PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
M
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm
của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất
M′
thuộc mặt phẳng đó .

2. Kí hiệu và thuật ngữ:
P
F
Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình
:
F:P→P
M → M′ = F ( M )
M′

M
F
M
- Điểm
gọi là ảnh của điểm
qua phép biến hình
, hay
là điểm tạo ảnh của điểm
M′
.
H′
M′

M ∈Η
Η
- Nếu
là một hình nào đó thì
( gồm các điểm
là ảnh của
) được gọi là anh của
F
Η
qua phép biến hình
.
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
G
F
M
M′
M
Cho hai phép biến hình
và
. Gọi
là điểm bất kỳ trong mặt phẳng.
là ảnh của
G
F M ′′
M′
qua
,
là ảnh của
qua

.
G
G.F
′′
M
M
F
Ta nói,
là ảnh của
trong tích của hai phép biến hình
và
. Ký hiệu
M ′′ = G ( F ( M ) )

PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa


r
v

M
M′
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm
thành điểm
sao cho
r
uuuuu
r r

v
MM ′ = v
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
r
r
Tvr v
v
• Phép tịnh tiến theo vectơ
kí hiệu là:
, được gọi là vectơ tịnh tiến.
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v
• Ta có:
• Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.

ur
v
2.
Tính chất:
ur
v

ur
v

Tính
chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm
uuuuur uuu
u
r

M ′N ′ = MN
M ′N ′ = MN
, từ đó suy ra
.

M ′, N ′

M,N
thành hai điểm

thì

ur
v
Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó,
đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự
ba điểm đó.
3. Biểu thức tọa độ:


r
v = ( a; b ) , M ( x; y )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
r
v : Tvr ( M ) = M' ( x '; y ' )

. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ
x ' = x + a

y' = y +b

có biểu thức tọa độ:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA
PHÉP TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây là sai?
uuur r
uur (A) = B
TuAB
Tur ( A) = B ⇔ AB = u
A.
B.
uuu
r
uuuu
r
r
uur ( M ) = N ⇔ AB = 2 MN
T0 ( B ) = B
T2 uAB
C.

C.
Lời giải:
Đáp án D
uuuu
r
uuur
uur ( M ) = N ⇔ MN = 2 AB
T2 uAB
Ta có
. Vậy D sai.
STUDY TIP
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v
Định nghĩa phép tịnh tiến:
.
r
r
Tv ( M ) = M '; Tv ( N ) = N '
Ví dụ 2: Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuuuuur uuuu
r
uuuuur uuuur
M ' N ' = MN
MM ' = NN '
A.
.
B.
MM ' = NN '
MNM ' N '

C.
.
D.
là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D


Ví dụ 3:

Ví dụ 4:

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
MNM ' N '
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
d1
d2
d1
d2
Cho hai đường thẳng
và
cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến thành
A. Không.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
d1

d2
nó nên không có phép tịnh tiến nào biến thành .
M,N
AD, DC
ABCD
I
Cho hình vuông
tâm . Gọi
lần lượt là trung điểm
. Phép tịnh
INC
AMI
tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác
thành

A.

uuuu
r
AM

.

B.

uur
IN

.

C.

uuur
AC

.

D.

uuuu
r
MN

.

Lời giải:

Ví dụ 5:

Đáp ánuuu
Du
r uur uur
uuur ( ∆AMI ) = ∆INC
MN = AI = IC ⇒ TuMN
Ta có
ABCD
I
Cho hình bình hành
tâm . Kết luận nào sau đây là sai?
uur ( D ) = C

uuur ( B ) = A
TuAB
TCD
TuAIur ( I ) = C
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải:
Đáp án D

TuIDur ( I ) = B

D.

.


uur uur
TuIDur ( I ) = I ' ⇔ II ' = ID ⇔ I ' ≡ D
Ví dụ 6:

Ta có
. Vậy D sai
Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa
(hình D), hình nào có phép tịnh tiến?

A.

Ví dụ 7:

B.

C.

D.

Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến
theo một hướng xác định.
( C)
( C)
O
AB
∆
Cho đường tròn
có tâm
và đường kính
. Gọi là tiếp tuyến của
tại
uuu
r
AB
A
∆
điểm . Phép tịnh tiến theo vectơ
biến thành:

( C)
∆
A. Đường kính của đường tròn
song song với .
( C)
B
B. Tiếp tuyến của
tại điểm .
( C)
AB
C. Tiếp tuyến của
song song với
.
O
∆
D. Đường thẳng song song với và đi qua
Lời giải:
Đáp án B.


uur ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′ //∆, ∆′
TuAB

Ví dụ 8:

Ví dụ 9:

Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên
là tiếp tuyến của
( C)

B
đường tròn
tại điểm .
( O, R ) A
B, C
Cho hai điểm
cố định trên đường tròn
và
thay đổi trên đường tròn đó,
∆ABC
BD
H
là đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm
của
là:
BC
∆ABC
A
A. Đoạn thẳng nối từ
tới chân đường cao thuộc
của
.
BC
B. Cung tròn của đường tròn đường kính
.
uur
TuHA
( O, R )
O′
R

C. Đường tròn tâm
bán kính
là ảnh của
qua
.
uuu
r
TuDC
( O, R )
O'
R
D. Đường tròn tâm
, bán kính
là ảnh của
qua
.
Lời giải:
Đáp án D.

AD //CH
AH //DC
BD ⇒ ADCH
Kẻ đường kính
là hình bình hành(Vì
và
cùng
vuông
uuurgócuuvới
ur một đường thẳng)
uuu

r ( A) = H
⇒ AH = DC ⇒ TuDC
.
uuu
r
TuDC
( O, R )
O'
H
R
Vậy
thuộc đường tròn tâm
, bán kính
là ảnh của
qua
.
A, B
ABCD
I
Cho hình bình hành
, hai điểm
cố định, tâm
di động trên đường tròn
( C)
DC
M
. Khi đó quỹ tích trung điểm
của cạnh
:
u

u
u
r
TKI , K
( C′)
( C)
BC
A. là đường tròn
là ảnh của
qua
là trung điểm của
.
TuKIuur , K
( C ′)
( C)
AB
B. là đường tròn
là ảnh của
qua
là trung điểm của
.
BD
C. là đường thẳng
.


D. là đường tròn tâm

I

bán kính

ID

.
Lời giải:

Đáp án B.

AB ⇒ K
là trung điểm của
cố định.
TuKIuur ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = TuKIuur ( ( C ) )
Ta có
.

Gọi

K

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
r
v
∆′
∆
2. Xác định ảnh

của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A, B
A′, B ′
∆
∆′
Cách 1. Chọn hai điểm
phân biệt trên , xác định ảnh
tương ứng. Đường thẳng
A′, B′
cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh
.

Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với
nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
M ( x; y ) ∈ ∆, Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y ′ )
M ′ ∈ ∆′
Với mọi
thì
.
 x′ = x + a
 x = x′ − a


x, y
 y′ = y + b
 y = y′ − b
∆
Từ biểu thức tọa độ
ta được

thế
và phương trình
ta được phương
∆′
trình .
3. Xác định ảnh của một hình
(đường tròn, elip, parabol…)


M ( x; y )

Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y ′ )

M′
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm
thuộc hình ,
thì
thuộc
ảnh ’ của hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính hoặc sử dụng quỹ tích.

Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

Oxy

A ( 3; −3 )

Oxy

M ′ ( −4; 2 )

A′
A
, cho điểm
. Tìm tọa độ diểm
là ảnh của
r
v = ( −1;3)
qua phép tịnh tiến theo véctơ
.
A′ ( 2; −6 )
A′ ( 2;0 )
A′ ( 4;0 )
A′ ( −2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án B.
 x = x A + xvr

x ′ = 2
uuur r ⇔  A′
⇔ A
⇒ A′ ( 2;0 )
Tvr ( A) = A′ ( x A′ y A′ ) ⇔ AA′ = v
 y A′ = 0
 y A′ = y A + yvr
Ta có
.
STUDY TIP
 x′ = x + a

 y′ = y + b
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng tọa độ

M′
M
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
, biết
là ảnh của
qua phép
r
v = ( 1; −5 )
M
tịnh tiến theo véctơ
. Tìm tọa độ điểm
.

M ( −3;5 )
M ( 3; 7 )
M ( −5;7 )
M ( −5; −3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án C.
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v
Ta có:
 xvr = xM ′ − xM
 xM = xM ′ − xvr
 x M = −5
⇔
⇔
⇔
⇒ M ( −5;7 )
 yM = 7
 yvr = yM ′ − yM
 yM = yM ′ − yvr
.
M ( −5; 2 )
M ′ ( −3; 2 )

Oxy
M
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
và điểm
là ảnh cảu
r
r
v
v
qua phép tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ véctơ .


r
v = ( −2; 0 )
A.

r
v = ( 0; 2 )
.

B.

.
Lời giải:

r
v = ( −1;0 )
C.

r
v = ( 2;0 )
.

D.

.

Đáp án D.
Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ )
Ta có:
Oxy

Ví dụ 4.

Ví dụ 5.

