Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
KHOA: TOÁN- LÝ-TIN

SÝ THỊ HIỂN

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN
DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
KHOA: TOÁN- LÝ- TIN

SÝ THỊ HIỂN

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN
DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI

Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2018


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành với Giảng viên chính- Tiến sĩ:
Hoàng Ngọc Anh đã tận tình chỉ dẫn và giúp đỡ trong quá trình hoàn thành
khóa luận này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin,
phòng Đào tạo Đại học, Trung tâm Thông tin Thư viện, cùng các phòng ban
khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá
trình hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K55 - ĐHSP
Toán đã đóng góp ý kiến và chia sẻ kinh nghiệm cho tôi.
Với khóa luận này, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các
Thầy Cô giáo, các bạn sinh viên để để tài này hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2018
Ngƣời thực hiện khóa luận
Sý Thị Hiển


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

THPT

: Trung học phổ thông

NXB

: Nhà xuất bản

SGK

: Sách giáo khoa

VN

: Vô nghiệm

VT

: Vế trái

VP

: Vế phải

L

: Loại

N

: Nghiệm


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài khóa luận ............................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................... 2
6. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2

7. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG........................................................................................ 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ..................................................... 3
1.1. Phương trình............................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa................................................................................................ 3
1.1.2. Các kiến thức liên quan (tính chất, nghiệm,...).......................................... 4
1.2. Phương trình có chứa dấu căn bậc hai ........................................................ 6
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................... 6
2.1. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
thường dùng ....................................................................................................... 7
2.1.1.

f x

g x

........................................................................................ 7

2.1.1.1. Phương pháp giải .................................................................................. 7
2.1.1.2. Ví dụ ..................................................................................................... 7
2.1.2.2. Bài tập thêm ....................................................................................... 10
2.1.3.

f ( x)

g ( x) .................................................................................... 10

2.1.3.1. Phương pháp giải ................................................................................. 10
2.1.3.2. Ví dụ.................................................................................................... 11
2.1.2.3. Bài tập thêm ........................................................................................ 11

2.2. Đưa phương trình về dạng tích ................................................................. 12
2.2.1. Phương pháp ......................................................................................... 12


2.2.2. Ví dụ ...................................................................................................... 12
2.2.3. Bài tập thêm ........................................................................................... 13
2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ ........................................................................... 14
2.3.1. Phương pháp .......................................................................................... 14
2.3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 14
2.3.3. Bài tập thêm ........................................................................................... 18
2.4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức ......................................................... 19
2.4.1. Phương pháp ......................................................................................... 19
2.4.2. Ví dụ ...................................................................................................... 19
2.4.3. Bài tập thêm ........................................................................................... 26
2.5. Đưa về hệ phương trình để giải ................................................................ 27
2.5.1. Phương pháp .......................................................................................... 27
2.5.2. Ví dụ ...................................................................................................... 27
2.5.3. Bài tập thêm ........................................................................................... 31
KẾT LUẬN...................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 33


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, mà cụ thể là phân môn Đại
số 10, các em đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ
bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn bậc hai rất phong phú và đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại
học - Cao đẳng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình chứa ẩn

dưới dấu căn bậc hai mà chỉ có số ít biết phương pháp giải nhưng trình bày còn
lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm trí còn mắc một số sai lầm không
đáng có trong trình bày.
Trong chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 10, phần Phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai là một mục nhỏ trong bài Phương trình quy về
phương trình bậc nhất, bậc hai của chương III. Thời lượng dành cho phần này
chỉ có một tiết lý thuyết trong sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược một ví dụ và
đưa ra cách giải, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất ít.
Để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi
học sinh cần nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có
năng lực biến đổi toán học linh hoạt và chính xác.
Với mong muốn hệ thống lại một số phương pháp giải và tập hợp được
một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao
kiến thức, đặc biệt có thể giúp các em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt các đề
thi Đại học - Cao đẳng nên tôi đã chọn đề tài khóa luận: “Một số phương pháp
giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp và phân loại các kiến thức cơ bản về phương trình có chứa ẩn
dưới dấu căn bậc hai, trên cơ sở đó phân loại thành 5 dạng bài tập và đưa ra cách
giải phù hợp. Qua đó giúp học sinh chủ động lĩnh hội được kiến thức chương
phương trình một cách đơn giản, nhanh chóng và đầy đủ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp và phân loại các kiến thức cơ bản về phương trình có chứa
ẩn dưới dấu căn bậc hai.
1


- Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới
dấu căn bậc hai.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet
có liên quan đến đề tài của khóa luận).
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khóa luận.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
6. Phạm vi nghiên cứu
Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản
Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn dưới dấu
căn bậc hai.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Phƣơng trình
1.1.1. Định nghĩa

Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

f x1 , x2 ,...

g x1 , x2 ,...

h x1 , x2 ,...

f x1 , x2 ,...

h x1 , x2 ,...

