Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong chương trình toán lớp 12

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại học Tây Bắc. Trong quá trình
làm khóa luận tốt nghiệp tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ để hoàn thành
khóa luận.
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Giảng viên chính
TS. Hoàng Ngọc Anh đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh
nghiệm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại
học Tây Bắc, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho tôi trong suốt
thời gian tôi thực hiện khóa luận.
Sau cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia các bạn sinh viên lớp K55 Đại
học sư phạm Toán đã luôn đồng hành, giúp đỡ tôi trong quá trình làm khóa luận.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Phan Thị Minh Ngọc


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

THPT

Trung học phổ thông

TS

Tiến sĩ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn khóa luận .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu .............................................. 1
4.1 Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 1
4.2. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 1
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................... 2
NỘI DUNG........................................................................................................... 2
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................... 3
1.1. Đạo hàm ..................................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa ........................................................................................... 3
1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm .......................................................................... 4
1.2. Ứng dụng của đạo hàm để nghiêm cứu về hàm số ................................ 4
1.2.1. Sự biến thiên của hàm số .................................................................... 4
1.2.2. Cực trị của hàm số............................................................................... 6
1.2.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .......................................................... 7
1.2.4. Đường tiệm cận ................................................................................... 8
1.2.5. Sự tương giao ...................................................................................... 8
1.2.6. Tiếp Tuyến .......................................................................................... 9
Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 12 .................... 11

2.1. Bài toán tìm sự biến thiên của hàm số ..................................................... 11
2.1.1. Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ................................. 11
2.1.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu ...................................... 15
2.2. Bài toán cực trị của hàm số ...................................................................... 18
2.2.1. Dạng 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ............................... 18
2.2.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu .................... 22
2.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ........................................... 25
2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ................ 25
2.3.2. Dạng 2: Bài toán vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất............. 29
2.4. Đường tiệm cận ........................................................................................ 32
2.4.1. Dạng 1: Tìm phương trình tiệm cận ngang, tiệm cận đứng .............. 32


2.4.2. Dạng 2: Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
thỏa mãn điều kiện cho trước. ..................................................................... 36
2.5. Sự tương giao ........................................................................................... 39
2.5.1. Dạng 1: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.............................. 39
2.5.2. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hai hàm số có giao
điểm ............................................................................................................. 42
2.6. Tiếp tuyến ................................................................................................. 47
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 52


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình toán
lớp 12 “Đạo hàm” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh.
Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: định nghĩa đạo hàm, các quy tắc
tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán

giúp học sinh giải quyết các bài toán hàm số một cách đơn giản và nhanh gọn, từ
đó phát triển được tư duy của học sinh và bồi dưỡng năng lực cho các em.
Vận dụng đạo hàm để giải một số bài toán về hàm số trong chương trình
Toán lớp 12 là một nội dung trọng tâm trong ôn thi THPT Quốc gia. Với mong
muốn làm rõ các khía cạnh có thể khai thác được của đạo hàm để giải các bài
toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, qua đó xây dựng cho học sinh
những phương pháp chủ đạo và hình thành những kỹ năng cơ bản trong việc giải
quyết các bài toán về Hàm số, phục vụ tốt cho việc dạy và học môn Toán lớp 12,
vì vậy, tôi chọn khóa luận: “Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài
toán hàm số trong chương trình Toán lớp 12”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm, sử dụng các ứng
dụng của đạo hàm để giải một số bài toán hàm số thường gặp trong chương trình
Toán lớp 12.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm;
- Sử dụng các ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán hàm số
thường gặp trong chương trình Toán lớp 12.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
4.1 Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài toán hàm số thường gặp trong chương trình Toán lớp 12.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng của Đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong
chương trình Toán lớp 12.
1


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài bao gồm 2
chương:
Chương 1. Một số kiến thức
Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số
trong chương trình Toán lớp 12

2


NỘI DUNG
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Đạo hàm
1.1.1. Định nghĩa
a) Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a;b) . Nếu tồn
tại giới hạn (hữu hạn) lim

x  x0

f ( x )  f ( x0 )
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của
x  x0

hàm số y  f ( x ) tại điểm x0 và ký hiệu là f '( x0 ) hoặc y '(x0 ) , tức là
f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x )  f ( x0 )
x  x0

b) Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số y  f ( x ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số f ' : (a; b) 
x

f '( x )