Trong mặt phẳng tọa độ

r
v

 x r = x M ′ − xM
 xvr = 2
r
uuuuur r ⇔  v
⇔
⇒ v = ( 2;0 )
⇔ MM ′ = v
 yvr = 0

 yvr = yM ′ − yM

M ( 0; 2 ) , N ( −2;1)

r
v = ( 1; 2 )

.

, cho hai điểm
và véctơ
. Ơ.
M,N
M ′, N ′
biến
thành hai điểm
tương ứng. Tính độ dài

Phép tịnh tiến theo véctơ
M ′N ′
.
M ′N ′ = 5
M ′N ′ = 7
M ′N ′ = 1
M ′N ′ = 3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải:
Đáp án A.
2
2
Tvr ( M ) = M ′
⇒ MN = M ′N ′ = ( −2 − 0 ) + ( 1 − 2 ) = 5

Tvr ( N ) = N ′
Ta có
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
A ( 2; 4 ) B ( 5;1) C ( −1; −2 )
Oxy
∆ABC
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
biết
,
,
. Phép tịnh
uuur
∆ABC
∆A′B′C ′
BC
tiến theo véctơ
biến

thành
tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm
G′
∆A′B′C ′
của
là:
′
G ( −4; −2 )
G ′ ( 4; 2 )
G ′ ( 4; −2 )
G′ ( −4; 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án A.
uuur
G
2;1
BC = ( −6; −3)
(
)
∆ABC
Ta có tọa độ trọng tâm
là

;
.
u
u
u
r
 xG′ = xG + xBC
 xG ′ = −4
uuuu
r uuur ⇔ 
⇔
⇒ G′ ( −4; −2 )
uuur
uur ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC
y
=
y
+
y
y
=
−
2
TuBC
′
′

G
G
G


′
′
G
G
BC

.
STUDY TIP
G
∆ABC
G′
∆A′B′C ′
Phép tịnh tiến biến trọng tâm
của
thành trọng tâm
của


Oxy

Ví dụ 6.

∆′
, tìm phương trình đườn thẳng
là ảnh của đường
r
v = ( 1; −1)
∆ : x + 2 y −1 = 0
thẳng

qua phép tịnh tiến theo véctơ
.
′
′
′
∆ : x + 2y = 0
∆ : x + 2y −3 = 0
∆ : x + 2 y +1 = 0
A.
.
B.
. C.
. D.
∆′ : x + 2 y + 2 = 0
.
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
A ( 1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′
Chọn
.
B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( B ) = B′ ( 0; 0 ) ∈ ∆′
Chọn
.
⇒
′
∆
A′B′
đường thẳng
chính là đường thẳng

.
r
′
A
2;
−
1
n = ( 1; 2 )
(
)
∆′
Đường thẳng
qua
và có một véctơ pháp tuyến
có phương trình
∆′ :1( x − 2 ) + 2 ( y + 1) = 0 ⇔ x + 2 y = 0
là:
.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
Tvr ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆
x + 2y + m = 0
∆′
là hai đường thẳng cùng phương nên
có dạng
.
A ( 1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A ) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒ m = 0
Chọn
.

∆′ : x + 2 y = 0
Vậy phương trình
.
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + 2 yM − 1 = 0 ( 1)
Lấy
.
′
x
=
x
+
1

 x = x′ − 1
M
Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ∈ ∆′ ⇔ 
⇔ M
 y ′ = y M − 1  yM = y ′ + 1
Ta có
( 1)
( x′ − 1) + 2 ( y′ + 1) − 1 = 0 ⇔ x′ + 2 y′ = 0
Thay vào
ta được
.
∆′ : x + 2 y = 0
Vậy
.
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng
cho nhiều loại hình khác nhau.

Trong mặt phẳng tọa độ


( C′)

Oxy

Ví dụ 7.

Trong mặt phẳng tọa độ
, tìm phương trình đường tròn
là ảnh cảu đường
r
2
2
v = ( 1; 2 )
Tvr
( C ) : x + y − 2x + 4 y − 1 = 0
tròn
qua
với
.
2
2
2
( x + 2) + y = 6
( x − 2) + y2 = 6
A.
.

B.
.
2
2
2
2
x + y − 2x − 5 = 0
2 x + 2 y − 8x + 4 = 0
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính.
I ( 1; −2 )
( C)
R= 6
Ta có: đường tròn
có tâm
, bán kính
.
r
Tv ( I ) = I ′ ( 2;0 )
Suy ra:
.
I ′ ( 2;0 )
( C′)
R′ = R = 6

Vậy đường tròn
có tâm
, bán kính
có phương trình:
2
2
( x − 2) + y = 6
.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ )
Gọi
 x′ = x + 1
 x = x′ − 1
⇒
⇔
 y′ = y + 2
 y = y′ − 2

( C)

x, y

Thế
vào phương trình đường tròn
, ta có:
2
2
2
2
( x′ − 1) + ( y′ − 2 ) − 2 ( x′ − 1) + 4 ( y′ − 2 ) − 1 = 0 ⇔ ( x′ ) + ( y′ ) − 4 x′ − 2 = 0

( C′) : ( x − 2)

2

+ y2 = 6

Vậy
Study Tip

.

