(GV nguyễn quốc trí) 76 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Góc giữa hai

đường thẳng BA' và CD bằng:
C. 30

B. 60

A. 45

D. 90

Đáp án A
CD / / A ' B '  ( BA ', CD) = ( BA ', B ' A ') = BA ' B ' = 450

Câu 2 (GV Nguyễn Quốc Trí): Diện tích một mặt của một hình lập phương là 9. Thể tích
khối lập phương đó là
A. 9.

B. 27.

C. 81.

D. 729.

Đáp án B
a2 = 9  a = 3
V = a3 = 27

Câu 3 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) .

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
A. CSA

B. CSD

(SAD) là góc?
C. CDS

D. SCD

Đáp án B

CD ⊥ ( SAD)  SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
 ( SC , ( SAD)) = ( SC , SD) = CSD
Câu 4:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD.
A.

1 3
a
6

B.

1 3
a
12

C.

2 3
a
17

D.

Đáp án D

1 3
a
9

S
3

1
1
a
VSABCD = .SA. AB. AD = .a.a.a =
3
3
3
1
d (G;( ABCD)) = d ( S ;( ABCD))
3
1
a3

 VGABCD = VSABCD =
3
9

A

G

B
C

D


Câu 5:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình nón có thiết diện qua trục của hình nón là tam

giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a 2. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.

 a2 2

B.

3

 a2 2

C. 2 2 a2

2

Đáp án D

D.

2 a2

A

1
2
=
 AH = a  BH = a = r
2
AH
AB 2
S xq =  rl =  .a.a 2 = 2 a 2

B

C
H

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

Câu 6:

bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ASB = 120.
A. V =

5 15 
.
54

B. V =

4 3
.
27

C. V =

5
.
3

D. V =

13 78 
.
27

Đáp án A
SM =

S

MB
3
=
0
tan 60
6

IG = x  JM = IG = x  SI =
SI = IA  x 2 +

1
3
1 2
+(
+ x) 2 , IA =
+x
12
6
3

1
3
1
1
5
= ( x2 +
x+ ) x =
R=
4
3

12
12
2 3

4
5 15
V =  R3 =
3
54

J
A

IM
G

B bình hành.
(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

Câu 7:

Dựng mặt phẳng ( P ) cách đều năm điểm A,B,C,D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng

( P ) như vậy ?
A. 4 mặt phẳng.

B. 2 mặt phẳng.

Đáp án D
Tồn tại 5 mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:

-

Mp đi qua trung điểm AD,BC,SC,SD

-

Mp đi qua trung điểm CD,AB,SC,SB

C. 1 mặt phẳng.

D. 5 mặt phẳng.

C


-

Mp đi qua trung điểm AD,BC,SB,SA

-

Mp đi qua trung điểm CD,AB,SA,SD

-

Mp đi qua trung điểm SA,SB,SC,SD
(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S. ABC có độ dài các cạnh

Câu 8:

SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 12. Tính giá trị lớn nhất

của thể tích khối chóp S. ABC.
A.

2
.
3

B.

8
.
3

C.

2 2
.
3

D.

8 2
.
3

Đáp án C
Dựng hình chóp SA’B’C’ sao cho A là trung điểm A’B’, B là trung điểm B’C’, C là trung
điểm A’C’.

 SA =

1
1
1
A ' B ', SB = B ' C ', SC = A ' C '
2
2
2

S

Suy ra SA’,SB’,SC’ đôi một vuông góc với nhau

1
1
2
VSA ' B 'C ' = .SA '. .SB '.SC ' =
xyz
3
2
3
1
2
VSABC = .VSA ' B 'C ' =
xyz
4
12

A’

C’

C

x 2 + y 2 + z 2  3 3 x 2 y 2 z 2  12  3 3 x 2 y 2 z 2  xyz  8
 VSABC =

A

2
2
2 2
xyz 
.8 =
12
12
3

B
B’

Câu 9 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối
đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
A.

V 1
= .
V 2

B.

V 1
= .
V 4

C.

V 2
= .
V 3

Đáp án
Gọi M,N,P,Q,H,R lần lượt là trung điểm của SA,SC,BC,AB,AC,SB

D.