Là đạo hàm của hàm số y  f ( x) trên khoảng (a; b) , kí hiệu là y ' hoặc
f '( x) .

c) Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim
x  x0

f ( x )  f ( x0 )
ta sẽ gọi giới
x  x0

hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y  f ( x ) tại x  x0 và kí hiệu là f ( x0 ) .
Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) lim
x  x0

f ( x )  f ( x0 )
được
x  x0

gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y  f ( x ) tại x  x0 và kí hiệu là f ( x0 ) .
Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.
d) Đạo hàm trên một đoạn
Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b nếu thỏa mãn
3


các điều kiện sau:
Có đạo hàm tại mọi x   a; b 
Có đạo hàm bên phải tại x  a
Có đạo hàm bên trái tại x  b
1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm
1. (C)'  0 (C = const)

13. (ku)'  ku ' (k là hằng số)

2. ( x )'  1

14. (u  v  w)'  u ' v ' w'

 x  2
'

3.

'

 ax  by 
ad  bc
15. 



2
 cx  dy   cx  dy 

1
x

 

4. x n  n. x n1

16.  sin x   cos x

6.  u  v  '  u' v'

17.  cos x    sin x

'

7.

 

'

u 

'

'

u'
2 u

18.  tan x  
'

'

1
1
8.     2
x
x

1
cos2 x

19.  cot x   
'

 

1
sin 2 x

9. un  n.un1.u '

20.  sinu   u '.cosu

10.  u.v  '  u ' v  uv '

21.  cosu   u '.sinu

'

'

'

'

 u  u ' v  uv '
11.   
 v  v( x )  0 
v2
v
'

v'
1
12.     2  v  v( x )  0 
v
v

22.  tanu  
'

u'

cos2 u

23.  cotu   
'

1.2. Ứng dụng của đạo hàm để nghiên cứu về hàm số
1.2.1. Sự biến thiên của hàm số
a) Kiến thức cơ sở
- Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
4

u'
sin 2 u


a) Nếu f '( x )  0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I .
b) Nếu f '( x )  0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I .
c) Nếu f '( x )  0 với mọi x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .
- Dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức f ( x )  ac  b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá
 b

trị trong khoảng   ;   , trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng
 a

b

 ;  a  .




Bảng xét dấu nhị thức bậc hai f ( x )  ac  b
x



f ( x )  ac  b



cùng dấu với a

b
a

0


trái dấu với a

- Dấu của tam thức bậc hai
Cho f ( x )  ax 2  bx  c(a  0),   b2  4ac.
Nếu   0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x  .
Nếu   0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x 

b
2a

Nếu   0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2 , trái

dấu với hệ số a khi x1  x  x2 ( x1  x2 ) là hai nghiệm của f ( x ) .
Bảng xét dấu tam thức bậc hai f ( x )  ax 2  bx  c (với   0 )
x
f ( x )  ax 2  bx  c



x1

x2



cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 cùng dấu với a

b) Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm y ' . Tìm các điểm xi (i  1,2,..., n) mà tại đó y '  0
hoặc y ' không xác định.
5


Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tang dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1.2.2. Cực trị của hàm số
a) Kiến thức cơ sở
- Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D( D  ) và x0  D .
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm

x0

sao cho (a; b)  D

f ( x )  f ( x0 ) với mỗi

và

x   a; b  \ x0  .
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm

x0

f ( x )  f ( x0 ) với mỗi

sao cho (a; b)  D và

x   a; b  \ x0  .
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực địa và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số y  f (x) lien tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \  x0  với h  0 .
a) Nếu f '( x0 )  0 trên khoảng

 x0 ; x0  h  thì

 x0  h; x0 

và f '( x0 )  0 trên khoảng

x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) .

b) a) Nếu f '( x0 )  0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '( x0 )  0 trên khoảng

 x0 ; x0  h  thì

x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .

b) Phương pháp giải
Để giải các bài toán về cực trị của hàm ta áp dụng một trong hai Quy tắc
tìm cực trị sau:
Quy tắc 1:
6


Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f '( x ) . Tìm các điểm mà tại đó f '( x ) bằng không hoặc
không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính

f '( x ) . Giải phương trình

f '( x )  0 và kí hiệu

xi (i  1,2,...,n) là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính f ''( x ) và f ''( xi ) .
Bước 4: Dựa và dấu của f ''( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi
1.2.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
a) Kiến thức cơ sở
- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x ) trên tập D nếu
f ( x )  M với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  M .

