Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ DU

VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM
LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ DU

VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM
LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
(Xác nhận)

TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2018


Mục lục
Mở đầu

2

Chương 1. Về phương trình hàm loại giá trị trung bình

5

1.1

Mở đầu về phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình . .

7

1.3

Phương trình hàm và định lý giá trị trung bình Cauchy . .

12

Chương 2. Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung
bình

22

2.1

Định lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến . . . . . . .

22

2.2

Phương trình hàm loại giá trị trung bình . . . . . . . . . .

23

2.3

Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng . . . . .

31

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

2

Mở đầu
Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ"
giúp người học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy khi nghiên cứu
những công thức giải toán độc đáo và mới mẻ.
Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh
giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế,.... các bài toán liên quan đến
phương trình, phương trình hàm chiếm một vị trí đáng kể.
Phương trình hàm là bài toán được sử dụng và khai thác từ nhiều khía
cạnh của Toán học. Về cơ bản, ở chương trình Toán phổ thông chỉ đi giải
phương trình có nghiệm là số cụ thể, còn đối với phương trình mà nghiệm
của nó là hàm toán học nào đó thì chưa được trình bày, loại phương trình
này được gọi là phương trình hàm. Tuy nhiên, trong các khía cạnh của
Toán ứng dụng, chẳng hạn như phương trình vi tích phân, phương trình
đạo hàm riêng thì nghiệm của nó chủ yếu là các hàm toán học. Trong các
kỳ thi học sinh giỏi Toán, các bài toán về phương trình hàm luôn được
khai thác, không chỉ vì dễ khai thác tính mới lạ của dạng toán, mà nó còn
có nhiều ý nghĩa trong ứng dụng của Toán học hiện đại.
Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến các
ứng dụng nhiều góc độ trong giải toán nên nó thu hút không ít sự quan
tâm của người học cho đến những chuyên gia đầu ngành nghiên cứu về
Toán một cách sâu sắc và toàn diện. Vì lí do đó chúng tôi đã chọn đề tài
luận văn là "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng". Nội
dung của luận văn được chia thành hai chương, được tham khảo từ hai tài
liệu chính là [10] và [12]. Các nội dung được tham khảo này đã được tác

3

giả cố gắng trình bày chi tiết hơn. Cụ thể trong Chương 1 của luận văn,
tác giả trình bày sơ lược về phương trình hàm, tổng quan về phương trình
hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ giữa phương trình hàm và định
lý giá trị trung bình Cauchy. Trong Chương 2, tác giả trình bày về phương
trình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liên
quan tới định lý giá trị trung bình và một số kết quả mở rộng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động
viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán
–Tin. Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công
sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những
định lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời
tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học –
Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán – Tin nói riêng, đã truyền
thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là
học viên của trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão,
An Lão, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; cảm ơn các anh
chị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè đồng nghiệp đã trao
đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn
tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên.
Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ
nhiệm lớp Toán K10B1, TS. Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ
bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong
suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua
sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học
viên lớp K10B1 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển

nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai
bên và các anh chị em con cháu trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn
tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng


4

đường vừa qua. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2018
Học viên

Bùi Thị Du


5

Chương 1

Về phương trình hàm loại
giá trị trung bình
1.1

Mở đầu về phương trình hàm

Việc nghiên cứu về hàm cộng tính có từ thời A.M. Legendre là người đầu
tiên cố gắng tìm nghiệm của phương trình hàm Cauchy
f (x + y) = f (x) + f (y)
với mọi x, y ∈ R. Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng
tính đã được khởi xướng bởi A.L. Cauchy trong cuốn sách của ông "Coursd
d’Analyse" năm 1821. Các hàm cộng tính là các nghiệm của phương trình

hàm Cauchy cộng tính. Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính là gì? Sau
đó ta bàn về phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng phương
trình hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Ngoài
ra ta nghiên cứu cách giải của phương trình hàm không tuyến tính không
liên tục và chỉ ra chúng biểu diễn một phương diện khác: Các đồ thị của
chúng là trù mật trên mặt phẳng.
Các hàm cộng tính cũng được tìm thấy ở nhiều nơi trong các cuốn
sách của Aczél (1966, 1987), Aczél và Dhombres (1989) và Smital (1988).
Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến có