V 5
= .
V 8

V
.
V


VSMNR SM SN SR 1 1 1 1
1
=

.
.
= . . =  VSMNR = VSABC
VSABC
SA SC SB 2 2 2 8
8
1
 VAMNH = VBPQR = VCNPR = VSABC
8
1
1
 V ' = V − 4. .V = V
8
2

(GV Nguyễn Quốc Trí)Cho khối tứ diện ABCD, E là trung điểm AB. Mặt phẳng

Câu 10:

( ECD )

chia khối tứ diện thành hai khối đa diện nào?

A. Hai khối tứ diện.
B. Hai khối lăng trụ tam giác.
C. Một lăng trụ tam giác và một khối tứ diện.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Đáp án A
(ECD) chia A.BCD thành hai khối tứ diện A.ECD và E.BCD
Câu 11 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V0 . Dựng hình hộp sao

cho AB, AC, AD là ba cạnh của hình hộp. Tính thể tích V của khối hộp đó.
A. V = 2V0 .

B. V = 6V0 .

C. V = 3V0 .

D. V = 4V0 .

Đáp án B

V = 2VACD.BMQ
VACD.BMQ = 3Vo  V = 6Vo
Câu 12 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình nón có bán kính đáy r = 1, chiều cao h = 3.
Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó.
A. S xq = 2 3 .

B. S xq = 3 .

C. S xq = 4 .

D. S xq = 2 .

Đáp án D
l = 1+ 3 = 2
S xq =  rl = 2

Câu 13 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho một khối cầu có thể tích bằng

500

. Tính diện tích
3

S của mặt cầu đó.
A. S = 75 .
Đáp án B

B. S = 100 .

C. S = 50 .

D. S = 25 .


4
500
V =  R3 =
R=5
3
3
S = 4 R 2 = 100

Câu 14:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho lăng trụ tam giác ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam

giác vuông tại C, BB' = a, góc BAC = 60 , đường thẳng BB ' tạo với ( ABC ) một góc 60 .
Hình chiếu vuông góc của B' lên ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích V
của khối tứ diện A' . ABC là:
A.

1 3
a.
208

B.

18 3
a.
208

C.

9 3
a.
208

D.

27 3
a.
208

Đáp án C
B ' G = BB 'sin 600 =
BG = a 2 −

a 3
2

3a 2 a
3
3a
=  BM = BG =
4
2
2
4

3
BC
6
13
9a 2
27 a 2
BC 2 + CM 2 = BM 2  BC 2 =
 BC 2 =
12
16
13.4
3
1
1
9a
VA ' ABC = B ' G. .BC. AC =
3
2
208
BC = AC.tan 60o = 3 AC = 2 3CM  CM =

Câu 15:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất các

các cạnh bằng a. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó.
A. Sxq = 2 a2 .

B. S xq =

 2
2

a2.

C. S xq =  a 2 .

D. S xq =  2a 2 .

Đáp án B

r=

a 2
2

S xq =  rl = 

a 2
 2 2
.a =

a
2
2

Câu 16 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có
bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 9.

Đáp án D
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước đôi một khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng đó là 3 mặt
phẳng trung trực của các cạnh đáy và cạnh bên


Câu 17

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng

3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

B. R = 2a.

A. R = 3a.

C. R =

25
a.
8

S
D. R = 2a.

Đáp án C
BD = 6a  OB = 3a
SO = SB 2 − BO 2 = 4a
SI = x  IO = 4a − x

A I

D

IB = 9a 2 + (4a − x) 2
IB 2 = SI 2  x =

B

25a
8

O
C

(GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

Câu 18:

vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

a 2
. Tính thể tích V
2

của khối chóp đã cho.
A. V =

a3
.
2

C. V =

B. V = a 3 .

a3 3
.
9

D. V =

a3
.
3

chóp

S.ABC

Đáp án D
Kẻ AH ⊥ SB  d ( A;( SBC )) = AH

S

1
1
1
= 2+
 SA = a
2
AH
SA
AB 2
1
a3
V = SA. AB. AD =
3
3

H

A

D

B

C

Câu

19:

(GV

Nguyễn

Quốc

Trí)

Cho

hình

có

ASB = CSB = 60 , ASC = 90 , SA = SB = SC = a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng

