Khóa luận tốt nghiệp toán học: DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC CHỨA THAM SỐ Ở BẬC THPT THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


THÀN THỊ NGUYỄN

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU
CĂN THỨC CHỨA THAM SỐ Ở BẬC THPT
THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC








SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

THÀN THỊ NGUYỄN

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU
CĂN THỨC CHỨA THAM SỐ Ở BẬC THPT
THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI



Chuyên ngành: Phương pháp Toán


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Triệu Sơn



SƠN LA, NĂM 2013
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của Thầy giáo – Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn, sự giúp đỡ và tạo điều kiện của
các thầy cô trong khoa Toán – Lý –Tin, các thầy cô giáo cùng các em học sinh
trường THPTDTNT Tỉnh Lào Cai.
Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ tạo điều
kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, tài liệu, thời gian của phòng Đào Tạo, phòng
Quản lý khoa học và Quan hệ Quốc tế, Thư viện và một số phòng ban trực thuộc
Trường Đại học Tây Bắc.

Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô và
các đơn vị nói trên về sự ủng hộ, giúp đỡ quý báu đó.
Em xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện
Sinh viên: Thàn Thị Nguyễn















KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Kí hiệu, chữ viết tắt
Đọc là
CĐ
Cao đẳng
CH
Cao học
ĐH

Đại học
G
Giỏi
GV
Giáo viên
H
Huyện
HS
Học sinh
K
Khá
NXB
Nhà xuất bản
NXBĐHSP
Nhà xuất bản Đại học sư phạm
NXBHN
Nhà xuất bản Hà Nội
T
Tỉnh
TB
Trung bình
THPT
Trung học phổ thong
TR
Trường
SGK
Sách giáo khoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu. 2
5. Cấu trúc của đề tài 2
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1 Cơ sở lý luận 3
1.1.1 Quan niệm về bài toán 3
1.1.2 Các vấn đề lý luận về phương pháp dạy học giải bài toán trong quá
trình dạy học 3
1.2 Cơ sở thực tiễn 8
1.2.1 Phương trình căn thức chứa tham số ở trường THPT 8
1.2.1.1 Vị trí nội dung phương trình căn thức chứa tham số ở trường THPT
8
1.2.1.2 Mục tiêu 9
1.2.1.3 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy 9
1.2.2. Thực trạng dạy học phương trình căn thức chứa tham số ở trường
THPT 10
1.2.2.1 Điều tra Giáo viên 10
1.2.2.2 Điều tra học sinh 11
CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC CHỨA
THAM SỐ Ở BẬC THPT THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP
GIẢI 15
2.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC CHỨA
THAM SỐ 15

2.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương 15
2.1.2.Phương pháp đặt ẩn phụ 20
2.1.3.Phương pháp hàm số 27
2.1.4.Phương pháp đồ thị 31
2.1.5.Phương pháp điều kiện cần và đủ 40
2.2.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 45
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 46
3.1 Mục đích thực nghiệm 46
3.2 Nội dung thực nghiệm 46
3.3 Phương pháp thực nghiệm 46
3.4 Đối tượng thực nghiệm 46
3.5. Tổ chức thực nghiệm 46
3.6 Phân tích và đánh giá thực nghiệm 47
KẾT LUẬN CHUNG CỦA ĐỀ TÀI 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới, phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán
cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện
cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: Cẩn thận, chính
xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.

Thực tế trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông, các bài
toán về phương trình luôn được quan tâm, là nội dung được dành nhiều thời
gian, được phân bố xuyên suốt chương trình Toán bởi những ứng dụng và tầm
quan trọng của chúng. Các bài toán về phương trình ở trường phổ thông cũng rất
đa dạng, phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp, trong đó phải kể đến
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số. Việc rèn luyện cho học
sinh phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số sẽ
giúp các em có kĩ năng và định hướng tốt trong việc giải những bài toán trong
lớp bài toán này.
Qua thực tế ta thấy rằng năng lực giải các bài toán về phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số của học sinh còn nhiều hạn chế, đa số học
sinh vẫn chưa biết cách hệ thống kiến thức, đưa ra các cách giải cho các bài toán
về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số. Vì vậy khi gặp các
dạng toán phức tạp các em thường lúng túng và không tìm được cách giải.
Hơn nữa do phân bố chương trình và thời gian có hạn, trong giờ lên lớp
về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số giáo viên chỉ kịp
hướng dẫn cho học sinh một số cách cơ bản để giải những dạng phương trình đơn
giản, ít cho các em thực hành cách giải. Do đó một số học sinh chưa xác định được
khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số thì mình phải bắt
đầu từ đâu và thực hiện như thế nào. Vì vậy việc đưa ra phương pháp cho các dạng
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số là việc làm cần thiết. Từ đó