0

ax 2

bx

c

1
g x1 , x2 ,...

2
3

y

4

Trong đó x1 , x2 ,... được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của
phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình
(1) có f x1 , x2 ,... là vế trái vì nó nằm bên tay trái, g x1 , x2 ,... là vế phải vì nó
nằm bên tay phải.
Ở phương rình (4) có a, b, c là các hệ số và x, y là các biến.
Có nhiều cách để phân loại phương trình. Phân loại phương trình theo số

ẩn ta có: phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.... Phân loại phương trình
theo các phép toán trong phương trình ta có: phương trình vô tỷ, phương trình
mũ, phương trình lôgarit...
Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, ở đây đẳng thức nên hiểu
là khái niệm phương trình trong Số học, khi đó 2 vế của chúng chỉ là các số
như 1 1

2 sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến
số. Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu " " thay cho dấu " " khi viết đẳng thức,
như trong phương trình (3) ở trên.
Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu
"
" cho phương trình và dấu " " cho đẳng thức. Biểu diễn phương trình
như vậy trong lập trình sẽ trả lại giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai
vế khác nhau.

3


1.1.2. Các kiến thức liên quan (tính chất, nghiệm,...)

Tính chất
Do phương trình có 2 vế là các đa thức, do đó phương trình thể hiện đầy
đủ tính chất của đa thức, tức là:
Với mọi phương trình không phân bậc, chúng có thuộc tính sau:
- Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân
và chia cùng một số khác 0 và không chứa điều kiện xác định.
- Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là
phương trình bậc 2.
- Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi

phạm điều kiện xác định.
- Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc
cùng âm và không vi phạm điều kiện xác định.
- Các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện xác định và làm 2 vế phương trình
bằng nhau.
- Chuyển vế đổi dấu thực chất là các phép cộng trừ tương ứng.
Nghiệm
Nghiệm của phương trình là bộ ( x1 , x2 ,...) tương ứng sao khi ta thay vào
phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho hai về
của phương trình bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình 5x 6 , vậy nghiệm
của phương trình là

6
vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau hoặc hiểu
5

theo công thức tổng quát, phương trình f x
phương trình khi và chỉ khi x

a và f a

0 có a được gọi là nghiệm của
0 , điều này định nghĩa tương tự

với các phương trình nhiều ẩn khác như:

f x, y, z,...

0, a, b, c,... S

x

a, y

b, z

c...; f a, b, c,...

0

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm
của phương trình là tập tất cả các nghiệm của phương trình. Kí
hiệu: S

x, y, z,... .

Xuất phát từ chữ cái tiếng Anh là Set có nghĩa là tập, nhóm.
4


Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm,
như x

3

4 thì có một nghiệm duy nhất là

nghiệm, như x 2

4

, hoặc cũng có thể có 2
3

x 1 0 thì có 2 nghiệm đối nhau là

1

5

, hoặc vô
2
nghiệm như x 2
1 (Điều này xảy ra trên tập số thực) và có thể có vô số
nghiệm như 0 x 0 . Nhưng số nghiệm luôn luôn bé hơn hoặc bằng (khi trên tập
số thực) và bằng (khi trên tập số phức) số bậc của phương trình. Đó là định lý cơ
bản của Đại số, trong sách Giáo khoa Giải tích 12 có nói về điều này trong bài
cuối cùng của chương Số phức.
Để giải các phương trình đều có các công thức nghiệm nhất định. Tuy
nhiên người ta chứng minh được không có công thức nghiệm tổng quát cho các
phương trình có số bậc cao hơn bậc 4. Hơn nữa công thức nghiệm của phương
trình bậc 3 và 4 rất phức tạp nên không được đề cập đến trong chương trình
Sách giáo khoa.
Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh
họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không
thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn
về nghiệm của phương trình.
Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác
giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương
trình một ẩn. Hai phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng
tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này

thành phương trình kia.