( SBC ) .
A. d = 2a 6.
Đáp án C

B. d = a 6.

C. d =

2a 6
.
3

D. d =

a 6
.
3


S

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC
 BC ⊥ MN
Ta có: 
 BC ⊥ ( SMN )  ( SBC ) ⊥ ( SMN )
 BC ⊥ SM

N H

C

A

Kẻ NH ⊥ SM  d ( N ;( SBC )) = NH

a 2
a 1
2 4

a 6
, MN = ,
= 2 + 2  NH =
2
2
2 NH
a a
6
a 6
d ( A;( SBC )) = 2d ( N ;( SBC )) =
3
SN =

M
B

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R. Một hình trụ có chiều

Câu 20:

cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích
xung quanh của hình trụ lớn nhất.
A. h =

R
.
2

B. h = R.

C. h = R 2.

D. h =

R 2
.
2

Đáp án C

h2
.h =  4 R 2 − h 2 .h
4
−h
 (4 R 2 − h 2 ) −  h 2
S ' =  4R 2 − h2 +  h
=
4R 2 − h2
4R 2 − h2

S xq = 2 rh = 2 R 2 −

S'=0h= R 2
Câu 21 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích
đáy bằng B là:
1
A. V = Bh.
3

B. V =

1
Bh.
6

C. V = Bh.

D. V =

1
Bh.
2

Đáp án A
(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a 2 và bán

Câu 22

kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng:
A. 2 2a.

B. 3a.

C. 2a.

D.

3a
.
2

Đáp án B

Sxq =  rl =  al = 3 a2  l = 3a
(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a

Câu 23

(hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C ' là:
A.

3a.

B. a. 2a.


3a
.
2

C.

D.

2a.

Đáp án B
d ( BD; A ' C ') = OO ' = a

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh

Câu 24

bằng a. Gọi M là trung điểm của SD

(tham khảo hình vẽ bên).

Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

( ABCD)

bằng:
2
.
2

A.
C.

2
.
3

B.
D.

3
.
3
1

.
3

Đáp án D
AC a 2
a 2
=
 MN =
2
2
4
3
3 2a
BD = a 2  BN = BD =
4
4
MN a 2 4
1
 tan  =
=
=
BN
4 3 2a 3

S

SO =

M

D

A
N

B

Câu 25

O
C

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC

đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm
của BC
AB bằng:

(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và


A. 90 .

B. 30 .

C. 60 .

D. 45 .

Đáp án C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
z

OA = OB = OC = a
a a
O(0;0;0); A(0;0; a ); B (0; a;0); M ( ; ;0)
2 2
a a
OM ( ; ;0), AB(0; a; −a)
2 2
a2
OM . AB
1
2
cos =
=
=
2
OM . AB a 2
.a 2
2
0
  = 60

A

O

B y
M

C
x

Câu 26

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích

xung quanh S xq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và
chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.
A. S xq =

16 2
.
3

B. S xq = 8 2 .

C. S xq =

16 3
.
3

D. S xq = 8 3 .

Đáp án A

BM = 2 3  BG =
AG = 16 −
r = GM =

16 4 2 4 6
=
=
3
3
3

2 3
3

S xq = 2 rh = 2
Câu 27

4 3
3

2 3 4 6 16 2
.
=
3
3
3

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần

lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường
thẳng. DE Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng:
A.

7
.
6

B.

11
.
12

C.

2
.
3

D.

5
.
6


Đáp án D

V = VDAFCBE + VSDCEF

S

F

1
1
1
VDAFCBE = AB. . AD.AF=1. .1.1 =
2
2
2
1
VSDCEF = .d ( S ;( DCEF ).DF .EF
3
1
1 2
1
= .d ( B;( DCEF ).DF .EF= .
. 2.1 =
3
3 2
3
5
V =
6

E

A

B

D

C

Câu 28

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B 'C ' có

' '
AB = 2 3 và AA' = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A' B' , AC
và BC.

Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB 'C ' ) và ( MNP ) bằng:
A.

6 13
.
65

B.

13
.
65

C.

17 13
.
65

D.

18 63
.
65

Đáp án B
( MNP)  ( MNBC )  ( AB ' C ') = IK
 IK ⊥ AJ
 (( MNBC ), ( AB ' C ')) = (AJ, PH )

 IK ⊥ PH

A’

C’

N
M H

J
K

13
Xét hình chữ nhật AA’JP  cosPEA=
65

B’ E
I
A

C

P
B


Câu 29 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối trụ có bán kính hình tròn đáy bằng r và chiều cao
bằng h. Hỏi nếu tăng chiều cao lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối
trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A. 6 lần.

