Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 01
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018
ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm)
1 � �2x  x  1 2x x  x  x �
� 1


�
�: �
1 x
x � � 1 x
1 x x
�
�

Cho biểu thức A  �

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x  17  12 2
c) So sánh A với A .
Câu 2: (4,0 điểm)

3x 2  6 x  12  5 x 4  10 x 2  9  3  4 x  2 x 2 .
b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2 xy 2  x  y  1  x 2  2 y 2  xy.
a) Giải phương trình :

Câu 3: (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 .
Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.
b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a  b  c  d  0 .
Chứng minh rằng: M  (ab  cd )(bc  da)(ca  bd ) là số hữu tỉ.
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng:  AEF



 ABC và

S AEF
 cos 2 .
S ABC



2
2
2
b) Chứng minh rằng : S DEF  1  cos A  cos B  cos C .S ABC

c) Nếu

HA HB HC


=

BC AC AB

3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho
� .
BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = x 2  xyz  y 2  xyz  z 2  xyz  9 xyz
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

/>
1


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 01
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018
.

Câu

Ý
a
2,0đ

1
(4điểm)

Tóm tắt cách giải

1 ��2x  x  1 2x x  x  x �
1
� 1
�
�
A �


x  0;x � ;x �1�
�
�
�: �
�
�
4
1 x
x �� 1 x
1 x x
�
� 0,25
�
�





 

 





x
x







x 1
1









2 x 1



 

 

 






: 2 x 1 :

 1 x   1

1

:





xx





xx





0,5
0.25

0,5

1 x  x
x

0,5

Ta có

A

1,0đ



1 x  x  x 1 x

  1 x   1

x 1









2

1,0đ x  17 12 2  3 2 2 � x 

c



�
x 2x  x  1 �
x  1 x �
2x  2 x  x  1
�

:

�
x 1 x

1 x 1 x
1 x 1 x  x �
�
�
�
x x 1 2 x 1 �
2 x 1 � x  1 2 x 1
�

:

�
x x 1
1 x 1 x
1 x 1 x  x �
�
�
�
� 1
�
2 x 1 �
x

: �2 x  1 �

�
�
�
�
1


x
1

x

x
x x 1 �
�
�
�



b

Điểm





1 3 2 2  17  12 2
3 2 2

 3 2 2

2

 3 2 2  3 2 2





0,5

15 10 2 5 3 2 2


5
3 2 2
3 2 2

1 x  x
1
 x
1
x
x
1
1
x
 2 với mọi x  0;x � ;x �1
4
x

0,25
0,25

Biến đổi ta được: A 
Chứng minh được
�A  x

1
 1 1� A  1� A  1 0 � A
x

� A  A  0� A  A

/>


0,25

0,25



A 1  0

0,25
0,25

2


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Ta có:

VT 

a

3x 2  6 x  12  5 x 4  10 x 2  9



2đ

3( x  1) 2  9  5( x 2  1) 2  4 � 9 

4 5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  1
VP  3  4 x  2 x 2  5  2( x  1) 2 �5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  1

� VT  VP � x  1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1
b

2 xy 2  x  y  1  x 2  2 y 2  xy
 2 y  x  1  x x  1  y  x  1  1 0 (1)
2

2y2  x  y 

điểm)

1
0
x 1

PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra
nên x – 1 �   1;1
 x – 1 = -1  x = 0
 x–1=1 x=2

1
nguyên
x 1

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5)
= a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1)
2đ
= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)
Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số
chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5
(*)
Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)
a

điểm)

0,5
0,25

0,25

(2)

1
Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y 2  y  1 0  y 1 ; y 
2
1
Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y 2  y  1 0  y 1 ; y 
2
Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên  x; y  �  0;1 ;  2;1  .

(4

0,5

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế
của phương trình cho x – 1, ta được:

(4

3

0,5

Ta có:

2đ
2

0,5

5

Từ (*) và (**) suy ra a – a chia hết cho 5
5

(1)

5

tương tự có b – b chia hết cho 5 (2), c – c chia hết cho 5 (3)
5

5

5

Từ (1) (2) (3) suy ra a – a + b – b + c – c chia hết cho 5
Mà a + b+ c = 2410
Nên