( x − a)
Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn

R = a 2 + b2 − c.

2

+ ( y − b) = R2
2

có tâm
2
2
x + y − 2ax − 2by + c = 0

I ( a; b )

R.
bán kính
I ( a; b )
có tâm
bán kính


r
v = ( a; b )

y = f ( x ) = x3 + 3 x + 1

Ví dụ 8. Cho vectơ

r
v

sao cho khi tịnh tiến đồ thị
theo vectơ ta
3
2
y = g ( x ) = x − 3x + 6 x − 1
P = a +b
nhận được đồ thị hàm số
. Tính
.
P=3
P = −3
P = −1
P=2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án A.
Từ
giả
thiết
ta
có:
3
3
2
g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x − 3 x + 6 x − 1 = ( x − a ) + 3 ( x − a ) + 1 + b


⇔ x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = x 3 − 3ax 2 + 3 ( a 2 + 1) x − a 3 − 3a + 1 + b

Đồng nhất thức ta được:
Study Tip

a = 1
⇒ P = a+b =3

b = 2

Đồng nhất thức của 2 đa thức

⇔

.

các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
A ( −5; 2 )
C ( −1;0 )
Oxy
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai điểm
,
. Biết
r r
r
r
B = Tu ( A ) , C = Tv ( B )
u+v
. Tìm tọa độ của vectơ
để có thể thực hiện phép tịnh tiến
r
r
Tu +v
C.
A
biến điểm thành điểm
( −6; 2 )
( 2; −4 )

( 4; −2 )
( 4; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án C.
uuu
r r
Tur ( A ) = B ⇔ AB = u
Ta có:
uuur r
Tvr ( B ) = C ⇔ BC = v
Mà

uuur uuu
r uuur r r
AC = AB + BC = u + v

uuur r r
Tur +vr ( A ) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 )

Do đó:
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:

.


Oxy

OABC

A ( −2;1)

B
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hình bình hành
với điểm
, điểm
∆ : 2x − y − 5 = 0
C
thuộc đường thẳng
. Tìm quỹ tích đỉnh ?
2 x − y − 10 = 0
A. Là đường thẳng có phương trình
.
x + 2y − 7 = 0
B. Là đường thẳng có phương trình
.
2x − y + 7 = 0
C. Là đường thẳng có phương trình
.
2
2

x + y − 2x + y = 0
D. Là đường tròn có phương trình
.
Đáp án A.
Lời giải:
uuur ( B ) = C
T
OABC
AO
Vì
hình bình hành nên
C
∆'
∆
Vậy quỹ tích điểm
là đường thẳng
song song với . Ta tìm được phương trình
∆ ' : 2 x − y − 10 = 0
.
Oxy
d : 3x + y − 9 = 0
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Tìm phép tịnh tiến
r
A ( 1;1)
Oy
d
d'
v

theor véc tơ có giá song song
biến thànhr
đi qua
r với
r
v = ( 0;5 )
v = ( 1; −5 )
v = ( 2; −3)
v = ( 0; −5 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án D.
rLời giải:
r
Oy ⇒ v = ( 0; k ) , k ≠ 0
v
Véc tơ có giá song song với
x ' = x
M ( x; y ) ∈ d ⇒ Tvr ( M ) = M ' ( x '; y' ) ⇔ 
y' = y + k
Gọi


Thế vào phương trình

d ⇒ d ' : 3x '+ y´−k − 9 = 0
Oxy

mà

d'

A ( 1;1)
đi qua

k = −5
nên
.
d : 2x − 3y + 3 = 0

Ví dụ 12. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
r
Tvr
d' : 2 x − 3 y − 5 = 0
d
v
. Tìm tọa độ có phương vuông góc với
và
biến đường thẳng
d
d'
thành .

r  −6 4 
r  −1 2 
r  −16 −24 
v= ; ÷
v= ; ÷
v=
;
÷
 13 13 
 13 13 
 13 13 
A.
.
B.
.
C.
. D.
r  16 −24 
v= ;
÷
 13 13 
.
Đáp án D.
Lời giải:
 x = x '− a
r
⇒
Tvr ( M ) = M ' ( x '; y' ) ∈ d '  y = y '− b
v = ( a; b )
Gọi

, ta có
d 2 x '− 3 y '− 2a + 3b + 3 = 0
Thế vào phương trình đường thẳng :
−2a + 3b + 3 = −5 ⇔ −2a + 3b = −8 ( 1)
Từ giả thiết suy ra
r
r r rr
u
=
3;
2
u
⊥ v ⇒ u.v = 0 ⇔ 3a + 2b = 0
(
)
( 2)
d
Véc tơ chỉ phương của là
. Do
16
−24
a = ;b =
( 1) ( 2 )
13
13
Giải hệ
và
ta được
.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA
PHÉP TỊNH TIẾN
1
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
2
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
3
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
4

Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm.
B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.