B. 36 lần.

C. 12 lần.

D. 18 lần.

Đáp án D
V =  r 2h
r1 = 3r , h1 = 2h  V1 = 18V

Câu 30

(GV Nguyễn Quốc Trí) Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?

A. 4 cạnh.

B. 3 cạnh.

C. 6 cạnh.

D. 5 cạnh.

Đáp án C
Hình tứ diện là hình có 4 mặt, mỗi mặt là một tam giác
Câu 31 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA
vuông góc với đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. CD ⊥ ( SAD ) .

B. BD ⊥ ( SAC ) .

D. AC ⊥ ( SBD ) .

C. BC ⊥ ( SAB ) .

Đáp án D
Câu 32:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể
tích của khối chóp S.ABC bằng:
A.

a3
.
8

B.

a3
.
4

C.

Đáp án B

a3
.
2

D.

3a3
.
4

S

( SC , ( ABC )) = ( SC , AC )
SA = AC.tan 60o = a 3
1
1a 3
a3
V = a 3
a=
3
2 2
4

A
C

B
Câu 33 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều
cao bằng h là?
A. V = 3Sh.

B. V =

1
Sh.
2

C. V = Sh.

1
D. V = Sh.
3


Đáp án D

Câu 34:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh

bằng nhau. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA,  là góc tạo bởi đường
thẳng EM và mặt phẳng ( SBD ) , tan  bằng:

A.

2.

B.

3.

C. 2.

D. 1.

S

Đáp án A
Gọi I,J lần lượt là trung điểm cạnh BC và SA
Ta có AC ⊥ ( SBD), EI / / AC , MJ / / AC  EI ⊥ ( SBD), MJ ⊥ ( SBD)
Suy ra, IJ là hình chiếu vuông góc của EM lên

M

(SBD)

J

 ( EM , ( SBD)) = ( EM , IJ) = ( EM , EF)
AC ⊥ IJ, AC / / MF , IJ / /EF  MF ⊥ EF

F
A

AC a 2
SB a
=
,EF=IJ =
=
2
2
2 2
MF
 tan  =
= 2
EF
MF=

Câu 35:

B

D

I
C

E

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho tứ diện đều ABCD có M, N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MN ⊥ CD.

B. AB ⊥ CD.

C. MN ⊥ AB.

D. MN ⊥ BD.

Đáp án D
Câu 36 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Điểm M thỏa mãn MA = 3MB. Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với hai đường thẳng SC,
BD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.
B.

( P ) không cắt hình chóp.

C. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.
D. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.

Đáp án C


Trong (ABCD) kẻ MN / / BD

( N = MN  AD, MN  BC = E , MN  DC = F )
S

L

J

I
A

D

B

N

F

M

E

C

( P)  ( SBC ) = EI ( EI / / SC )
( P)  ( SCD) = FJ ( FJ / / SC )
( P)  ( SAD) = NJ ( NJ  SA = L
Vậy thiết diện là một ngũ giác
Câu 37:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho khối cầu ( S ) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối

trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho
thể tích của khối trụ lớn nhất.

A. h =

Đáp án A

2R 3
R 2
R 3
. B. h =
. C. h =
. D. h = R 2.
3
2
3


V =  r 2h
h2
h2
 V =  ( R 2 − )h
4
4
3
h
f (h) = R 2 h − , h  (0; 2 R)
4
3
2 3R
2 3R
f ' = R 2 − h2 = 0  h = 
h=
4
3

3

r 2 = R2 −

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn

Câu 38:

( O; R ) , ( O; R ' ) , OO ' = 4 R.

Trên đường tròn ( O; R ) lấy hai điểm A, B sao cho AB = R 3.

