lý thuyết nửa nhóm

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

1.1.1

Các định nghĩa cơ bản

Cho một tập S và một phép tốn hai ngơi trên S, ta kí hiệu phép tốn hai ngơi bởi
dấu (*). Phỏng nhóm là một hệ thống S(*) gồm một tập S khác rỗng và một phép tốn
hai ngơi (*) trên nó. Ta cũng kí hiệu phép tốn hai ngơi bởi dấu + , o , . ,.Phép tốn
hai ngơi (*) trên S gọi là kết hợp nếu a*(b*c) = (a*b)*c, ∀a, b, c ∈ S.
Định nghĩa 1.1.1. Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(∗), trong đó phép tốn (∗) có tính
kết hợp.
Ví dụ 1.1.2. Tập ( N; +) và (N ; .) là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.3. Tâp các ma trận cấp mxn cùng với phép tốn cộng là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.4. Tập các phép chiếu chính tắc là một nửa nhóm
Tập con T khác rỗng của một phỏng nhóm S được gọi là phỏng nhóm con của S, nếu
từ a ∈ T ; b ∈ T ⇒ a.b ∈ T . Nếu T là nửa nhóm thì ta nói T là nửa nhóm con của S.
Ta nói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi x, y
tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [ x.a = y.a ] kéo theo x = y .
Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S giao hốn với nhau nếu a.b = b.a . Nửa
nhóm S được gọi là giao hốn nếu hai phần tử tuỳ ý của nó giao hốn với nhau.
Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái [phải], nếu ea = a [ ae =
a] với mọi a ∈ S . Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn
vị trái vừa là đơn vị phải.
1

2

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử khơng bên trái [phải] nếu za =
z [ az = z ] với mọi a ∈ S . Phần tử z được gọi là phần tử khơng nếu nó vừa là phần tử
khơng bên trái vừa là phần tử không bên phải của S.
Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và khơng thuộc S. Khi đó ta mở
rộng phép tốn hai ngơi trên tập S lên tập hợp S ∪ 1 bằng cách đặt 1.1 = 1 và 1a = a1
= a với mọi a ∈ S. Dễ thấy S ∪ 1 là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Tương tự
ta có thể ghép phần tử không vào S, bằng cách đặt 00 = 0a = a0 = 0 với mọi a ∈ S.
Và ta kí hiệu : S 1 là S nếu như S có đơn vị, cịn là S ∪ 1 trong những trường hợp trái
lại; tương tự S 0 cũng vậy, là S nếu như S có phần tử khơng và |S| > 1, cịn S ∪ 0 trong
trường hợp trái lại.
Định nghĩa 1.1.5. Cho ánh xạ ϕ đi từ nửa nhóm X vào nửa nhóm Y được gọi là đồng
cấu nếu mỗi phần tử x ∈ X, y ∈ Y ta ln có :
ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y).
Khi ánh xạ ϕ là đơn ánh, tồn ánh, song ánh thì đồng cấu ϕ tương ứng được gọi là
đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
Nếu nửa nhóm Y được thay bằng nửa nhóm X thì đồng cấu trên ta gọi là tự đồng
cấu của nửa nhóm X.
Ví dụ 1.1.6. Cho X là một nửa nhóm. Khi đó ánh xạ đồng nhất:
IX : X → X
IX (x) = x

∀x ∈ X

là một tự đồng cấu nửa nhóm. Ngồi ra nó cịn là một tự đẳng cấu nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.7. Cho ánh xạ
f : (N, +) → (N, .)

n 7→ 2n
là một tự đồng cấu nửa nhóm. Ngồi ra f là đơn ánh nên f là đơn cấu từ (N, +) → (N, .).
Ví dụ 1.1.8. Cho A là một nửa nhóm con của X. Khi đó ánh xạ
jA : A → X, jA (x) = x ∀x ∈ A
là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X.


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHĨM

3

Ví dụ 1.1.9. Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm. Khi đó ánh xạ
f : X → Y, f (x) = 1Y ∀x ∈ X
là đồng cấu nửa nhóm. Nếu X là vị nhóm thì ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1Y ∀x ∈ X là
đồng cấu vị nhóm.
Định nghĩa 1.1.10. Ta nói quan hệ ρ trên phỏng nhóm S là ổn định ( hoặc tương
thích, hoặc chính quy, hoặc thuần nhất) bên phải [ trái ] nếu aρb(a, b ∈ S) kéo theo
ac ρ bc [ca ρ ba] với mỗi c ∈ S. Một quan hệ tương đương ổn định bên phải [ trái ] ta sẽ
gọi là một tương đẳng bên phải [ trái] trên S. Tương đẳng trên S là quan hệ tương đương
vừa là tương đẳng bên trái , vừa là tương đẳng bên phải.
Giả sử ρ là một tương đẳng trên phỏng nhóm S và A,B là các phần tử tuỳ ý thuộc
tập S/ρ, tức là các lớp tương đương của S theo mod ρ. Ta định nghĩa phép nhân ◦ trong
S/ρ bằng cách đặt A ◦ B = C với C là một lớp tương đương nào đó của S/ρ. Tập S/ρ
với phép tốn (◦) làmột phỏng nhóm mà ta gọi là phỏng nhóm thương của S theo mod ρ .
Ta kí hiệu aρ(a ∈ S) là lớp tương đương theo mod ρ chứa a. Khi đó theo định nghĩa
của phép tốn (◦) thì aρ ◦ bρ = (ab)ρ với mọi a, b ∈ S. Nếu kí hiệu ρξ là ánh xạ tự nhiên
từ phỏng nhóm S lên S/ρ, ta được aρ = aρξ với mọi a ∈ S, và vì vậy aρξ ◦ bρξ = abρξ .
Như vậy ρξ là một đồng cấu. Ta gọi nó là đồng cấu tự nhiên( hay chính tắc) từ phỏng
nhóm S lên S/ρ. Nếu S là nửa nhóm thì S/ρ cũng là nửa nhóm.
Định lí 1.1.11. (Định lý cơ bản về đồng cấu) : Giả sử θ là một đồng cấu từ phỏng nhóm