Kí hiệu M  max f ( x ) .
D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên tập D nếu
f ( x )  m với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  m .

Kí hiệu m  min f ( x ) .
D

b) Phương pháp giải
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một
đoạn ta làm như sau:
Bước 1: Tìm các điểm x1, x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  , tại đó f '( x ) bằng 0
hoặc f '( x ) không xác định.
Bước 2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) .
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

7


M  max f ( x ) , m  min f ( x )
D

D

1.2.4. Đƣờng tiệm cận
a) Kiến thức cơ sở
- Định nghĩa đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng vô hạn (là khoảng dạng

 a;   , hoăc  ;   ). Đường

thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0 .
x 

x 

- Định nghĩa đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f ( x )  , lim f ( x )  

x  x0

x  x0

lim f ( x )  , lim f ( x )  

x  x0

x  x0

- Định nghĩa đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y  ax  b, a  0 được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu

lim  f ( x )  (a x  b)  0 hoặc lim  f ( x )  (a x  b)  0

x 

x 

1.2.5. Sự tƣơng giao
a) Kiến thức cơ sở
- Giao điểm của hai đồ thị
Các đồ thị của hai hàm số y  f ( x ) và y  g( x ) cắt nhau tại điểm
M( x0 ; y0 ) khi và chỉ khi y0  f ( x0 ) và y0  g( x0 ) , tức là  x0 ; y0  là một nghiệm

y  f (x)
của hệ phương trình 
 y  g ( x ).

Như vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương
trình f ( x )  g( x ) .

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.
8


b) Phương pháp giải
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số đã cho.
Bước 2: Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm được x và từ đó suy ra
hoành độ y và tọa độ giao điểm.
Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình hoành độ dạo điểm là số
giao điểm cần tìm.
1.2.6. Tiếp Tuyến
a) Kiến thức cơ sở
- Tiếp tuyến của đường cong
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C) . Giả sử (C) là đồ thị
hàm số y  f  x  và M( x0 ; y0 ) ; f ( x0 )  (C) . Kí hiệu M( x; f ( x )) là một điểm di
chuyển trên (C) . Đường thẳng M0 M là một cát tuyến của (C).
Nhận xét rằng khi x  x0 thì M( x; f ( x )) di chuyển trên (C) tới điểm
M0 ( x0 ; f ( x0 )) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là
M0 T thì M0 T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 . Điểm M0 được gọi là tiếp

điểm.
- Hệ số góc
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng

 a; b 

có đạo hàm tại

x0   a; b  . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Đạo hàm của hàm số y  f ( x ) tại
điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0 T tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) .

- Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f ( x ) tại điểm
M0 ( x0 ; f ( x0 ) là: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) , trong đó y0  f ( x0 ) .

- Định nghĩa sự tiếp xúc
Giả sử hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0 . Ta nói rằng hai đường
cong y  f ( x ) và y  g( x ) tiếp xúc với nhau tại điểm M( x0 ; y0 ) nếu M là một
điểm chung và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại điểm M. Điểm M được
gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
b) Phương pháp giải
Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số
9


Bước 1: Tính đạo f '( x ) hàm của hàm số y  f ( x ) .
Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f '( x0 ) .
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của M có dạng tổng quát là:
y  f ( x0 )( x  x0 )  y0

- Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Bước 1: Gọi () là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
Bước 2: Giả sử M( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó x0 thảo mãn f '( x0 )  k(*) .
Bước 3: Giải (*) tìm ra x0 . Từ đó suy ra y0  f ( x0 ) .
Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến.
- Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm
Cho hàm số (C) : y  f ( x ) và điểm A(a;b) , Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) và đi qua điểm A.
Bước 1: Gọi () là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Khi đó
() : y  k(x a)  b(*)

 f ( x )  y  k(x  a)  b
Bước 2: Giải hệ phương trình 
tìm được x và k.
 f '( x )  k

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến cần tìm.