6

thể chỉ ra trong nhiều số hạng của các hàm cộng tính, nhân tính, hàm
logarit và hàm mũ. Một vài phần quan trọng của chương được tìm ra bởi
Aczél (1965) và Wilansky (1967).
Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình
f (x + y) = f (x) + f (y)

(1.1)

với mọi x, y ∈ R. Phương trình hàm này đã được biết là phương trình
hàm Cauchy. Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A.M.
Legendre (1791) và C.F. Gauss (1809) nhưng A.L. Cauchy (1821) là người
đầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát của nó. Phương trình (1.1) có
vị trí quan trọng trong toán học. Hàm f được gọi là cộng tính nếu thỏa
mãn phương trình (1.1).
Định lý 1.1.1. Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình (1.1).
Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f (x) = cx trong đó c là một hằng số tùy ý.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng một hàm cộng tính nhận giá trị thực

trên Rn có thể được biểu diễn như là tổng của n hàm cộng tính một biến.
Phương trình (1.1) có thể được tổng quát như sau: Xét hàm số f : Rn → R
thỏa mãn
f (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) + f (y1 , y2 , ..., yn )
với (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn và (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Xét trường hợp phương
trình hàm cộng tính hai biến ta có khẳng định trong định lý sau đây.
Định lý 1.1.2. Nếu f : R2 → R cộng tính trên R2 khi đó tồn tại các hàm
cộng tính A1 , A2 : R → R sao cho
f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 )

(1.2)

với mọi x1 , x2 ∈ R.
Phương trình hàm có dạng
f

f (x) + f (y)
x+y
=
2
2

(1.3)


7

với mọi x, y ∈ R được gọi là phương trình hàm Jensen. Hàm f thỏa mãn
phương trình (1.3) được gọi là hàm Jensen.
Định lý 1.1.3. Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm

Jensen
f

f (x) + f (y)
x+y
=
2
2

(JE)

với mọi x, y ∈ R nếu và chỉ nếu
f (x) = A(x) + a

(1.4)

với A : R → R là một hàm cộng tính và a là một hằng số bất kì.

1.2

Tổng quan về phương trình hàm loại giá
trị trung bình

Trong mục này chúng tôi trình bày về phương trình hàm loại giá trị trung
bình, tức là các vấn đề về phương trình hàm liên quan tới các định lý giá
trị trung bình. Các kết quả trình bày trong mục này được lấy từ tài liệu
[8, 10] của P. Kannappan và cộng sự.
Định lý 1.2.1. Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên
(a, b). Khi đó tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho
f (ξ) =

f (b) − f (a)
.
b−a

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) là y = (x − ξ)f (ξ) + f (ξ).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (a, f (a)) và (b, f (b)) là
y = (x − a)

f (b) − f (a)
+ f (a).
b−a

Nếu đường thẳng này song song với tiếp tuyến tại ξ thì
f (ξ) =

f (b) − f (a)
.
b−a


8

Đây là định lý giá trị trung bình Lagrange, một định lý có vai trò quan
trọng trong phép tính vi phân. Định lý này được đưa ra bởi J. L. Lagrange
(1736–1813). Nếu hàm f : R → R khả vi và [a, b] là đoạn bất kỳ, khi đó
theo định lý giá trị trung bình tồn tại ξ ∈ (a, b) thỏa mãn
f (b) − f (a)
= f (ξ(x, y)),
b−a

(1.5)

với ξ(x, y là hàm phụ thuộc x, y. Câu hỏi đặt ra, là với hàm f như thế nào
để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình đã
cho. Từ đẳng thức (1.5) xem như một phương trình hàm với f là hàm chưa
biết và cho trước ξ(x, y). Hàm ξ(x, y) có thể là một hàm tổng quát, cũng
có thể là một tổ hợp tuyến tính hoặc phi tuyến của x và y, chẳng hạn
x+y
,
2
√
ξ(x, y) = xy,
ξ(x, y) =

ξ(x, y) =

p

xp + y p
.
2

(1.6)
(1.7)
(1.8)