2
giúp các em dễ dàng định hướng và tìm được lời giải đúng đắn khi gặp bất kì một
dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số nào.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài “Dạy học phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn thức chứa tham số ở bậc THPT theo hướng phân loại phương pháp giải”
Mong rằng đây sẽ là tài liệu có ích cho các em học sinh tham khảo, đặc
biệt là các em đang chuẩn bị ôn thi đại học.
2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài đã trình bày một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa tham số, đưa ra các bước giải cụ thể cho từng phương pháp.
Qua đó rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học môn toán trong các trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận của phương pháp dạy học giải bài tập toán.
Tìm hiểu nội dung, kiến thức cơ bản của phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thức chứa tham số ở trường phổ thông.
Trình bày các phương pháp và phân loại phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thức chứa tham số theo các phương pháp giải đó.
Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thức chứa tham số” ở trường THPT.
Tìm hiểu việc dạy giải bài tập, đề xuất biện pháp dạy học theo hướng
phân loại phương pháp giải.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp điều tra – quan sát
Phương pháp thực nghiệm
5. Cấu trúc của đề tài
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Dạy học phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số ở bậc
THPT theo hướng phân loại phương pháp giải
Chương 3: Thực nhiệm sư phạm

3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn
ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra. Định nghĩa này bao gồm 3 ý
chính :
1.Chỉ có bài toán đối với người nào đó, hay chính xác hơn là đối với trạng thái
nào đó của người giải.
2.Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán
3.Lời giải đáp phải gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống
mà người giải đã quen thuộc.
1.1.2 Các vấn đề lý luận về phương pháp dạy học giải bài toán trong quá
trình dạy học
Bất cứ một nội dung nào cũng có cơ sở lý thuyết và phần bài tập tương
ứng. Dựa vào phần lý thuyết để giải bài tập và ngược lại bài tập có tác dụng
củng cố lý thuyết. Vậy vai trò của bài tập trong quá trình dạy học như thế nào?
Phương pháp chung để giải các bài toán như thế nào? Dưới đây sẽ giải quyết
những yêu cầu đó.
a. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học.
Bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán. Đối với học sinh có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập có vai trò là
giá mang hoạt động của học sinh, các bài toán ở trường phổ thông là phương
tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán
học vào thực tiễn. Thông qua việc giải các bài tập, học sinh phải thực hiện
những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định lý, định
nghĩa, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những
hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt
động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung
và phương pháp dạy học. Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể
hiện trên cả 3 bình diện:
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức

4
độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:
Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và những khâu khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn ;
Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
những phầm chất trí tuệ ;
Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri
thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác.
Những bài tập toán còn là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh
hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện các mục
tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động
và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phương pháp dạy học. Đảm bào trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với
nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là
phương tiện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và
trình độ phát triển của học sinh. Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay
nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý đến những điểm sau:
+Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.

+Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức.
+Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
+Thực hiện các bước tìm tòi lời giải.
+Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập.


5
b. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một lời giải tổng quát để giải một
bài toán. Đó là một điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt
cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên trang bị
những hướng dẫn chung, gợi ý những suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải quyết
bài toán lại là có thể và cần thiết.
Để giải một bài toán ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích đề bài
+Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán.
+Xác định cái đã cho, cái phải tìm
+Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
+Khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung đề bài Giáo viên thường đưa ra
những câu hỏi phát vấn dạng:
-Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn các điều kiện cho
trước hay không?
-Hãy vẽ hình, hãy sử dụng kí hiệu thích hợp
-Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó
thành công thức hay không?
Bước 2: Tìm phương pháp giải
+Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán. Biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho

hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài
toán cũ tương tự một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài
toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng
toán như: chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ
tích…
+Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan, tìm tòi
những cách khác nhau, so sánh chúng để tìm cách giải hợp lý nhất.
+Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:
-Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?