5

5

2017

0,5
0,25

0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5

chia hết cho 5

5

a + b + c chia hết cho 5

/>
3


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

b
2đ

0,5

Ta có: a  b  c  d  0 � ad  bd  cd  d 2  0 (vì d �0)
�
ad  d 2  bd  cd
�

��
bd  d 2  cd  ad
�
cd  d 2  ad  bd
�

0,25

M  (ab  cd )(bc  da )(ca  bd )
 ( ab  d 2  ad  bd )(bc  d 2  bd  cd )(ca  d 2  cd  ad )
 ( a  d )(b  d )(b  d )(c  d )(a  d )(c  d )


 (a  d )(b  d )(c  d )

2

 ( a  d )(b  d )(c  d )

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a  d )(b  d )(c  d )
hữu tỉ.
Vậy M  (ab  cd )(bc  da )(ca  bd ) là số hữu tỉ

là số

0,25
0,25
0,25
0,5

4
(5điểm)

/>
4


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

A

0,5
E

F

0,5

H

B

0,5

D

C

0,5
1

AE
a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA =
AB

Tam giác ACF vuông tại F nên cosA =

1

AF
.
AC

AE AF
� AEF : ABC (c.g .c)
=
AB AC
2
S AEF �AE �
 � � cos 2 A
* Từ AEF : ABC suy ra
S ABC �AB �

Suy ra

0,25

S

S

2
2
CDE
BDF
b) Tương tự câu a, S  cos B, S  cos C.
ABC
ABC
Từ đó suy ra

0,25

SDEF S ABC  S AEF  S BDF  SCDE

 1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C
S ABC
S ABC

2
2
2
Suy ra S DEF   1  cos A  cos B  cos C  .S ABC

HC

CE

HC .HB

0,25

0,25

CE.HB

S

HBC
c) Từ AFC : HEC � AC  CF � AC. AB  CF . AB  S
ABC

HB.HA

S

HA.HC

S

HAC
HAB
Tương tự: AC.BC  S ; AB.BC  S . Do đó:
ABC
ABC

HC.HB HB.HA HA.HC S HBC  S HCA  S HAB
1
+
+
=
S ABC

AC. AB AC.BC AB.BC

 Ta chứng minh được: (x + y + z)2 �3(xy + yz + zx) (*)
Áp dụng (*) ta chứng minh được:

HA HB HC


�3
BC AC AB

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.

/>
5


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

5
(1
điểm)

Kẻ EF  AC tại F, DG  BC tại G.
Theo giả thiết S ADPE  S BPC � S ACE  S BCD
�  DCG
�  600
Mà AC  BC � EF  DG và EAF
Suy ra AEF  CDG � AE  CG.
�  ECA

�
Do đó AEC  CDB(c  g  c) � DBC

0,25
0,25
0,25
0,25

�  PBC
�  PCB
�  PCD
�  PCB
�  600
� BPE

6
(2
điểm)

Áp dụng BĐT côsi ta có
x 2  xyz  xyz  x
 x
�







x  yz  yz  x

( x  z )( x  y )  yz





x ( x  y  z )  yz  yz



3� 1�
�x  y  x  z y  z � 3 � 1 �

�x  �
�
�
�x  �
2 � 3�
2
2 � 2 � 3�
�

0,25

(Vì x + y + z =1)
Chứng minh tương tự:
y 2  xyz  xyz �

3� 1�
�y  �
2 � 3�

z 2  xyz  xyz �

3 � 1�
�z  �
2 � 3�

0,25
0,25

3

Mà

0,25

�x  y  z � 1
xyz � �
�
� 3
� 3 3

0,5

3
6
5 5 3



 1 x  y  z  
2
3
3 3
3
1
5 3
Vậy GTLN của A =
khi x = y = z =
3
3

Do đó A �

0,5

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
/>
ĐỀ SỐ: 02

6

“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017
ĐỀ BÀI
Bài 1: (5,0 điểm)
�x 2
x
1 � x 1


Cho biểu thức: P  �
. Với x �0, x �1.
�:
2
x
x

1
x

x

1
1

x
�
�
a) Rút gọn biểu thức P.
2

b) Tìm x để P  .
7
2
c) So sánh: P và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y �Z thỏa mãn: 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:
2
�1 1 1 � 1 1 1
�   � 2  2  2 .
b c
�a b c � a
3
3
3
Chứng minh rằng: a  b  c chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: 4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20
b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm
của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích
của hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a

b
c
a
b
c





ab bc ca
bc
ca
ab
-------------------------------------- Hết --------------------------------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 02
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017
.