Mặt phẳng ( P ) đi qua A, B cắt OO ' và tạo với đáy một góc bằng 60 . ( P ) cắt khối trụ theo
thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:
 4
3 2
A. 
−
 R .
3
2



 2
3 2
B. 
−
 R .
3

4



 2
3 2
C. 
+
 R .
3
4



 4
3 2
D. 
+
 R .
3
2



Đáp án D
cosAOB=

A

OA + OB − AB

1
R
= −  AOB = 1200  OH =
2.OA.OB
2
2
2

2

2

x

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ  pt đường tròn đáy là:
x2 + y 2 = R2  y =  R2 − x2

y

Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền gạch chéo như hình vẽ
R

S = 2  R 2 − x 2 dx

B

R
2

x = R sin t  S = (

2
3 2
+
)R
3
4

Gọi diện tích phần elip cần tính là S’. theo công thức hình chiếu ta có
S'=

S
4
3 2
= 2S = (
+
)R
0
cos60
3
2

Câu 39 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B 'C ' có cạnh bên
bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN ( M  A'C , N  BC ' ) là đường thẳng vuông góc chung của
A'C và BC ' . Tỉ số

A.

5
.

2

Đáp án B

NB
bằng:
NC '

B.

3
.
2

C.

2
.
3

D. 1.


Chuẩn hóa AB = 2 . Gọi O,H lần lượt là trung điểm cạnh B’C’,BC  OA ' = 3
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
O(0;0;0), A '( 3;0;0), C '(0;1;0), H (0;0; 2)
 B(0; −1; 2), C (0;1; 2)

H

B

x = 0
x
y −1 z − 2

 ( A 'C) :
=
=
, ( BC ') :  y = 1 − t
−1
−2
3
z = t


C

A

 M  ( A ' C )  M (m 3;1 − m; 2 − 2m)


 N (0;1 − n; n)
 N  ( BC ')

O

B’

C’

Vì MN là đoạn vuông góc chung của A’C,BC’

 MN .u A 'C = 0
8m + n = 4
1 4


 N (0; ; )
5 5
 m + 2n = 2
 MN .uBC ' = 0
6 6
4 4
NB 3
 NB(0; − ; ); NC (0; ; − ) 
=
5 5
5 5
NC ' 2

A’

Câu 40 (GV Nguyễn Quốc Trí): Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy r = 4cm và chiều
cao h = 6cm.

(

)

A. 32 cm3 .

(

)

B. 24 cm3 .

(

)

C. 48 cm3 .

(

)

D. 96 cm3 .

Đáp án D
V =  r 2 h =  42.6 = 96

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ,

Câu 41

SA = a, AB = a, AC = 2a và BAC = 120 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

a3 3
.
A.
3

a3 3
.
B.
6

a3 3
.
C.
2

D. a3 3.

Đáp án B
1
1
1
1 1
a3 3
V = .SA.S ABC = .SA. . AB. AC.sin BAC = .a. .a.2a.sin1200 =
3
3
2
3 2
6

Câu 42

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có độ dài

tất cả các cạnh đều bằng a.
A. V =
Đáp án A

a3 3
.
4

B. V =

a3 2
.
3

C. V =

a3 3
.
2

D. V =

a3 2
.
4

1 1 a 3
a3 3
A = .a. .
.a =
3 2 2
4

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

Câu 43

bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
a3 3
.
B.
2

3

A. a .

a3 3
.
C.
3

a3 3
.

D.
6

S
Đáp án D
Gọi M là trung điểm của AB  SM ⊥ AB  SM ⊥ ( ABCD)
SM =

a 3
1
1 a 3
a3 3
 V = .SM . AB. AD = .
.a.a =
2
3
3 2
6

C

B
M
A

Câu 44

D

(GV Nguyễn Quốc Trí): Có bao nhiêu loại khối đa điện đều mà mỗi mặt của nó là

một tam giác đều?
A. 3.

B. 1.

C. 5.

D. 2.

Đáp án A
Có 3 loại khối đa diện đều mà các mặt của nó đều là tam giác đều đó là: {3;3},{3; 4},{3;5}

Câu 45

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. AB = 2a, BAC = 60 , SA = a 2. Góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng:
A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .

Đáp án A

D. 90 .

S

Kẻ BH ⊥ AC  BH ⊥ ( SAC )
Suy ra SH là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC)

A

H

C


 ( SB, ( SAC )) = ( SB, SH )
BC = AB.tan 60o = 2
1
1
1
=
+
=
2
2
BH
AB
BC 2
 AH = a  SH = a
tan  =

3a
1
1

+
 BH = a 3
2
4a 12a 2
3

HB
= 1   = 45o
SH

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a,

Câu 46

gọi  là góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ( BB ' D ' D ) . Tính sin  .
A.