S lên phỏng nhóm S−0 , và giả sử ρ = θ ◦ θ−1 , tức là aρb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi aρ = bρ.
Thế thì ρ là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu ψ từ phỏng nhóm S/ρ lên S−0
sao cho ρξ ψ = θ, trong đó ρξ là đồng cấu tự nhiên từ S lên S/ρ.
Định lí 1.1.12. Giả sử ϕ1 , ϕ2 là các đồng cấu từ phỏng nhóm S tương ứng lên các phỏng
nhóm S1 và S2 sao cho ϕ1 ◦ ϕ1 −1 ⊆ ϕ2 ◦ ϕ2 −1 . Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất θ
từ phỏng nhóm S1 lên phỏng nhóm S2 sao cho ϕ1 θ = ϕ2 .
Hệ quả 1.1.13. Nếu ρ1 và ρ2 là các tương đẳng trên phỏng nhóm S, sao cho ρ1 ⊆ ρ2 ,
thì S/ρ1
simS/ρ2 .
Mệnh đề 1.1.14. Giả sử C là một tính chất trừu tượng của phỏng nhóm, tức là một
tính chất sao cho nếu một trong hai phỏng nhóm đẳng cấu với nhau có tính chất C thì


4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

phỏng nhóm kia cũng có tính chất đó. Ta nói tương đẳng σ trên phỏng nhóm S có kiểu
C nếu S/σ có tính chất C. Giả thuyết rằng giao ρ của tất cả các tương đẳng σ trên S có
kiểu C cũng có kiểu C. Thế thì S/ρlà ảnh đồng cấu tối đại của chất C và mỗi ảnh đồng
cấu của phỏng nhóm S có tính chất C là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S/ρ.
Định lí 1.1.15. Giả sử ρ◦ là một quan hệ trên nửa nhóm S và ρ là tương đẳng trên S,
sinh bởi ρ◦ . Thế thì aρb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi b có thể thu được từ a bằng một dãy hữu
hạn ρ◦ - bắc cầu sơ cấp.
Định lí 1.1.16. Cho f : (X, ∗) → (Y, ◦) là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó
1. A là nửa nhóm con của X thì f (A) là nửa nhóm con của Y.
2. B là nửa nhóm con của Y thì f −1 (B) là nửa nhóm con của X.
Chứng minh : 1. Lấy tuỳ ý y1 , y2 ∈ f (A). Khi đó tồn tại x1 , x2 ∈ A sao cho
f (x1 ) = y1 ; f (x2 ) = y2 . Từ đó y1 ◦ y2 = f (x1 ) ◦ f (x2 ) = f (x1 ∗ x2 ) Vì x1 ∗ x2 ∈ A nên
y1 ◦ y2 ∈ f (A). Vậy f (A) là nửa nhóm con của Y.

2. Lầy tuỳ ý x1 , x2 ∈ f −1 (B). Khi đó f (x1 ), f (x2 ) ∈ B. Do B là nửa nhóm nên f (x1 ) ◦
f (x2 ) = f (x1 ∗ x2 ) ∈ B. Suy ra x1 ∗ x2 ∈ f −1 (B). Vậy f −1 (B) là nửa nhóm con của X.
Định lí 1.1.17. Cho một tập con S của nửa nhóm T thì các khẳng định sau là tương
đương:
1. Có một phép tốn nửa nhóm trên S sao cho S → T là một đồng cấu
2. S đóng đối với phép nhân (x, y ∈ S ⇒ x.y ∈ S)
Trong (1) thì phép tốn trên S là duy nhất và là phép toán hạn chế của S trên T.
Định lí 1.1.18. Cho một quan hệ tương đương C trên nửa nhóm S thì các điều sau là
tương đương :
1. Có một phép tốn nửa nhóm trên S/C sao cho phép chiếu S → S/C là một đồng cấu.
2. C đúng với phép nhân bên trái nghĩa là aCb ⇒ xa C xb và bên phải nghĩa là aCb ⇒
ax C bx.
3. C đúng với phép nhân nghĩa là a C c, b Cd ⇒ ab C cd.
Chúng ta sẽ xem xét một số tính chất của phép nhân các đồng cấu.
1. Nếu cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 mà tích ϕ1 ϕ2 và ϕ2 ϕ3 được xác định thì các tích
(ϕ1 ϕ2 )ϕ3 và ϕ1 ?(ϕ2 ϕ3 ) cũng được xác định và bằng nhau.
2. Nếu cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 trong đó ϕ1 ∼ ϕ2 (p) và ϕ2 ∼ ϕ3 (p) thì ta cũng
có ϕ1 ∼ ϕ3 (p)


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

5

3.Nếu cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 trong đó ϕ1 ∼ ϕ2 (q) và ϕ2 ∼ ϕ3 (q) thì ta cũng có
ϕ1 ∼ ϕ3 (q)
4. Nếu cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ2 và một đẳng cấu ε sao cho ϕ1 = εϕ2 thì sẽ tồn tại
0

0

một đẳng cấu ε sao cho ϕ2 = ε ϕ1 .
5. Cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ2 của cùng một nửa nhóm, quan hệ ϕ1 ∼ ϕ2 (q) giữ được
nếu và chỉ nếu tồn tại một đẳng cấu ε sao cho ϕ1 = εϕ2 .
0

0

6. Nếu cho các đồng cấu ϕ1 , ϕ1 , ϕ2 , ϕ2 của nửa nhóm U. Chúng ta có
0

0

ϕ1 ∼ ϕ1 (q), ϕ2 ∼ ϕ2 (q),

ϕ2 ∼ ϕ1 (p),

thì
0

0

ϕ2 ∼ ϕ1 (p).
Chứng minh : Thực vậy, chắc chắn rằng từ đẳng cấu ε1 ; ε2 và một đồng cấu ψ
chúng ta ln có
0

ϕ1 = ε1 ϕ1 ,

0

ϕ2 = ε2 ϕ2 ,

ϕ1 = ψϕ2

0

0

Biểu thị rằng ε2 là một đẳng cấu khả nghịch quan hệ với ε2 của nửa nhóm ϕ2 (U) lên
ϕ2 (U), chúng ta có :
0

0

0

ϕ1 = ε1 ϕ1 = ε1 ψϕ2 = ε1 ψε2 ε2 ϕ2 = (ε1 ψε2 )ϕ2

0

do đó suy ra
0

0

ϕ2 ∼ ϕ1 (p)
7. Nếu ϕ là một trong số những đồng cấu của nửa nhóm U và ε là một trong những
đẳng cấu của nó, thì
ε ∼ ϕ(p)

8. Nếu ε là một đẳng cấu của nửa nhóm U và ϕ là một đồng cấu của U với ϕ ∼ ε(p),
thì ϕ cũng là một đẳng cấu.
Thật vậy, với một số đồng cấu ψ chúng ta có
ε = ψϕ
Khi ε là ánh xạ một - một , thì ánh xạ ϕ cũng là ánh xạ một một.


