liên quan đến lý thuyết nửa nhóm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÙI THỊ KHUYÊN

XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎ NHẤT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÙI THỊ KHUYÊN

XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎ NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. Đặng Văn Vinh

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. Đặng Văn Vinh
Cán bộ chấm nhận xét 1 :
Cán bộ chấm nhận xét 2 :
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày
tháng
năm
.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS. TS NGUYỄN ĐÌNH HUY
2. Thư ký:
3. Phản biện 1:
4. Phản biện 2:
5. Ủy viên:
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

PGS. TS HUỲNH QUANG LINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Mã số học viên: 1570759

Họ tên học viên: BÙI THỊ KHUYÊN
Ngày, tháng, năm sinh: 28/22/1989
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Nơi sinh: Nam Định
Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎ NHẤT

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Kiến thức cơ sở.
- Xấp xỉ nửa nhóm bởi các đồng cấu tương ứng với các mệnh đề khác
nhau.
- Vấn đề tìm ra nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03/12/2017
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. ĐẶNG VĂN VINH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

TS. ĐẶNG VĂN VINH

Tp. HCM, Ngày........... tháng........ năm..........
CÁN BỘ QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS HUỲNH QUANG LINH


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy
hướng dẫn TS. Đặng Văn Vinh – Trường Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí
Minh, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, người đã luôn tận tụy, nhiệt
tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức và
tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,
khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí
Minh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện
tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán Ứng
Dụng khóa 2015, 2016 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
và quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người
đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt
thời gian học tập.

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để
bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Bùi Thị Khuyên

i


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Các khái niệm cơ bản liên quan đến lý thuyết nửa nhóm .
2. Các khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến đồng cấu nửa nhóm.
3. Các khái niệm, tính chất liên quan đến xấp xĩ nửa nhóm, nửa nhóm
nhỏ nhất.
4. Xấp xĩ nửa nhóm tương ứng với các mệnh đề "bằng nhau"," phần
tử thuộc nửa nhóm con", " các quan hệ Green", " phần tử thuộc nhóm
con tối đại" .
5. Nửa nhóm nhỏ nhất tương ứng với các mệnh đề " bằng nhau", "
phần tử thuộc nửa nhóm con", " phần tử thuộc nhóm con tối đại".
Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi trong luận văn này là sử dụng
các phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu nửa nhóm
trên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửa nhóm hay
phân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Acsimét.
Kết quả chúng tôi thu được là đưa ra được điều kiện cần và đủ để xấp
xỉ các lớp nửa nhóm quan trọng tương ứng với các mệnh đề khác nhau.

ABSTRACT

In this thesis we consider the following problems:
1. Basic concepts of semigroup.
2.Homomorphisms of semigroups (definitions, properties, theorems, lemmas, corollaries,...).
3. Basic concept of approximation of semigroup by homomorphisms
with respect to many predicates and the problem of finding minimal
semigroup approximation for a given class of semigroups.
4.Approximation of semigroup with respect to predicates.
5.Finding a minimal semigroup of approximation with respect to above
ii


predicates.
Some methods of modern algebra are used in the Thesis such as a method
of expanding a homomorphism of a subsemigroup to a homomorphism of
the whole semigroup; a method of embedding a semigroup into a semigroup of archimedean components,...
We have found necessary and sufficient conditions for approximation of
semigroups with respect to some predicates such as : " equality of two
elements", "belonging of an element in a subsemigroup", "Green L-,R,H-,D-equivalency", we have created a minimal semigroup approximation
for some classes of semigrpups with respect to predicate of "belonging of
an element in a subgroup".

iii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là bùi Thị Khuyên, mã học viên: 1570759, học viên cao học
chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ
Chí Minh khóa 2015 - 2017. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết
quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các
công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự

hướng dẫn của TS. Đặng Văn Vinh và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm
tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 12 năm 2017
Học viên thực hiện

