Trắc nghiệm giới hạn có giải chi tiết trong các đề thi thử toán 2018

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào sau đây là sai ?
A. lim un  c ( un  c là hằng số ).
C. lim

1
 0.
n

B. lim q n  0  q  1 .
D. lim

1
 0  k  1 .
nk

Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q n  0  q  1 .
Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục
trên khoảng  a; b  . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn  a; b  là ?
A. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .

B. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .

C. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .

D. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .

xa

x a

x b

x b

xa

x b

x a

x b

Lời giải
Chọn A
Hàm số f xác định trên đoạn  a; b  được gọi là liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên
khoảng  a; b  , đồng thời lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
x a

x b

Câu 3: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn lim

A.

2
.
3

B.

3
.
2

C.

1
.
2

2n  1
.
3n  2

D. 0 .

Lời giải
Chọn A
1
2
2n  1
n  2.
Ta có lim
 lim
2 3
3n  2
3
n
Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn A  lim

x 1

A. A  .

B. A  0.

C. A  3.

x3  1
.
x 1
D. A  .

Lời giải
Chọn C

 x  1  x 2  x  1
x3  1
 lim
 lim  x 2  x  1  3 .
A  lim
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
Câu 5: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của lim  3 x 2  2 x  1 bằng:
x 1

A.  .

B. 2 .

Chọn B
lim  3 x 2  2 x  1  3.12  2.1  1  2.
x 1

C. 1.
Lời giải.

D. 3 .


Câu 6: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
0?
n

n

n3  3n
6
B. un    .
C. un 
.
n 1
5
Lời giải:

 2 
A. un    .
 3 

D. un  n2  4n .

Chọn A
n

2 2
 2 
lim un  lim    0 (Vì
  1 ).
n 
n 
3
3
 3 

x2
bằng
x  x  3

Câu 7: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) lim

2
3

A.  .

B. 1.

C. 2 .

Lời giải

Chọn B

2
1
x2
x  1 1.
Chia cả tử và mẫu cho x , ta có lim
 lim
x  x  3
x 
3 1
1
x

D. 3 .


Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho f  x   sin 2 x  cos 2 x  x . Khi
đó f '  x  bằng
A. 1  sin 2x .

C. 1  sin x.cos x .

B. 1  2sin 2x .

D. 1  2sin 2x .

Lời giải

Chọn B
Ta có f  x   sin 2 x  cos 2 x  x   cos 2x  x  f '  x   2sin 2 x  1 .

2n  1
.
n 1
D. I  1 .

Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm giới hạn I  lim
A. I  2 .

B. I  0 .

C. I  3 .
Lời giải

Chọn A
1
2
2n  1
n  2.
I  lim
 lim
1
n 1
1
n
Câu 3: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính lim
x 5

2
A.  .
5

B.  .

2
.
5

C.

x 2  12 x  35
.
25  5 x

D.  .

Lời giải
Chọn C
Ta có lim
x 5

 x  7  x  5   lim x  7  2 .
x 2  12 x  35
 lim
x 5
x 5 5
25  5 x
5  x  5 

5

Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n

n

4
A.   .
e

1
B.   .
3

n

5
C.   .
 3
Lời giải

n

 5 
D.   .
 3 

Chọn B
Ta có lim q n  0 nếu q  1 .

n

4
5 5
1
1
Mặt khác
 1;

1;
 1 . Vậy lim    0 .
e
3
3
3
3
x2  9
bằng:
x 3 x  3
C.  .
Lời giải

Câu 5: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tính lim
A. 3 .

B. 6 .

D. 3 .

Chọn B

Ta có: lim
x 3

x2  9
 lim  x  3  6 .
x  3 x 3

Câu 6: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là sai?
A. lim q n  0 | q |  1 .

B. lim un  c ( un  c là hằng số).


C. lim

1
 0  k  1 .
nk

D. lim

1
 0.
n

Lời giải:
Chọn A
A sai vì lim q n  0 khi q  1 .
Câu 7: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu

sau là đúng?
A. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm  x0 .
B. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Lời giải
Chọn D
Đáp án D đúng vì nó là một định lý trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11.
Câu 8: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 a; b  . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên  a; b là
A. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
B. lim f  x   f  a 
x a
x b
x a






C. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
xa

x b

và lim f  x   f  b  .
x b

D. lim f  x   f  a  và lim f  x   f  b  .
xa

x b

Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn  a; b .

x2  5x  6
.
x 2
x2
D. I  5 .