5

6

7

8

9

10

11

C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
r r
Tvr ( A ) = A′, Tvr ( B ) = B′
A, B
v≠0
Với hai điểm
phân biệt và
với
. Mệnh đề nào sau
đâyuđúng?

uuur r
uuu
r r
uuuur uuu
r
A′B′ = v
AB = v
A′B′ = AB
A.
B.
.
C.
.
D.
uuuur uuu
r .r
A′B′ + AB = 0
.
d1
d2
Cho hai đường thẳng
và
song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo
r r
d1
d2
v≠0
vectơ
biến
thành ?

0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
u
u
u
r
u
u
u
r
TAB + AD
ABCD
A
Cho hình bình hành
. Phép tịnh tiến
biến điểm thành điểm nào?
C
C
A′
A
A′
D
A. đối xứng với
qua .
B.

đối xứng với
qua .
O
AC
C
BD
C.
là giao điểm của
qua
.
D. .
uur ( G ) = M
ABC
G TuAG
Cho tam giác
có trọng tâm ,
. Mệnh đề nào là đúng?
BC
M
A. là trung điểm
.
M
A
B.
trùng với .
BGCM
M
C.
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.

BCGM
M
D.
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
ABCDEF
O
∆AOF
Cho lục
giác
đều
tâm
.
Tìm
ảnh
của
qua phép tịnh tiến theo
uuu
r
AB
vectơ
.
∆AOB
∆BOC
∆CDO
∆DEO
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
ABCD
I
Cho hình bình hành
tâm . Kết luận nào sau đây sai?
uuu
r ( A) = B
uuur ( B ) = A
TuDC
TCD
TuDIuur ( I ) = B
TuIAur ( I ) = C
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
M, N
AD, DC
ABCD
I
Cho hình vuông
tâm . Gọi
lần lượt là trung điểm của

. Phép
∆MDN
∆AMI
tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến
thành
?


A.
12

13

14

uuuu
r
AM

.

B.
ABCD

C.

.

D.

uuuu
r
MN

.
AB

a 3

a 2+ 3

a 5
B.
.
C.
.
D.
.
µ
µ
µ
AB = 6 3, CD = 12 A = 60°, B = 150°, D = 90°
ABCD
Cho tứ giác
có
,
. Tính độ dài
BC
.
5

6
4
2
A. .
B. .
C. .
D. .
AC BD
=
ABCD
AD AB
AD
Trên đoạn
cố định dựng hình bình hành
sao cho
. Tìm quỹ tích
C
đỉnh .
AB 3
A
A
A. Đường tròn tâm , bán kính là
.
B. Đường tròn tâm , bán kính là
AC
.
A
AD
A
C. Đường tròn tâm , bán kính là

.
D. Đường tròn tâm , bán kính là
AD 2
.
A.

16

.

uuur
AC

Cho hình bình hành
. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng
thành
CD
BC
AD
đường thẳng
và biến đường thẳng
thành đường thẳng
?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.

( O)
( O)
A, B
M
Cho đường tròn
và hai điểm
.urMộtuuđiểm
thay đổi trên đường tròn
.
uuuuu
r uu
ur
′
′
M
MM + MA = MB
Tìm quỹ tích điểm
sao cho
.
u
u
u
r
u
u
u
u
r
′
′

( O ) = TAB ( ( O ) )
( O ) = TAM ( ( O ) )
( O′ ) = TuBAuur ( ( O ) )
A.
.
B.
. C.
. D.
u
u
u
u
r
( O′ ) = TBM ( ( O ) )
.
·
·ADC = 45°
= 75°
ABCD
AB = BC = CD = a BAD
Cho tứ giác lồi
có
,
và
.Tính độ dài
AD
.
a 2+ 5

15

uur
NI

.


17

18

19

M, N

MN
Cho hai đường tròn có bán kính
cắt nhau tại
. Đường trung trực của
cắt
A
,
B
MN
A
B
các đường tròn tại
và
sao cho
nằm cùng một phía với

. Tính
2
2
P = MN + AB
.
2
P = 3R 2
P = 6R 2
P = 2R
P = 4R2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
R
K
Cho hai đường tròn có bán kính
tiếp xúc ngoài với nhau tại . Trên đường tròn
·AKB = 90°
A
B
AB
này lấy điểm , trên đường tròn kia lấy điểm
sao cho
. Độ dài
bằng bao nhiêu?