/>
7


Câu

Ý

Nội dung

Điể
m

� 1. môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”
�0,
Điều
kiện
: xgiỏi
“Tập 20 đề
thi học
sinh
cấpxhuyện

a
2đ

�x 2
P�

x
x

1
x
�
�
x2
�

3

�
� x 1 x 
�

 




x
1 � x 1

�:
x 1 1 x � 2
�
x
1 � x 1

:
x 1
x 1 �
� 2
�

x  2  x ( x  1)  ( x  x  1)









x 1 x  x 1

x  2 x 1





x 1 x  x 1

.

:

x 1
2

2
x 1

2
x  x 1
Với x �0, x �1. Ta có:
2
P
7

2
2
�

x  x 1 7


Bài 1
5,0đ

b
2,0đ

0,5
0,5

0,5
0,5

0,5

� x  x 1 7
� x x 60
� ( x  2)( x  3)  0
Vì x  3  0 nên x  2  0 � x  4 (t/m)
2
Vậy P = khi x = 4
7

1,0

0,25
0,25

Vì x �0 � x  x  1 �1

0.25

2
�2
x  x 1
� 0  P �2
� P ( P  2) �0

0,25

�0

c
1,0đ

� P 2  2 P �0
ۣ P2


2P

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 � x = 0
Vậy P2 �2P
2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy

0,25
0,25

� 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy  0
�  x  1 (2 y 2  y  x)  1

Vì x, y �Z nên x - 1�Ư(-1) =  1; 1
/>
+) Nếu x – 1 = 1 � x = 2
Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1

0,5
0,25
8


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

.
* Vì a, b, c > 0 nên
Tương tự:
�

a
a
ac
1�

.
ab

ab abc

b
ba
c
cb

;

bc abc ca abc

a
b
c


 2 (1)
ab bc ca

* Ta có:

0,5

a
a

bc
a (b  c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:

Bài 5
1,0đ

a  (b  c)
� a (b  c)  0
2
2
1
ۣ
abc
a(b  c)


2a
abc

Tương tự:
�

a
a(b  c)

2a
abc

2b
b
�
;

abc
ac

a
bc

2c
c
�
abc
ba

a
b
c


�2
bc
ca
ab

Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
�

a
b
c



 2 (2)
bc
ca
ab

0,5

Từ (1) (2) ta có đpcm.
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

/>
9


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 03
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017
ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm).
1
x

1

1
2
1
1
x y

.(

):
3
y x  y  2 xy ( x  y )
x
y
xy xy

Cho biểu thức: A = (  ).

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - 5
Câu 2: (3,5 điểm).
a) Cho hàm số bậc nhất : y = mx + m – 1(*) (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam
giác có diện tích bằng 2.
b) Giải phương trình: x 2  2 x  x x  2 x  4  0
Câu 3: (3,5 điểm).
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320
b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2016 .
2a  3b  3c  1 3a  2b  3c 3a  3b  2c  1



�6
Chứng minh rằng:
2015  a
2016  b
2017  c
Câu 4: (5,0 điểm).
Cho đường tròn (O;R), đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác
B và C). Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B.
Gọi I là trung điểm HC.
a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA.
b) Chứng minh: MH vuông góc với IA.
c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động
trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các
đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác ABC đều.
Câu 6. (2,0 điểm).
Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1.
(a  b  c)(a  b)
abcd
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

/>
10


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 03
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017
.

Câu
Nội dung
Câu 1
a.
a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x  y
(2,0đ)
1 1
1
2
1
1

.(

) :
A = ( x  y ).
3
x  y  2 xy

=
=
=

x y



2

xy .( x 

y)

x  y  2 xy
xy( x 
1
xy

y)

xy xy

.

x

Vậy A =

y

2( x 

=

y)

y)

3

( x

.

2

( x

y ) .( x . y )

x

.

y

Điểm
4,0 đ
0,5đ
x

y

xy xy

xy xy
x

0,5đ

y

xy xy
x

0,5đ

y

xy
x

y

xy
x

0,5đ

y

b.
b) Với x = 3 + 5 Và y = 3 - 5 ta có : x >y>0, do đó:
(2,0đ)

xy
0
A=
x

y

[( 3  5 ) .( 3  5 ) ] 2
( xy )2
42


8
Mà A =
x  y  2 xy ( 3  5 )  ( 3  5 )  2. 3 2  ( 5 )2 6  2.2
2

Vậy : A = 8  2 2
Câu 2
a.
Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m 0 (1)
(2,0đ) Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m 1 (2)
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung
=> A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1|
Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành
=> B(