Câu 9: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim
A. I  1 .

B. I  0 .

C. I  1 .
Lời giải

Chọn A
I  lim
x2

 x  2  x  3  lim x  3  1 .
x2  5x  6
 lim

 
x

2
x 2
x2
x2

Câu 10: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tìm lim

x 

1
A.  .
4

B. 1.

C. 0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có lim

x 

x 2  3x  5
 lim
x 
4x 1

3 5

x x2   1 .
1
4
4
x

 1

x 2  3x  5
.
4x 1
D.

1
.
4


Câu 11: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử ta có lim f  x   a và
x 

lim g  x   b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

x 

A. lim  f  x  .g  x    a. b .
x 

B. lim  f  x   g  x    a  b .
x 

f  x a
 .
g  x b

D. lim  f  x   g  x    a  b .
x 

C. lim

x 

Lời giải
Chọn C
Vì có thể b  0 .
Câu 12: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng

K chứa a . Hàm số f  x  liên tục tại x  a nếu
A. f  x  có giới hạn hữu hạn khi x  a .

B. lim f  x   lim f  x    .

C. lim f  x   f  a  .

D. lim f  x   lim f  x   a .

x a

x a

xa

x a

xa

Lời giải
Chọn C
Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f  x  liên tục tại x  a nếu
lim f  x   f  a  .
x a

2n
bằng
n 1
D. 0 .

Câu 13: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giá trị của lim
A. 1.

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C
2

1
2n
0 1
Ta có: lim

 lim n
 1 .
1
n 1
1

0
1
n
Câu 14: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giới hạn lim  x 2  x  7  bằng ?
x 1

A. 5 .

B. 9 .

C. 0 .
Lời giải

D. 7 .

Chọn B
2

Ta có lim  x 2  x  7    1   1  7  9 .

x 1

2x 1
.
x  x  1

Câu 15: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim
A.

1
.
2

B. 1.

C. 2 .
Lời giải

Chọn C

D. 1 .


1
2
2x 1
x  2.
 lim
lim
x  x  1

x 
1
1
x


x 1
bằng
6x  2
1
C. .
3
Lời giải

Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) lim

x 

A.

1
.
2

B.

1
.
6

D. 1.

Chọn B
1
1
x 1
x  1.
 Ta có lim
 lim
x 
x  6 x  2
2 6
6
x
Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) lim

x 

A.

1
.
3

B.

1
.
4

x 1
bằng
4x  3

C. 3 .

D. 1.

Lời giải

Chọn B
1
1
x 1
x 1.
Ta có lim
 lim
x  4 x  3
x 
3 4
4
x
Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) lim
A.

3
.
2

B. 2.

4n 2  1  n  2
bằng
2n  3

C. 1.

D.  .

Lời giải
Chọn C

4n 2  1  n  2
Ta có: lim
 lim
2n  3

4

1
1 2


n2
n n2  2  0  1 .
3
2
2
n

Câu 4: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Tính I  lim
A. I   .

B. I  0 .

C. I   .
Lời giải

2n  3
.
2n  3n  1
D. I  1 .
2

Chọn B

2n  3
 lim
I  lim 2
2n  3n  1

2 3 
2 3
n2   2 

n
n

  lim n n 2  0 .
3 1

3 1 

2  2
n2  2   2 
n n
n n 


Câu 5: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của lim  2 x 2  3 x  1 bằng
x 1

A. 2 .
Chọn D

B. 1.

C.  .
Lời giải

D. 0 .


Ta có: lim  2 x 2  3 x  1  0 .
x 1

Câu 6: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Giá trị của lim
x2

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .
Lời giải

x2
bằng
x

D. 1.

Chọn B
x2
2
 2
lim
 lim  1    1   2 .
x2
x2
x
2
 x
Câu 7: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    và xét hai số phức
2

  z 2   z  và   2 z.z  i  z  z  . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A.  là số thực,  là số thực.

B.  là số ảo,  là số thực.

C.  là số thực,  là số ảo.

D.  là số ảo,  là số ảo.
Lời giải

Chọn A
2

Ta có   z 2   z    a 2  b 2  2abi    a 2  b 2  2abi   2  a 2  b 2  , do đó  là số thực.

  2 z.z  i  z  z   2  a 2  b 2   i  2bi   2  a 2  b 2   2b , do đó  là số thực.
1  n2
bằng
2n 2  1
1
C. .
3
Lời giải

Câu 8: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) lim
A. 0 .