R 3
R 2
R
2R
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
B
BK
BH
Từ đỉnh
của hình bình hành
kẻ các đường cao
và
của nó biết
H
KH = 3, BD = 5
1
B
BKH
. Khoảng cách từ
đến trực tâm
của tam giác
có giá trị
bằng bao nhiêu?

4,5
5
6
4
A. .
B. .
C. .
D.
.

R

DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
M ( 1; 2 )
Oxy
M′
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọar độ
, tìm tọa độ điểm
là ảnh của điểm
qua phép
v = ( 3;1) .
tịnh tiến theo vectơ
M ′ ( 4; −2 )
M ′ ( 4; 2 )
M ′ ( 2;1)
M ′ ( 4; −1)
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
r
A ( 4;5 ) .
v = ( 2;1)
Oxy
A
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho vectơ
và
điểm
Hỏi
là ảnh của
r
v.
điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ
( 1;6 )
( 2; 4 )
( 4;7 )
( 6;6 )
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
A ( 2; 2 ) B ( 4; 6 )
Tvr ( A) = B
Oxy
Câu 6:
Trong
mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
,
và
. Tìm vectơ
r
v.

( 1; 2 )
A.

( 2; 4 )
.

B.

( 4; 2 )
.

C.

( −2; −4 )

.

D.

.


Oxy
Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

Câu 11:

Câu 12:

M ′ ( −3;0 )

M ( 1; −2 )

Tur

Trong mặt phẳng tọa độ
, biết điểm
là ảnh của điểm
qua

r
r
Tvr
M ′′ ( 2;3)
u + v.
M′
và điểm
là ảnh của
qua . Tìm tọa độ vectơ
( 1;5)
( −2; −2 )
( 1; −1)
( −1;5)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Oxy
A′, B ′
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho các điểmr
lần lượt là ảnh của các điểm
uuuur
A ( 2;3) , B ( 1;1)
v = ( 3;1)
A′B′.

qua phép tịnh tiến theo vectơ
. Tính độ dài vectơ
3
5
2
2
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Oxy
ABC
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tam giác
có các điểm
A ( 3;0 ) , B ( −2; 4 ) , C ( −4;5 ) G
ABC
.
là trọng tâm tam giác
và phép tịnh tiến theo
r r
G′ = Tur ( G ) .
G
G′
u≠0
A
vectơ

biến điểm
thành
. Tìm tọa độ
biết
G ′ ( −5; 6 )
G′ ( 5;6 )
G ′ ( 3;1)
G ′ ( −1;3 )
A.
.
B.
.
C.
.
D. r
.
v = ( 4; 2 )
Oxy
∆ : x + 5 y −1 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và vectơ
.
r
v
∆
Khi đó ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ là
x + 5 y − 15 = 0
x + 5 y + 15 = 0
x + 5y + 6 = 0

A.
.
B.
.
C.
.
D.
−x − 5y + 7 = 0
.
r
v = ( −4; 2 )
Oxy
∆′ : 2 x + y − 5 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường thẳng
. Hỏi
r
Tv .
∆′
∆
là ảnh của đường thẳng nào sau đây qua
∆ : 2x + y + 5 = 0
∆ : 2x + y − 9 = 0
∆ : 2 x + y − 15 = 0
A.
.
B.
. C.
. D.

∆ : 2 x + y − 11 = 0
.
 x = 1 + 2t
∆:
Oxy
 y = −1 − t
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và đường thẳng
r
Tvr ( ∆ ) = ∆′.
∆′ : x + 2 y − 1 = 0
v
. Tìm tọa độ vectơ biết


r
v = ( 0; −1)
A.
Câu 13:

r
v = ( 0; 2 )

B.
.
C.
.
D.
.

( C ′)
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, tìm phương trình đường tròn
là ảnh của đường
r
2
2
v = ( 1;3) .
( C ) : x + y − 4x − 2 y +1 = 0
tròn
qua phép tịnh tiến theo
2
2
2
2
( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 2
( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 4
A.
.
B.
.
2

+ ( y + 4) = 4

( C ′) : ( x + 3)

2

C.

.

+ ( y − 4) = 4
2

.