6

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
9. Lấy ϕ, ψ là hai đồng cấu của nửa nhóm U. Để ϕ ∼ ψ(p) thì điều kiện cần và đủ

là nếu ϕ(A) = ϕ(B) với mọi A, B ∈ U, thì
ψ(A) = ψ(B)
.
Thật vậy, nếu cho một số dồng cấu χ, và ψ = χϕ thì từ ϕ(A) = ϕ(B) ta ln có
ψ(A) = (χ.ϕ)(A) = χ.[ϕ(A)] = χ.[ϕ(B)] = (χ.ϕ)(B) = ψ(B).
Mặt khác, nếu ϕ và ψ sao cho từ ϕ(A) = ϕ(B) ta ln suy ra được ψ(A) = ψ(B) thì
cho nửa nhóm ϕ(U) người ta có thể định nghĩa ánh xạ χ của nó vào nửa nhóm ψ(U).
Đặt
χ[ϕ(A)] = ψ(A).
Ánh xạ này được định nghĩa duy nhất, không phụ thuộc vào cách chọn đại điện A trong
0

lớp những phần tử X ∈ U mà ϕ(X) = ϕ(A), khi đó nếu ϕ(A) = ϕ(A ), thì chúng ta có
0

ψ(A) = ψ(A ) trong ψ(U). Từ thực tế là ψ và ϕ là các đồng cấu, thì ngay lập tức ánh
xạ χ cũng là một đồng cấu. Do đó, χϕ = ψ hay ϕ ∼ ψ(p).
Từ 4,9 nó cho thấy rằng trong lớp của tất cả các đồng cấu của một nửa nhóm thì

quan hệ q là một quan hệ tương đương, và do đó lớp này phân hoạch thành các lớp rời
nhau của các đồng cấu mà mỗi lớp tương đương là quan hệ lẫn nhau tới quan hệ q. Một
trong số những lớp này được hình thành bởi tất cả các đẳng cấu của nửa nhóm. Nếu
0

0

cho đồng cấu ϕ1 và ϕ2 mà ϕ1 ∼ ϕ2 (p), thì cũng có đồng cấu ϕ1 , ϕ2 bất kì được lấy từ
0

0

các lớp tương ứng, quan hệ ϕ1 ∼ ϕ2 (p) được thoả mãn.
Giả sử chúng ta được đưa một số lựa chọn T của các đồng cấu của nửa nhóm U. Nó
là tự nhiên để gọi một đồng cấu ϕ của nửa nhóm Ulà ước chung lớn nhất của T nếu ϕ
là một chia phải của mỗi đồng cấu của T và nếu nó là bị chia bên phải bởi mỗi đồng
cấu mà đồng cấu đó là một số chia phải của mỗi đồng cấu của T.

Định nghĩa 1.1.19. ĐỒng cấu ψ được gọi là bội chung nhỏ nhất của T nếu ψ là bị chia
bên phải bởi mỗi đồng cấu của T và nếu nó là chia phải của mỗi đồng cấu mà đồng cấu
đó là bị chia phải của mỗi đồng cấu của T
1.16. Câu hỏi về sự tồn tại của ước chung lớn nhất của tập hợp các đồng cấu, và
bội chung nhỏ nhất, sẽ nhận được câu trả lời thoả đáng trong các phần sau. Tuy nhiên


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

7

cũng nên nhớ rằng, cho một lớp T của các đồng cấu, thường có sự quan tâm khơng chỉ

là liệu có tồn tại ước chung lớn nhất mà còn liệu một số chúng có thuộc vào chính nó
tới các lớp T. Đây là điều đặc biệt quan trọng khi mà lớp T là như vậy nếu một số đồng
cấu ϕ nằm trong nó, thì bất kì đồng cấu chia phải bởi ϕ cũng nằm trong T. Nếu lớp T
là như vậy, và ψ là ước chung lớn nhất của các đồng cấu của T mà thuộc T, thì T được
đặc trưng bởi lớp của tất cả các đồng cấu chia bên phải bởi ψ. Qui định ψ trong trường
hợp này miêu tả chính xác cấu trúc của lớp T.
Như một ví dụ chúng tôi đề cập đến lớp của tất cả các đồng cấu của một nửa nhóm
bất kì U vào một nửa nhóm giao hốn. Rõ ràng, nếu đồng cấu ϕ, ψ, χ sao cho ϕψ = χ
và nửa nhóm ψ(U) là giao hốn, thì χ(U) cũng sẽ giao hốn.

1.1.2

Nửa nhóm hệ số

1. Giả sử rằng ϕ là một đồng cấu bất kì của nửa nhóm U. Chúng ta định nghĩa trong
U một quan hệ η bằng cách đặt A ∼ B(η) nếu ϕ(A) = ϕ(B). Tính phản xạ, đối xứng
và bắc cầu của quan hệ này là hiển nhiên. Quan hệ η sẽ được gọi là tương đương tương
ứng đến một đồng cấu ϕ.
Từ ϕ(A) = ϕ(B) với mọi X ∈ U thì ta có : [

ϕ(XA) = ϕ(X).ϕ(A) = ϕ(X).ϕ(B) = ϕ(XB),
ϕ(AX) = ϕ(A).ϕ(X) = ϕ(B).ϕ(X) = ϕ(BX),

đối với lớp tương đương η tương ứng với đồng cấu ϕ là ổn định hay phía.
2. Bây giờ giả sử rằng η là một lớp tương đương ổn định hai phía bất kì trong nửa nhóm
U.
Chúng ta sẽ biểu thị U/η là tập của tất cả η− lớp.
Quan sát thấy rằng cho tất cả các η− lớp R1 , R2 , R3 , từ
(R1 .R2 ) ∩ R3 6= ∅
Thì

R1 .R2 ⊂ R3
Do đó, giả sử X1 , Y1 ∈ R1 ; X2 , Y2 ∈ R2 và Y1 , Y2 ∈ R3 . Ta có X1 ∼ Y1 (η), X2 ∼ Y2 (η)
thì
X1 X2 ∼ Y1 Y2 (η)
. Từ Y1 Y2 ∈ R3 , nên bất kì phần tử X1 X2 của tập R1 R2 cũng phải thuộc R3 . Từ khi
η−lớp phân hoạch của tập tất cả các phần tử của nửa nhóm, nó vừa được chứng minh


8

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

rằng cho 2 η− lớp tuỳ ý R1 và R2 thì sẽ ln ln tồn tại duy nhất một η−lớp R3 sao
cho
(R1 .R2 ) ⊂ R3
3.