B.

1
.
2

1
D.  .

2

Chọn D
1
1
2
1  n2
1
Ta có lim 2
 .
 lim n
1
2
2n  1
2 2
n
x3
x 3 x  3
D. L  1 .

Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn L  lim
A. L   .

B. L  0 .

C. L   .
Lời giải

Chọn B
Ta có L  lim

x 3

x 3 33

 0.
x 3 33
4x 1
bằng
x   x  1
D. 4 .

Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) lim
A. 2 .

B. 4 .

Chọn D
1
4x 1
x  4 .
 lim
lim
x   x  1
x 
1
1 
x
4

C. 1 .

Lời giải


Câu 11: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) lim
2
A.  .
3

B.

1
.
3

1  2n
bằng
3n  1

C. 1 .

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn A
1
2

1  2n
2
Ta có lim
 lim n
 .
1
3n  1
3
3
n





Câu 12: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim 2 x 3  x 2  1
x  

A.   .

B.   .

C. 2 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
1 1


Ta có lim  2 x3  x 2  1  lim x3  2  2  3     .
x  
x 
x
x 

2x 1
.
x  x  1
1
C. L   .
2
Lời giải

Câu 13: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Tính L  lim
A. L  2 .

B. L  1 .

D. L  2 .

Chọn D
1

1
x2 
2
2x 1
x


x  20  2.
Ta có L  lim
 lim
 lim
x  x  1
x 
x

1
1 0
 1
1
x 1  
x
 x
Câu 14: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây
không liên tục trên  ?
x
x
A. y  x .
B. y 
.
C. y  sin x .
D. y 
.
x 1
x 1
Lời giải
Chọn B
x

là  \ 1 .
x 1
Hàm số liên tục trên từng khoảng  ;1 và 1;   nên hàm số không liên tục trên  .

Tập xác định của hàm số y 

Câu 15: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn I  lim
2
A. I   .
3

B. I  1 .

C. I  3 .
Lời giải

Chọn C

3n  2
.
n3

D. k   .


2
3
3n  2
n  3.
Ta có I  lim

 lim
3
n3
1
n
Câu 16: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn
1
có số hạng đầu u1  1 và công bội q   .
2
3
2
A. S  2 .
B. S  .
C. S  1 .
D. S  .
2
3
Lời giải
Chọn D
u
1
2
S 1 
 .
1 q 1 1 3
2
Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) lim

x 

A. 0 .

B.  .

1
bằng
2x  5

C.  .

1
D.  .
2

Lời giải
Chọn A
1 x
bằng
x  3 x  2
1
D.  .
2

Câu 18: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) lim
A.

1
.
3

B.

1
.
2

1
C.  .
3
Lời giải

Chọn C
1
1
1 x
1
Ta có lim
 lim x
 .
x  3 x  2
x 
2
3
3
x

3x  1
bằng
x  x  5

Câu 19: lim

A. 3 .

B. 3 .

1
C.  .
5

3x  1
bằng
x  x  5
1
C.  .
5
Lời giải

D. 5 .

Câu 20: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) lim
A. 3 .

B. 3 .

Chọn A
1
3x  1
x  3.
Ta có lim

 lim
x  x  5
x 
5
1
x
3

D. 5 .


cx 2  a
bằng?
x  x 2  b
ab
D.
.
c

Câu 21: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn lim
A. a .

C. c .

B. b .

Lời giải
Chọn C
a
c 2

cx 2  a
x  c0 c.
Ta có lim 2
 lim
x  x  b
x 
b
1 2 1 0
x
Câu 22: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Hàm số nào dưới đây gián
đoạn tại điểm x0  1 .
A. y   x  1  x 2  2  .

B. y 

2x 1
.
x 1

C. y 

x
.
x 1

D. y 

x 1
.
x2  1

Lời giải
Chọn B
Ta có y 

2x 1
không xác định tại x0  1 nên gián đoạn tại x0  1 .
x 1
2x 1
bằng.
x  3  x

Câu 23: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) lim
A. 2 .

B.

2
.
3

C. 1.

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
1
2
2x 1

x  2 .
Ta có: lim
 lim
x  3  x
x  3
1
x
Câu 24: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn lim

x 2

A.  .

B.