10


Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 12
2.1. Bài toán tìm sự biến thiên của hàm số
2.1.1. Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a) Ví dụ
Ví dụ 1: Hàm số y  x 3  3x 2 nghịch biến trên khoảng nào?
Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x
x  0
y '  0  3x 2  6 x  0  
 x  2

Bảng biến thiên:



x

2

y’

+



0
–

0

0

+



4
y



0

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y nghịch biến trên khoảng  2;0 
Vậy hàm số y  x 3  3x 2 nghịch biến trên khoảng  2;0 
Ví dụ 2: Hàm số y 

1 4

x  2 x 3  2 x 2  5 đồng biến trên khoảng nào?
2

Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  2 x 3  6 x 2  4 x

x  0
y '  0  2 x  6 x  4 x  0   x  1
 x  2
3

2

11


Lập bảng biến thiên:



x

0

y’

–

1

0

+



2
–

0

0

+

24
4


y



5

1

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) (2; )
Vậy hàm số y 

1 4
x  2 x 3  2 x 2  5 đồng biến trên khoảng (0;1) (2;) .
2

Ví dụ 3: Hàm số y 

1 x
đồng biến trên khoảng nào?
1 x

Lời giải
Tập xác định: D 

\ 1
'

2
 1  x  1.1  1.(1)
Đạo hàm: y '  


 0x  1

2
2
1 x 
1

x

1

x
 
 

Bảng biến thiên:
x



y’



1
+

+





y





Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (;1);(1; )
Vậy hàm số y 

1 x
đồng biến trên các khoảng (;1);(1; ) .
1 x

Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 2  2 x  3 , tìm khoảng nghịch biến của hàm số?
Lời giải
Tập xác định: D 
12


x
Đạo hàm: y ' 

2

 2x  3



'

2 x2  2x  3

y'  0 

x 1
x2  2x  3



2x  2
2 x2  2x  3

x 1



x2  2x  3

 0  x 1

Bảng biến thiên
x





y’



1
0

+




y
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1
Vậy hàm số y  x 2  2 x  3 nghịch biến trên khoảng  ;1 .
b) Bài tập tƣơng tự
Câu 1: Hàm số y  x 3  3x 2  3x  5 đồng biến trên khoảng nào?
A. (;1)

B. (1; )

C. (; )

D. (;1);(1; )

Đáp án: C
Câu 2: Các khoảng nghịch biến của hàm số y  3x  4 x 3 là:
1 1


A.  ;     ;  
2 2



 1 1
B.   ; 

 2 2

1

C.  ;  
2


1

D.  ;  
2


Đáp án: A
Câu 3: Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 .

13


C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 ; 3;  
D. Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng  3; 
Đáp án: C
Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số y   x 4  2 x 2  4 là:
A. (; 1)

B. (3;4)

D. (;1);(0;1)

C. (0;1)

Đáp án: D
Câu 5: Hàm số y  x 4  4 x 3  4 x 2  2 nghịch biến trên các khoảng:
A. (1;0)

B. (; 2) và (1;0)

C. (; 2)

D. x 

Đáp án: B

x4
Câu 6: Hàm số y    1 đồng biến trên khoảng nào?
2
A.  ;0 

B. 1; 

C.  3;4 

D.  ;1

Đáp án: A
Câu 7: Cho hàm số y  4  x 2 , khoảng nghịch biến của hàm số là:
A.  0;2 

B.  2;0 

C.  2;2 

D.

Đáp án: A
Câu 8: Khoảng đồng biến của hàm số y  2 x  x 2 là:
A.  ;1

B.  0;1

C. 1;2 

D. 1; 

Đáp án: B
Câu 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y 
A. (;1)

B. (1; )

2x  1
là:
x 1

C. (; )

D. (;1);(1; )

Đáp án: D
Câu 10: Cho hàm số y  x 
A.