Ví dụ: Về biểu diễn hình học của phương trình bậc nhất hai ẩn, các
phương trình một ẩn có nghiệm luôn nằm tại một điểm trên trục số.

5


1.2. Phƣơng trình có chứa dấu căn bậc hai
1.2.1. Định nghĩa

Căn bậc hai
Trong toán học, căn bậc hai của một số a là một số x sao cho x 2
nói cách khác là số x mà bình phương lên thì bằng a
Ví dụ: 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 42

4

2

a , hay

16 .

Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi
là căn bậc hai chính, ký hiệu

a , ở đây

được gọi là dấu căn.

Ví dụ: Căn bậc hai chính của 9 là 3, ký hiệu

3 ,vì 32

3

9

a là căn bậc hai dương và

a

9

3

và 3 là số không âm.
Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai

là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là

a (xem dấu

). Mặc

dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số
đó, việc gọi "căn bậc hai" thường đề cập đến căn bậc hai chính. Đối với số
dương, căn bậc hai chính cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như
là a

1
2

Căn bậc hai của số âm có thể được bàn luận trong khuôn khổ số phức.

6


Chƣơng 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CÓ
CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN BẬC HAI
2.1. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn bậc hai

thƣờng dùng
f x

2.1.1.

g x

1

2.1.1.1. Phƣơng pháp giải
Cách giải 1: (Sử dụng phương trình hệ quả)
Điều kiện: f ( x)

0

Bình phương hai vế phương trình (1) ta có phương trình hệ quả:

g 2 x ( giải tìm x= ?)

f x

Thế vào phương trình (1) xem có thoả mãn hay không?
Kết luận nghiệm của phương trình (1)
Cách giải 2: (Sử dụng phép biến đổi tương đương)
f ( x)

g ( x)

Lưu ý: Khi g ( x) 0

g ( x)

0

f ( x)

g 2 ( x)

Phương trình (1) vô nghiệm.

2.1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình :

1)

2x

4

2

2) 3x 15

3

3) 2 x 2

1

Hướng dẫn:
1)

Cách 1: (Sử dụng phương trình hệ quả)
Điều kiện: 2 x

4 0

x 2

Bình phương 2 vế phương trình đã cho ta được phương trình:
2x 4 4 2 x 8 x 4
Thế x 4 vào phương trình đã cho thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x 4 .

7

x 1

0 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau:

Cách 2: Vì 2
2x

4

2

2x

4

4

x

4

Vậy phương trình có nghiệm x 4
2) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
Điều kiện: 3x 15

0 x 5
Phương trình (2)
3x 15 9 3x 24 x 8
Ta thấy x 8 thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào phương trình đã cho
không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.
Cách 2: ( Chỉ cần để ý -3<0) nên phương trình đã cho vô nghiệm
3)

Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
Ta có: 2 x 2

1 0, x

Bình phương 2 vế phương trình đã cho ta được phương trình:

2x2

( x 1) 2

1

2 x2
x2

x2

2x 1

0

x
x

1

2x

0
2

Thế x 0 và x
2 vào phương trình đã cho chỉ có x
Vậy phương trình có nghiệm x 0 .
Cách 2: ( Sử dụng phương trình tương đương)
Ta có

2x2

1

x 1 0

x 1

2x2

1

( x 1) 2
x 1

x 1
x2

2x

x
x

0

x

0

0

2

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Ví dụ 2: Giải các phương trình :

1)

x2

2)

x 1

3)

x2

4

4x

2

x2

4)

x

7
9

2x

5) 9x+ 3 x
3

6)

x2

8

2x

4

2

3

x

2

10
2x

3

0 thỏa mãn


Hướng dẫn:
1)

x2

Ta có:

4

x2

2

4

x2

4

Vậy phương trình có nghiệm x
2)

2 2.

x

x

7

7

0

x 1

(x

x

7

x2

15 x

7) 2
x

7

x
x

10
5

x

10

x
x

0
4

50

0

4x

9

x2

3

9

9

x2

4x

2x

4

(x

2) 2

x

2

x
x

0
3

4x

Ta có:

x2

2x

4

x

x

2

2
x2

x

2

2x2
5)

2 2

Ta có :
x2

4)

x

Ta có:

x 1

3)

8

6x

0

x

3

Ta có:

9x

3x

2

10

3
2

x
3x

3
10
x
2
9
2
81x 183 x

2

10 9 x

3
10
x
2
9
3x 2 (10 9 x) 2
3
2
x

102

9

0

x

x
1
34
27

10
9

x

1

x

34
27


6)

Ta có:

x

2

2x

3

2x

3
2
2x

x

3

x2

x
3

3) 2

(2 x

3x 2

3
2
14 x

12

0

3
2

x

7

x

13
3

7

x

7

x

13
3

13
3

2.1.2.2. Bài tập thêm
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

1)

x2

1

x 1

2) x- 2 x
3) x 2
4) 3
5) 3 x

3

0

x 1
x

x

7) 9

x

9)

x

x

5

x2

x

4x

3

6 = x+4

9x 1

x

3

11) 3x-3 3 x 1 = 5

3

12)

x 1

2

6

10) 3 x 2

1

6

2

6) 3

8) 5 x

3x

2

13)( x 3) x 2

1

2x

x2

4

14)

3

x

x2

4

x 1= x

2

0

9

9-2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1) 2 x

5

2) 2 x 2
3) x 2

Chú ý: Dạng :

8

3x
x

5

5

f ( x)

x2

x 1

4)

x 1

5) 4

x 1

g ( x)

9- x 2
x

f (x )

và bình phương 2 vế để giải).
2.1.3.

f ( x)

g ( x)

2.1.3.1. Phƣơng pháp giải

f ( x)

g ( x)

x 1

6) 2 x 16

k

f ( x)

0 ( g ( x)

f x

g x

10

0)

7=2

k

x

4

g (x ) (sau đó đặt điều kiện


2.1.3.2. Ví dụ
Ví dụ : Giải phương trình:

x2

6x

4

4

x

Hướng dẫn:
Ta có:

x2

6x

4

4

x

x

4

x2

6x

x

4

x2

5x

4

4

x
x

4

x
x

0
5

0

x

0

2.1.2.3. Bài tập thêm
Bài tập 1: giải các phương trình sau:

1)

x2

3x

4

2x

2)

x2

4x

3

2

3)

x

3

7

2

x

4)

x2

2x

x

5) 2 x 1

2x 8

6) x

2

2 x2

9x

4

x

x
3

5
x

2
6
5

2x

Bài tập 2: Giải phương trình sau:
1)

x 14

2) x 2
3) x
4)

12

3x

x2

2

6x

5

3+ 3 x 1=2 x + 2 x

x2

2x

5) x 1
6) 3 x 2

y

4= 2

x

2

x

x
6x

16

x2

7

2

3
2x

2 x2

2x

4

Chú ý: Dạng:

f ( x)

g ( x)

h( x )

f ( x) 0
g ( x) 0
h( x ) 0
f ( x).g ( x)

Hoặc:

f ( x)

g ( x)

h( x)

f ( x)
11

h( x )

g ( x)

( f ( x)
2

g ( x))

h( x) ( về dạng trên).


2.2. Đƣa phƣơng trình về dạng tích
2.2.1. Phƣơng pháp
f ( x). g ( x). h( x)

f ( x) 0
g ( x) 0
h( x ) 0

0

2.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
1)

(2x

8)(4

x)

2 (2x

8)

0

2)

x

2 2 x 8)

0

8 5 x

3 x

8

2

0

0

Hướng dẫn:
1)

(2 x 8)(4

Ta có:
(2 x

8)(4

x)

x)
2 2x

8)

0

Vậy phương trình có nghiệm x
2)

Ta có

(x

8)(5

x)

(x

8)(5

x)

3 x

3 x
8

2x

8

2x

8

4

x

2

0 (VN)

8

5

x

8

0

x
8

x
x

4

x. x

4

x 5 3
Vậy phương trình có nghiệm x 4; x
8.

8

x

4

0

0

2x

x

4.

x

Ví dụ 2: Giải phương trình:

4

5 3

3

0

x

8

0

5

x

x)

0

8

0

Hướng dẫn:

Điều kiện :
Ta có:

Vì x

x
3

2x

8

x

4

0

2

5 3

4 0
x 0

x
x

4
3

x

3

5 3

x. x

4

0

x

x
x

4( 2

5 3

4

0 (VN)

4 không thỏa điều kiện nên phương trình vô nghiệm.
12

3

0


Ví dụ 3: Giải phương trình:

2x

8

5 (3

x)( x

4)

0

x
x

4
3

Hướng dẫn:

2x 8 0
Điều kiện :
(3 x)( x 4)

0

x

4

x
x

4
3

Ta có:
2x

8

5 (3

x)( x

4)

0

Vậy phương trình có nghiệm x

x

4( 2

x

4

2

5 3

5 3

x)

0

0

x
x

4

0 (VN)

4.