3
.
16

C. 0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: lim

x 2

Do lim

x 2

x 1

 x  2
1

 x  2

2

2

 lim

x 2

1

 x  2

2

.  x  1   .

  và lim  x  1  1  0 .
x 2

x 1

 x  2

2

bằng

D.  .


Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Tính giới hạn lim
A.

1
.
2

B. 4 .

4n  2018
.
2n  1

C. 2 .

D. 2018 .

Lời giải
Chọn C
2018
4
4n  2018

n 2.
Ta có lim
 lim
1
2n  1
2
n
Câu 2: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của

lim  4 x 5  3x 3  x  1 .

x

A. 0 .

B.  .

C.  .
Lời giải

D. 4 .

Chọn B



5



3

5




Ta có lim 4 x  3 x  x  1  lim x  4 
x
x

3 1
1
 4  5    .
2
x
x
x 


3 1
1

4  2  4  5   4  0

 xlim
x
x
x 
Vì   

.
5
 lim x  
 x
Câu 3: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) lim

2
A.  .
3

B. 1.

C. 3 .

3n  2
bằng.
n3

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
2
3
3n  2
n  3.
Ta có: lim
 lim
3
n3

1
n
Câu 4: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim

x 

A. I  2 .

3
B. I   .
2

3x  2
.
2x 1

C. I  2 .

D. I 

Lời giải
Chọn D
2
3
3x  2
x  3.
Ta có I  lim
 lim
x  2 x  1
x 

1 2
2
x
x
bằng.
x  x  1

Câu 5: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) lim

2

3
.
2


A.  .

B. 1.

C.  .
Hướng dẫn giải

D. 0 .

Chọn D
1
x
Ta có: lim 2
 lim x  0 .

x  x  1
x 
1
1 2
x

2 x
.
x  3  x

Câu 6: Tính lim
A. 1 .

B.

2
.
3

2
C.  .
3
Lời giải

D. 1 .

Chọn A
2
1
2 x

lim
 lim x
 1 .
x  3  x
x  3
1
x

2 x 2  3x  2
bằng
x 2
x2  4
5
A. .
4

5
B.  .
4

C.

1
.
4

D. 2 .

2 x 2  3x  2
bằng

x 2
x2  4
5
A. .
4

5
B.  .
4

C.

1
.
4

D. 2 .

Câu 7: lim

Câu 8: lim

Lời giải
Chọn A

 2 x  1 x  2   lim 2 x  1  5 .
2 x 2  3x  2
 lim
2
x 2 x  2

x 2
x 2  x  2  x  2 
4
x 4

Ta có lim

2x 1
bằng
x 1
A. 1 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 2 .

2x 1
bằng
x 1
A. 1 .

B. 1.

C. 2 .

D. 2 .

Câu 9: lim

x 

Câu 10: lim

x 

Hướng dẫn giải
Chọn C
1
2
2x 1
x  2.
lim
 lim
x  x  1
x 
1
1
x


Câu 11: Tính tổng vô hạn sau: S  1 

A. 2 n  1 .

1 1
1
 2  ...  n  ... .
2 2

2
1
1
1 n
B. . 2
.
2 1 1
2

C. 4 .

D. 2 .

1
.
2

C. 2 .

D.  .

C. 4 .

D. 2 .

2x 1
.
x  x  2

Câu 12: Tìm lim

A. 1 .

B. 

Câu 13: Tính tổng vô hạn sau: S  1 

1 1
1
 2  ...  n  ... .
2 2
2

1
1
1 2n
B. .
.
2 1 1
2

n

A. 2  1 .

Lời giải
Chọn D
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u1  1 ; q 
Khi đó: S 

1
.
2

u1
1
 2.

1 q 1 1
2

2x 1
.
x  x  2

Câu 14: Tìm lim

A. 1 .

B. 

1
.
2

C. 2 .

D.  .

B. 2 .

C. 5 .

D.  .

B. 2 .

C. 5 .

D.  .

Lời giải
Chọn C
1
2
2x 1
x  2.
Ta có: lim
 lim
x  x  2
x 
2
1
x

5x  2
bằng:
2018 x  1
5
A.

.
2018

Câu 15: lim

x 

5x  2
bằng:
x  2018 x  1
5
A.
.
2018

Câu 16: lim


Hướng dẫn giải
Chọn A
2
5
5x  2
x  5 .
lim
 lim
x  2018 x  1
x 
1 2018
2018 

x

2n  1
bằng
n  n  1
A. 1 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 2 .