Bùi Thị Khuyên

iv


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết xấp xĩ các cấu trúc đại số lần đầu được phát biểu trong
công trình nghiên cứu của viện sỹ hàn lâm khoa học Nga A.I. Mal’cev
[1]. Cuốn sách [1] xuất bản năm 1976 tập hợp các công trình nghiên cứu
của ông tuy nhiên bài báo về xấp xĩ các cấu trúc đại số của ông ‘ About
homomorphisms on finite group’ Uchevnui Zapics Ivanovskogo Institute,
Tom 18, pages 49-60 được đăng năm 1958. Trong công trình này ông chỉ
ra mối liên hệ giữa xấp xĩ hữu hạn một cấu trúc đại số tương ứng với một
mệnh đề và bài toán giải được của mệnh đề này trong một hệ thống. Đây
có thể coi là ý tưởng và ví dụ đầu tiên về việc ứng dụng lý thuyết xấp xĩ
các cấu trúc đại số. Hướng phát triển các ứng dụng rất thiết thực nhưng
ít được quan tâm nghiên cứu ngoại trừ Giáo sư S.I. Kublanovski.có bài
báo “Finite approximation and algorithmic problems”, Modern algebra,
LGU, 1983, pages 59 -78 và Kostưrev I.I. About algorithmic solvabilities
of problems of recognition of predicates” Vesnit Saint Peterburg University, 2010, pages 45 – 50. Lý thuyết nửa nhóm rất trừu tượng và tồn tại
một khoảng cách khá xa từ lý thuyết đến ứng dụng lý thuyết này vào
các bài toán thực tiễn nên việc ứng dụng vẫn còn bỏ ngõ. Vấn đề xấp
xĩ nửa nhóm được Giáo sư Lesokhin M.M và các học trò của ông nghiên
cứu tích cực trong khoảng thời gian dài từ 1960 đến nay. Tổng cộng có

khoảng trên 30 luận văn tiến sỹ được bảo vệ thành công và hàng trăm
bài báo được đăng theo hướng nghiên cứu này. Các bài báo chủ yếu được
viết bằng tiếng Nga và đăng trên các tạp chí chuyên ngành của Nga và
Liên bang Xô Viết. Có một số bài được đăng trên tạp chí nổi tiếng nhất
của lý thuyết nửa nhóm là Semigroup Forum:
1/ Lesokhin M.M., Popyrin A. V, Bicharacters of semigroups, Semigroup

v


forum 35, 1986, pages 253 – 264;
2/ Lesokhin M.M., Rasulov N.J. Two results on real continuous bicharacters. Semigroup Fo-rum 43, 1991, pages 123 – 126.
3/ Hall T.E, Kublanovskii S.I, Margolis S, Sapir M.V. The partially ordered set of all J-classes of a finite semigroups, Semigroup Forum 6(3),
1973, pages 263 – 264.
Vì thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụng trong
tương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎ
NHẤT" cho luận văn của mình.
Mục đích nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tìm điều kiện cần
và đủ để xấp xỉ các lớp nửa nhóm quan trọng tương ứng với các mệnh
đề khác nhau. Qua đó xây dựng tìm ra được xấp xỉ nửa nhóm nhỏ nhất
tướng ứng với các mệnh đề khác nhau.
Đối tượng nghiên cứu:
Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm,
đồng cấu nửa nhóm, các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm.
Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu
nửa nhóm trên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửa
nhóm; phân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Acsimét.
- Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tài

liệu tham khảo.
Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:
Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba
chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quan
trọng của lý thuyết nửa nhóm có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề
vi


tài.
Chương 2: Tìm các điều kiện cần và đủ để một nửa nhóm xấp xĩ
được vào một nửa nhóm cho trước tương ứng với các mệnh đề quan trọng
trong lý thuyết nửa nhóm như mệnh đề: "sự bằng nhau của hai phần
tử", "phần tử thuộc nửa nhóm con", "phần tử thuộc nhóm con cực đại",
"tính chia hết của hai phần tử", "hai phần tử nằm trong các quan hệ
Grin tương đương",....
Chương 3: Tìm nửa nhóm xấp xĩ nhỏ nhất của một lớp nửa nhóm
cho trước tương ứng với các mệnh đề ở phần 2

vii


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

iv

LỜI MỞ ĐẦU

vii

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1 Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Định nghĩa đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3 Ideal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Lớp các nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1 Nửa nhóm giao hoán, tách được . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2 Nửa nhóm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3 Nửa nhóm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.4 Nửa nhóm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.5 Nửa nhóm tuần hoàn

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.6 Nửa nhóm là hợp của các nhóm . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.7 Mở rộng của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.8 Các đặc của một nửa nhóm giao hoán . . . . . . . . .