B. (1;0)

2
. Khoảng nghịch biến của hàm số là:
x

C. Không có

Đáp án: C
14

D. (;0);(0; )


2.1.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu
a) Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm điều kiện để hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 luôn đồng biến trên

.

Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m
y '  0  3x 2  6 x  m  0 (1)

Để hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 luôn đồng biến trên

thì phương trình (1) phải

vô nghiệm khi:  '  0  (3)2  3m  0  9  3m  0  m  3 .
Vậy để hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 luôn đồng biến trên

thì m > 3.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  x 3  3mx  5 nghịch biến trong khoảng  1;1 .
Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  3x 2  3m
x  m
y '  0  3x 2  3m  0  
 x   m

Bảng biến thiên:



x
y'

 m

+

0



m



0

+


y  x 3  3mx  5 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  x 3  3mx  5 nghịch biến trên khoảng



m; m



Để hàm số đồng biến trên khoảng

 1;1 thì

m 1 m 1

Vậy với m = 1 thì hàm số y  x 3  3mx  5 nghịch biến trong khoảng  1;1 .
15

Ví dụ 3: Tìm điều kiện để hàm số y 

xm
nghịch biến trên tập xác định.
x 2

Lời giải
Tập xác định: D 

\ 2

 x  m  2  m
Đạo hàm: y '  

2
 x  2   x  2

Để hàm số nghịch biến trên tập xác định thì:

y '  0x  2 

2  m

 x  2

Vậy hàm số y 

2

 0  2  m  0  m  2

xm
nghịch biến trên tập xác định khi m  2 .
x 2

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y 

x
đồng biến trên  2;  ?
xm

Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y ' 

\ m

m

 x  m

2

Bảng biến thiên:
x



y’

y

x
xm



m
+

+









Từ bảng biến thiên và bài ra ta thấy để hàm số y 

x
đồng biến trên khoảng
xm

 m
 0 m  0
y'  0
2


  x  m

m0
 2;  thì 
m  2 
m  2
m  2
16


Vậy để hàm số y 

x
đồng biến trên  2;  thì m  0 .
xm

b) Bài tập tƣơng tự
1
Câu 1: Hàm số y   x 3  (m  1) x  7 nghịch biến trên
3
là:

A. m  1

B. m  2

C. m  1

thì điều kiện của m

D. m  2

Đáp án: C
Câu 2: Cho hàm số y 

x3 m 2
 x  mx  1 , hàm số đồng biến trên tập xác định
3 2

của nó khi:
A. m   0;4 

B. m  ;0    4;  

C. m  ;0   4;  

D. m  0;4

Đáp án: D
Câu 3: Tìm m để hàm số y 

1 m 3
x  2(2  2) x 2  2(2  m) x  5 luôn nghịch
3

biến khi:
A. 2  m  5

B. m  2

C. m  1

D. 2  m  3

Đáp án: D
Câu 4: Với điều kiện nào của m thì hàm số y  mx 3  (2m  1) x 2  (m  2) x  2
luôn đồng biến trên tập xác định của nó?
A. m  0

B. m  0

C. m  0

D. m  0

Đáp án: A
Câu 5: Với giá trị nào của m thì hàm số y  x 3  3x 2  (m  1) x  4m nghịch
biến trên tập khoảng  1;1 :
A. m  10

B. m  10

C. m  10

D. m  5

Đáp án: C
Câu 6: Hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng  0;  khi:
A. m  0

B. m  3

C. m  3
17

D. m  0


Đáp án: C
Câu 7: Các giá trị thực nào của tham số m để hàm số y 

xm
đồng biến trên
x 1

từng khoảng xác định của nó.
A. m  1

B. m  1

C. m  1

D. m  1

Đáp án: A
Câu 8: Hàm số y 

mx  7m  8
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định với

xm

m:
A. 8  m  1

B. 8  m  1

C. 4  m  1

D. 4  m  1

Đáp án: A
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

2  mx
nghịch biến trên
2x  m

từng khoảng xác định của nó.
A. m  2 hoặc m  2

B. 2  m  2

C. 2  m  2

D. m  2 hoặc m  2

Đáp án: B
Câu 10: Các giá trị nào của tham số m để hàm số y 
khoảng  ;1 là:

A. 5  m  5

B. 5  m  1

mx  25
nghịch biến trên
xm

C. 5  m  5

D. m  1

Đáp án: B
2.2. Bài toán cực trị của hàm số
2.2.1. Dạng 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
a) Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị của hàm số y   x 3  3x  4 .
Lời giải
Tập xác định: D 
 x  1
Đạo hàm: y '  3x 2  3 , y '  0  3x 2  3  0  x 2  1  0  
x  1

18


Bảng biến thiên



x

1



y'



1

0

+



0



6

y   x 3  3x  4



2
Từ bảng biến thiên ta thấy x  1 là cực tiểu và x  1 là cực đại của hàm số.

Vậy hàm số y   x 3  3x  4 có x  1 là cực tiểu và x  1 là cực đại.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1, tìm điểm cực tiểu của hàm số.
Lời giải
Tập xác định: D 

x  0
Đạo hàm: y '  4 x  4 x , y '  0  4 x  4 x  0  4 x ( x  1)  0   x  1
 x  1
3

3

2

Bảng biến thiên:

x



1



y'

0

0

+



0



0

y  x4  2x2  1

0

0

Từ bảng biến thiên ta thấy x  1 là giá trị cực tiểu của hàm số.
Vậy x  1 là điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  2 x 2  1
Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y  x 2  x  1 .

Tập xác định: D 

19

+



1

Lời giải



1


2x 1

Đạo hàm: y ' 

x2  x  1

, y'  0 

2x 1
x2  x  1

 0  2x 1  0  x 

1
2

Bảng biến thiên
x

1
2





y’

0


+




y

3
2

1 3
Từ bảng biến thiến thấy điểm cực tiểu của hàm số là A  ;  .
2 2 
1 3
Vậy điểm A  ;  là điểm cực tiểu của hàm số y  x 2  x  1 .
2 2 

Ví dụ 4: Tìm điểm cực đại của hàm số y  sin2 x  x .
Lời giải
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  2cos2 x  1
y '  0  2cos2 x  1  0  cos2x 

1

 x    k (k  )
2
6

y ''  4sin2 x

3


 
 y ''   k   4sin  2.   4
 2 3  0
2
6

 6

   
3
 

 y ''    k   4sin 2.      4  
  2 3  0
2
 6

  6 




Vì y ''  2 3  0 nên x 
Vậy x 


6


6

 k là điểm cực đại của hàm số y  sin2 x  x .

 k là điểm cực đại cần tìm.

20


b) Bài tập tƣơng tự
Câu 1: Tìm điểm cực đại của hàm số y  x 3  3x 2  3x  2
A. 3  4 2

B. 3  4 2

C. 3  4 2

D. 3  4 2

Đáp án: A

Câu 2: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  3x  4 x 3 là:
1

A.  ; 1 
2


 1

B.   ; 1 
 2


 1 
C.   ;1 
 2 

1 
D.  ;1 
2 

Đáp án: B
Câu 3: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x 3  6 x 2  9 x là:
A.  3;0 

B.  0;3

C.  4;1

D. 1;4 

Đáp án: D

x 4 x3

Câu 4: Giá trị cực tiểu của hàm số y 
là:
4
3
A. 0

B.

3
4

C. 

1
12

D. 

3
4

Đáp án: C
Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số: y  x 4  4 x 2  2
A. Đạt cực tiểu tại x  0 .

B. Có cực đại và cực tiểu.

C. Có cực đại, không có cực tiểu.

D. Không có cực trị.

Đáp án: A

x4
5
 3x 2  có số điểm cực trị là:
Câu 6: Hàm số y 
2
2
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án: D
Câu 7: Đồ thị hàm số y  x 2  2 x  3
A. Có điểm cực đại là A(1;0) . B. Có điểm cực tiểu là B(3;0) .
C. Không có cực trị.

D. Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Đáp án: B

21