(GV nguyễn thị lanh) 54 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tính thể tích của hình hộp ABCDABCD biết rằng
AA BD là tứ diện đều cạnh bằng a.

A.

a3 2
2

B.

a3 2
4

C. V =

a3
a3 3
D.
2
2

Đáp án A
Vẽ đường cao AH của tứ diện AA’B’D’
(cũng là đường cao của hình hộp) ta có H là
A BD
trọng
tâm
nên
2 a 3 a 3
A H = .
=

3 2
3

AH = AA 2 − A H 2 = a 2 −

AH = a

a2
3

2
. Do đó: V = SABCD .AH
3

a2 3
2 a3 2
= 2.
.a
=
4
3
2
Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Nếu tứ diện ABCD có thể tích V thì thể tích của đa
diện có 6 đỉnh là 6 trung điểm các cạnh tứ diện bằng:
A.

V
4

B.

V
2

C.

V
3

D.

2
V
3

Đáp án B
Gọi V1 là thể tích cần tính
V1 = V − ( VAEFG + VDFGI + VBEHJ + VCHJI )

Để ý:

VAEFG 1 1 1 1
= . . =
VABCD 2 2 2 8

Tương tự ta có:
VAEFG = VDFGI = VBEHJ = VCHJI =

V
8

V V
=
2 2
Câu 3 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp các tâm O

Vậy V1 = V −

của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B.
A. Đường trung trực của đoạn AB.
B. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
C. Đường tròn đường kính AB.
D. Trung điểm của AB.


Đáp án B
Ta có OA = OB nên tập hợp các tâm O của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB
Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Một hình nón có đường cao bằng 10 cm, bán kính
đáy r = 15cm . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
A. 75 13

B. 5 13

D. 75 13

C. 125 13

Đáp án D
Diện tích xung quanh: Sxq = rl . Ta xét tam giác vuông SOA:

SA 2 = SO 2 + OA 2 = 100 + 225 = 325;SA = 325 = 5 13 = 1;Sxq = .15.l = 75 13 ( cm 2 )

Câu 5

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành. Gọi M là trung điểm của SB. Thiết diện của mặt phẳng
A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Tam giác

D. Hình thang hoặc hình tam giác

(ADM) với hình chóp là

Đáp án A
di qua M
 // BC

(SBC ) ( ADM ) =  

Thiết diện cần tìm là hình thang MNDA
Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho mặt cầu S ( O;R ) , A là một điểm ở trên mặt cầu

( S)

và ( P ) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và ( P ) bằng 60

Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng?
A. R .

R 2
B.
.
2

R 2
.
C.
4

R 2
.
D.
8

2

Đáp án C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên

(P) thì

H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S) ,OA, ( P ) = ( OA, AH ) = 60
Bán kính đường tròn giao tuyến: r = HA = OA cos 60 =

R
2

R 2
R
.
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: r =    =
4
2
2

2


Câu 7

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Khi quay các cạnh của hình chữ nhật ABCD

(Không phải hình vuông) quanh đường thẳng AC thì hình tròn xoay được tạo thành là hình
nào?
A. Hình trụ.
B. Hai mặt xung quanh của hai hình nón.
C. Mặt xung quanh của một hình trụ.
D. Hình gồm 4 mặt xung quanh của 4 hình nón.
Đáp án D
Ta có 4 hình nón được tạo bởi 4 tam giác cân quay quanh trục của nó.
Tam giác ADE
Tam giác CFB
Tam giác ABF
Tam giác CED
Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp tam giác đều cạnh bằng 3. Tính thể tích
hình chóp đó biết chiều cao h = 7 .

A.

9 3
4

B.

63 3
2

C.

21 3
4

Đáp án C
SABC =
V=

9 3
,AH = 7
4

21 3
4

Câu 9

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian, tập hợp các điểm M nhìn đoạn

thẳng cố định AB dưới một góc vuông là:
A. Tập hợp chỉ có một điểm;

B. Một đường

thẳng;
C. Một đường tròn;
cầu.
Đáp án B
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
AB 

 AB 
M / AMB = 90 = M / OM =
 = S O;
2 
2 







D. Một mặt


Vậy tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới một góc vuông là mặt cầu tâm O
AB
bán kính R =

.
2
Câu 10

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm của CB, I là giao điểm của AE và
BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (SAC).

B.

(SBC).

C.

(SCD).

D.

(SAD).

Đáp án D
Gọi N là trung điểm của SB.
DI IA DA
=
=
=2
Em có: BE / /AD 
IB IE BE

IA GA
=
= 2  IG / / NE.
NAE có:
IE GN

IG / /NE

Em có: NE  ( SCB)  IG / / ( SCB) .

IG  ( SCB)
SCB có: NE / /SC  IG / /SC .
Tương tự em có: IG / / ( SCA ) và IG / / ( SCD )
Câu 11

(

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ABC

cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB. Biết SA = SB và ( SAB) ⊥ ( ABC) . Khẳng định nào
sau đây là sai?
A. SI ⊥ ( SAB) .