2n  1
bằng
n  n  1
A. 1 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 2 .

B. I  2 .

C. I  3 .

D. I  2 .

B. I  2 .

C. I  3 .
Lời giải

D. I  2 .

Câu 17: lim

Câu 18: lim

Lời giải
Chọn B
1
2n  1
n  2.
Ta có: lim
 lim
n  n  1
n 
1
1
n
2

Câu 19: Tìm I  lim

3n  2
.
n1

A. I  0 .
Câu 20: Tìm I  lim

3n  2
.
n1

A. I  0 .
Chọn C

2

2
n3  
3
3n  2
n
n  3.
 lim 
I  lim
 lim
1
1
n1


1
n 1 
n

n


Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
2n
A. lim   .
B. lim  2n  1   . C. lim 2   .
n
3n
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
2n
A. lim   .
B. lim  2n  1   . C. lim 2   .
n
3n
Hướng dẫn giải
Chọn B
1

Ta có: lim  2n  1  lim n  2     .
n


D. lim

3
3
 .

2n  1 2

D. lim

3
3
 .
2n  1 2

x2
bằng
x  x 2  1

Câu 23: lim

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 2 .


x2
bằng
x  x 2  1

Câu 24: lim

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A

1 2
 2
x2
x
x 0
lim
 lim
x  x 2  1
x 
1
1 2
x

x2
.
x  2 x  3
2
A. M   .
3

Câu 25: Tính M  lim

x2
.
x  2 x  3
2
A. M   .
3

B. M  0 .

C. M   .

D. M 

1
.
2

B. M  0 .

C. M   .

D. M 

1
.
2

Câu 26: Tính M  lim

Lời giải
Chọn D
2
1
x2
x 1.
Ta có: M  lim
 lim
x  2 x  3
x 
3 2
2
x
Câu 27: lim

3n  1
a
n2

A. a  1 .

Câu 28: lim

B. a  

1
2

C. a  3 .

3
D. a   .
2

B. a  

1
2

C. a  3 .

3
D. a   .
2

3n  1
a
n2

A. a  1 .

Lời giải
Chọn C
1
3
3n  1
n 3  a  3.
lim

 lim
n
n2
1
2


lim
Câu 29:
3
A. .
2

2n 2  3
n 2  1 bằng

2n 2  3
bằng
n2  1
3
A. .
2

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 30: lim

Lời giải
Chọn B
3
2n  3
n2  2 .
Ta có: lim 2
 lim
1
n 1
1 2
n
2

2

Câu 31: Cho số phức z  a  bi  a, b    tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz .
B. Mô đun của z là một số thực dương.
2

C. z 2  z .
D. Điểm M  a; b  là điểm biểu diễn của z .
Câu 32: Cho số phức z  a  bi  a, b    tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz .
B. Mô đun của z là một số thực dương.
2

C. z 2  z .
D. Điểm M  a; b  là điểm biểu diễn của z .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
iz  ai  b  a  bi  z . Do đó số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz .
z  a 2  b 2  0 , z . Do đó mô đun của z là một số thực dương là sai.
2

2

2

z 2   a  bi   a 2  b 2  z . Do đó z 2  z là sai.

Điểm biểu diễn của z là M  a; b  . Do đó điểm M  a; b  là điểm biểu diễn của z là sai.
Câu 33: lim

1 n
bằng
1  3n 2

A. 1.
Câu 34: lim

B. 0 .

1
C.  .
3

D.

1
.
3

B. 0 .

1
C.  .
3

D.

1
.
3

1 n
bằng
1  3n 2

A. 1.

Lời giải
Chọn B
1 1

2
1 n
n
n 0.
Ta có lim
 lim
1
1  3n 2
3
n2





Câu 35: lim x 3  3 x 2  2018 bằng
x 

B.  .

A.  .



C. 1.

D. 0 .

C. 1.

D. 0 .



Câu 36: lim x 3  3 x 2  2018 bằng
x 

B.  .

A.  .

Lời giải
Chọn A

 3 2018 
 3   
x 
 x
 3 2018 
Do lim x 3   và lim  1   3   1  0 .
x 
x 
x 
 x





Ta có: lim x 3  3 x 2  2018  lim x3 1 
x 

x 

lim f  x 
lim  f  x   2   1
Câu 37: Cho x  
. Tính x 
.
A. lim f  x   3 .
B. lim f  x   3 .