6
-Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng yếu tố
chưa biết hay đã biết tương tự
-Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn có lần giải rồi? có cần phải đưa
thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó?
-Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác hay không?
-Hãy giải một phần của bài toán?
-Có thể thay thế bằng điều kiện khác để xác định được cái phải tìm hay không?
Có thể thay thế cái phải tìm hay cái đã cho hay cả hai nếu cần thiết sao cho cái
phải tìm mới và cái đã cho mới gần nhau hơn?
-Đã sử dụng hết cái đã cho hay chưa?
-Kiểm tra lại kết quả? Kiểm tra từng bước? Kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải
toán?
-Có thể tìm được kết quả theo một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết
quả không?
-Hãy so sánh các cách giải để tìm ra cách giải tối ưu nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
+Từ phương pháp giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình, thành các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

+Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:
-Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ ở bước 2
-Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện, những yếu
tố lệch lạc nhất thời và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
+Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
+Nghiên cứu giải những bài toán tương tự hay mở rộng hay lật ngược vấn đề
+Có thể dùng kết quả đó hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự, một bài
toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác.
Kết luận: Phương pháp chung để giải bài toán không phải là thuật giải bài toán.
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được, vận dụng được phương
pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong
chương trình. Học phương pháp chung để giải toán là học những kinh nghiệm
giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện.

7
Nói chung, cách thức dạy học sinh mang phương pháp chung để giải bài toán
như sau:
Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp chung gồm 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này
trong quá trình giải toán.
Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những
phương tiện này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán,
phát hiện để thực hiện từng bước phương pháp chung giải toán.
Những câu hỏi lúc đầu là do giáo viên đưa ra để hỗ trợ cho học sinh
nhưng dần biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh đưa ra đúng
lúc, đúng chỗ để gợi ý từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình
biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản

thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung
giải toán đi tới cách giải cụ thể một bài toán còn là cả một chặng đường đòi hỏi
lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
c. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học trước hết cần nắm vững các yêu cầu
của lời giải bài toán. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, ngắn gọn, dễ hiểu
cụ thể là:
Yêu cầu 1: Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ
thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như
vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức.
Yêu cầu 2: Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán
Luận cứ phải đúng
Luận chứng phải hợp logic
Yêu cầu 3: Lời giải đầy đủ

8
Yêu cầu có nghĩa là: Lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp,
một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là phương trình không được thiếu nghiệm,
phân chia các trường hợp không được thiếu một khả năng nào.
Yêu cầu 4: Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho các bộ môn. Việc
dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
Yêu cầu 5: Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật.
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố
(chữ, số, hình, kí hiệu ) trong lời giải.
Yêu cầu 6: Tìm ra nhiều cách giải,chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong
các cách giải đã tìm được

Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn
gọn, hợp lý nhất.
Yêu cầu 7: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Từ yêu cầu 1 tới yêu cầu 4 là 4 yêu cầu cơ bản; yêu cầu 5 là yêu cầu về
mặt trình bày; yêu cầu 6, 7 là yêu cầu đề cao.
1.2 Cơ sở thực tiễn
1.2.1 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số ở trường
THPT
1.2.1.1 Vị trí nội dung phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham
số ở trường THPT
Chương trình sách giáo khoa Đại số 10 gồm 6 chương.
-Phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức nằm ở bài 2 (Phương trình
quy về phương trình bậc nhất, bậc hai) của chương 3 (Phương trình và hệ
phương trình)
-Phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số được đề cập
thông qua ví dụ hoặc trong tiết bài tập.
Thời lượng dạy về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số
khoảng 1 tiết. Học sinh không được dạy tường minh phương pháp giải mà chỉ
được làm quen qua một số ví dụ cụ thể, vì vậy học sinh thường gặp khó khăn

9
trong việc hình thành phương pháp và kĩ năng giải phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa tham số.
1.2.1.2 Mục tiêu
Kiến thức
- Nắm được các phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
thức chứa tham số
-Nắm được các dạng toán, các bước giải phương trình chứa ẩn dưới dấu