Trong phương trình (1.5) vế phải có thể được thay bằng hàm chưa biết,
chẳng hạn hàm h, khi đó phương trình (1.5) trở thành
f (x) − f (y)

= h(ξ(x, y)).
x−y

(1.9)

Nếu chọn ξ(x, y) = (x + y)/2, thì ta thu được phương trình hàm như sau
f (x) − f (y) = (x − y)h

x+y
với mọi x, y ∈ R.
2

(1.10)

Huruki (1979) và Aczél (1985) độc lập với nhau đã tìm ra nghiệm của
phương trình hàm (1.10).
Định lý 1.2.2. Cho f : R → R lày ý



f (x, y) =
g(x, y) =
h(x, y) =




cho x = 0; hoặc cho y = 0

nếu s = −t = 0,





A(tx) B(ty)



+
+c 



t
t





tùy ý






A(y) B(x) x



+
− g(x, y)



f (x, y) =
g(x, y) =
h(x, y) =

y

y

y

(2.50)
trong đó A : R → R và B : R → R là các hàm cộng tính, và a, b, c, α, δ, γ
là các hằng số thực tùy ý.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh định lý này bằng cách xét các trường
hợp khác nhau của tham số s và t.
Trường hợp 1. Giả sử s = t = 0. Khi (2.46) trở thành
f (u, v) − f (x, y) = (u − x)a + (v − y)b,

(2.51)

với a = g(0, 0) và b = h(0, 0). Từ (2.51) ta được
f (u, v) − au − bv = f (x, y) − ax − by,

(2.52)

với mọi x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 = 0. Do đó
f (x, y) = ax + by + c,

(2.53)

trong đó c là một hằng số. Vì vậy nghiệm của (2.46) trở thành
f (x, y) =
g(x, y) =
h(x, y) =

ax + by + c









tùy ý với g(0, 0) = a 
tùy ý với h(0, 0) =

(2.54)






b.

Trường hợp 2. Giả sử t = 0 hoặc s = 0 (s2 + t2 > 0). Không mất tính
tổng quát ta giả sử t = 0. Khi đó, từ phương trình (2.46) ta có
f (u, v) − f (x, y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy).

(2.55)


33

Cho x = 0 = y thay vào (2.55), ta nhận được
f (u, v) = au + bv + c,

(2.56)

trong đó a = g(0, 0), b = h(0, 0) và c = f (0, 0). Thay thế nó vào (2.46), ta
được
a(u − x) + b(v − y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy),

(2.57)

với mọi x, y, u, v ∈ R với (u − x)2 + (v − y)2 = 0. Phương trình (2.57) tương
đương với
u [a − g(sx, sy)] + v [b − h(sx, sy)]
− {x [a − g(sx, sy)] + y [b − h(sx, sy)]} = 0.
Sử dụng tính độc lập tuyến tính của u, v, 1, chúng ta có
g(sx, sy) = a

(2.58)

h(sx, sy) = b,

(2.59)

và

với mọi x, y ∈ R. Do đó



g(x, y) = a,

(2.60)


h(x, y) = b. 

Do vậy nghiệm của (2.46) là
f (x, y) = ax + by +
g(x, y) =
h(x, y) =

a,
b.



c,






(2.61)








Trường hợp 3. Giả sử s = 0 = t. Thay x = 0 = y vào (2.46), ta được
f (u, v) = ug(tu, tv) + vh(tu, tv) + c,

(2.62)

trong đó c = f (0, 0). Thay (2.62) vào (2.46), ta được
ug(tu, tv) + vh(tu, tv) − xg(tx, ty) − yh(tx, ty)
= (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv). (2.63)


34

u
v
x
, v bởi , x bởi , y bởi
t

t
s
u
v
x tx ty
y
g(u, v) + h(u, v) − g
,
− h
t
t
s
s s
s
u x
−
g (x + u, y + v) +
=
t
s