C. lim f  x   1 .

D. lim f  x   1 .

lim f  x 
lim  f  x   2   1
Câu 38: Cho x  
. Tính x 
.
A. lim f  x   3 .
B. lim f  x   3 .

C. lim f  x   1 .

D. lim f  x   1 .

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

Lời giải
Chọn C
Ta có lim  f  x   2   1  lim f  x   1  2  1 .
x 

x 

x2  2x  1
.
x 1 2 x 3  2

Câu 39: Tính giới hạn lim

A.  .

B. 0 .

C.  .

D.

1
.
2

C.  .

D.

1
.
2

x2  2x  1
.
x 1 2 x 3  2

Câu 40: Tính giới hạn lim
A.  .

B. 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn B
2

 x  1
x2  2x  1
x 1
 0.
 lim
 lim
3
2
2
x 1 2 x  2
x 1 2 x  1 x  x  1
 
 x1 2  x  x  1

Ta có lim


 e ax  1

Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    x
1
 2
của a để hàm số liên tục tại x0  0 .
A. a  1 .

B. a 

1
.
2

C. a  1 .

khi x  0
. Tìm giá trị
khi x  0

1
D. a   .
2

Lời giải
Chọn B
Tập xác định: D   .
eax  1
e ax  1
 lim
.a  a .
x 0
x 0
x
ax

lim f  x   lim
x 0

f  0 

1
1
; hàm số liên tục tại x0  0 khi và chỉ khi: lim f  x   f  0   a  .
x

0
2
2

 3  x2

Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    2
1
 x
nào dưới đây là sai?

khi x  1
. Khẳng định
khi x  1

A. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 .
B. Hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 .
C. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 và hàm số f  x  cũng có đạo hàm tại x  1 .
D. Hàm số f  x  không có đạo hàm tại x  1 .
Lời giải
Chọn D
lim f  x   lim

x 1

x 1

3  x2
1
 1 và lim f  x   lim  1 . Do đó, hàm số f  x  liên tục tại x  1 .
x 1
x 1 x
2

lim

f  x   f 1
1  x2
1 x
 lim
 lim
 1 và
x 1 2  x  1
x 1 2
x 1

lim

f  x   f 1
1 x
1
 lim
 lim
 1 . Do đó, hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 .

x

1
x

1
x 1
x  x  1
x

x 1

x 1

 x2  x  2
khi x  1

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    x  1
.
3m
khi x  1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x  1.
A. m  2.
B. m  1.
C. m  2.
D. m  3.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm số là .

Hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   f 1  lim
x 1

x 1

x2  x  2
 3m
x 1


 lim
x 1

 x  1 x  2  3m  lim
x 1

x 1

 x  2  3m  3  3m  m  1.
2

Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho
x2  x  2
. Tính I  J .
x 1
x 1
A. 6.
B. 3.

I  lim



x 0



3x  1  1
x

và

J  lim

C. 6 .
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Ta có

2
I  lim



  lim

3x  1  1
x

x 0

x 0

6x
x





3x  1  1

6
3.
3x  1  1

 lim
x 0

 x  1 x  2   lim x  2  3 .
x2  x  2
 lim


x 1
x 1

x 1
x 1
x 1
Khi đó I  J  6 .
J  lim

Câu

5:

(THPT

Xuân

Hòa-Vĩnh

Phúc-năm

2017-2018)

Tính

giới

hạn

 1
1
1
1 

lim 


 ... 
.
1.2
2.3
3.4
n
n

1





A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D.

3
.
2

Lời giải

Chọn C
Ta có:

1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1
1
1
.


 ... 
     
  
 1
1.2 2.3 3.4
n  n  1 1 2 2 3
n 1 n n n 1
n 1

 1
1 
1
1
1 


Vậy lim  

 ... 
  lim  1 
  1.
n  n  1 
 n 1
1.2 2.3 3.4

khi x  0
3 x  a  1

Câu 6: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    1  2 x  1
.
khi x  0

x

Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên  .
A. a  1 .
B. a  3 .
C. a  2 .
D. a  4 .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D   .
Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng  ;0  và  0;   .

lim f  x   lim  3x  a  1  a  1.

x  0

x 0

lim f  x   lim

x 0

x 0

1  2x 1
2
 lim
 1.
x 0
x
1 2x 1

f  0   a  1.
Hàm số liên tục trên   Hàm số liên tục tại điểm x  0  a  1  1  a  2.