B. IC ⊥ ( SAB) .

C. SAC = SBC.

D. SC ⊥ ( SAB) .

Đáp án D

ABC cân tại C nên CI ⊥ AB
SAB cân tại S (do SA = SB )  SI ⊥ AB .

( SAB) ⊥ ( ABC)

( SAB)  ( ABC) = AB SI ⊥ ( ABC)

Em có: 
AB
⊥
SI

SAB
(
)
CI ⊥ ( SAB)

AB ⊥ CI  ABC
(
)


SAC = SBC  SAC = SBC.
Câu 12 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại
A, ABC = 30 . Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng

(SAB).

A.

39a
.
13

B.

39a
.
3

C.

26a
.
13

D.

39a
.
26

Đáp án A
Gọi H là trung điểm BC, vì SBC đều  SH ⊥ BC

( SBC) ⊥ ( ABC)

Em có ( SBC)  ( ABC) = BC  SH ⊥ ( ABC) .


SH ⊥ BC,SH  ( SBC)
• Các em chú ý
Nếu HI  ( P) =  M 

d ( I ; ( P) )

d ( H ; ( P) )

=

IM
HM

Áp dụng em có
d ( C; ( SAB) )

d ( H; ( SAB) )

=

CB
= 2  d ( C; ( SAB) ) = 2d ( H; ( SAB) )
HB

Kẻ HI ⊥ AB và HK ⊥ SI .
AB ⊥ HI
 AB ⊥ ( SHI )  ( SAB) ⊥ ( SHI )
Em có 
AB ⊥ SI

Có

( SAB) ⊥ ( SHI )

( SAB)  ( SHI ) = SI
 HK ⊥ ( SAB)  d ( H; ( SAB) ) = HK

HK ⊥ SI
SI  ( SAB)

 d ( C; ( SAB) ) = 2d ( H; ( SAB) ) = 2HK

Vì SBC đều  SH =

a 3
. Trong BHI vuông tại I có
2

HBI = 30  HI = HB.sin30 =

a
4

Trong SHI vuông tại H có
1
1
1
4 16 52
a 39

=
+ 2 = 2 + 2 = 2  HK =
2
2
HK
SH
HI
3a a
3a
26
 d ( C; ( SAB) ) = 2d ( H; ( SAB) ) = 2.HK =

a 39
13

Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Gọi M và N lần lượt là


hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp
A.BCNM bằng
A. V =

3a3 3
50

B. V =

9a3 3
50

C. V =

8a3 3
75

D. V =

8a3 3
25

Đáp án A
Ta có: VS. ABC = VS. AMN + VA.BCNM
1
1
a2 3 a3 3
VS. ABC = .SA.SABC = .2a.
=
3
3
4
6
2

SM SN
VS. AMN SM SN  SM.SB 
=
vì

=
.
=
2 
SB SC
VS. ABC SB SC  SB 
2


2 
2
 SA   ( 2a)   4  16
= 2  =
=  =
2 
 SB   a 5   5  25


2

2

(

 VS. AMN

16
16 a3 3
=
VS. ABC = .

25
25 6

VA. BCNM = VS. ABC − VS. AMN

Câu 14

)

a3 3 16 a3 3 9 a3 3 3a3 3
=
− .
= .
=
6
25 6
25 6
50

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong không gian cho hai điểm phân

biệt A và B. Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là:
A. Một mặt phẳng;

B. Một đường thẳng;

C. Một đường tròn;

D. Một mặt cầu.

Đáp án A
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, với O là điểm bất kì trong không
gian.
Ta có: O  ( P )  OA = OB  O là tâm của mặt cầu qua A và B.
Vậy tập hợp các tâm O của mặt cầu qua A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB.
Câu 15
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp
S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P lần lượt là các
điểm thuộc cạnh SA, SB, SD. I là giao điểm của NP và SO. Biết
SC  ( MNP ) = Q. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. I = MD  SO.

B. I = MQ  SO.

C. I = SO  ( MNP ) .

D. I = MQ  NP.


Đáp án A
I  SO
 I = SO  ( MNP ) .
Ta có: I = SO  NP  
I  NP  ( MNP )
Ta có:

I  SO  ( SAC )
 I  ( SAC )  ( MNP )


I  NP  ( MNP )

M  SA  ( SAC )
 M  ( SAC )  ( MNP )

M

MNP
(
)


Suy ra: MI = (SAC)  ( MNP ) .
Tuowg tự ta có: MQ = (SAC)  ( MNP ) .
Suy ra: I, M, Q thẳng hàng
I = MQ  NP

I = MQ  SO
Câu 16

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình nón có chiều cao bằng 2 và

đường sinh hợp với trục một góc bằng 45 . Diện tích xung quanh của hình nón
là:
A. 4 3;

B.

2;

C.

3;

D.