20

1.2.9 Quan hệ Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3 Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1 Tính chất của tích các đồng cấu . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.2 Đồng cấu nửa nhóm ngược . . . . . . . . . . . . . . .

28

viii


1.3.3 Một số định lý đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 2. XẤP XỈ NỬA NHÓM ỨNG VỚI CÁC MỆNH
ĐỀ KHÁC NHAU

30

2.1 Xấp xĩ nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.1 Xấp xỉ nửa nhóm tương ứng với mệnh đề" bằng nhau"

33

2.1.2 Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề "các quan hệ Green" 36
2.1.3 Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề" phần tử thuộc nửa
nhóm con" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. NỬA NHÓM XẤP XĨ NHỎ NHẤT
3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
41
41

3.2 Nửa nhóm nhỏ nhất ứng mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con" 42
KẾT LUẬN

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

ix


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1

Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm
Các định nghĩa cơ bản

Ta gọi một phép toán hai ngôi trên tập S là một ánh xạ từ S × S vào S,
trong đó S × S là tập tất cả các cặp có thứ tự các phần tử thuộc S. Nếu ánh
xạ đó được kí hiệu bởi dấu chấm (.) thì ảnh trong S của phần tử (a, b) ∈ S × S
được kí hiệu bởi a.b. Thường ta bỏ dấu chấm đó và viết đơn giản là ab. Để kí
hiệu các phép toán hai ngôi ta cũng dùng các dấu +, ◦, ∗.
Ta gọi một phỏng nhóm là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và một
phép toán hai ngôi (.) trên nó. Thường ta viết S thay cho S(.), nếu điều đó
không dẫn tới sự hiểu lầm nào.
Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khác
rỗng của tập S × S vào S. Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thống S(.) gồm
một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó.
Phép toán hai ngôi (.) trên S gọi là kết hợp nếu a.(b.c) = (a.b).c, ∀a, b, c ∈ S .
Định nghĩa 1.1.1. Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(.), trong đó phép toán (.)
có tính kết hợp.

Ví dụ 1.1.1. Tập ( N; +) và (N ; .) là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.2. Tập các phép chiếu chính tắc là một nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.3. Trong tập các số nguyên dương N ta xét phép toán sau :x∗ y =
Bùi Thị Khuyên

1


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

xy , ∀x, y ∈ N thì khi đó phỏng nhóm (N, ∗) không phải là một nửa nhóm vì phép

toán (*) không có tính kết hợp.
Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ X vào chính nó. Ta sẽ kí hiệu
ảnh của phần tử x ∈ X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ α là αx .
Tích ( hay hợp thành) của hai phép biến đổi α và β của tập X là phép biến đổi
αβ định nghĩa như sau: (αβ)x = (αx)β với mọi x ∈ X . Luật kết hợp α(βγ) =
(αβ)γ thoả mãn, vì với mỗi x ∈ X :
(α(βγ))(x) = (αβ)γ(x) = ((αx)β)γ = (αx)(βγ) = (α(βγ))x.

Do đó tập gx tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép
hợp thành. Ta gọi gx là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.
Tập con T khác rỗng của một phỏng nhóm S được gọi là phỏng nhóm con của
S, nếu từ a ∈ T ; b ∈ T ⇒ a.b ∈ T .
Giao của một họ tuỳ ý của các phỏng nhóm con hoặc là rỗng hoặc là một
phỏng nhóm con.
Nếu S là nửa nhóm thì mọi phỏng nhóm con tuỳ ý của S cũng là nửa nhóm,
và ta sẽ dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con.