1  3x

Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của lim

2 x2  3

x 

A. 

3 2
.
2

2
.
2

B. 

C.

3 2
.
2

D.

.

2
.
2

Lời giải
Chọn C

1


1
x   3
3
3 3 2
1  3x
x


x
 lim
 lim


Ta có: lim
.
2
x 
x 
x

2
3
3
2
2x  3
x 2 2
2 2
x
x

Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của lim

x 

A. 

3 2
.
2

2
.
2

B. 

C.

3 2
.
2

D.

Lời giải
Chọn C

1

1

x   3
3
3 3 2
1  3x
x


x
lim

lim

lim


Ta có:
.
2
x 
x 
x

2
3
3
2
2x  3
x 2 2
2 2
x

x
Câu 9: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
 x2  4
khi

f  x   x  2
m 2  3m khi


x2

. Tìm m để hàm số liên tục tại x0  2 .

x2

A. m  0 hoặc m  1 .
C. m  4 hoặc m  1 .

B. m  1 hoặc m  4 .
D. m  0 hoặc m  4 .
Lời giải

Chọn B
Tập xác định D   .
x2  4
 lim  x  2   2  2  4 .
x2 x  2
x2
x 2
Hàm số đã cho liên tục tại x0  2 khi và chỉ khi lim f  x   f  2 

Ta có lim f  x   lim

x 2

m  1
.
 4  m 2  3m  m 2  3m  4  0  
 m  4
Câu 10: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tìm lim
x 1

A. 1 .

B.

2
.
3

C.
Lời giải

Chọn C

1
.
4

x3 2

.
x 1

D.

5
.
4

1  3x
2 x2  3
2
.
2

.


Ta có lim
x 1

 lim
x 1

Câu

11:

x32
 lim

x 1
x 1

x 34

 x  1 

(THPT

x3 2
Hai





x3 2

 x  1 

 lim
x 1

Bà



x3 2

x3 2

1



x3 2

Trưng-Vĩnh








1
1
 .
1 3  2 4

Phúc-lần

1-năm

2017-2018)

x x2
khi x  2


2
 2 x  4
f  x    x  ax  3b khi x  2 liên tục tại x  2 . Tính I  a  b ?
 2a  b  6
khi x  2


93
19
19
A. I 
.
B. I  
.
C. I 
.
16
32
30

Cho

D. I  

hàm

số

173
.

16

Lời giải
Chọn C
Để hàm f  x  liên tục tại x  2 cần có lim f  x   lim f  x   f  2 
x2

 x x2 
x2  x  2
x 1
3

lim
 lim
 .
 x2
2
x

2
 x  2  x  2  x  x  2
 x  2  x  x  2 16
 x 4 

Ta có: lim 

x 2

x2









lim  x 2  ax  3b   lim  x 2  ax  3b   2a  3b  4

x 2

x 2

f  2   2a  b  6
3

179

2a  b  6  16
19
a 
Suy ra ta được hệ phương trình: 

32  a  b  .
32
2a  3b  4  3
b  5

16

Câu

12:

(THPT

Việt

Trì-Phú

 2x  1  x  5

x4
f  x  
a

2
x


4

A. a  3 .

Thọ-lần

1-năm

2017-2018)

Tìm

liên tục trên tập xác định.

khi x  4

B. a 

5
.
2

C. a  2 .

D. a  

Chọn D
* TXĐ: D   .
NX: Hàm số f  x  liên tục trên các khoảng  ; 4  và  4;   
Do đó, để hàm số liên tục trên  ta cần tìm a để hàm số liên tục tại x  4
ĐK: lim f  x   lim f  x   f  4 
x4

để

khi x  4

Lời giải

x4

a

11
.
6

hàm

số




lim f  x   lim

x4

2x  1  x  5

 x  4 

x4

lim f  x   lim

 a  2 x

x 4

x 4

Cần có: a  2 

4



2x 1  x  5

2x 1  x  5



  lim
x4



1
1

2x 1  x  5 6

 a  2  f  4

1
11
a .
6

6

Câu 13: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị giới hạn lim

x 

1
A.  .
2

B.  .

C.  .

x2  x  4 x2  1
bằng:
2x  3
1
D. .
2

Lời giải
Chọn D
Ta có

lim

x 

x2  x  4 x2  1

 lim
x 
2x  3

1
1
1
1
 x 4 2
x 1  x 4  2
x
x  lim
x
x
x 
3
3


x2  
x2  
x
x



x 1

 1
 lim

x 

1
1
 4 2
x
x   1 0  4  0  1
3
20
2
2
x

Câu 14: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
sin n
1
n 1
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
n
n
n
n

Lời giải
Chọn C
n 1
1
Có lim
 lim1  lim  1 .
n
n
Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho bốn hàm số f1  x  

 x2 1

f3  x   tan x ; f 4  x    x  1
2

liên tục trên  ?