4 2.
Đáp án D
Hình nón có đường sinh hợp với trục một góc bằng 45 nên góc ở đỉnh của hình nón là
90. Vậy thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân. Suy ra bán kính đáy
bằng chiều cao h của hình nón R = h = 2. Độ dài
đường
sinh của hình nón là I = 2 2. Diện tích xung quanh
nón là

hình

Sxq = RI = .2.2 2 = 4 2

Câu 17 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho tứ diện
ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và
Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ điện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
A.
Đáp án B

1
2

B.

1
4

C.

1
6

D.

1
8

AC.


VABCD AB AC AD 1 1
1
=
.
.
= . .1 = .
VABCD
AB AC AD 2 2
4

Câu 18 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Kim tự tháp
Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500
năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là một hình

chóp tứ giác đều có chiều cao là 147m, cạnh đáy dài
230m. Tính thể tích của nó
A. 2 592 100m3

B. 52900 m3

7776300 m3

C.

D. 1470000 m3

Câu 19 Đáp án A

1
Thể tích kim tự tháp: V = Sđ .h
3
Theo bài: Sđ = 2302 = 52900 m2 .
h = 147 m
1
V = .52900.147 = 2 592 100m3
3
Câu 20 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ

nhật và thể tích V = 12cm3 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng 4cm. Tính khoảng cách
từ C đến mặt phẳng

(SAB).

A. 3cm.

B.

3 3
cm.
2

C. 6cm.

D. 3 3cm.

Đáp án B
Vì SAB đều cạnh bằng 4cm  SSAB = 4 3cm2
1
VS.ABCD = 6cm3 .
2
Mặt khác, VC.SAB = VS.ABC = 6 và

Ta có VS.ABC =

1
VC.SAB = d ( C; ( SAB ) ) .SSAB
3
 d ( C; ( SAB ) ) =

Câu 21

3VS.ABC
3.6 3 3
=

=
cm.
SSAB
2
4 3

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có

AB = AA = a, BC = 2a, AC = a 5. Tính góc giữa hai mặt phẳng

A. 45

B. 60

C. 30

(ABC) và ( ABC) .
D. 135


Đáp án A
Xét ABC có: AB = a, BC = 2a, AC = a 5
Vì AC2 = AB2 + BC2  ABC vuông ở B  AB ⊥ BC
Ta có: ABC.ABC là lăng trụ đứng
 AA ⊥ ( ABC)  AA ⊥ BC
 BC ⊥ ( AAB)  BC ⊥ AB tại B

Lại có AB ⊥ BC tại B
Và BC là giao tuyến của ( ABC) và ( ABC)
 ( ( ABC) , ( ABC) ) = ( AB, AB) = ABA

AAB vuông tại A có AB = AA = a  AAB vuông cân tại A
 ABA = 45  ( ( ABC) , ( ABC) ) = 45

Câu 22

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lăng

trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một hình
^

thoi cạnh a, góc BAD = 60. Gọi M là trung điểm AA
và N là trung điểm của CC. Chứng minh rằng bốn điểm
B , M, N, D đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo

a để tứ giác BMDN là hình vuông.
A. a 2
a 2
2

B. a

C.

D. a 3

Đáp án A
Gọi P là trung điểm cùa DD.
ABNP là hình bình hành  AP//BN;
APDM là hình bình hành  AP// MD
 BN// MD hay B, M, N, D đồng phẳng.

Tứ giác BNDM là hình bình hành.
Có DM = BM nên BNDM là hình thoi.
Để BMND là hình vuông thì 2BN 2 = BD 2 .

 y2

Đặt: y = AA  2  + a 2  = y2 + a 2  y = a 2
 4



Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a.
Góc giữa B'D và mặt phẳng ( AA 'D'D ) gần nhất với góc nào sau đây?
B. 35

A. 20

C. 45

D. 60

Đáp án B
 Em có: ABCD.A 'B'C' D ' là hình lập phương
 A 'B' ⊥ A 'D' và A 'B' ⊥ AA'
 A 'B' ⊥ ( AA 'D'D) tại A '

 A ' là hình chiếu vuông góc của B ' trên ( AA 'D'D )
 A 'D là hình chiếu vuông góc của B' D trên ( AA 'D'D )
 ( B' D, ( AA ' D ' D ) ) = ( B' D,A ' D ) = B' DA '
A 'D'DA là hình vuông cạnh a  đường chéo A 'D = a 2

 Xét A 'B' D vuông tại A ' có

tanB' DA ' =

B' A '
a
2
=
=
 B' DA  3515'
A 'D a 2
2

Vậy: ( B' D, ( AA ' D ' D ) )  3515'
Câu 24 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tam giác đều ABC có diện tích

3 quay

xung quanh cạnh AC, thể tích khối tròn xoay được tạo thành là
A. 2.

B. .

C.

7
.
4

D.

7
.
8

Đáp án B
SABC = 3  AB = AC = BC = 2 . Giả sử chọn hệ tọa độ

Oxy như hình bên.