Thay thế u bởi

y
vào (2.63) ta được
s
xt ty
,
s s
v y

−
h (x + u, y + v) , (2.64)
t s

với mọi x, y, u, v ∈ R với (us − xt)2 + (vs − yt)2 = 0. Bây giờ xét một số
trường hợp con:
Trường hợp 3.1: Giả sử s = t = 0. Thì từ phương trình (2.64) ta có
ug(u, v) + vh(u, v) − xg (x, y) − yh (x, y)
= (u − x) g (u + x, v + y) + (v − y) h (u + x, v + y) . (2.65)
Thay x bằng −x, y bằng −y vào (2.65), ta được
ug(u, v) + vh(u, v) + xg (−x, −y) + yh (−x, −y)
= (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) . (2.66)
Từ phương trình (2.65) và (2.66), ta có
xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y)
= (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y)
− (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) . (2.67)
Cho u = −x, v = −y vào phương trình (2.65) ta được
xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y) = 2ax + 2by,

(2.68)

khi đó a = g(0, 0), b = h(0, 0). Bây giờ sử dụng (2.68) vào (2.67) ta được
2ax + 2by = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y)
− (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) (2.69)
tương đương với
a(x + u) − a(u − x) + b(v + y) − b(v − y)
= (u + x)g(u − x, v − y) + (v + y)h(u − x, v − y)
− (u − x)g(u + x, v + y) − (v − y)h(u + x, v + y). (2.70)

35

Vì vậy, ta có
(u + x) [g(u − x, v − y) − a] + (v + y) [h(u − x, v − y) − b]
= (u − x) [g(u + x, v + y) − a] + (v − y) [h(u + x, v + y) − b] . (2.71)
Thay u + x = l = v + y vào phương trình (2.71), ta được
g0 (u − x, v − y) + h0 (u − x, v − y) = α(u − x) + β(v − y),

(2.72)

trong đó g0 = g − a và h0 = h − b. Thay (2.72) vào (2.71), ta thấy rằng
[(v + y) − (u + x)] h0 (u − x, v − y) + β(u + x)(v − y)
= [(v − y) − (u − x)] h0 (u + x, v + y) + β(u − x)(v + y),
hay
[(v + y) − (u + x)][h0 (u − x, v − y) − β(v − y)]
= [(v − y) − (u − x)][h0 (u + x, v + y) − β(v + y)]. (2.73)
Cố định v + y và u + x sao cho v + y = u + x và tách biến ta được
h0 (u − x, v − y) − β(v − y) = α0 [(v − y) − (u − x)],

(2.74)

với α0 là hằng số. Vì vậy ta có
h(u − x, v − y) = (α0 + β)(v − y) − α0 (u − x) + b,
hay
h(x, y) = δy + γx + b,

(2.75)

với γ, δ là hằng số. Cho (2.75) vào (2.72) ta được
g(x, y) = (α − γ)x + (β − δ)y + a.

Sử dụng (2.75) và (2.76) vào (2.62) ta được
f (x, y) = (α − γ)x2 t + (β − δ + γ)xyt + δy 2 t + ax + by + c.

(2.76)


36

Vì thế ta có nghiệm
2

2

f (x, y) = (α − γ)x t + (β − δ + γ)xyt + δy t + ax + by +
(α − γ)x + (β − δ)y + a

g(x, y) =
h(x, y) =



c





(2.77)









δy + γx + b.

Thay thế phần trên vào (2.46) với s = t = 0 ta được
β − δ = γ.

(2.78)

Khi đó (2.77) trở thành
2

2

f (x, y) = (α − γ)x t + 2γxyt + δy t + ax + by +
g(x, y) =
h(x, y) =

(α − γ)x + γy + a
γx + δy + b.



c






(2.79)








Trường hợp 3.2: Giả sử s = −t = 0. Khi đó phương trình (2.64) trở thành
ug(u, v) + vh(u, v) + xg(−x, −y) + yh(−x, −y)
= (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y). (2.80)
Thay u = 0 = v vào phương trình (2.80) ta được
xg(−x, −y) + yh(−x, −y) = xg(x, y) + yh(x, y).

(2.81)

Sau đó, sử dụng (2.80) vào (2.81) ta được
ug(u, v) + vh(u, v) + xg(x, y) + yh(x, y)
= (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y).
Cho y = v = 0 vào (2.3), ta thấy rằng ug(u, 0)+xg(x, 0) = (u+x)g(u+x, 0).
Do đó
ug(u, 0) = A(u),

(2.82)

với A là một hàm cộng tính tùy ý. Tương tự, thay x = u = 0 vào (2.3), ta

được
vh(0, v) + yh(0, y) = (v + y)h(0, v + y).