2.2.3. Bài tập thêm
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
1)

(x

8)(5

2)

(3 x

9)(2

x)

3)

(4 x

8)(4

5 x)

4) x

3

5) x

3

6)

3

7)

x

x)

3 (x

8)

4 (3 x

x

3

2 2x 1

9)

2 (4 x 8)
x2

2x x 1 2x
4x
4 x
x 3
x

0
0
0
4x

3

x
3 x

6

4

x

6 2x 1

3 x

2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau
1) ( x
2) x
3) x 2

1) 2

3 ( x 1) 2

2 x 1

( x 1) x

8x

3 x

15

2 x2
x2
3

2 x

1

4) x 2

0

x

0
5

6

13

5)

x

2

x

2

2 x

7x 4
x 2

4 x

6) 2 x

3

9 x2

x

2

4

2

x

1


2.3.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
2.3.1. Phƣơng pháp
Loại 1: af x
Loại 2:

b f x

f x

c

g x

0

t

f x ,t

0

at 2

bt

0

c

h x . Đặt: t

f x .g x

f x

g x

5 2x2

3x

9

3x

9

2.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1) x 2 +5-5 x 2

1

0

5) 2x 2

2) x 2 +5-5 x 2

1

0

6) 2x 2 +3-5 2 x 2

1

7) 2x 2

3

5 2 x2

2 x2

3x

2

3

(x
2

(2 x 1) 5 2 x 1

4

0

t
t

1
4

4

0

t
t

1
4

3) 2x 2 +3-5 2 x 2
4) 9- 81 7 x

3

Hướng dẫn:
1)

Ta biến đổi 2 x
Đặt : t

1

0

x3
2

8) x 2

5 5 2x 1

0

2 x 1 , (đều kiện: t

3x

3x
3

+) Với t

1

2x 1

1

2x 1 1

+) Với t

4

2x 1

4

2 x 1 16

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x
Ta biến đổi 6 x
Đặt : t

3 5 6x 1

0

6 x 1 , (điều kiện: t

5t

x

1

6x 1 1

4

0

0

x

15
2

0; x

15
.
2

(6 x 1) 5 6 x 1

0)

Phương trình (2) trở thành phương trình: t 2

+) Với t

0

0)

Phương trình (1) trở thành phương trình: t 2

2)

3

6x 1 1
14

5t

x

4

1
3

0

1)


x

17
6

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x

0; x

17
.
6

Ta biến đổi x 2

1) 5 x 2

+) Với t

3)

Đặt: t

4

x2

6x 1

4

5 5 x2

6 x 1 16

1

( x2

0

1 , (điều kiện: t

1

x2

1

1

+) Với t

4

x2

1

4

x2

1 1

x2

Ta biến đổi 2 x 2
Đặt : t

2x2

5t

x

1 16

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x
4)

3 5 2 x2 1

0

1 , (điều kiện: t

1

2 x2

1 1

+) Với t

4

2x2

1

3x

(2 x 2
Đặt: t

3

5 2x2

3x

3x

9) 5 2 x 2

2x2

3x

t
t

1

4

15

15 .

(2 x 2 1) 5 2 x 2 1

4

t
t

1
4

1 1

2x2

5t

x

1 16

4

17
2

x

17
.
2

1; x=

9
3x

9

9 , (điều kiện: t

15

6

0)

0

0

1

Ta biến đổi:

2x2

0

0

0; x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x
5)

0

0)

2 x2

4

4

x

Phương trình (4) trở thành phương trình: t 2
+) Với t

4

0)

Phương trình (3) trở thành phương trình: t 2
+) Với t

1

(1)

0


Phương trình (5) trở thành phương trình: t 2

5t

6

t
t

0

1 ( L)
6

+) Với

t

2x2

6

3x

9

2 x2

6

3x

9

36
x

2x

2

3x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x
6)

27

0

9
2

x

9
.
2

3; x

Ta biến đổi:

9

81 7 x

3

x3
2

81 2 81 7 x 3
81 x3

Đặt t

x3

2 81 7 x3

81 7 x3 , ( điều kiện: t

0

0)