căn thức chứa tham số
-Nắm được các kiến thức liên quan áp dụng để giải các bài toán cụ thể.
Kĩ năng
-Xác định được dạng toán và phương pháp giải bài tập phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số
-Giải được các bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham
số bằng các phương pháp phù hợp.
1.2.1.3 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy
a)Về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
Đối với chương trình giáo dục THPT môn Toán lớp 10, SGK chỉ nêu ví
dụ và bài tập đối với những phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai
dạng đơn giản. Nhiều phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức khi giải có thể
quy về phương trình bậc hai (hoặc phương trình bậc nhất). Để đơn giản, SGK
chỉ nêu ví dụ về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai.
-Cách giải loại phương trình này là bình phương hai vế để đưa về một
phương trình bậc hai hoặc bậc nhất, tính nghiệm rồi thử vào phương trình ban
đầu để loại nghiệm lai.
-Trong quá trình làm bài HS thường hay bỏ qua bước thử lại nghiệm, vì
thế dẫn đến việc kết luận nghiệm không đúng. Do đó cần chú ý cho HS sau khi
tính nghiệm cần thử vào phương trình ban đầu để loại nghiệm lai.
b)Về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số
Trong chương trình THPT, SGK ít đề cập tới phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa tham số. Vì vậy HS thường hay bối rối trong việc tìm cách
giải và khó khăn trong quá trình giải bài tập.
- Cần cho HS biết cách nhận dạng bài toán để tìm phương pháp giải phù hợp.

10
c)Về phương pháp giảng dạy
Cần cho HS thấy rằng để giải các bài toán phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thức chứa tham số cần xác định được dạng toán để tìm phương pháp giải

phù hợp.
1.2.2. Thực trạng dạy học phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa
tham số ở trường THPT
1.2.2.1 Điều tra Giáo viên
Bảng 1: Giáo viên toán ở trường THPT Dân tộc nội trú Tỉnh Lào Cai
Stt
Họ và tên giáo viên
Tuổi
nghề
Hệ đào tạo
Chất lượng
giảng dạy
Danh hiệu
dạy giỏi
cấp
CĐ
ĐH
CH
G
K
TB
Tr
H
T
1
Đào Thu Huyền
12

+

+


+


2
Trần Văn Hưởng
34

+


+

+


3
Nguyễn Quang Hưng
8


+
+




+

4
Đặng Thanh Mai
2

+

+


+


5
Lê Thanh Mai
20

+

+


+


6
Nguyễn Thị Thanh
7

+

+


+


7
Nguyễn Thị Nha Trang
2

+


+

+



11
Bảng 2: Đánh giá của Giáo viên về nội dung phương trình căn thức chứa tham số
Stt
Họ tên giáo viên
Mức độ kiến thức
Thời lượng chương
trình
Dễ
Bình
thường
Khó

Ngắn
Vừa
Dài
1
Đào Thu Huyền

+

+


2
Trần Văn Hưởng


+
+


3
Nguyễn Quang Hưng


+

+

4
Đặng Thanh Mai

+


+

5
Lê Thanh Mai


+
+


6
Nguyễn Thị Thanh


+
+


7
Nguyễn Thị Nha
Trang


+
+

1.2.2.2 Điều tra học sinh
Bảng 3: Lớp 10 trường THPT Dân tộc nội trú Tỉnh Lào Cai
Stt
Lớp
Tổng số học
sinh
Học sinh
G
K
TB
Y
1
10A
33
5
18
10
0
2
10B
35
3
15
16
1
3
10C
34
3

11
18
2
4
10D
32
2
16
12
2
5
10E
34
4
14
12
4


12
Bảng 4: Đánh giá của Học sinh về nội dung phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thức chứa tham số
Stt
Họ và tên học sinh
Lớp
Mức độ kiến thức
Thời lượng
chương trình
Dễ
Bình

thường
Khó
Ngắn
Vừa
Dài
1
Vàng Văn Quyền
10A


+
+


2
Tẩn Tả Mẩy
10A

+

+


3
Sùng Văn Đình
10B


+

+

4
Nông Thị Chi
10B

+



+
5
Đặng Văn Bình
10C


+
+


6
Vi Thị Thuyết
10C


+
+


7

Lù Văn Tuyên
10D

+


+

8
La Kim Dung
10D


+
+


9
Lê Thị Thảo
10E


+
+


10
Vương Văn Hạnh
10E

+
+



Nhận xét: Qua điều tra ta thấy rằng tất cả các GV đều đạt trình độ ĐH trở lên,
chất lượng giảng dạy cao (100% khá trở lên). Một số GV có thâm niên công tác
lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Tuy nhiên cũng có
một số lượng không nhỏ GV trẻ tuổi mới bước vào nghề chưa có nhiều kinh
nghiệm nên còn gặp nhiều khó khăn trong công tác giảng dạy, đặc biệt là đối với
những nội dung khó trong đó phải kể đến nội dung về phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn thức chứa tham số.
Về phía học sinh: Đa số các em đều phải đi học xa nhà, tự lập sớm, thiếu
sự quan tâm sát sao của bố mẹ. Do đó một số em có ý thức học tập chưa tốt,
chưa nhận thức được động cơ học tập