Ví dụ 1.1.4. Tập các số tự nhiên chẵn cùng với phép toán cộng hoặc nhân
thông thường là một nửa nhóm con của nửa nhóm tự nhiên N.
Tập các số tự nhiên lẻ cùng với phép toán cộng không là một nửa nhóm con
của S.
Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lượng |S| của tập S được gọi là cấp của S. Ta
nói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi x,
y tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [ x.a = y.a ] kéo theo x = y .Phỏng nhóm S
được gọi là phỏng nhóm với luật giản ước trái [phải], nếu mỗi phần tử thuộc S
giản ước trái [phải] được. Ta nói phỏng nhóm S với luật giản ước, nếu S vừa là
phỏng nhóm với luật giản ước trái, vừa là phỏng nhóm với luật giản ước phải.

Bùi Thị Khuyên

2


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Định nghĩa 1.1.2. Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái
[phải], nếu ea = a [ ae = a] với mọi a ∈ S . Phần tử e thuộc phỏng nhóm S
được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Ví dụ 1.1.5. Ma trận đơn vị là một đơn vị của tập các ma trận đối với các
phép toán thông thường.
Định nghĩa 1.1.3. Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không
bên trái [phải] nếu za = z [ az = z ] với mọi a ∈ S . Phần tử z được gọi là phần
tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải
của S.
Định nghĩa 1.1.4. Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm

với phép nhân không, nếu ab = 0, ∀a, b ∈ S .
Định nghĩa 1.1.5. Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng,
nếu e.e = e. Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S là
nửa nhóm các luỹ đẳng, hay một băng.
Ví dụ 1.1.6. Phép chiếu chính tắc là một luỹ đẳng.
Ví dụ 1.1.7. Tập các ma trận đơn vị gọi là một băng.
Ví dụ 1.1.8. Phần tử đơn vị và phần tử không một phía là các luỹ đẳng.
Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và không thuộc S. Khi đó
ta mở rộng phép toán hai ngôi trên tập S lên tập hợp S ∪ 1 bằng cách đặt 1.1
= 1 và 1a = a1 = a với mọi a ∈ S . Dễ thấy S ∪ 1 là một nửa nhóm với phần tử
đơn vị là 1. Tương tự ta có thể ghép phần tử không vào S, bằng cách đặt 00
= 0a = a0 = 0 với mọi a ∈ S . Và ta kí hiệu : S 1 là S nếu như S có đơn vị, còn
là S ∪ 1 trong những trường hợp trái lại; tương tự S 0 cũng vậy, là S nếu như S
có phần tử không và |S| > 1, còn S ∪ 0 trong trường hợp trái lại.
Nhóm là một nửa nhóm G, chứa một phần tử đơn vị trái e, sao cho với mỗi
phần tử tuỳ ý a ∈ G tồn tại y ∈ G mà ya = e. Phần tử y thoả mãn phương
Bùi Thị Khuyên

3


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

trình ya = e, được gọi là phần tử nghịch đảo bên trái của a đối với e. Ta cũng
chứng minh được rằng phần tử nghịch đảo bên trái cũng là phần tử nghịch đảo
bên phải của a và được kí hiệu là a−1 .
Ta gọi hai mệnh đề hoặc hai khái niệm là đối ngẫu, nếu một trong chúng thu
được từ cái kia bằng cách thay mỗi tích ab trong các phát biểu tương ứng bởi

ba.
Nếu A và B là các tập con của phỏng nhóm S, thì tích AB của tập A và tập B
được gọi là tập tất cả các phần tử dạng ab, trong đó a ∈ A, b ∈ B . Như vậy:
AB = ∪ {Ab|b ∈ B} = ∪ {aB|a ∈ A}

.
Định nghĩa 1.1.6. Một quan hệ ” ≤ ” trên một tập X được gọi là thứ tự bộ
phận của X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Tập sắp
thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên [ dưới ] nếu mỗi tập con gồm hai
phần tử {a, b} của tập X có hợp [ giao ] trong X. Một dàn là một tập sắp thứ
tự bộ phận , đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới.
Dàn X được gọi là đầy đủ , nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao.
Ví dụ 1.1.9. Giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của một phỏng nhóm
S kể cả tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của
lý thuyết tập. Vì giao của một tập tuỳ ý các phỏng nhóm con của S hoặc là
rỗng, hoặc là một phỏng nhóm con nên X là một dàn đầy đủ.
Ví dụ 1.1.10. Tập các iđêan trái [phải, hai phía] của phỏng nhóm S, kể cả
tập rỗng, đóng với phép toán hợp theo lý thuyết tập cũng như giao, nên là một
dàn con đầy đủ của đại số Bun tất cả các tập con của S.
Giả sử E là tập các phần tử luỹ đẳng của nửa nhóm S. Đặt e ≤ f (e, f ∈ E)
nếu ef = f e = e. Nếu e ≤ f thì ta nói e đứng trước f, và f đứng sau e. Ta sẽ
chứng tỏ rằng quan hệ ≤ đó là một thứ tự bộ phận trên E. Giả sử e, f, g ∈ E .
Bùi Thị Khuyên