1.1.3

Đồng cấu nửa nhóm nghịch đảo

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét đồng cấu của nửa nhóm nghịch đảo. Chúng ta sẽ
thành công trong việc đạt được một số tính chất đồng cấu của nửa nhóm khả nghịch và
đưa đến một cách miêu tả hoàn toàn cấu trúc của một đồng cấu bất kì của những nửa
nhóm này.
Như thơng thường, trong việc xem xét của nửa nhóm khả nghịch chúng ta sẽ sử dụng
thanh để chỉ cách kết hợp các phần tử khả nghịch đến một phần tử.
Bổ đề 1.1.20. Nếu ϕ là một đồng cấu của một nửa nhóm khả nghịch U, và nếu ϕ(A)(A ∈
U) là một luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(U), thì U chứa một luỹ đẳng I sao cho ϕ(I) = ϕ(A)
Định lí 1.1.21. Nếu ϕ là một đồng cấu của nửa nhóm khả nghịch U, thì ϕ(U) cũng là

một nửa nhóm khả nghịch.
Hệ quả 1.1.22. Nếu ϕ là một đồng cấu của một nhóm khả nghịch U, thì với mỗi X ∈ U
thì ta có phương trình
ϕ(X) = ϕ(X)
đã giữ trong nửa nhóm nghịch đảo ϕ(U).
Hệ quả 1.1.23. Giả sử rằng ϕ là một đồng cấu của một nhóm khả nghịch U, và λ =
ϕ(A)(A ∈ U) là một luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(U). Thì họ Bλ của tất cả các phần tử B
của U sao cho ϕ(B) = λ là một nửa nhóm nghịch đảo.
Hệ quả 1.1.24. Lấy ϕ là một đồng cấu của một nhóm khả nghịch U. Nếu chắc chắn
rằng A, B ∈ U,
ϕ(A A) = ϕ(BB) = ϕ(AB)
thì
ϕ(A) = ϕ(B),

ϕ(A) = ϕ(B)

Giả sử rằng trong nửa nhóm nghịch đảo U chúng ta đưa đến một họ

P

của một số

của nửa nhóm khả nghịch của nó. Theo đây chúng ta sẽ quan tâm trong trường hợp khi


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHĨM
P

9

có những tính chất sau :

1. Các nửa nhóm khác nhau của họ

P

là rời nhau.

P
.
P
3. Giả sử rằng AA, B B, A B ∈ B(A, B ∈ U), ở đó B nằm trong . Nếu A ∈ B thì

2. Mỗi luỹ đẳng của U là đang ở trong một nửa nhóm nào đó của
cũng có B ∈ B.

4. Giả sử rằng AA, B B, A B ∈ B(A, B ∈ U), ở đó B nằm trong
P
P
00
của
thì trong
có một B sao cho
00

0

AB A ∈ B ,

0

P

0

. Thì cho mỗi B

00

AB B ∈ B

. Giả sử rằng ϕ là một đồng cấu bất kì của nửa nhóm khả nghịch U và T là tập các luỹ
đẳng của nửa nhóm ϕ(U). Bởi vì theo hệ quả 1.1.23 chúng ta có thể kết hợp với đồng
P
cấu ϕ từ tập
của các nửa nhóm khả nghịch Bλ (λ ∈ T) của nửa nhóm U, cái mà là
P
ảnh trước hồn tồn của các luỹ đẳng của nửa nhóm ϕ(U). Nó chỉ ra rằng họ
này là
tất cả bốn tính chất đã chỉ ở trên.
Tính chất (1) là đúng, khi các B của

P

ảnh trước hoàn toàn của các luỹ đẳng khác

nhau của T. Tính chất (2) là đúng khi dưới một đồng cấu mỗi ánh xạ luỹ đẳng vào một
luỹ đẳng. Tính chât (3) suy ra được ngay từ hệ quả 1.1.24. Cịn tính chất thứ 4 chúng
ta sẽ phân tích chi tiết hơn.
Lấy AA, B B, A B ∈ {B(∈ T). Cho Bµ (µ ∈ T) , ta sử dụng hệ quả 1.1.24, chúng ta có

ϕ(ABµ A) = ϕ(A).ϕ(Bµ ).ϕ(A) = ϕ(A).µ.ϕ(A) = ν
ϕ(ABµ B) = ϕ(A).ϕ(Bµ ).ϕ(B) = ϕ(A).µ.ϕ(A) = ν

Bởi vì các luỹ đẳng là giao hốn trong ϕ(U) nên ta có :

ν 2 = ϕ(A).µ.ϕ(A).ϕ(A).µ.ϕ(A) = ϕ(A).µ.ϕ(AA).µ.ϕ(A) = ϕ(A)ϕ(AA).µ.µ.ϕ(A) = ϕ(AAA).µ.ϕ(A
Theo ν ∈ T và do đó
ABµ A ⊂ Bν ,

ABµ B ⊂ Bν .

Chúng ta kết hợp với đồng cấu ϕ của nửa nhóm U một quan hệ tương đương η sao cho :
A ∼ B(η) (A, B ∈ U)
sẽ được bảo tồn nếu và chỉ nếu tất cả ba tích được chứa trong một nửa nhóm con
P
B( ∈ T) của .
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng η là tương đương tương ứng đến đồng cấu ϕ.