13
Hầu hết GV và HS được điều tra đều đánh giá phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa tham số là một nội dung khó và dài, trong khi đó nó chỉ
chiếm khoảng 1tiết học đối với chương trình cơ bản và khoảng 1 tiết đối với
chương trình nâng cao. Do đó GV khó có thể hình thành cho HS phương pháp
và kĩ năng để giải tất cả các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa
tham số. Hơn nữa phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số cũng là
nội dung thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học. Vì vậy việc
rèn luyện giúp học sinh hình thành phương pháp và kĩ năng giải phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số và giải phương trình đại số nói chung là
việc cần thiết.
Bảng 5 :
Lớp

10A
10B
10C
Độ khó của môn
toán
Khó
16
18
19
Bình thường
15
14
14
Dễ
2
3
1
Sự yêu thích môn
toán
Thích
10
9
12
Bình thường
20
19
17
Không thích
3
7

5
Phương pháp học
tập môn toán
Chỉ học lý thuyết
9
11
13
Học qua lý thuyết rồi
làm bài tập
17
21
19
Nghiên cứu thêm sách
tham khảo
7
3
2
Múc độ nhận biết lý
thuyết phần phương
trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa
tham số
Rất hiểu bài
16
17
12
Bình thường
15
16
21

Không hiểu
2
2
1
Khả năng giải các
Khó
19
22
17

14
bài toán phương
trình chứa ẩn dưới
dấu căn thức chứa
tham số
Bình thường
13
9
15
Dễ
1
4
2
Mức độ chú ý
Chú ý
11
13
11
Bình thường
20

19
21
Không chú ý
2
3
2

Nhận xét: Qua điều tra ta thấy phần lớn học sinh thích học môn Toán, trong lớp
chú ý nghe giảng và đã có ý thức học tập. Tuy nhiên, môn Toán là một môn khó,
đặc biệt là kiến thức về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số
luôn đòi hỏi phải tư duy logic, trừu tượng, sáng tạo mới hiểu và lĩnh hội hết
được. Vấn đề là các em chưa có phương pháp học tập, chưa nhận dạng được các
bài toán phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số phức tạp và đưa
nó về dạng cơ bản nên kết quả học tập chưa cao. Chính vì vậy giáo viên cần
hướng dẫn cho học sinh những kinh nghiệm nhận dạng các bài toán phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa tham số, giúp cho học sinh có được phản
xạ tốt khi giải các bài toán ở dạng bài tập này.

15
CHƯƠNG 2
DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC
CHỨA THAM SỐ Ở BẬC THPT THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 Các phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức chứa
tham số
2.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương
a)Phương pháp chung
Ta thường dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp các dạng phương
trình:

Dạng 1: Phương trình
( , ) ( , ) (1)f x m g x m

Ta thực hiện theo 3 bước:
+Bước 1: Lựa chọn phép biến đổi

( , ) 0
(1)
( , ) ( , )
f x m
f x m g x m



hoặc

( , ) 0
(1)
( , ) ( , )
g x m
f x m g x m




Việc lựa chọn phép biến đổi tùy theo độ phức tạp của
( , ) 0f x m 
và
( , ) 0g x m 

+Bước 2: Giải phương trình
( , ) ( , )f x m g x m
với điều kiện đã chọn
+Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
Dạng 2: Phương trình
( , ) ( , ) (2)f x m g x m

Ta thực hiện theo 3 bước:
+Bước 1: Ta thực hiện phép biến đổi

2
( , ) 0
(2)
( , ) ( , )
g x m
f x m g x m







+Bước 2: Giải phương trình
2
( , ) ( , )f x m g x m
với điều kiện
( , ) 0g x m 

+Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình

Dạng 3: Phương trình
( , ) ( , ) ( , ) (3)f x m g x m h x m

Ta thực hiện theo 3 bước:

16
+Bước 1: Ta thực hiện phép biến đổi

 
2
( , ) 0
(3) ( , ) 0
( , ) ( , ) ( , )
f x m
g x m
f x m g x m h x m












( , ) 0
( , ) 0

( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )
f x m
g x m
f x m g x m f x m g x m h x m






  


+Bước 2: Giải phương trình
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )f x m g x m f x m g x m h x m  
, với điều kiện
( , ) 0
( , ) 0
f x m
g x m






+Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình
b)Ví dụ
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình
2