4


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Thế thì :
(1) e2 = e và do đó e ≤ e.
(2) nếu e ≤ f và f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f, do đó e = f.
(3) nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = fe = e và fg = gf = f, từ đó :
eg = (ef)g = e(f g) = ef = e,
ge = g(f e) = (gf )e = f e = e.

Do đó e ≤ g . Ta gọi ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.
Định lý 1.1.1. Một băng giao hoán S là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ
phận tự nhiên S. Giao a ∧ b của hai phần tử a và b thuộc S trùng với tích ab
của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.
Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp cửa các
nửa nhóm con rời nhau Sα (α ∈ Ω)
Định nghĩa 1.1.7. Ta nói quan hệ ρ trên phỏng nhóm S là ổn định ( hoặc
tương thích, hoặc chính quy, hoặc thuần nhất) bên phải [ trái ] nếu aρb(a, b ∈ S)
kéo theo ac ρ bc [ca ρ ba] với mỗi c ∈ S . Một quan hệ tương đương ổn định bên
phải [ trái ] ta sẽ gọi là một tương đẳng bên phải [ trái] trên S. Tương đẳng
trên S là quan hệ tương đương vừa là tương đẳng bên trái , vừa là tương đẳng
bên phải.
1.1.2

Định nghĩa đồng cấu

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử S và S là các phỏng nhóm. Ánh xạ ϕ đi từ S vào
S được gọi là đồng cấu nếu ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) với mọi a, b ∈ S .

Ta sẽ nói ϕ(S) là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S và viết S ∼ ϕ(S). Nếu S
là nửa nhóm thì ϕ(S) cũng là nửa nhóm.
Đồng cấu một - một ϕ từ phỏng nhóm S vào phỏng nhóm S được gọi là đẳng

cấu từ S vào S . Trong trường hợp đó ta nói các phỏng nhóm S và ϕ(S) đẳng
cấu với nhau và viết S ∼
= ϕ(S).
Bùi Thị Khuyên

5


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Đồng cấu từ phỏng nhóm S vào chính nó gọi là tự đồng cấu, còn đẳng cấu từ
phỏng nhóm S lên chính nó được gọi là tự đẳng cấu.
Ví dụ 1.1.11. Cho X là một nửa nhóm. Khi đó ánh xạ đồng nhất:
IX : X → X

∀x ∈ X

IX (x) = x

là một tự đồng cấu nửa nhóm. Ngoài ra nó còn là một tự đẳng cấu nửa nhóm.
Ví dụ 1.1.12. Cho ánh xạ
f : (N, +) → (N, .)
n → 2n

là một tự đồng cấu nửa nhóm. Ngoài ra f là đơn ánh nên f là đơn cấu từ
(N, +) → (N, .).

Ví dụ 1.1.13. Cho A là một nửa nhóm con của X. Khi đó ánh xạ

jA : A → X, jA (x) = x ∀x ∈ A

là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X.
Ví dụ 1.1.14. Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm. Khi đó ánh xạ
f : X → Y, f (x) = 1Y ∀x ∈ X

là đồng cấu nửa nhóm. Nếu X là vị nhóm thì ánh xạ f : X → Y, f (x) = 1Y ∀x ∈
X là đồng cấu vị nhóm.
1.1.3

Ideal

Định nghĩa 1.1.9. Ideal trái [phải] của phỏng nhóm U được định nghĩa là một
tập con khác rỗng A của U, mà UA ⊆ A [AU ⊆ A]. Ideal hai phía hay gọi tắt là
iđean nếu nó vừa là iđean trái vừa là iđean phải.
Trong nửa nhóm giao hoán thì khái niệm ideal trái, ideal phải, ideal hai phía
là trùng nhau.
Bùi Thị Khuyên