37

Vì vậy
vh(0, v) = B(v),

(2.83)

trong đó B là một hàm cộng tính tùy ý. Tiếp theo, thay x = 0 = v vào
(2.3) ta được
ug(u, 0) + yh(0, y) = ug(u, y) + yh(u, y).

(2.84)

Sử dụng (2.82) và (2.83) vào (2.84), ta được
ug(u, y) + yh(u, y) = A(u) + B(y).

(2.85)

Sử dụng (2.85) vào (2.62), ta cho x = 0



A(tx) B(ty)


+

+c 
f (x, y) =




t
t

A(x) B(y) y
g(x, y) =
+
− h(x, y)



x
x
x





h(x, y) =
tùy ý.

(2.86)

Trường hợp 3.3: Giả sử 0 = s2 = t2 = 0. Đổi biến x với u và y với v trong

phương trình (2.63) ta có
xg(tx, ty) + yh(tx, ty) − ug(tu, tv) − vh(tu, tv) =
(x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv).
Cộng phương trình (2.63) với (2.3) ta được
(x − u)g(sx + tu, sy + tv) + (y − v)h(sx + tu, sy + tv)
= (x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv). (2.87)
Thay tu + sx = 0 = sy + tv vào (2.87) ta được
t2 − s 2 t2 − s 2 
t2 − s 2 t2 − s 2 


xg
x,
y + yh
x,
y = ax + by,
t
t
t
t






trong đó a = g(0, 0) và b = h(0, 0). Thay x =



(2.88)

tx
ty
và
y
=
vào
t2 − s2
t2 − s2

(2.88), ta được
xg(x, y) + yh(x, y) = ax + by.

(2.89)


38

Sử dụng phương trình (2.89) vào (2.62), ta được
f (x, y) = ax + by + c.

(2.90)

Thế (2.90) vào (2.46)
au + bv − ax − by
= (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv).
Xét v = x = 0, ta được
au − by = ug(tu, sy) − yh(tu, sy),
cuối cùng thế u bằng

(2.91)

y
u
và y bằng và nhân với ts, ta được
t
s

asu − bty = sug(u, y) − tyh(u, y).

(2.92)

Thay u bởi x vào (2.92) và kết hợp với (2.89) ta được
a(s + t)x = (s + t)xg(x, y),

(2.93)

g(x, y) = a,

(2.94)

và vì s2 = t2 nên ta có

với mọi x ∈ R\{0} và y ∈ R. Tương tự, ta có h(x, y) = b với mọi x ∈ R
và y ∈ R\{0}. Thay u = 1 + x và v = 1 + y vào phương trình (2.46) và từ
phương trình (2.90), ta có
a + b = g(t + x(s + t), t + y(s + t)) + h(t + x(s + t), t + y(s + t))
suy ra
a + b = g(x, y) + h(x, y)

với mọi x, y ∈ R. Tiếp theo, thế x = 0, ta được a + b = g(0, y) + h(0, y). Vì
h(x, y) = b với mọi x ∈ R và y ∈ R\{0}, nên ta được g(0, y) = a với mọi
y ∈ R\{0}. Hơn nữa, vì g(0, 0) = a, ta thấy rằng (2.94) thỏa mãn với mọi
x, y ∈ R.


39

Thế (2.94) và (2.90) vào (2.46), ta được
h(x, y) = b,

(2.95)

với mọi x, y ∈ R. Vậy
f (x, y) = ax + by +
g(x, y) =
h(x, y) =

a
b,



c





(2.96)








với mọi x, y ∈ R, và a, b, c là các hằng số.
Từ Định lý 2.3.1 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.2. Cho fx và fy là các đạo hàm riêng của f : R2 → R, và cho
trước s và t, là các tham số thực. Hàm f thỏa mãn phương trình hàm vi
phân
f (u, v) − f (x, y) =
(u − x)fx (su + tx, sv + ty) + (v − y)fy (su + tx, sv + ty),
với mọi x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 = 0, nếu và chỉ nếu
hàm f có dạng