3
.
4

B.

3
.
2

C.

3

.
5

D.

1
.
2

Đáp án D
Gọi I là giao điểm của AC và BD
 AI ⊥ BD
 AI ⊥ ( BB ' D ' D)  B’I là hình chiếu vuông góc của AB’ lên

 AI ⊥ BB '

(BB’D’D)

 ( AB ', ( BB ' D ' D)) = ( AB ', B ' I )
a a
A(0;0; a ), B '(a;0;0), I ( ; ;0)
2 2
a a
B ' A(−a;0; a ), B ' I ( − ; ;0)
2 2
cos =

B ' A.B ' I
B' A . B'I

Câu 47

=

1
2

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta

được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã
cho.
A. 9a 2 .

B.

9 a 2
.
2

C.

13 a 2
.
6

D.

27 a 2
.
2

Đáp án D

3a
, h = 3a)
2
9a 2
3a
27 a 2
= 2
+ 2 .3a =
4
2
2
Stp = 2 r 2 + 2 rh, (r =

Câu 48

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi

một vuông góc và OA = OB = OC = 6. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. R = 4 2.

B. R = 2.

C. R = 3.

D. R = 3 3.

Đáp án D
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và OA

O(0;0;0), B(6;0;0), C (0;6;0), A(0;0;6); M (3;3;0), N (0;0;3)
OB(6;0;0), OC (0;6;0)  ud = [OB, OC ] = (0;0;36)

A

x = 3

 d : y = 3
z = t

Gọi

(P) là mặt phẳng trung trực của OA: z − 3 = 0

C

O

Goi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  I = ( P )  d  I (3;3;3)
M

R = IA = 3 3
Câu 49

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có M  SA, N  SB B
sao cho

MA = −2MS , NS = −2 NB. Mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm M, N và song song với SC chia

khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

(số bé chia số

lớn).
A.

3
.
5

B.

4
.
5

C.

4
.
9

D.

3
.
4

Đáp án B
MJ / / AB  MNJ

INB

MJ JN
IN
=
=
= 1  MJ = IB
IB NB MN
1
1
4
MJ = AB  IB = AB  AI = AB
3
3
3
VAMDI AM AD AI 2 2 4 16
=
.
.
= . . =
VASBC
A S AC AB 3 3 3 27



VIBNE IA IN IE 1 1 1 1

= .
.
= . . =
VIAMD IB IM ID 4 2 2 16
1
1
 VIBNE = VIAMD = VSABC
16
27
5
 VAMDBNE = VIAMD − VIBNE = VSABC
9
V1 4

=
V2 5

Câu 50:
bán kính là:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Mặt cầu

S
M

J
A

N

D

C

B
I

(S) có diện tích bằng 100π ( cm 2 ) thì có


A. 3 ( cm) .

5 ( cm ) .

B.

D. 5 ( cm) .

C. 4 ( cm) .

Đáp án D

S = 4 R 2 = 100  R = 5
Câu 51

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có thể tích V, nếu giữ nguyên

chiều cao và tăng các cạnh đáy lên 3 lần thì thể tích khối chóp thu được là
A. 3V.

B. 6V.

C. 9V.

D. 12V.

Đáp án C
S ' =

p '( p '− a ')( p '− b ')( p '− c ') = 3 p(3 p − 3a)(3 p − 3b)(3 p − 3c) = 9 p( p − a)( p − b)( p − c) = 9S 

 V ' = 9V
Câu 52: (GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là

hình thoi cạnh a và BAD = 600 , AB hợp với đáy ( ABCD ) một góc 30 . Thể tích của khối
hộp là
A.

a3
.
2

B.