10

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Nếu ϕ(A) = ϕ(B)(A, B ∈ U) thì từ 1.1.24, ϕ(A) = ϕ(A) = ϕ(B) = ϕ(B) thì rất dễ
dàng để thấy rằng
ϕ(AA) = ϕ(BB) = ϕ(AB)
, Như vậy AA, BB, AB nằm trong một nửa nhóm con và nửa nhóm con giống nhau của
P
. Do đó, A ∼ B(η).
P

Bây giờ giả sử rằng
là tập bất kì của nửa nhóm khả nghịch của nửa nhóm khả nghịch
U, thoả mãn 4 tính chất ở trên.
P
Sử dụng
mà chúng ta định nghĩa trong U một quan hệ ηP sao cho
A ∼ B(ηP )

(A, B ∈ U)

nếu và chỉ nếu tất cả ba tích AA, BB, AB được chứa một trong những nửa nhóm con
P
giống nhau của .
3.12. Trong việc kết nối với vai trò trên của quan hệ loại ηP đã miêu tả ở 3.10 trên,
chúng ta sẽ đi xa hơn nữa một số tính chất của nó.
P
(ε) Nếu A ∼ B(ηP )(A, B ∈ U) và A ∈ B(B ∈ ) thì B ∈ B.
P
P
(ζ) Cho B1 , B2 ∈
thì ln tìm được một B3 ∈
sao cho
B1 B2 ⊂ B3 ,
(η) Hợp N của tất cả B của

1.1.4

P

B2 B1 ⊂ B3 .

là một nửa nhóm con khả nghịch của U.

Chuẩn phức

Định nghĩa 1.1.25. Một tập không rỗng R của nửa nhóm U được gọi là chuẩn phức nếu
0

cho X, Y bất kì mà là các phần tử của U hoặc kí hiệu rỗng và cho bất kì K, K ∈ R, XKY ∈ R
0

thì ta ln có XK Y ∈ R
Định nghĩa 1.1.26. Một tập con không rỗng mathf rakR của nửa nhóm U được gọi là
nửa nhóm con chuẩn nếu cho bất kì X và Y mà là phần tử của U hoặc kí hiệu rỗng, và
0

cho bất kì K và K nằm trong R hoặc cũng là kí hiệu rỗng, XKY ∈ R, thì ln ln có
0

0

XK Y ∈ R ( chỉ đưa ra X,K , Y là tất cả kí hiệu khơng rỗng)

1.1.5

Sự mở rộng của đồng cấu

1. Nếu B là một nửa nhóm con của nửa nhóm U, thì mỗi đồng cấu ϕ của nửa nhóm U
bao gồm một cách hiển nhiên một đồng cấu của nửa nhóm B vào nửa nhóm ϕ(B), mà

1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

11

hoạt động của nó trên các phần tử của B trùng với các hoạt động của đồng cấu ϕ. Dĩ
nhiên, về cơ bản chúng khá là khác nhau.
Hiện tượng tương tự có thể được tiếp cận từ điểm đối diện của bài đánh giá. Một đồng
cấu ψ của đồng cấu B có thể thỉnh thoảng được mở rộng từ một đồng cấu ϕ của một
số siêu nửa nhóm U, có nghĩa là ψ bị bao gồm bởi đồng cấu ϕ. Tuy nhiên, như chúng ta
sẽ chỉ ra ở phía dưới bằng một ví dụ đơn giản, điều này luôn luôn là không thể.
Để phù hợp với những điều nói ở trên, cũng có thể có trường hợp khi mà đồng cấu ψ
phần mở rộng cơ bản là khác biệt. Điều quan tâm của chúng ta là vấn đề nằm ở mối
quan hệ giữa tính chất của ϕ và ψ. Ví dụ, hiển nhiên rằng nếu ϕ là một đồng cấu thì ψ
cũng vậy. Tuy nhiên kết luận tính khả nghịch là khơng đúng trong một số trường hợp,
bởi đẳng cấu của một nửa nhóm thường được mở rộng đến một số nhóm con là đồng
cấu, không phải là đẳng cấu.
2. Giả sử rằng đồng cấu ϕ1 và ϕ2 của nửa nhóm con B của nửa nhóm U về cơ bản là
khác biệt và đồng cấu ϕ1 là mở rộng của đồng cấu ψ1 trên nửa nhóm U. Thì đồng cấu
ϕ2 cũng được thừa nhận một mở rộng đến một đồng cấu của U. Do đó, trong nửa nhóm
ψ1 (U), chúng ta thay thế tất cả các phần tử xuất hiện trong ψ1 (B) = ϕ1 (B) bằng phần
tử tương ứng trong ϕ2 (B) ( ϕ1 (B) và ϕ2 (B) là đẳng cấu). Chúng ta thu được một nửa
0

nhóm mới U , các phần tử của tập này bao gồm của ϕ2 (B) và của ψ1 (U)\ψ1 (B). Định
0

nghĩa ánh xạ ψ2 của nửa nhóm U vào nửa nhóm U bằng cách đặt ψ2 (B) = ϕ2 (B) với
B ∈ B và ψ2 (X) = ψ1 (X) với X ∈ U\B. Hiển nhiên ψ2 là một đồng cấu. Đồng cấu này
của nửa nhóm U là mở rộng của đồng cấu ϕ2 của nửa nhóm con của nó là B.

3.Một ví dụ đơn giản của việc mở rộng là đưa bởi nửa nhóm lớn nhất D của nửa nhóm
U bao gồm tất cả các tập con của nửa nhóm U. Rõ ràng mỗi đồng cấu ψ của nửa nhóm
U có thể được mở rộng bởi đồng cấu ϕ của nửa nhóm lớn nhất D. Cuối cùng, như ϕ(D)
chúng ta chọn nửa nhóm của tất cả các tập con của nửa nhóm ψ(U) và cho Nb ∈ D, ở
đó N = A, B, .... ⊂ U, chúng ta đặt ϕ(N) = {ϕ(A), ϕ(B), ....} ⊂ ϕ(U).
Chúng ta có thể lấy một ví dụ là khơng thể mở rộng một đồng cấu là nửa nhóm đơn vơ
hạn U1 = [A1 ] với ánh xạ ϕ vào một nửa nhóm đơn vơ hạn bất kì U2 = [A2 ],
ϕ(Ak1 ) = Ak2

(k = 1, 2, 3, ......),

dễ dàng nhìn thấy nó là một đồng cấu. Nếu U2 khơng là một nhóm, ϕ khơng thể mở
rộng đến nhóm tuần hồn vơ hạn U3 = [A1 , A−1
1 ], một nửa nhóm lớn nhất của nửa nhóm
U1 . Từ thực tế rằng mọi ảnh đồng cấu của một nhóm phải chính là một nhóm, trong
khi một nửa nhóm đơn vơ hạn khơng thể là một nhóm, và rõ ràng khơng phải là một
nửa nhóm con của bất kì nhóm nào.