6


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm U, thì giao của tất cả các iđean
trái của U chứa A là ideal trái chứa A và được chứa trong mọi ideal trái tuỳ
ý khác có tính chất đó. Ta gọi nó là ideal trái của phỏng nhóm U sinh bởi A.
Nếu A gồm một phần tử a , thì ta gọi L(a) = a ∪ Ua = U1 a, R(a) = a ∪ aU = aU1

và J(a) = U1 aU1 tương ứng là các ideal chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm
U sinh bởi a.
Lấy U là một nửa nhóm bất kì. Ta có một số tính chất cơ bản của ideal sau:
(α). U là một ideal hai phía của chính nó.
(β). Nếu U có một phần tử không 0U , thì 0U là một ideal hai phía của U.
(γ). Hợp của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó.
(δ). Giao của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó nếu giao không

rỗng.
(ε). Nếu B là một nửa nhóm con của U, I là một ideal trái của U và B ∩ I = ∅

thì B ∩ I là một ideal trái của B.
(ς). Nếu một phần tử X nằm trong một số ideal trái I của nửa nhóm U và Y

không thuộc I, thì X sẽ không chia hết bên phải cho Y.
Những tính chất trên cũng đúng đối với ideal phải.
Bây giờ ta sẽ xét tính chất cơ bản của ideal hai phía.
(α).Hợp của các ideal hai phía bất kì của nửa nhóm U là ideal hai phía của U.
(β). Tích của hai ideal hai phía của U là một ideal hai phía của U.
(γ). Giao của các ideal hai phía bất kì của U là một ideal hai phía của U nếu

giao không rỗng.
(δ). Giao của hai ideal hai phía của U là một ideal hai phía của U.
(ε). Một tập con của U bao gồm một phần tử X là một ideal hai phía của U

nếu và chỉ nếu X là phần tử không của U.
(ς). Nếu U có một phần tử 0U , thì 0U được chứa trong mọi ideal hai phía của

U.
(η). Nếu B là một nửa nhóm con của U và I là một ideal hai phía của U, thì

Bùi Thị Khuyên

7


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

giao B ∩ I nếu không rỗng thì cũng là một ideal hai phía của B.
(θ). Nếu I là một ideal hai phía của U, thì tập Y bao gồm tất cả các phần tử
U ∈ U sao cho
UU ⊂ I

là một ideal hai phía của U.
Định nghĩa 1.1.10. Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm U được gọi là
cô lập nếu và chỉ nếu với một phần tử X ∈ U và với số tự nhiên n bất kì, thì
luôn luôn có từ X n ∈ B suy ra được X ∈ B. Nếu B là một ideal thì ta nói B
là ideal cô lập.
Ví dụ 1.1.15. Tập các số tự nhiên chẵn khác không là một ideal cô lập của N.
Định nghĩa 1.1.11. Ideal B của nửa nhóm U được gọi là ideal cô lập hoàn
toàn, nếu từ XY ∈ U, suy ra X ∈ U hoặc Y ∈ U. Tập rỗng qui ước là một ideal
cô lập hoàn toàn.
Sau đây là các tính chất của ideal cô lập:
1. Một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của một nửa nhóm U là cô lập.
Chứng minh :
Giả sử B là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của nửa nhóm U. Ta sẽ chứng
minh B là một nửa nhóm con cô lập. Thật vậy :
∀X n , Y n ∈ U và X n Y n ∈ B ta suy ra X n ∈ B hoặc Y n ∈ B. Từ X n = X n−1 .X ∈

B suy ra X ∈ B. Vậy B là một nửa nhóm con cô lập.
2. U chính là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của chính nó.
3. Một nửa nhóm con B sẽ là cô lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu U\B hoặc là
một nửa nhóm con hoặc là tập rỗng.
4. Giao của bất kì các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập nếu
các nửa nhóm con không rỗng.
Chứng minh :
Giả sử A = ∩ Bi ( Với Bi là các nửa nhóm con cô lập của U và Bi = ∅).
i

Bùi Thị Khuyên

8


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Lây X n ∈ A ⇒ X n ∈ ∩ Bi ⇒ X n ∈ B1 . Vì B1 là một nửa nhóm con cô lập nên
i

ta suy ra X ∈ B
1.