3a3
.
2

C.

a3
.
6

D.

a3 2
.
6

Đáp án C
BD = a  BO =

a
a2 a 3
 AO = a 2 −
=
 AC = a 3
2
4
2

( A ' A, ( ABCD)) = ( A ' A, A ' B ') = AB ' A '  A A ' = A ' B '.tan 300 =

a 3
3

1a 31
a3
V =

a 3.a =
3 3 2
6

Câu 53

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ đều ABC.ABC có tất cả các cạnh

bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng

( ABC ) . Khi đó
A.

tan α bằng

2 7
3
. B.
. C.
7
2

3
2 3
.
. D.
3
7

Đáp án D

Ta có MC là hình chiếu vuông góc của MC’ lên mp

 ( MC ', ( ABC )) = ( MC ', MC )
 tan  = tan CMC ' =

CC '
a
2 3
=
=
MC a 3
3
2

(ABC)


Câu 54:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,

AB = a , BAD = 60, SO ⊥ ( ABCD ) và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt đáy một góc 60 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
3a 3
24

A. VS . ABCD =

B. VS . ABCD =

3a 3
8

C. VS . ABCD =

3a 3
12

D. VS . ABCD =

3a 3
48

Đáp án B
S

a
a 3
BD = a  BO =  AO =
 AC = a 3
2
2
1
1
1
a 3
OH ⊥ CD 
=
+
 OH =

2
2
2
OH
OC
OD
4
( SCD)  ( ABCD) = CD
 (( SCD ), ( ABCD )) = ( SH , OH )

CD ⊥ ( SOH )
3a
 SO = OH .tan 600 =
4
1 3a 1
a3 3
 V = . . .a.a 3 =
3 4 2
8

Câu 54:

A
B

D
O

H
C

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số S.ABC có thể tích bằng 72. Gọi M là trung

điểm của SA và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho NC = 2NS. Tính thể tích V của khối đa
diện MNABC.
A. V = 48

B. V = 30

C. V = 24

D. V = 60

Đáp án D
VSMNB SM SB SN 1 1 1
=
. .
= .1. =
VSABC
SA SB SC 2 3 6
 VSMNB =

Câu 55:

VSABC
5
5
 VMNABC = VSABC = .72 = 60
6
6

6

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có

AA = 2a, AD = 4a . Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Tính khoảng cách d từ giữa hai đường

thẳng A’B’ và C’M.
A. d = 2a 2

B. d = a 2

D. d = 3a

C. d = 2a

Đáp án A
A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
B

M

D

C
A’

D’

B’
C’


A '(0;0;0), B '(4a;0;0), C '(4a; 4a;0), M (0; 2a; 2a)
A ' B '(4a;0;0), C ' M ( −4a; −2a; 2a)  [ A ' B ', C ' M ] = (0; −8a 2 ; −8a 2 )
A ' M (0; 2a; 2a)
d ( A ' B ', C ' M ) =

[ A ' B ', C ' M ] A ' M
[ A ' B ', C ' M ]

32a 3
=
= 2 2a
8 2a 2

Câu 56 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện ?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 4

D. Hình 3

Đáp án D
Hình đa diện mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác. Hình số 3 tồn
tại đa giác đáy có chứa 2 cạnh không phải là cạnh chung của 2 đa giác

Câu 57 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, SA vuông góc với mặt phẳng
A.

a3
3

(ABCD) và SA = a . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
C. a 3

B. 3a 3

D.

a3
6

Đáp án A
1
1
a3
V = .SA. AB. AD = .a.a.a =
3
3
3

Câu 58 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích của khối cầu có bán kính R là
A. V =

4 3

πR
3

B. V =

3 3
πR
4

C. V = 4πR 3

1
D. V = πR 3
3

Đáp án A
Câu 59 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình tròn xoay được sinh ra khi quay một hình chữ nhật
quanh một cạnh của nó là
A. hình chóp.

B. hình trụ.

C. hình cầu.

D. hình nón.

Đáp án B
Câu 60

(GV Nguyễn Quốc Trí): Diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy

bằng a và góc ở đỉnh bằng 60 là:


A. 2πa 2

B.

2πa 2 3
3

C. πa 2 3

D. πa 2

Đáp án A

S xq =  rl =  .a.
Câu 61

a
= 2 a 2
0
sin 30

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tứ giác

đều có cạnh bên bằng 2 và cạnh đáy bằng 1.
A.

32π
7

B.

8π
7

C.

128π
21 14

D.

16π
14

Đáp án A
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều
OC =

2
14
14
1
, SO =
, OI = x  SI =
− x, IC = x 2 +
2

2
2
2

1
14
3
4
=(
− x)2  x =
 SI =
2
2
14
14
4 2 32
S = 4 R 2 = 4 (
) =
7
14
IC = SI  x 2 +

Câu 62

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ;

SA = AB = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm AD, tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và BM.
A.

a 14
6

B.