 Phương trình AB là y = 3 ( x − 1) .
 Thể tích khối ABI quay quanh trục AC là
2

1

V =    3 ( x − 1)  dx = 
0

 Thể tích khối ABC quay quanh trục AC là 2
Câu 25

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp ABCD có đáy BCD là tam giác

vuông cân tại B, CD = a 2 , AB vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = b . Khoảng cách từ B
đến (ACD) là
A.

ab
2b + a

2

2

.

B.

2b2 + a 2
.
ab

C.

1
.
ab

D.

ab.


Đáp án A
Em nhận thấy, AB, BC, BD đôi một vuông góc nên em có:
1
1
1
1
=

+
+
d ( B, ( ACD) ) = BH và
2
2
2
BH
AB BC BD 2
(Với H là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD))
Em có BCD vuông cân tại B, CD = a 2 nên BC = BD = a.
1
1 1 1 a 2 + 2b 2
ab
=
+ 2+ 2 =
 BH =
2
2
2 2
BH
b a
a
a b
a 2 + 2b 2
Công thức giải nhanh: Nếu hình chóp O.ABC có OA, OB và
OC đôi một vuông góc với nhau thì


d ( O, ( ABC) ) = OH và

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB OC2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

Câu 26

vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng

(SBC) vuông góc với

mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
A.

2a
.
2

B.

a
. C.
2

3a
.
4

D.

3a
.
2

Đáp án C
Gọi H là trung điểm của BC  SH ⊥ BC,AH ⊥ BC

( SBC) ⊥ ( ABC)

Em có ( SBC)  ( ABC) = BC  SH ⊥ ( ABC) .

SH ⊥ BC
Trong (SHA), kẻ HK ⊥ SA ( K  SA )

(1)

BC ⊥ SH
 BC ⊥ ( SAH )  BC ⊥ HK. (2)
Vì 

BC ⊥ AH
Từ (1), (2)  HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC.
 HK = d ( SA,BC) .
SBC đều cạnh a nên SH =

3a
.
2

ABC vuông cân tại A nên AH =

BC a
= .
2 2

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên
3a
.
4
➢ Trường hợp đặc biệt: a chéo b, a ⊥ b

 HK =

1
1
1
4
4 16
=
+

= 2 + 2 = 2.
2
2
2
HK
SH
AH
3a a 3a


( P) chøa a
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( P) : 
( P) ⊥ b
Bước 2: Gọi B = b  ( P) . Trong (P), kẻ BA ⊥ a , A  a
Bước 3: Khoảng cách d ( a,b) = AB
Câu 27

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường cao

là b. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Thể tích của khối
tứ diện MNPQ bằng
A.

2 2
R h.
3

B.

1 2

R h.
6

C.

1 2
R h.
3

D. 2R 2 h.

Đáp án A
Cách 1: Ta có
1
VNMPQ = 2VN.I PQ = 2. NI.SIPQ
3
2 1
2 1
2
= .R. II '.PQ = .R. .h.2R = h.R2
3 2
3 2
3
Cách 2:
Gọi I và I’ là tâm của 2 đáy của hình trụ như hình vẽ.
Ta có: MN ⊥ PQ , MN ⊥ II ' nên MN ⊥ ( PQI )  ( PMN ) ⊥ ( PQI ) .

Gọi H là chiếu vuông góc của Q trên PI.
( PQI ) ⊥ ( PMN )


Do ( PQI )  ( PMN ) = PI  QH ⊥ ( PMN )

QH ⊥ PI
1
1
1
SPQI = .II '.PQ = .QH.IP  h.R = .QH. h2 + R2  QH =
2
2
2

2hR
h2 + R2

1
1
2Rh
1
2
. .IP.MN = R2h
Suy ra: VMNPQ = .QH.SMNP = .
3
3 R2 + h2 2
3
Câu 28 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại

B, cạnh huyền AC = 6cm , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60 . Diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. 48 cm2 .

B. 12 cm 2 .

C. 16 cm 2 .

D.

Đáp án A
 Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên
hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp ABC .


 Mà ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là hình chiếu vuông góc của
S trên mặt đáy  SH ⊥ ( ABC) .
Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc giữa SA và AC hay SAC = 60
 SAC đều  Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC và G  SH .

(

)

2
2
2 3.6
 R = .SH = .
= 2 3cm  Sxq = 4 2 3 = 48 cm2
3
3 2
Câu 29 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có AB = 2a , AC = 4a ,

BC = 3a . Gọi H là hình chiếu của S nằm trong tam giác ABC. Các mặt bên tạo với đáy một
góc 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V =

15a 3
.
6

B. V =

3 15a 3
.
4

C. V =

15a 3
.
8

D. V =

5a 3
.
8

Đáp án D
Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một góc 45 nên hình chiếu
vuông góc của S trên (ABC) chính là tâm đường tròn nội tiếp ABC
hay H là tâm đường tròn nội tiếp ABC .