12

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

4. Vẫn chưa có nghiên cứu chung về vấn đề mở rộng của các đồng cấu. Chúng ta sẽ xem
xét hai trường hợp đặc biệt bởi L.M.Gluskin.
Giả sử U là một nửa nhóm tuần hồn và OI là một nhóm con lớn nhất của nó với đơn
vị I. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bất kì đồng cấu ϕ của của nhóm OI mở rộng đến một đồng
cấu của U.
Định nghĩa R là tập hợp những phần tử K của OI sao cho ϕ(K) = ϕ(I). R là một
chuẩn phức của nhóm OI tương ứng với đồng cấu ϕ. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng R là một

chuẩn phức của nửa nhóm U. Giả sử rằng cho K1 , K2 ∈ R và X,Y là phần tử của U hoặc
kí hiệu rỗng,
XK1 Y = K2
và K3 là một phần tử bất kì của R. Ta định nghĩa K2−1 là phần tử khả nghịch của K2
quan hệ đến I trong OI . Chúng ta có
XI.K1 Y K2−1 = X.K1 Y K2−1 = K2 K2−1 = I, XI.I = I
Vì thế, XI ∈ OI . Phân tích tương tự chúng ta cũng có Y I ∈ OI . Do đó
XK3 Y = XI.K3 .IY ∈ OI
và
ϕ(XK3 Y ) = ϕ(XI).ϕ(K3 ).ϕ(IY ) = ϕ(XI).ϕ(K1 ).ϕ(IY )
= ϕ(XIK1 IY ) = ϕ(XK1 Y ) = ϕ(K2 ) = ϕ(I),
vì vậy XK3 Y ∈ R.
Chứng tỏ rằng ψ là một đồng cấu của nửa nhóm U và nó cũng là ước chung lớn nhất
của những đồng cấu khác mà R là ảnh truoqcs hoàn taonf của một số phần tử. Đồng
0

cấu ψ tạo ra trong OI một đồng cấu ψ . Đồng cấu ψ và ψ

0

Một tương đẳng trên một nửa nhóm S là một quan hệ tương đương C trên S nó
thoả mãn các điều kiện tương đương trong định lý 1.1.12. Kết quả trong nửa nhóm S/C
là thương của S bởi C.Một tương đẳng trái là một quan hệ tương đương C mà đúng với
phép nhân bên trái (a C b bao hàm xa C xb ) và tương đẳng bên phải là một quan hệ
tương đương C mà nó đúng với phép nhân bên phải (a C b bao hàm ax C bx )
Định lí 1.1.27. Khi ϕ : S → T là một đồng cấu nửa nhóm thì :
1. im ϕ = ϕ(S) là một nửa nhóm con của T;
2. ker ϕ là một tương đẳng trên S;
3. Có một song ánh S/ker ϕ → im ϕ cảm sinh bởi ϕ là một đẳng cấu;

1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

13

4. ϕ là cấu trúc của phép chiếu S → S/ker ϕ, đẳng cấu S/ker ϕ → im ϕ và cảm sinh
một đồng cấu im ϕ → T .
ϕ

→

S

Định lí 1.1.28.

T

↓

↑

S/kerϕ →

im ϕ

Khi ϕ : S → T là một đơn cấu , một đồng cấu ψ : U → T thông

qua cấu trúc ϕ(ψ = ϕ ◦ ξ với ξ : U → S ). Nếu và chỉ nếu im ψ ⊆ im ϕ thì cấu trúc ψ
là duy nhất thơng qua ϕ (ξ cũng duy nhất).
ϕ

S →T
ξ

- ↑ψ
U

Định lí 1.1.29.

Khi ϕ : S → T là một toàn cấu, một đồng cấu ψ : S → U thông qua

ánh xạ ϕ(ψ = ξ ◦ ϕ với một số ξ : T → U ). Nếu và chỉ nếu ker ϕ ⊆ ker ψ thì ψ là ánh
xạ duy nhất thơng qua ϕ (ξcũng là duy nhất)
ϕ

S→ T
ψ

& ↓ξ
U

Định lí 1.1.30.

Lấy ϕ : S → T là một toàn cấu của nửa nhóm. Khi C là một tương

đẳng trên T, định nghĩa ϕ−1 (C) bởi x ϕ−1 (C) y ⇔ ϕx C ϕy, thì ϕ−1 (C) là một tương
đẳng trên S mà chứa kerϕ. Định nghĩa này là tương đương một - một giữa tương đẳng
trên S mà chứa kerϕ và tương đẳng trên T.
Lấy A là một nửa nhóm và B là một nửa nhóm giao hốn. Một đặc trưng tổng quát
là một đồng cấu từ A lên nửa nhóm giao hốn B.

Lấy A là một nửa nhóm và B là một nửa nhóm giao hốn, φ là một tập tất cả các
đặc trưng tổng quát từ A tới B, P là một thuộc tính được định nghĩa trên tất cả tập
con của A, tất cả các tập con δ(A) của A của δ(A) dưới đặc trưng từ φ.
Định nghĩa 1.1.31. Một nửa nhóm A được gọi là xấp xỉ bởi đặc trưng tổng quát đối
với một tính chất P, nếu cho một cặp tập con A1 , A2 từ A sao cho P (A1 , A2 ) là sai, khi
đó tồn tại một đặc trưng tổng quát ϕ sao cho P (ϕ(A1 ), ϕ(A2 )) cũng sai.
Định nghĩa 1.1.32. Một phần tử B của nửa nhóm S được gọi là số chia phải của phần
tử A trong nửa nhóm S nếu tồn tại trong S một phần tử X sao cho XB = A.