( C ) : ( x − 4)

2

+ y = 16
2

Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường tròn
.
r
Tv
( C)
Ảnh của
qua phép tịnh tiến
là
2
2
2
2

( x − 1) + ( y − 1) = 16
( x + 1) + ( y + 1) = 16
A.
.
B.
.
2
2
2
2
( x − 7 ) + ( y + 1) = 16
( x + 7 ) + ( y − 1) = 16
C.
.
D.
.
r
2
v = ( 1; −2 )
( C ) : 2 x + 4 y2 = 1
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường cong
. Ảnh
r
Tv
( C)
của
qua phép tịn tiến

là
2
2
2 x + 4 y + 4 x + 16 y − 17 = 0
2 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 16 y + 17 = 0
A.
.
B.
.

2 x 2 + 4 y 2 − 4 x − 16 y + 17 = 0
C.

2 x 2 + 4 y 2 − 4 x − 16 y − 7 = 0
.

D.
x
y2
( E) : + =1
16 9
2

Câu 16:

2

D.

r

v = ( 3; −1)

Oxy

Câu 15:

r
v = ( −1;1)

.

( C ′) : ( x + 3)
Câu 14:

r
v = ( 0;1)

.
r
v = ( 2;1)

Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho elip
và véc tơ
. Ảnh của
Tvr
( E)
qua phép tịn tiến
là:

2
2
2
2
x − 2)
y − 1)
x + 2)
y + 1)
(
(
(
(
+
=1
+
=1
( E) :
( E) :
16
9
16
9
A.
.
B.
.
2
2
2
2

x
y
x − 2 y −1
+
=1
( E) : + =1
( E) :
4 9
16
9
C.
.
D.
.


α , a, b

Oxy

Câu 17:

F
là những số cho trước, xét phép biến hình
 x ' = x.cos α − y.sin α + a

M ( x; y )
M ' ( x '; y ')
 y ' = x.sin α + y.cos α + b
biến mỗi điểm

thành điểm
trong đó:
.
M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 )
M ', N '
M,N
Cho hai điểm
,
, gọi
lần lượt là ảnh của
qua phép
d
N'
F
M'
biến hình . Khi đó khoảng cách giữa
và
bằng:
Trong mặt phẳng tọa độ

d=

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

, với

2

A.

.

d=

( x2 + x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

C.

Câu 19:

Câu 20:

Cho véc tơ

( x2 + x1 )

2

+ ( y2 + y1 )

B.

2

2

.

d=
.

r
v = ( a; b )
Câu 18:

d=

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 + y1 )

D.

2

.
y = f ( x) =

x − x +1
x −1

2

sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị
theo véc
2
x
r
y = g ( x) =
a.b
v
x +1
tơ ta nhận đồ thị hàm số
. Khi đó tích
bằng:
5
6
1
4
A. .
B. .
C.
.
D.
.
r
v = ( −2;1)
Oxy
d : 2x − 3y + 3 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ
, ucho

và đường thẳng
,
r
w = ( a; b )
d1 : 2 x − 3 y − 5 = 0
d
. Tìm tọa độ
có phương vuông góc với đường thẳng
Tuwr
d1
d
a+b
để
là ảnh của qua phép tịnh tiến . Khi đó
bằng:
6
16
−8
5
13
13
13
13
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Oxy
F
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho phép biến hình
xác định như sau: Với mỗi điểm
M ( x; y )
M '= F(M)
M ' ( x '; y ' )
x ' = x + 2; y ' = y − 3
ta có điểm
sao cho
thỏa mãn:
. Mệnh đề nào sau đây đúng:r
v = ( 2;3)
F
F
A.
là
phép
tịnh
tiến
theo
.
B.
là phép tịnh tiến theo
r
v = ( −2;3)
.

r
v = ( 2; −3)

Câu 21:

Câu 22:

F
F
C.
là
phép
tịnh
tiến
theo
.
D.
là phép tịnh tiến theo
r
v = ( −2; −3)
.
A ( 1;6 ) ; B ( −1; −4 )
Oxy
C, D
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hair điểm
. Gọi
lần lượt là
v = ( 1;5)

A, B
ảnh của
qua phép tịnh tiến theo
. Kết luận nào sau đây là đúng:
ABCD
ABCD
A.
là hình vuông.
B.
là hình bình hành.
A
,
B
,
C
,
D
ABDC
C.
là hình bình hành.
D.
thẳng hàng.
Oxy
d:y=2
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng có phương trình
, và hai điểm
A ( 1;3) ; B ( 3; −4 )
d N
MN

d
M
. Lấy
trên ,
trên trục hoành sao cho
vuông góc với
AM + MN + NB
M N
và
nhỏ nhất. Tìm tọa độ
, ?
6  6 
7  7 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 
5  5 
A.
.
B.
.
8  8 
9  9 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 
5  5 
C.
.
D.