Tương tự ta có








X ∈ B2
X ∈ B3

⇒ X ∈ ∩ Bi ⇒ X ∈ A.
i

....
X ∈ Bi

Vậy giao của các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập.
5. Hợp của các ideal trái cô lập bất kì là một ideal trái cô lập.
Chưng minh:
Giả sử Bi là các ideal trái cô lập của U ⇒ UBi ⊆ Bi và X n ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi .
Ta sẽ chứng minh X n ∈ ∪ Bi ⇒ X ∈ ∪ Bi và ∪ UBi ⊆ ∪ Bi .
i

i

i

i

Thật vậy:
Từ X n ∈ B1 ; X n ∈ B2 ; .....; X n ∈ Bi ta suy ra X n ∈ ∪ Bi và từ X n ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi
i

nên ta suy ra X ∈ ∪ Bi .
i

Bây giờ ta đi chứng minh điều thứ 2.
Lấy X ∈ ∪ UBi suy ra :
i

Nếu X ∈ UB1 thì suy ra X ∈ B1 .
Nếu X ∈ UB2 thì suy ra X ∈ B2 .
Vậy nếu X ∈ UBi nào đó thì suy ra X ∈ Bi nào đó.
Nên X ∈ ∪ UBi thì suy ra X ∈ ∪ Bi . Vậy ∪ UBi ⊆ ∪ Bi . Suy ra điều phải chứng
i

i

i

i

minh.
6. Hợp các ideal trái cô lập hoàn toàn bất kì là một ideal trái cô lập hoàn toàn.
Chứng minh : Ta vừa chứng minh ở trên hợp của các ideal trái cô lập là một
ideal trái cô lập. Bây giờ ta sẽ chứng minh tính hoàn toàn của nó.
Ta sẽ chứng minh

X.Y ∈ ∪ Bi ⇒
i



 X ∈ ∪ Bi
i


 Y ∈ ∪ Bi
i

Bùi Thị Khuyên

9


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Thật vậy, vì X.Y ∈ ∪ Bi nên ta có
i



X.Y ∈ B ⇒ X ∈ B , Y ∈ B

1
1

1


 X.Y ∈ B2 ⇒ X ∈ B2 , Y ∈ B2


 ....


X.Y ∈ Bi ⇒ X ∈ Bi , Y ∈ Bi

( vì Bi là cô lập hoàn toàn) Từ đó ta suy ra X ∈ ∪ Bi , Y ∈ ∪ Bi ( đpcm)
i

i

7. Để một ideal B là cô lập, thì điều kiện đủ là với mọi X ∈ U, thì từ X 2 ∈ B
suy ra X ∈ B.
Chứng minh:
Giả sử B không phải là ideal cô lập. Điều này có nghĩa là cho một số phần tử
X ∈ U\B thì X n ∈ B.

Lấy một phần tử X từ U\B và một số tự nhiên n sao cho cách chon n là nhỏ
nhất trong những số có thể chọn cùng tính chất ( cho bất kì X ∈ U\B). Số n
không thể là chẵn và khác số 2, nếu không thì
(X n/2 )2 ∈ B

và cả hai trường hợp có thể xảy ra
1, X n/2 ∈ B;

2, X n/2 = Y ∈B;

Y2 ∈B

mâu thuẫn với cách chọn giá trị nhỏ nhất của n.
Số n cũng không thể là lẻ ( dĩ nhiên n = 1), nếu không thì
X n+1 ∈ B

(mà theo như X n+1 = X n .X = X.X n , X n ∈ B, trong khi B ideal trái hoặc
phải), và cũng có hai trường hợp có thể xảy ra
(1)X (n+1)/2 ∈ B;

X (n+1)/2 = Y ∈ B,

Y2 ∈B

cũng mâu thuẫn với giá trị nhỏ nhất của n. Do đó, n = 2, X ∈ U/, X 2 ∈ B thì
X ∈ B.
Bùi Thị Khuyên

10


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

8. Nếu B là một ideal hai phía cô lập của một nửa nhóm U mà U cũng là một
ideal hai phía của một trong những nhóm cực tiểu U , thì B cũng là ideal hai
phía của nửa nhóm U .

