0; m �

�
  m  4 m
S  x1  x2 
�
�
m
 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
m

7
�P  x .x 
1 2
�
m

Theo đề bài ta có:

Trang 22


x1  2 x2  0 � x1  2 x2 � x1  x2  3 x2 � 2  x1  x2   6 x2 � 2  x1  x2   3x1
2
�x1  x2  3 x2
� 2  x1  x2   9 x1 x2  2 
Suy ra: �
2  x1  x2   3 x1
�

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 � m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2:
ĐKXĐ: 11  96 �m �11  96
�S  x1  x2  1  m
 1
P

x
.
x

5
m

6

�
1 2

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �

�x1  1  3  x1  x2 

�
Theo đề bài ta có: 4 x1  3x2  1 � �

�x2  4  x1  x2   1

� x1 x2  �
1  3  x1  x2  �
.�
4  x1  x2   1�
�
�
�
�
� x1 x2  7  x1  x2   12  x1  x2   1 2 
2

m0
�
m 1
�

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0 � � �
(TMĐK).

Bài 3:

Vì    3m  2   4.3  3m  1  9 m2  24m  16   3m  4  �0 với mọi số thực m
2

2

nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m  2
�
S  x1  x2 
�
3
�
 1
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �
�P  x .x    3m  1
1 2
�
3
�
8 x1  5  x1  x2   6

�
Theo đề bài ta có: 3x1  5 x2  6 � �

8 x2  3  x1  x2   6
�

Trang 23

� 64 x1 x2  �
5  x1  x2   6 �
.�
3  x1  x2   6 �
�
�
�
�
� 64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36
2

m  45m  96   0

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m0
�
�
�
32 (TMĐK).
�
m
15
�

VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương
trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1

x2

trái dấu
cùng dấu
cùng dương
cùng âm

�
�

m
�

+
-

+
-

S = x1 +

P = x1 x2

Điều kiện chung



x2

S>0
S<0

P<0
P>0
P>0
P>0

 �0
 �0
 �0

P< 0
 �0 ; P > 0
 �0 ; P > 0 ; S > 0
 �0 ; P > 0 ; S < 0

Ví dụ 1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 2 3 x + 4 = 0
b) x2 + 5x - 1 = 0
c) x2 - 2 3 x + 1 =0
d) x2 + 9x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
Trang 24

c) Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm dương phân biệt
d) Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm âm phân biệt
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải:
a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
2
�  0
�
 2m  3  0 �m  1
�
�
�
�
�S  0 � � 1  2m  0 � � 3
m�
�P  0
� m 1  0
�
�
2
�
�

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
2
�
�  0
 2m  3  0
�
�
�S  0 � � 1  2m  0 � không có giá trị nào của m thoả mãn
�P  0
� m 1  0
�
�

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu
nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi
� �0
�
�S  0

 1 - 2m = 0 

m=

1
2

Ví dụ 3: Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 – (3m + 1) x + m2 – m –
6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Trang 25