.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG
CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Câu 1:
Đáp án D.
r
Tvr
v
Khi véc tơ của phép tịnh tiến
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã
cho thì sẽ có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Câu 2:
Đáp án B.
r r
Tvr
( C)
( C)
v=0
I
Khi
: Đường tròn
có tâm thì
biến đường tròn
thành chính nó.
Câu 3:
Đáp rán B.
r
v=0

Khi
có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
Câu 4:
Đáp án C.
r r
v≠0
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến
.
Câu 5:
Đáp án B.


Câu 6:

Câu 7.

Câu 8.

Ta chỉ ra được
Đáp án D.

ABB ' A '

là hình bình hành

uuuuu
r uuu
r
⇒ A ' B ' = AB

uur ( d )
A ∈ d1 B ∈ d 2 ⇒ TuAB
d2
1
Chẳng hạn lấy bất kỳ
,
thành
nên có vô số phép tịnh tiến
thỏa mãn.
Đáp ánuuu
D.
r uuur uuur
uur ( A) = C
AB + AD = AC ⇒ TuAC
Ta có
.

Đáp án C.

uuur uuuu
r
uur ( G ) = M ⇔ AG = GM ⇒ BGCM
TuAG
Ta có
Câu 9.

là hình bình hành.

Đáp án B.

Ta có

Tuuur ( A) = B
 AB
uur ( O) = C ⇒ Tuuur ( ∆AOF ) = ∆BCO
TuAB
AB

uur ( F ) = O
TuAB

Câu 10.

Đáp án D.
TuIAur ( I ) = A
Ta có
nên đáp án D sai.

Câu 11.

Đáp án A.

.


uuu
r ( ∆AMI ) = ∆MDN
TuAM

Từ hình vẽ ta có

Câu 12.

.

Đáp án B.

Từ hình vẽ ta có
uur ( AB) = CD
TuBC

AB,CD
với

uur ( AB) = CD
TuBC

là các đoạn thẳng.

AD, BC
, với

Câu 13.

là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.

Đáp án uA.
uuuu
r uuur uuur
uuuuu
r uuur uuur uuu

r
uur ( M ) = M ′
′
′
MM + MA = MB ⇔ MM = MB − MA = AB ⇔ TuAB
Ta có :

Vậy tập hợp điểm
Câu 14.

Đáp án C.

.
M′

( O)
là ảnh của đường tròn

uu
r
TuAB

qua

.


uur ( A) = A′.
TuBC

Xét
Khi đó

CA′ = BA = CD ⇒ ∆CA′D

⇒ ·A′CD = 600 ⇒ ∆CA′D
⇒ ·A′DA = 150

và

cân tại

C

.

đều.

AA′ = BC = CD = A′D = a

· ′D = 1500
⇒ AA

Do đó

AD2 = 2A′A2 − 2A′A2 cos AA′D = 2a2 + 3a2

⇒ AD = a 2 + 3
Câu 15.

(áp dụng định lí cosin).

.

Đáp án C.

uur ( A) = M ⇒ ABCM
TuBC

Xét

là hình bình hành.

·
·
⇒ BCM
= 300 ⇒ BCD
= 600

Ta có

và

·
MCD
= 300

MD2 = MC 2 + DC 2 − 2MC.DC.cos300 = 36 ⇒ MD = 6

1

MD = CD
2

và

MC = MD 3 ⇒ ∆MDC

là nửa tam giác đều.


·
·
⇒ DMC
= 900 ⇒ MDA
= 300

vuong

Vậy

·
·
·
MDA
= MAD
= MAB
= 300 ⇒ ∆AMD

Hide Luoi

Câu 16.

cân tại

M ⇒ BC = MA = MD = 6

.

Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.

y

B(x,y)

C(x+1,y)

I

x
A

D ( 1;0)

Cố định

( x + 1)

B ( x; y) ⇒ C ( x + 1; y)

. Với
AC.AB = AD.BD

Từ giả thiết
⇔

D

2

+ y2 . x2 + y2 =

( x − 1)

2

+ y2

(
)(
)
⇔ ( x + y + 1) ( x + y + 2x) − x − y − 2x = 1− 2x
⇔ x2 + y2 x2 + y2 + 2x = 1− 2x
2

(

2

2

)(

2

2

2

)

⇔ x2 + y2 + 1 x2 + y2 + 2x − 1 = 0

x2 + y2 + 1> 0
(do

).

⇔ x2 + y2 + 2x − 1= 0 ⇔ ( x + 1) + y2 = 2 (1)
2

.

B
I
Suy ra quỹ tích
là đường tròn tâm , bán kính
A
)
uur ( B ) = C

TuBC
Ta có

2 I
D
( là điểm đối xứng của
qua