Chứng minh: Thật vậy, cho bất kì X ∈ U và B ∈ B thì tích XB ∈ U khi
B ⊂ U, và U là ideal hai phía của U . Chúng ta giả sử rằng XB ∈ B. Khi B là
cô lập trong U, chúng ta cũng có (XB)2 ∈ B. Tuy nhiên, điều này không thể
xảy ra vì
(XB)2 = XBX. B ∈ (XBX). B ∈ B

Chúng ta cũng chỉ ra được rằng BX ∈ B cũng là điều không thể xảy ra. Do đó,
B phải là một ideal hai phía của U . Điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.1.12. Một nửa nhóm con F của nửa nhóm con A được gọi là
lọc của A nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F
Ví dụ 1.1.16. (Z ∗ , .) là một lọc của (Z, .)

1.2
1.2.1

Lớp các nửa nhóm
Nửa nhóm giao hoán, tách được

Định nghĩa 1.2.1. Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm U giao hoán
với nhau nếu a.b = b.a . Nửa nhóm U được gọi là giao hoán nếu hai phần tử
tuỳ ý của nó giao hoán với nhau.
Khi đó ta có luật các số mũ sau :
am+n = am an ; (am )n = amn ; (ab)n = an bn

Nếu a1 , a2 , ...., an là các phần tử thuộc một nửa nhóm giao hoán và ϕ là một
phép thế tuỳ ý trên tập 1,2,...,n, thì
a1ϕ .a2ϕ ....anϕ = a1 .a2 ....an

Trong nửa nhóm giao hoán tất cả các tích của a1 , a2 , ...., an là bằng nhau(không
kể đến thứ tự các phần tử).

Bùi Thị Khuyên

11


Toán ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ

Ví dụ 1.2.1. Nửa nhóm (Z;+);(Q,.) đều là những nửa nhóm giao hoán
Định nghĩa 1.2.2. Một nửa nhóm S gọi là tách được nếu nó có tính chất
ab = a2 = b2 (a, b ∈ S) kéo theo a = b.

Ví dụ 1.2.2. Giả sử k và l là các số nguyên không âm.Nửa nhóm P (GP ) =
{a, b|abk = bl a} là nửa nhóm tách được. Nửa nhóm này gọi là nửa nhóm Blaum-

slag - SolitarBki do hai nhà toán học Blaumslag và SolitarBki nghiên cứu.
Ví dụ 1.2.3. Nửa nhóm giao hoán có luật giản ước là nửa nhóm tách được.
Định nghĩa 1.2.3. Nửa nhóm giao hoán S là nửa nhóm " Ácsimét " nếu với
hai phần tử tuỳ ý của S, mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa nào đó của phần
tử kia.
Định nghĩa 1.2.4. Mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy
nhất dưới dạng một dàn của các nửa nhóm " Ácsimét" ; các nửa nhóm này ta
gọi là các " thành phần Ácsimét" của S.
Định nghĩa 1.2.5. Một phần tử B của nửa nhóm S được gọi là số chia phải
của phần tử A trong nửa nhóm S nếu tồn tại trong S một phần tử X sao cho
XB = A.

Phần tử B được gọi là số chia trái của A nếu tồn tại trong S một phần tử Y
sao cho A = BY .

Nếu B là một số chia phải ( trái) của A, chúng ta nói rằng A là số chia hết
cho B nếu A là số chia hết cho B ở cả hai bên.
Quan hệ chia hết là một quan hệ phản xạ, bắc cầu và ổn định trên S Nếu
quan hệ chia hết ρ là một tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho S/ρ là luỹ
đẳng thì ta gọi ρ là luỹ đẳng.
Định nghĩa 1.2.6. Ta định nghĩa một quan hệ η trên một nửa nhóm giao
hoán S như sau : aηb (a, b ∈ S) khi và chỉ khi mỗi một trong các phần tử a và b
chia hết một luỹ thừa nào đó của phần tử kia.
Bùi Thị Khuyên

12