1
 SH ⊥ ( ABC)  VS.ABC = SH.SABC
3
ABC có AB = 2a ; AC = 4a ; BC = 3a . Áp dụng công thức Hê-rông em
9a
3 15a2
và SABC =
.
2
4
Em lại có: SABC = p.r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

tính được p =

ABC.
Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC thì
r = HM = HN = HP =

SABC
15a
=
.
p
6

Mà HN ⊥ AC ; SH ⊥ AC  AC ⊥ (SHN )  AC ⊥ SN .

 Góc giữa (SAC) và (ABC) chính là góc giữa SN và HN hay SNH = 45
15a
.

6
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SA lấy điểm M

 SNH vuông cân tại H  SH = HN =
Câu 30

1
sao cho SM = SA . Mặt phẳng (  ) qua M và song song với mặt đáy lần lượt cắt SB, SC,
3

SD tại N, P, Q. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là
A.

1
.
9

B.

1
.
3

Đáp án D

1
1 15a 3 15a 2 5a 3
 VS .ABC = SH .S ABC = .
.
=

.
3
3 6
4
8

C.

1
.
81

D.

1
.
27


Do

()

qua M song song với mặt đáy nên em kẻ

MN / /AB( N  SB) ;
NP/ /BC( P SC) ;PQ / /CD ( Q  SD )  (  ) chính là

(MNPQ).

VS.MNPQ = VS.MNP + VS.MQP.

VS.MNP SM SN SP 1
1
=
. .
=
 VS.MNP = VS.ABC.
VS.ABC SA SB SC 27
27

Em có:
và

VS.MQP

=

VS.ADC

SM SQ SP 1
1
.
.
=
 VS.MQP = .VS.ADC .
SA SD SC 27
27

 VS.MNP + VS.MQP =

1
1
1
VS.ABC + VS.ADC = ( VS.ABC + VS.ADC ) .
27
27
27

1
.VSACBD .
27
 Chú ý: Em nhớ rằng, công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác.
Còn với khối chóp tứ giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các khối chóp
tam giác và áp dụng công thức.
Công thức giải nhanh:
Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy: Xét khối chóp S.A 1A 2 ...A n , mặt

 VS.MNPQ =

(P) song song với mặt đáy cắt cạnh SA1 tại m thỏa mãn

phẳng

SM
= k . Khi đó
SA 1

(P) chia khối chóp thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể
V'

= k3
tích V ' và khối đa diện ban đầu có thể tích V thì
V
Nên 

VSMNPQ
VSABCD

2

1
 1
=  =
 3  27

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm

Câu 31

của AC và BC. Trên BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD . Gọi E là giao điểm của JK và CD;
F là giao điểm của IE và AD. Tìm giao điểm của AD và (IJK).
A. Điểm I

B. Điểm E

C. Điểm F

D. Điểm K

Đáp án C.

Câu 32

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là

hình thoi cạnh a, BCD = 120 và AA  =

5a
. Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng
2

ABCD trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể thích khối hộp ABCD.ABCD :
A. V =

2 2
a
2

: Đáp án D.

B. V =

2 3
a
2

C. V =

6 3
a
2

D. V =

3 2 3
a
2


Gọi O = AC  BD .

Từ giả thuyết suy ra AO ⊥ ( ABCD )

a2 3
.
2
Vì BCD = 120 nên ABC = 60  ABC đều.
SABCD = BC.CD.sin120 =

 AC = a  AO = AA2 − AO2
25a2 a2
=
−
= 6a.
4
4

a2 3 3 2 3
=
a.
2

2
Câu 33 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại
Suy ra VABCD. ABCD = AO.SABCD = a 6.

A, BC = 2a , góc ACB = 60 . Mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng

(ABC), tam

giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Thể tích khối chóp S.ABC là:

a3
C.
8

a3
B.
4

a3
A.
2

a3
D.
16

Đáp án B.
Gọi H là trung điểm cạnh AB, từ giả thiết có SH ⊥ ( ABC ) .

1
VS. ABC = SABC .SH .
3
Tam
giác
ABC

vuông

tại

A

có:

AB = 2sin60 = 3a; AC = 2a cos60 = a

1
3
AB.AC = a2
2
2
Gọi K là trung điểm của cạnh BC thì
Nên SABC =

SK =

1
1

1
BC = a; HK = AC = a cos60 = a
2
2
2

3
3
SH 2 = SK 2 − KH 2 = a2  SH =
a.
4
2
1
Suy ra VS.ABC = a3 .
4
Câu 34 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Từ một miếng bìa hình tròn bán kính là 20cm, cắt
bỏ hình quạt OAFC phần còn lại ghép thành hình nón như hình vẽ. Biết số đo cung

AEC = 240 . Diện tích xung quanh của nón là:
A.

(

800
 cm2
3

)

B.

(

400
 cm2
3

)

C.