ax2

f (x, y) = 



+ by + cy 2 + dy + exy + α nếu s =

1
=t

2

ax + by + c ngược lại,

trong đó a, b, c, d, e, α là các hằng số tùy ý.
Khẳng định dưới đây là trường hợp mở rộng của Định lý giá trị trung
bình Cauchy.
Định lý 2.3.3. Với mọi hàm f, g : R2 → R với đạo hàm riêng liên tục
fx , fy , gx và gy và cho tất cả các cặp riêng biệt (x, y) và (u, v) ∈ R2 , thì tồn
tại một điểm trung gian (η, ξ) trên đoạn nối các điểm (x, y) và (u, v) sao
cho
[f (u, v) − f (x, y)][(u − x)gx (η, ξ) + (v − y)gy (η, ξ)]
= [g(u, v) − g(x, y)][(u − x)fx (η, ξ) + (v − y)fy (η, ξ)]. (2.97)


40

Chứng minh. Chứng minh tương tự như chứng minh cho trường hợp một
biến. Ta xác định hàm bổ trợ
Ψ(s, t) = [f (u, v) − f (s, t)][g(u, v) − g(x, y)]
− [f (u, v) − f (x, y)][g(u, v) − g(s, t)], (2.98)
khi đó Ψ(u, v) = Ψ(x, y) = 0, Ψ là hàm khả vi với bất kỳ hàm f và g, do
đó theo định lý giá trị trung bình cho các hàm hai biến tồn tại (η, ξ) trên
đoạn nối (x, y) và (u, v), sao cho
(u − x)Ψs − (η, ξ) + (v − y)Ψt (η, ξ) = 0.

(2.99)

Từ các phương trình (2.98) và (2.99) ta có
(u − x)gx (η, ξ)[f (u, v) − f (x, y)] − fx (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)]

+ (v − y){fy (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)] − gy (η, ξ)[f (u, v)
− f (x, y)]} = 0. (2.100)
Ta có điều phải chứng minh.


41

Kết luận
Luận văn đã trình bày những vấn đề sau:
• Sơ lược về phương trình hàm, định lý giá tri trung bình Lagrange và
mối quan hệ với phương trình hàm. Phương trình hàm và định lý giá
trị trung bình Cauchy. Một số bài toán áp dụng. Nội dung này được
lấy từ tài liệu [10] (chương 2) của P. K. Sahoo, T. Reidel và bài báo
[12] xuất bản năm 2016 của Z. M. Balogh và cộng sự.
• Về phương trình hàm và định lý giá trị trung bình hai chiều: định lý
giá trị trung bình đối với hàm hai biến, phương trình hàm loại giá trị
trung bình, phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng và định
lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến. Nội dung này được lấy chủ
yếu từ tài liệu [10] (chương 4) của P. K. Sahoo, T. Reidel và một số
tài liệu liên quan.


42

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục.
[2] Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2013), Tuyển tập Olympic toán học
tại các nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB ĐH Quốc gia HN.
[3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 năm Olympic

Toán học quốc tế, NXB Giáo dục.
[4] Lục Trường Giang (2015), Một số dạng phương trình hàm xây dựng từ
định lý giá trị trung bình, Luận văn Thạc sĩ Toán học - Trường ĐH
Khoa học - ĐHTN.

Tiếng Anh
[5] J. Aczél (1985), "A Mean Value Property of the Derivative of
Quadratic Polynomials-without Mean Values and Derivatives", Mathematics Magazine, 58(1), pp. 42-45.
[6] J. Aczél (2006), Lectures on Functional Equations and their applications, University of Waterloo, Canada.
[7] Christopher G. Small (2007), Functional Equations and How to solve
them, Springer.


43

[8] P. K. Sahoo, P. Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC.
[9] P. Kannappan, T. Riedel, P. K. Sahoo (1997), ”On a functional equation associated with Simpson’s rule”, Result. Math, 31, pp. 115-126.
[10] P. K. Sahoo, T. Reidel (1998), Mean Value Theorem and Functional
Equations, World Scientific.
[11] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic
Edition.
[12] Z. M. Balogh, O. O. Ibrogimov, B. S. Mityagin (2016), "Functional
equations and the Cauchy mean value theorem", Aequationes mathematicae, 90(4), pp. 683–697.