Phương trình (6) trở thành phương trình: t 2

81
7

+) Với t

0

81 7 x3

0

x3

+) Với t

2

81 7 x3

2

81 7 x3

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x
7)

3

3

2t

x

0

3

0
2

81
7
x3

4

t
t

11

3

x

81
; x= 3 11 .
7

Ta biến đổi:

x2

3
(2 x 2

Đặt: t

2x2
3x
2 x2

3x
2)
3x

2

3
(x

2

2 2x2

3x

1)
2

2 , (điều kiện: t

1

0 1

0)

Phương trình (7) trở thành phương trình: t 2

16

2t

1 0

t

1

11

+) Với

t

2x2

1

3x

2

2x2

1

3x

2

1
x

2x

2

3x 1

0

1; x

1
.
2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x

1
1
2

x

Ví dụ 2: Giải phương trình:

1) x 1
2) x

4

2

x

5

( x 1)(4

x

(x

x)

2)(5

5

x)

4

Hướng dẫn:
1)

Đặt t

x 1

4

x

( x 1)(4

x)

t2

5
2

;( điều kiện: t

0)

Phương trình (1) trở thành:
t

t2

5

t2

5

2

2t 15

t
t

0

3
5 (L)

+) Với

t

3

x 1

4

x

3

5

2 ( x 1)(4
( x 1)(4

(x

1)(4

x)

x2

4

3x

x
x

0

Vậy phương trình có 2 nghiệm x
2)

Đặt t

x

2

5

x

(x

x)

Phương trình (2) trở thành:

17

9

2

0
3

0 và x

2)(5

x)

x)

3.

t2

7
2

(điều kiện: t

0)


t

t2

7

t2

4

2

2t 15

t
t

0

3
5 (L)

+) Với

t

3

x
7

2

5

2 (x

( x 1)(4

x

3

2)(5

x)

x)
x2

1

9

( x 1)(4

3x

3
3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x

0

x)
3

x

1

3 5
2

3 5
.
2

2.3.3. Bài tập thêm
Bài tập 1: Giải các phương trình sau

1) 2x16 -3-5 2 x 2

3

2) 9- 81 7 x 3

x3
2

3) 4x+6- 3x

2

0

2

3x

6) 5x+1-12 5 x 10

0

7) 5x 2 +1-12 4 x 2

8

8) 2 x 2

x2

12

9) 4 x 2

1
x

2x

1

x

10) x 2

6x

9

4 x2

11) x

5 x

12) x 2 +3- 2 x 2

3x

9

0

0

6x

6

14) x

4 x 1 -3 x 2

5x

2=6

6

0
6x

2

11=31

6

3x
3
(x
2

1)

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

18

12 x 11=0

17) x 2

2 x2

18) x 2

1 7 x2

1 10

0

3 8

x

26

x2

4

4

19)

4 x 16

3 x2

2

4 x2

9

16) 4 x 2 -12-5 4 x 2

0

5) 3x 2 +3x+3-3 2 x 2

8x

6x

15) x 2 + x 2

0

4) x 2 +2-7 3 x 2

13) x 2

x

3 x 11

20) x 2

2x

8

21) x 2

4x

32

22) x 2

3 x 10

23) 2 x

x2

24) x 2

3 x 18

x

3x

x x
4

0

3 x x

3

6x2

12 x

4 x2

4

11x
2

0

0

7

0

3x

6

0

1) x

3

2) 2 x

6

x

3

x 1

3) x 1
4) 3 x

3

3x

x

2

5) 3x

3

x 1

6) x 1

x

3 6

2

2x

x 1 3

x 1

2

x

4x
4x

3

2

x
3 x 1

x

1

2 3x 2

9

2 3x 2

9

x 1 x

16

5x

5x

3

2

2

4

2x

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
1) 7

x

2

2) x
3)1

x

2
x
3

x2

2

7
x2

9

4) 3 x
5) x

x

x2

17

9x

x

x 1

x 2

x

3

9

1 x
4x

2 3x 2

9
x2

x 17

5x

9

2.4. Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức
2.4.1. Phƣơng pháp
Cần nhớ các bất đẳng thức sau:

a+b
+ ab

2 ab
a

b

( a,b

0)

2

2

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi: a

3 3 abc

a+b + c
+ abc

a

b
3

c

( a,b,c

b

0)

3

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi: a

b

2.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1)

x

y 1

z

2

1
(x
2

y

z)
19

c

2