OA.OB = 2 =  OA.OB = 4 

Với m > 0 => (m - 1)2 = 4m

 m2 - 2m + 1 = 4m
 m2 - 6m + 1 = 0
 (m - 3)2 = 8

1,0đ
0,5đ
3,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

; 0) nên độ dài OB = |

SABC = 2 

0,5đ

(m - 1)2 = 4|m|
0,5đ

0,5đ
/>
11


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”



Với



(Thỏa mãn đk)

0,25đ

m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m
 m2 + 2m + 1 = 0
 (m + 1)2 = 0
 m=-1
(Thỏa mãn đk)

Vậy m
b.
ĐK: x �0 .
(1,5đ) Nhận thấy: x  0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế
cho x ta có:

0,25đ

2 4
4
2
  0 � (x  )  ( x 
)  2  00,5đ
x
x
x
x

2
4
4
x
 t  0 � t 2  x  4  � x   t 2  4 , thay vào ta có:
x
x
x

x2  2x  x x  2 x  4  0 � x  2  x 

Đặt

t 3
�
t  2
�

� (t 2  4)  t  2  0 � t 2  t  6  0 � (t  3)(t  2)  0 � �

0,5đ

Đối chiếu ĐK của t
�t 3� x 

x4
�
2
 3 � x  3 x  2  0 � ( x  2)( x  1)  0 � �
x 1

x
�

0,25đ

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 4
Câu 3
a.
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3 - y)2 + (x3)2 = 320
(1,5đ) => (x3)2  320 => x  3 mà x nguyên nên ta có các trường hợp:
+ Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại)
+ Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y không nguyên (loại)
+ Nếu x = 2=> y= - 8 hoặc y = 24
+ Nếu x = -2 => y= -24 hoặc y = 8
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
(2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8)
2a  3b  3c  1 3a  2b  3c 3a  3b  2c  1
b.


�6
Ta
có
:
(2,0đ)
2015  a
2016  b
2017  c
b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031
�



�6
2015  a
2016  b
2017  c
Đặt 2015 + a = x;
2016 + b = y;
2017 + c = z
(x,y,z > 0)
b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031


VT =
2015  a
2016  b
2017  c

/>
3,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

12


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

VT 

yz zx x y y x x z y z


     
x
y
z
x y z x z y

y x
z x
y z
. 2 . 2
.  6 (Co  si )
x y
x z
z y
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671

�2

Câu 4

0,5đ

5,0 đ
A
D
B

O

N
H
K

I

C

E

M

�  900
a.
Vì A thuộc đường tròn đường kính BC nên BAC
(1,5đ)
AB AH

Xét  vuông BAC và  vuông AHC có
= tan �

ACB
AC HC
2AB 2AH
AM AH
�


(Vì HC = 2IC) �
(Vì AM = 2AB)
AC
2 IC
AC
IC
AM AH
�

Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có
AC
IC
�
� A (Cùng phụ HAC
� ) � AHM
CIA ( cgc)
HAM
 IC
b.
Gọi giao điểm của MH với AI là D
�  IAC
� ( 2 góc tương ứng)
(1,5đ)

CIA ( câu a) � HMA
Vì AHM
�  DAM
�
�  DAM
�
Mà: IAC
 900 nên HMA
 900
��
ADM  900 � MH  IA tại D
c.
Gọi E là trung điểm của MC. Nối AE cắt BC ở N
(2,0đ)
AN
� N là trọng tâm của tam giác AMC �
2
NE
Vì K là trọng tâm của tam giác MBC
BK
2
Nên K là giao điểm của BE và MO và
KE
AN BK
�

� NK / / AB (Định lí Ta Lét đảo) (1)
NE KE
/>
0,5đ

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ
13


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

BA  BM      �
�� BE là đường trung bình của tam giác AMC
EM  EC �
Nên BE//AC mà AC  AB nên BE  AB (2)
�  900 (3)
Từ (1) và (2) � NK  BE tại K � BKN
1
Vì N là trọng tâm của  AMC nên BN = BC không đổi
3
� N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)
Từ (3) và (4) � K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định.
Vì

Câu 5

0,5đ

0,5đ

2,0 đ
Đặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s;
Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z
(với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp

0,25đ

1
1
1
ax = by = cz
2
2
2
1
1
s = SIAB + SIAC + SIBC = r(a + b + c) = (a + b + c) (do r = 1)
2
2
abc
Suy ra: x =
> 2 (theo BĐT tam giác).
a