14

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phần tử B được gọi là số chia trái của A nếu tồn tại trong S một phần tử Y sao cho
A = BY .
Nếu B là một số chia phải ( trái) của A, chúng ta nói rằng A là số chia hết cho B nếu
A là số chia hết cho B ở cả hai bên.
Định nghĩa 1.1.33. Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng , nếu e.e
= e. Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S là nửa nhóm các luỹ
đẳng, hay một băng.
Ví dụ 1.1.34. Phép chiếu chính tắc là một luỹ đẳng.
Ví dụ 1.1.35. Tập các ma trận đơn vị gọi là một băng.
Ví dụ 1.1.36. Phần tử đơn vị và phần tử khơng một phía là các luỹ đẳng.
Định nghĩa 1.1.37. Ideal trái [phải]của phỏng nhóm S được định nghĩa là một tập con
khác rỗng A của S , mà SA ⊆ A [AS ⊆ A]. Ideal hai phía hay tắt là iđean nếu nó vừa
là iđean trái vừa là iđean phải.
Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm S, thì giao của tất cả các iđean trái
của S chứa A là ideal trái chứa A và được chưas trong mọi ideal trái tuỳ ý khác có tính
chất đó. Ta gọi nó là ideal trái của phỏng nhóm S sinh bởi A. Nếu A gồm một phần tử

a , thì ta gọi L(a) = a ∪ Sa = S 1 a, R(a) = a ∪ aS = aS 1 và J(a) = S 1 aS1 tương ứng là
các ideal chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm S sinh bởi a.
Định nghĩa 1.1.38. Phỏng nhóm S gọi là đơn trái [ phải ] nếu S là iđean trái [ phải ]
duy nhất của nó. Phỏng nhóm S được gọi là đơn nếu nó khơng chứa iđean thực sự.
Định nghĩa 1.1.39. Một quan hệ ” ≤ ” trên một tập X được gọi là thứ tự bộ phận của
X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Tập sắp thứ tự bộ phận X
được gọi là nửa dàn trên [ dưới ] nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của tập X có
hợp [ giao ] trong X. Một dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận , đồng thời là nửa dàn trên
và nửa dàn dưới.
Dàn X được gọi là đầy đủ , nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao.
Định nghĩa 1.1.40. Phần tử a thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính qui, nếu
a ∈ aSa hay axa = a với x nào đó thuộc S. Nửa nhóm S là chính quy nếu mỗi phần tử
của nó là chính qui.


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHĨM

15

Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau nếu aba = a và
bab = b.
Định nghĩa 1.1.41. Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần
tử nghịch đảo duy nhất.
Định nghĩa 1.1.42. Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại của
nửa nhóm S nếu nó khơng được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của S.
Ví dụ 1.1.43. He là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe và He là nhóm
con tối đại của nửa nhóm S.
Định nghĩa 1.1.44. Một nửa nhóm S được gọi là tuần hồn nếu mỗi phần tử của nó
có cấp hữu hạn. Nói riêng, mỗi nửa nhóm hữu hạn là tuần hồn.
Định nghĩa 1.1.45. Ta nói hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là L–tương đương nếu

chúng sinh ra cùng một ideal chính trái của S. Tính R – tương đương được định nghĩa
một cách đối ngẫu. Ta kí hiệu hợp của các quan hệ tương đương L và R là D , còn giao
của chúng là H.
Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt aLb khi và chỉ khi a
và b sinh ta cùng một ideal chính trái của S. Hay nói khác đi, L là một tập con của SxS
gồm tất cả các cặp (a,b) sao cho a ∪ Sa = b ∪ Sb hay S 1 a = S 1 b. Trong đó S 1 trùng với
S nếu như S chứa đơn vị, cịn trong trường hợp S khơng chứa đơn vị thì ta ghép thêm
đơn vị 1. Rõ ràng L là một quan hệ tương đương và nó cịn là một tương đẳng phải.Nếu
aLb thì ta nói a và bL - tương đương.
Ta kí hiệu La là tập tất cả các phần tử thuộc S mà L− tương đương với a, hay La là
lớp tương đương theo mod L chứa a, ta gọi nó là L− lớp chứa a.
Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu, bằng cách đặt aRb khi và chỉ khi
aS1 = bS1 . Chú ý rằng R là tương đẳng trái trên S.
Ta kí hiệu Ra là lớp tương đương của S theo mod R chứa a, hay ta còn gọi là R−
lớp chứa a.
D− lớp của S chứa phần tử a sẽ được kí hiệu bởi Da . Trên nửa nhóm S ta xác định
quan hệ J bằng cách đặt aJ b khi và chỉ khi S 1 aS1 = S 1 bS1 , tức là các phần tử a và
bJ− tương đương khi và chỉ khi chúng sinh ra cùng một iđean chính hai phía.
Ta kí hiệu Ja là tập tất cả các phần tử sinh ra iđean S 1 aS1 , tức là J− chứa a. Ta
cũng kí hiệu H− lớp chứa a là Ha . Rõ ràng Ha = Ra ∩ La .


16

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Định nghĩa 1.1.46. Một nửa nhóm con F của nửa nhóm con A được gọi là filter của
A nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F
Ví dụ 1.1.47. (Z ∗ , .) là một filter của (Z, .)

1.1.6

Ideals cô lập

Định nghĩa 1.1.48. Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm U được gọi là cơ lập nếu
và chỉ nếu với một X ∈ U và với số tự nhiên n bất kì, thì ln ln có từ X n ∈ B suy
ra được X ∈ B. Nếu B là một ideal thì ta nói B là ideal cơ lập.
Ví dụ 1.1.49. Tập các số tự nhiên chẵn khác không là một ideal cô lập của N.
Định nghĩa 1.1.50. Ideal B được gọi là Ideal cơ lập hồn tồn nếu với mọi X, Y ∈ U,
XY ∈ B thì suy ra X ∈ B và Y ∈ B.
Các tính chất của Ideals cô lập ta sẽ chỉ ra dưới đây.
1. Một nửa nhóm con cơ lập hồn tồn của một nửa nhóm U là cơ lập.
Chứng minh :
Giả sử B là một nửa nhóm con cơ lập hồn tồn của nửa nhóm U. Ta sẽ chứng minh B
là một nửa nhóm con cơ lập. Thật vậy :
∀X n , Y n ∈ U và X n Y n ∈ B ta suy ra X n ∈ B và Y n ∈ B. Từ X n = X n−1 .X ∈ B suy
ra X ∈ B. Vậy B là một nửa nhóm con cơ lập.
2. U chính là một nửa nhóm con cơ lập hồn tồn của chính nó.
Chứng minh:
Điều này là hiển nhiên.
3. Một nửa nhóm con Bsẽ là cơ lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu U\B hoặc là một nửa
nhóm con hoặc là tập rỗng.
Chứng minh:
(⇒) : N uBlclphontonthU\B sẽ là một nhóm con. Thật vậy, lấy
4. Giao của bất kì các nửa nhóm con cơ lập là một nửa nhóm con cơ lập nếu các nửa
nhóm con không rỗng.
Chứng minh :
Giả sử A = ∩ Bi ( Với Bi là các nửa nhóm con cơ lập của U và Bi 6= ∅).
i

Lây X n ∈ A ⇒ X n ∈ ∩ Bi ⇒ X n ∈ B1 . Vì B1 là một nửa nhóm con cơ lập nên ta suy
i


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

17



X ∈ B2



 X∈B
3
⇒ X ∈ ∩ Bi ⇒ X ∈ A. Vậy giao của các nửa
ra X ∈ B1 . Tương tự ta có
i

....