(

800
 cm2
5

)

D.

(

400
 cm2
5

)

Đáp án A.

4
4 80
=
, Độ dài cung AEC là 20.
( cm)
3
3
3

240 là

Mà độ dài cung AEC là chu vi của đường tròn đáy nón nên ta có

80
40
= 2 r  r=
là bán
3
3

kính đường tròn đáy nón.
Diện tích xung quanh của nón là : Sxq = 

40
800
20 =
cm2
3

3

(

)

Câu 35 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng
a, đường cao SO bằng h. Khoảng cách giữa SB và AD là
A.

3ah
4h2 + a2

.

B.

ah
4h2 + a2

.

C.

2ah
4h2 + a2

.

D.

4ah
4h2 + a2

.

Đáp án C.
Gọi O chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy  AC  BD = O .
Dựng OH ⊥ SN (H thuộc SN). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Trong (SMN), kẻ MI //OH (I thuộc SN).

(

) (

)

Em có: AD//BC  d ( SB, AD ) = d AD, ( SBC ) = d M , ( SBC ) .
Em lại có: ( SMN ) ⊥ ( SBC)  OH ⊥ ( SBC)

(

)

Do OH //MI nên MI ⊥ SBC  d M , ( SBC ) = MI = 2OH .
Tam giác SON vuông tại O, đường cao OH nên ta có
1
1
1
ah

2ah
=
+
 OH =
 MI =
2
2
2
OH
SO ON
4h2 + a2
4h2 + a2
Câu 36

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC) . Tam giác

ABC vuông tại B. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SB. Khẳng định nào sau
đây sai?


A. SA⊥BC.

B. AH⊥BC.

C. AH⊥AC.

D. AH⊥SC.

Đáp án C

SA ⊥ ( ABC )
 SA ⊥ BC.
Em có: 
BC  ( ABC )
BC ⊥ SA
BC ⊥ AB

Em có: 
SA  AB = A
SA, AB  ( SAB )

 BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ AH

Tương tự em có:
AH ⊥ (SBC)  AH ⊥ SC.

 Góc giữa hai đường thẳng MN và PQ có số đo bằng 45
Câu 37 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho khối hộp H có thể tích V. Xét tất cả các khối
chóp tứ giác có đỉnh của chóp và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của H. Chọn Câu dung.
A. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

V
3

B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

V
6

C. Có khối chóp có thể tích bằng

tích bằng

V
, có khối chóp có thể
3

V
6

D. Không có khối chóp có thể tích bằng
chóp có thể tích bằng

V
, không có khối
3

V
6

Đáp án A.
Ta có: diện tích của chóp bằng diện tích của hộp, Chiều cao của chóp bằng chiều cao của hộp

V
3
 C
Câu 38 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.AB
nên VC =

có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên có diện tích bằng 4a2 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

( ABC ) theo a.


A.

2a 5
.
5

B.

3a 5
.
5

C.

2a 13
.
13

D.

2a 21
.
7

Đáp án D.
Gọi M là trung điểm của BC  AM ⊥ BC  AM = a 3 .
Em có ABBA là hình chữ nhật  SABBA = AA.AB

SABBA 4a2
=
= 2a .
AB
2a
Kẻ AK ⊥ AM tại K.
 AA =

 AM ⊥ BC
Em lại có 
 BC ⊥ ( AAM )  BC ⊥ AK
 AA ⊥ BC
 AK ⊥ BC
Có 
 AK ⊥ ( ABC )  d A; ( ABC ) = AK
 AK ⊥ AM
Trong AAM có,

(

AA.AM

AK =

AA + AM
2

(

2

=

2a.a 3
4a + 3a
2

2

=

2a2 3
a 7

)

=

2a 21
7

)

Vậy d A; ( ABC ) = AK =

2a 21
.
7
Câu 39 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm của CB, I là giao điểm của AE và
BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (SAC) .

B. ( SBC ) .

Đáp án D
Gọi N là trung điểm của SB.
DI IA DA
=
=
=2
Em có: BE / /AD 
IB IE BE
IA GA
=
= 2  IG / /NE.
NAE có:
IE GN

IG / /NE

Em có:  NE  ( SCB )  IG / / ( SCB ) .

IG  ( SCB )
SCB có: NE / /SC  IG / /SC.
Tương tự em có: IG / / (SCA ) và
IG / / (SCD ) .

C. (SCD ) .

D. (SAD) .


Câu 40 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên
đường thẳng qua A vuông góc với ( ABC) lấy điểm S sao cho SB =

a 6
. Góc giữa đường
3

thẳng SB và ( ABC) là
A. 30.

B. 45.

C. 60.

D. 90.

Đáp án A
Em có: SA ⊥ ( ABC) tại A

 A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC)
 AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC)
 (SB, ( ABC) ) = (SB, AB) = SBA
Xét ABC vuông cân tại A, BC = a  AB = AC =

a
a 2

=
2
2

Xét SAB vuông tại A có

a 2
AB
3
cosSBA =
= 2 =
 SBA = 30  (SB, ( ABC) ) = 30
SB a 6
2
3
Câu 41 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông
góc với đáy và SA = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC là
A. a 3.