0,25đ

Tương tự y > 2; z > 2

0,25đ

ABC. Khi đó: SABC =s =

S
S
S
Lại có: IAB  IAc  ICB  1
s
s
s
1 1 1
�    1 Do x, y, z nguyên dương và lớn hơn 2.
x y z
2s
Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = . Vậy ABC đều
3

Câu 6

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ

2,0 đ
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có:

1 = (a + b + c) + d �2. (a  b  c).d
� 1 = a + b + c + d �4(a + b + c).d
� 1.(a + b + c) �4(a + b + c)(a + b + c).d
=> a + b + c �4(a + b + c)2.d �0
(1)
Lại áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b) và c ta có:
(a + b) + c �2. (a  b).c � (a+b+c)2 �4 (a+b).c > 0
(2)
Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được:
a + b + c �4 (a + b + c)2.d �16 (a + b).c.d
( a  b  c)(a  b) 16(a  b) 2 .cd 16( a  b) 2
�
Ta có A =
=
�64 (3) (Vì (a+b)2
abcd
abcd
ab
�4ab. Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a + b +
c+d=1

0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ
/>
14

“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Suy

a b
�
�
ab  c
1
1
1
�
ra: �a  b  c  d � a  b  8 ; c  4 ; d  2 .
�
�
a b c  d 1
�

1
8

1
4

Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi a  b  ; c  ; d 

1
2

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

/>
15


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 04
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017
ĐỀ BÀI
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức

P=

3x  9 x  3
x x  2



x 1
x 2

x 2



x1

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
�1 1 �
b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng  a  b  . �  ��4
�a

b�

Bài 3: (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên n sao cho A= n 2 +n+6 là số chính phương
b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.
a. Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B
b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho �
AMC  �
ANB  900 . Chứng minh rằng
AM = AN.
c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
Chứng minh rằng cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 

S'
S

Bài 5: (2,0 điểm)
34
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
35

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y �
A  3x  4 y 

2
8

5x 7 y

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

/>
16


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 04
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017
.

Bài

Nội dung cần đạt
Cho biểu thức

P=

3x  9 x  3
x x  2



x 1
x 2

Điểm


x 2
x1

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b.Tìm x để P < 0
Câu a:(2 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x �0, x �1
- Ta có

0,5

3x  9 x  3
x 1
x 2



x x 2
x 2
x 1

1(4đ)



3x  3 x  3
( x  1)( x  1) ( x  2)( x  2)


( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1)



3x  3 x  3  x  1  x  4
( x  2)( x  1)



x3 x 2
( x  2)( x  1)



( x  2)( x  1)


( x  2)( x  1)

0,5
x 1
x 1

Câu b:( 2 điểm)
- Ta có: P < 0
�

0,5

x 1
0
x 1

0,5

0,5

� x  1  0(do x  1  0)
� x 1
� x 1

- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 �x  1 thì P < 0.

/>
1,0
0,5

17


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Câu a:(2đ)
Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
- ĐKXĐ x �5 .
- Ta có

0,25

x 2  7 x  6 x  5  30
� x 2  8 x  16  x  5  6 x  5  9  0
�  x  4 
2





2

x 5 3  0

- Vì  x  4  �0;  x  5  3 �0 nên
2

2

1,0

2
�
 x  4  0
�
�
2
x 5 3  0
�
�
�x  4  0
��
� x 5 3  0
� x4





( thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x=4

0,5
0,25

Câu b: (2đ)
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng
1
�a

 a  b  .�
�
2(4đ)

1�
��4
b�

- Ta có
1
�a

 a  b  .�
�

1�
a b
� 2  
b�
b a

- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
a b
a b
 �2 .  2
b a
b a
�1 1 �
- Do đó  a  b  . �  ��4

�a b �

/>
0,75
0,75
0,5

18


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

3(4đ) Câu a:(2đ)
Tìm số tự nhiên n sao cho A= n 2 + n + 6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A= n 2 +n+6 =a2 ( a �N )
� 4n 2  4n  24  4a 2

- Ta có: n 2 + n + 6 = a2 �  2a    2n  1  23
2

2

�  2a  2n  1 .  2a  2n  1  23

- Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a +2n +1 > 2a – 2n -1. Do đó

0,25
0,5
0,5

0,25

�2a  2n  1  23
�
�2a  2n  1  1
4a  24
�
��
4n  20
�
a6
�
��
n5
�

- Vậy n = 5

/>
0,5

19


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Câu b:(2đ)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
- Xét phép chia của xy cho3