A. 1 .

khi x  1

x  1 ; f2  x   x ;

. Hỏi trong bốn hàm số trên có bao nhiêu hàm số

khi x  1

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
+ Hàm số f1  x  

x  1 và f3  x   tan x không có tập xác định là  nên hàm số không liên

tục trên  .
+ Hàm số f 2  x   x liên tục trên  .


 x2 1
khi x  1

+ Hàm số f 4  x    x  1
có tập xác định là  và hàm số liên tục trên các khoảng
2
khi x  1

 ;1 và 1;    . Ta cần xét tính liên tục của hàm số y  f 4  x  tại x  1 .

x2  1
 lim  x  1  2  f 4 1 nên hàm số liên tục tại
x 1 x  1
x 1
x 1
x  1 . Do đó, hàm số y  f 4  x  liên tục trên  . Vậy trong bốn hàm số trên có 2 hàm số liên

Ta có f 4 1  2 và lim f 4  x   lim

tục trên  .

2 x  m khi x  0

Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    1  4 x  1
.
khi x  0

x

Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại giới hạn lim f  x  .
x 0

A. m  2 .

B. m  1 .

C. m  3 .

D. m  1 .

Lời giải

Chọn A
Ta có lim f  x   lim  2 x  m   m
x0

x0

1 4x 1
4
 lim
2
x

0
x
1 4x 1

lim f  x   lim

x  0

x 0

Tồn tại giới hạn lim f  x  khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   m  2 .
x 0

x 0

x 0

Câu 17: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
 x2  2x

để hàm số f  x    x  2
mx  4


khi

x2

khi

x2

liên tục tại x  2.

B. Không tồn tại m . C. m  3 .
Lời giải

A. m  1 .

D. m  2 .

Chọn C
x2  2 x
 lim x  2 .
x2
x2
x2
x2
Để hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   lim f  x   f  2   2m  4  2  m  3 .

Ta có: f  2   2m  4 ; lim  mx  4   2m  4 ; lim
x 2

x 2

a x 2  1  2017 1
 ;
x 
x  2018
2

Câu 18: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim
lim

x 





x 2  bx  1  x  2 . Tính P  4a  b .

A. P  3 .
Chọn C

B. P  1 .

C. P  2 .
Lời giải

D. P  1 .


1 2017 
1 2017
x  a 1  2 

a 1  2 
x
x
a x  1  2017
x
x  a .
  lim
Ta có: lim
 lim 
x 
x 
x 
2018
x  2018
 2018 
1
x 1 

x
x 

1
1
Nên  a   a   .
2

2
2

Ta có: lim

x 



2

x  bx  1  x




 lim

x 2  bx  1  x



x 2  bx  1  x



x 2  bx  1  x

x 

1

1
xb  
b
b
bx  1
x

x
 lim
 lim
 .
 lim
x

x

x  
2



b 1
b 1
b 1
1  2 1
x  1   2  1
x  1   2  1
x x

x x
x x




b
Nên  2  b  4 .
2
 1
Vậy P  4     4  2 .
 2
 x2 1
khi x  1

Câu 19: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Hàm số f  x    x  1
liên tục
a
khi x  1

tại điểm x0  1 thì a bằng?

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Tập xác định: D   .

x2  1
 lim  x  1  2 ; f 1  a .
lim f  x   lim
x 1
x 1 x  1
x 1
Để hàm số liện tục tại x0  1 thì lim f  x   f 1  a  2 .
x 1

Câu 20: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Giới hạn lim
A. 2 .

B. 0 .

C.  .
Lời giải

n
có kết quả là:
2n 2  3
D. 4 .

Chọn B
1
3
n

0
lim 2
 lim n 
 0.
3
2n  3
2

0
2 2
n
Câu 21: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của I  lim

x  2

A. 2 .

B.

1
.
2 2

C. 1 .
Lời giải

D.

x 2
bằng

x2  2

2.