B. 2a.

C. a 2.

D. a 5.

Đáp án C
Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật  AB ⊥ (SAD ) .
Trong (SAD), kẻ AE ⊥ SD (E thuộc AD).

Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD)  CD ⊥ AE.
 AE ⊥ (SCD )  d ( A, (SCD ) ) = AE

Tam giác SAD vuông cân tại A, E là trung điểm SD nên
AE = SA2 − SE2 = a 2.
Câu 42 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi M

là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Biết SD = a 3, SC tạo với mặt phẳng đáy

(ABCD) một góc 60. Thể tích khối chóp

S.ABCD theo a là
A.

4a 3
.
3

B.

3a 3
.
10

C.

4a 3 15
.
5

D.

2a 3 15
.
3


Đáp án B
Theo giả thiết SM ⊥ AB

(SAB) ⊥ ( ABCD ) = AB
  SM ⊥ ( ABCD )
SM  ( SAB ) ;SM ⊥ AB 
 (SC; ( ABCD) ) = (SC;CM ) = SCM = 60

Em có

Em có MC = MD (do AMD = BMC)

 SMC = SMD  SC = SD = a 3
3a

SM = SC.sin 60 =

2

Có 
MC = SC.cos 60 = a 3



2
 BC 
CM = BC + BM = BC + 

 2 
2

2

2

2

2

5BC2 3a 2
a 3
3a 2

=
 BC =
 SABCD =
4
4
5
5

1
1 3a 3a 2 3a 3

=
Vậy VS.ABCD = SM.SABCD = . .
3
3 2 5
10
Câu 43

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho khối

chóp

S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh

bên

bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên

cạnh

SC sao cho SN=3NC. Thể tích khối chóp A.BCNM

có giá

trị nào sau đây?
A.

5 11a 3
.
96

B.

a 3 11
.
32

a 3 11
.
20

C.

Đáp án A
Gọi I là trung điểm BC, O là tâm của tam giác ABC.
Do tam giác ABC đều nên
SABC =

a2 3
a 3
2
a 3
, AI =
 AO = AI =
.
4
2
3
3

Trong tam giác vuông SAO em có SO = SA 2 − AO 2 =

Khi đó thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 33 a 2 3 a 3 11
VS.ABC = .SO.SABC = .
.
=
.
3
3 3
4
12
V
SM SN 1 3 3
.
= . = .
Áp dụng công thức em có S.AMN =
VS.ABC SB SC 2 4 8

a 33
.
3




VAMNCB 5
5
5 a 3 11 5 11a 3
=  VAMNCB = VS.ABC = .
=

.
VS.ABC 8
8
8 12
96

Câu 44

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A,

AB=2a và ACB = 30 . Thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh
cạnh AC là
A. V =

8 3a 3
.
3

B. V = 3a 3 .

C.

8 3a 3
.
9

D. a 3 .

Đáp án A
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có chiều

cao là AC, bán kính đáy là AB
Từ AB = 2a và ACB = 30  AC = AB.cot ACB = 2a 3
1
1
1
8 3a 3
 V = .h.S = .AC.AB2 = .2a 3.4a 2 =
3
3
3
3

Câu 45 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Một hình trụ được tạo ra bởi hình
chữ nhật ABCD quay quanh cạnh CD. Cho biết BD =

a 3
2

và

DBC = 60. Thể tích khối trụ là
3 9a 3
.
B.
24

9 3a 3
.
A.
24

3 9a 3
.
C.
64

9a 3
.
D.
64

Đáp án D

BCD vuông tại C nên em có:
BC =

a 3
a 3 1
3a
.cos 60 =
. =
.
2
2 2
4

Và CD = BD.sin 60 =

a 3 3 3a
.

= .
2
2
4
2

 3a  3a 9a 3
V = R .h = BC .CD = . 
.
 . =
64
 4  4
Câu 46 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại
2

2

B, AC = 5. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với ( ABC) và SC hợp với

( ABC) góc
A. V =
Đáp án D

60. Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC bằng

500 2
.
3

B. V =

250 3
.
3

C. V =

500 3
.
3

D. V =

500
.
3


( SAB) ⊥ ( ABC )

Do ( SAC ) ⊥ ( ABC )
 SA ⊥ ( ABC ) .

( SAB)  ( SAB) = SA
Hình chiếu của SC trên (ABC) là AC nên

(SC; ( ABC ) ) = (SC; AC ) = SCA = 60  SC = cosAC60 = 10.
BC ⊥ AB
Em có 
 BC ⊥ SB  Tam giác SBC vuông tại B.