2 3 (1)x m x mx   

Giải
Bước 1: Nhận thấy phương trình có dạng 1. Ta lựa chọn phép biến đổi:
(*)
0
(1)
22
2 3 (2 1) 3 0 (2)
xm
xm
x m x mx x m x m







        





Bước 2: Khi đó việc giải phương trình (1) trở thành biện luận phương trình (2)
với điều kiện (*)
+Biện luận phương trình (2) :
2
(2 1) 3 0x m x m    

Ta có:
2
(2 1) 4(3 )mm    


2
2
4 4 1 12 4
4 11
m m m
m
    


.Với
0
hay
2
11 11
4 11 0
22
mm

    
thì phương trình (2) vô
nghiệm. Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

17
.Với

0
hay
2
11
2
4 11 0
11
2
m
m
m





  




thì phương trình (2) có nghiệm kép
21
2
m
x



Khi đó

21
2
m
x


là nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi
xm

hay
2 1 2 1 2 1 2 1
0 0 0
2 2 2 2
m m m m
mm
   
       
( luôn đúng với
mọi giá trị của m)
Do đó phương trình (1) có nghiệm
21
2
m
x


với mọi m
.Với
0
hay

2
11
2
4 11 0
11
2
m
m
m





  




thì phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt:
2
1
2 1 4 11
2
mm
x
  

và

2
2
2 1 4 11
2
mm
x
  


Ta thấy 2 nghiệm x
1
, x
2
đều thỏa mãn điều kiện
xm

Do đó với
11
2
11
2
m
m










thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
2
1
2 1 4 11
2
mm
x
  

và
2
2
2 1 4 11
2
mm
x
  


Bước 3: Kết luận
+ Với
11 11
;
22
m






thì phương trình (1) vô nghiệm
+ Với
11
2
m 
thì phương trình (1) có nghiệm kép
21
2
m
x




18
+Với
11 11
;;
22
m
   

  
   
   
thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
là:
2

1
2 1 4 11
2
mm
x
  

và
2
2
2 1 4 11
2
mm
x
  


Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình
2
1 (1)x x m  

Giải
Bước 1 : Ta có phương trình (1) :
2
1x x m  


2
1x x m  

Nhận thấy phương trình có dạng 2. Ta thực hiện biến đổi
2
2 2 2
0
(1) 1 (I)
1 ( ) 2 1 (2)
x m x m
x x m
x x m mx m
    

     

     



Bước 2 : Khi đó việc giải phương trình (1) trở thành biện luận phương trình (2)
với điều kiện
xm

Biện luận phương trình (2):
2
21mx m  
(đây là phương trình bậc nhất 1 ẩn
với tham số m)
.Với
0m 
thì phương trình (2) trở thành
01x 

(vô lí)
Khi đó phương trình (2) vô nghiệm

phương trình (1) vô nghiệm
.Với
0m 
thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
2
1
2
m
x
m



Khi đó hệ phương trình (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
thỏa mãn
xm


22
1
11
0
10
22
m
mm
m

m
mm



      

  


Bước 3 : Kết luận
+Với




1;0 1;m  
thì phương trình có nghiệm duy nhất
2
1
2
m
x
m



+ Với
 



; 1 0;1m  
thì phương trình vô nghiệm.



19
Ví dụ 3 (HVQHQT 98) : Giải và biện luận phương trình

(1)x a x a a   

Giải
Bước 1 : Nhận thấy phương trình có dạng 3. Ta thực hiện biến đổi:

 
2
2
0
0
(1)
0
a
xa
xa
x a x a a











   

2 2 2
0
2 (2)
a
xa
x a x a x a a






     


Bước 2 : Khi đó việc giải phương trình (1) trở thành biện luận phương trình (2)
với điều kiện
0a
xa







+Biện luận phương trình (2) :

2 2 2
(2) 2x a x a x a a      


2 2 2
22x a a x   

Ta thấy phương trình
2 2 2
22x a a x  
có dạng 2. Khi đó ta thực hiện biến
đổi :
2 2 2
22x a a x  
2
2 2 2 2
20
4( ) ( 2 )
ax
x a a x







2
2 2 4
( )
2
4 4 (3)
a
x
I
a x a a









Số nghiệm của phương trình (2) tùy thuộc vào số nghiệm của hệ (I), hay số
nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn điều kiện
2
2
a
x 

+Biện luận phương trình (3) :
.Với
0a 

Khi đó phương trình (3) có dạng
00x
, do đó hệ (I) có nghiệm
0x 


phương trình (1) có nghiệm
0x 

.Với
0a 