6a
14

C.

a 14
2

D.

2a
14

S

Đáp án D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
S
I

D

A
B
A

O
M

B
C

D
C


a
S (0;0; a ), C (a; a;0), B(a;0;0), M (0; ;0)
2
a
a 2 2 3a 2
SC (a; a; −a), BM ( −a; ;0)  [ SC , BM ] = ( ; a ;
)
2
2
2
SB(a;0; −a )
d ( SC , BM ) =

[ SC , BM ]SB

=

[ SC , BM ]

2a
14

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ( O; r ) . Một mặt

Câu 63

phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho
SA = AB =

A.

8r
. Tính theo r khoảng cách từ O đến ( SAB ) .
5

2 2r
.
5

B.

3 13 r
.
20

C.

3 2r
.

20

D.

13 r
.
20

Đáp án B
64 2 2
39
8
r −r =
r , AM = r
25
5
10

SO =

OM = r 2 −

64 2 6
64 2 64 2 4 3
r = r  SM =
r −
r =
r
100
10

25
100
5

1 39 1 6 8
4 39 3 1
16 3 2
4 39 3
3 13r
VSOAB = .
r. . r. r =
r = d (O;( SAB )).SOAB =
r .d =
r d =
3 5
2 10 5
125
3
75
125
20

Câu 64

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có dạng đáy bằng a,

góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là
trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện

( H1 ) và ( H2 ) , trong đó ( H1 ) chứa điểm C. Thể tích của khối ( H1 ) là:

A.

7 6 a3
72

Đáp án B

B.

5 6 a3
72

C.

5 6 a3
36

D.

7 6 a3
36


VMIJD MD MI MJ 1 2 1 1
=
.
.
= . . =
VMBCN MC MN MB 2 3 2 6
5

 VIJDBCN = VMBCN
6
a 2
a 6
1
a 6
OC =
, SO = OC.tan 600 =
, NH = .SO =
2
2
2
4
3
1
1
1 a 6 1
5 6a
VMBCN = .NH . .BC.MC = .
. .a.2a =
3
2
3 4 2
72

S

A

M

I

N
J

D

OH

B

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện đều ABCD . Tính tan của góc C
giữa AB và

Câu 65

( BCD )
A.

3

B.

1
3

C.

2

D.

1
2

Đáp án C
Ta có: BM là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng (BCD)
A

 ( AB, ( BCD)) = ( AB, BM )
BM =

a 3
a 3
 BG =
2
3

a2 a 6
=
3
3
AG
 tan  =
= 2
BG
AG = a 2 −

B

D
G

M

C
Câu 66 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Khối đa diện nào dưới đây có công thức tính thể tích là
1
V = Bh
3

(với B là diện tích đáy; h là chiều cao)?

A. Khối chóp.

B. Khối lăng trụ.

C. Khối lập phương.

D. Khối hộp chữ nhật.

Đáp án A
Câu 67 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3a, SA = a 3 vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng:
A. 60 .

B. 45 .

C. 30 .

D. arcsin

Đáp án C
S

3
.
5


Ta thấy AD là hình chiếu vuông góc của SD lên

(ABCD)

 ( SD;( ABCD)) = ( SD; AD)

tan  =

SA a 3
1
=
=
  = 300
AD
3a
3

Câu 68 (Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho mặt cầu ( S1 ) có bán kính R1 , mặt cầu ( S2 ) có bán
kính R2 = 2 R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu ( S2 ) và ( S1 ) ?

A. 4.

B. 3.

C.

1
.
2

D. 2.

Đáp án A
S S1 = 4 R12 , S s2 = 4 4 R12


S S2
S S1

=4

Câu 69

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho khối lăng trụ đứng ABC. A' B 'C ' có BB' = a, đáy

ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. V =

a3
.

2

B. V =

a3
.
6

C. V =

a3
.
3

D. V = a 3 .

Đáp án A
1
1
a3
V = BB ' AB.BC = a. .a.a =
2
2
2

Câu 70

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC

đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) .

A. h =

a 3
.
7

B. h =

a 3
.
7

Đáp án A
Gọi M là trung điểm của BC
Kẻ AH ⊥ SM  d ( A;( SBC )) = AH

C. h =

2a
.
7

D. h =

a 3
.
2