X ∈ Bi
nhóm con cơ lập là một nửa nhóm con cơ lập.
5. Hợp của bất kì các ideal trái cô lập là một ideal trái cô lập.
Chưng minh:
Giả sử Bi là các ideal trái cô lập của U ⇒ UBi ⊆ Bi và X n ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi .

Ta sẽ chứng minh X n ∈ ∪ Bi ⇒ X ∈ ∪ Bi và ∪ UBi ⊆ ∪ Bi .
i

i

i

i

Thật vậy:
Từ X n ∈ B1 ; X n ∈ B2 ; .....; X n ∈ Bi ta suy ra X n ∈ ∪ Bi và từ X n ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi nên
i

ta suy ra X ∈ ∪ Bi .
i

Bây giờ ta đi chứng minh điều thứ 2.
Lấy X ∈ ∪ UBi suy ra :
i

Nếu X ∈ UB1 thì suy ra X ∈ B1 .
Nếu X ∈ UB2 thì suy ra X ∈ B2 .
Vậy nếu X ∈ UBi nào đó thì suy ra X ∈ Bi nào đó.
Nên X ∈ ∪ UBi thì suy ra X ∈ ∪ Bi . Vậy ∪ UBi ⊆ ∪ Bi . Suy ra điều phải chứng minh.
i

i

i

i

6. Hợp của bất kì của ideal trái cơ lập hồn tồn là một ideal trái cơ lập hồn tồn.
Chứng minh : Ta vừa chứng minh ở trên hợp của các ideal trái cô lập là một ideal trái
cô lập. Bây giờ ta sẽ chứng minh tính hồn tồn của nó.
Ta sẽ chứng minh
X.Y ∈ ∪ Bi ⇒
i


 X ∈ ∪ Bi
i

 Y ∈ ∪ Bi
i

Thật vậy, vì X.Y ∈ ∪ Bi nên ta có
i



X.Y ∈ B1 ⇒ X ∈ B1 , Y ∈ B1

 X.Y ∈ B2 ⇒ X ∈ B2 , Y ∈ B2

 ....

X.Y ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi , Y ∈ Bi
( vì Bi là cơ lập hồn tồn) Từ đó ta suy ra X ∈ ∪ Bi , Y ∈ ∪ Bi ( đpcm)
i

i


18

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
7. Để một ideal B là cơ lập, thì điều kiện đủ là với mọi X ∈ U, thì từ X 2 ∈ B suy

ra X ∈ B. Chứng minh:
Giả sử B không phải là cơ lập. Điều này có nghĩa là cho một số phần tử X ∈ U\B là
đúng thì X n ∈ B.
Lấy một phần tử X từ U\B và một số tự nhiên n sao cho cách chon n là nhỏ nhất của
tất cả những số có thể chọn cùng tính chất ( cho bất kì X ∈ U\B). Số n khơng thể là
chẵn và khác số 2, nếu khơng thì
(X n/2 )2 ∈ B
và cả hai trường hợp có thể xảy ra
1, X n/2 ∈ B;

2, X n/2 = Y ∈B;

Y2 ∈B

mâu thuẫn với cách chọn giá trị nhỏ nhất của n.
Số n cũng không thể là lẻ ( dĩ nhiên n 6= 1), nếu khơng thì
X n+1 ∈ B
(mà theo như X n+1 = X n .X = X.X n , X n ∈ B, trong khi B ideal trái hoặc phải), và
cũng có hai trường hợp có thể xảy ra
(1)X (n+1)/2 ∈ B;

X (n+1)/2 = Y ∈ B,

Y2 ∈B

cũng mâ thuẫn với giá trị nhỏ nhất của n. Do đó, n = 2 cho một ideal khơng cơ lập thì
có nhất thiết tồn tại một phần tử X ∈ U/B sao cho
X2 ∈ B
8. Nếu B là một ideal hai phía cơ lập của một nửa nhóm U mà U cũng là một ideal
0

hai phía của một trong những nhóm cực tiểu U , thì B cũng là ideal hai phía của nửa
0

nhóm U .
0

Chứng minh: Thật vậy, cho bất kì X ∈ U và B ∈ B thì tích XB ∈ U khi B ⊂ U,
0

và U là ideal hai phía của U . Chúng ta giả sử rằng XB ∈ B. Khi B là cô lập trong U,
chúng ta cũng có (XB)2 ∈ B. Tuy nhiên, điều này khơng thể xảy ra vì
(XB)2 = XBX. B ∈ (XBX). B ∈ B
Chúng ta cũng chỉ ra được rằng BX ∈ B cũng là điều không thể xảy ra. Do đó, B phải
0

là một ideal hai phía của U . ĐIều phải chứng minh.


1.1. LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT NỬA NHÓM

19

Định nghĩa 1.1.51. Một phần tử A được gọi là chính qui hồn tồn nếu chúng ta tìm
được trong nửa nhóm U một phần tử X sao cho
AXA = A
hay
AX = XA
.
Định nghĩa 1.1.52. Một nửa nhóm chính quy hồn tồn nếu tất cả các phần tử của nó
là chính qui hồn tồn.
Ví dụ 1.1.53. Tập các số nguyên Z với phép toán cộng là một nửa nhóm chính qui hồn
tồn.
Một nửa nhóm là nửa nhóm chính qui hồn tồn nếu nó là một nhóm.
Định nghĩa 1.1.54. Ideal đơn là

L, L