BC ⊥ SA
Lấy I là trung điểm của SC. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
SC 10
R = IB =
= = 5.
2
2
Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là
4
500
V = R 3 =
.
3
3

Câu 47 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 2 và đáy là
tam giác ABC cân tại A. Biết BAC = 120 và BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là
a3 2
.
A.
6

a3 2
.
C.
9

a3 3
.
B.

9

a3 2
.
D.
3

Đáp án C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng cách dựng như hình vẽ.
Có SA = SB = SC  SH ⊥ ( ABC)

BC2 = AB2 + AC2 − 2.AB.AC.cos BAC
 4a 2 = 2AB2 − 2AB2 .cos120 = 3AB2
2a
 AB = AC =
3
1
1 2a 2a
a2 3
AB.AC.sin BAC = . . .sin120 =
2
2 3 3
3
Xét tam giác vuông AEH có
a
AE
3 = 2a
AH =
=
cos 60 cos 60

3
SABC =

 SH = SA − AH =
2

2

(a 2 )

2

2

a 6
 2a 
−
 = 3
 3

1
1 a 6 a2 3 a3 2
.
=
.
Vậy VS.ABC = SH.SABC =
3
3 3
3
9

Câu 48

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a và đường chéo BD ' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30º. Thể
tích của lăng trụ là:
A.

a3 6
3

B.

a3 6
8

C. a3 3

D. 3a3 6

Đáp án A
DD ' ⊥ ( ABCD )  DD ' ⊥ BD

(

)

Vậy BD'; ( ABCD ) = DBD' = 30

Ta có: DD' = BD.tan30 =

a 6
3

a 6 a3 6
=
3
3
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình nón có

Vậy V = SABCD .DD' = a2 .
Câu 49

thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2a. Thể tích của khối
nón bằng
A.

2 2a3
.
3

B.

a3
.
3

C. 2a3

D. a3 .

Đáp án A
Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón.

SAB vuông cân tại S nên AB = 2 2a
AB
1
= a 2; h = AB = a 2 .
 Bán kính đáy R =
2
2
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ em có:

( )

2
1
1
2 2a3
.
V = R2 h =  a 2 .a 2 =
3
3
3

Câu 50 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy là tam
giác vuông BA = BC = a , cạnh bên AA' = a 2 , M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa
AM và B'C là:
A.

a 2
2

B.

a 3
3

C.

Đáp án D

(

Dựng Cx / /AM  d = d AM; ( B'Cx )

)

a 5
5

D.

a 7
7


(

)

(

)

1
= d M; ( B'Cx ) = d B; ( B'Cx )
2
Dựng
1
1
BE.BB'
CE ⊥ Cx,CF ⊥ B' E  d = BF = .
2
2 BE2 + BB'2
Mặt khác BE = 2BI =

2a

d=

5

a 7
.
7

Câu 51 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
tâm O. Biết SO ⊥ ( ABCD ) ,SO = a 3 . Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD có bán kính là

a 2 . Góc hợp bởi mỗi mặt bên và đáy của hình chóp là:

A. 30.

C. 60.

B. 45.

D. 75.

Đáp án C
Em có: OA = OB = OC = OD = a 2

OI ⊥ BC
Gọi I là trung điểm của BC  
SI ⊥ BC
( SBC)  ( ABCD ) = BC

Em có: BC ⊥ SI  ( SBC)

BC ⊥ OI  ( ABCD )

(

)

 ( SBC) , ( ABCD ) = ( SI,OI ) = SIO.

SIO
SO = a 3


 1
1
1
1
+
= 2  OI = a
 2=
2
2
BO OC a
 OI
 tanSIO =
Vậy

có:

SO a 3
=
= 3.  SIO = 60 .
OI
a

(( SBC)( ABCD)) = 60

Câu 52 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy

(ABC). Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC. Tính thể tích khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp A.HKB là


A.

a3
2

B.

2a3
3

2a3

C.

D.

a3
6

Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là
trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường
tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
 IA = IB = IC = IH = IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.

a 2
2
Câu 53 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình lăng trụ
Suy ra bán kính R =

đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = a,AA ' = 2a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của AM và

A'C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
A.

2 5a
.
5

B.

5a
.
5

C.

2 3a
.
5

D.

3a
.
5

Đáp án A
Trong ( A ' B'BA ) , hạ AK ⊥ A 'B,K  A'B.

(

)

Vì BC ⊥ ( ABB' A ' ) nên AK ⊥ ( IBC)  d A, ( IBC) = AK.
Vậy AK =

2SA 'AB
AA '.AB
2 5a
=
=
.
A 'B
5
A ' A 2 + AB2

Câu 54

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy

bằng 2a và góc giữa cạnh bên và đáy bằng 45 . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và
đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là

A.

a2
.
12

B.

a2
.
3

C.

a2 5
.
3

Đáp án C
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Theo giả thiết, góc giữa cạnh bên và đáy chính là góc giữa SA
và OA hay SAO = 45 .

D.

a2 3
.
5