Nếu xy không chia hết cho 3 thì
�x ��1(mod 3)
�
�y ��1(mod 3)
2
�x �1(mod 3)
� �2
�y �1(mod 3)

� z 2  x 2  y 2 �2(mod 3)

( Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
TH1:

1,0

�x ��1(mod 4)
�
�y ��1(mod 4)
�x 2 �1(mod 4)
� �2
�y �1(mod 4)
� z 2  x 2  y 2 �2(mod 4)

0,5
(vô lí )
TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1

hoặc -1. Không mất tính tổng quát giả sử
�x ��1(mod 4)
�
�y �2(mod 4)
2
�
�x �1(mod 8)
� �2
�y �4(mod 8)
� z 2  x 2  y 2 �5(mod 8)

( vô lí)
- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 12

/>
0,5

20


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

4
A

B'

C

N
M

B

C

A'

Câu a( 2 điểm): Chứng minh  AC’C
- Xét  AC’C và  AB’B có:
Góc A chung
Góc B = góc C = 900
 AB’B
Suy ra:  AC’C
Câu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN.

 AB’B

2 điểm

- Xét AMC vuông tại M đường cao MB'
AM 2  AB '. AC
- Xét ANB vuông tại N đường cao NC'
AN 2  AC '. AB

- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN

/>

0,5
0,5
0,5
0,5

21


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

Câu c: ( 2đ) Chứng minh cos2 A  cos2 B  cos2 C  1 

S'
S

2

S
�AB ' �
- Chỉ ra được AB 'C '  � � cos 2 A
S ABC �AB �
S BA 'C '
 cos 2 B
- Tương tự S
ABC
SCA ' B '
 cos 2 C
S ABC

- Do đó:

cos 2 A  cos 2 B  cos2 C 


S ABC  S A ' B 'C '
S ABC

 1

0,5

0,5

S AB 'C '  S BA 'C '  SCA ' B '
S ABC

0,5

S'
S

0,5
34
.
35

Bài 5 (2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y �
2

8

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  3x  4 y  5 x  7 y
- Ta có:
2
8

5x 7 y
1
1
2 5x 8 7 y
 x y  

2
2
5x 2 7 y 2
A  3x  4 y 

0,5

- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được

5(2đ)

2 5x

�2
5x 2
8 7x

�2
7x 2

2.5 x
2
5 x.2
8.7 x
4
7 x.2
34
1 34
17
- Vì x  y � nên A � .  2  4  6
35
2 35
35
�2 5 x
�5 x  2
� 2
�
�x  5
�8 7 y
�
��
- Dấu "=" xảy ra khi � 
�7 y 2
�y  4
�
� 7
34
�x  y 
35

�
� 2
x
�
17
� 5
- A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi �
35
�y  4
� 7

0,5
0,25

0,5

0,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
/>
22


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

/>
23

“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 05
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016
ĐỀ BÀI

-------------------------------------- Hết -------------------------------------- />
24


“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 05
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016
.

Câu
Câu 1
a.
ĐKXĐ x 0, x 9
(2,0đ)
x x3
A
A

( x  1)( x  3)



2( x  3)

x 3
x 3

0,5 đ

x x  3  2 x  12 x  18  x  4 x  3
( x  3)( x  1)

0,5 đ

x x  3 x  8 x  24 ( x  8)( x  3)
x 8


( x  3)( x  1)
( x  3)( x  1)
x 1

0,5 đ

b.
Với x 0, x 9
(1,0đ)

x 8
8
A=8 
x 1



x 1



Điểm
4,0 đ
0,5 đ

x x  3  2( x  3) 2  ( x  3)( x  1)
( x  3)( x  1)

A
A

Nội dung

x ( x  8) 0

0,25 đ
 x  8 8 x  8

�x  0
��

�x 8  0

 x  8 x 0

x0
�
��
(thỏa mãn đk)
x  64
�

Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.
c.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
(1,0đ)
x 8
x  4  4 4 x  4 4( x  1)
A



4
x 1
x 1
x 1
Dấu “=” xảy ra  x 4 (Thỏa mãn điều kiện)
x 1



Vậy GTNN của A = 4

khi

x = 4.

Câu 2
a.
Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y =
(1,5đ) -2x + 1 nên:
a - 3 = -2 và b �1 => a = 1; b �1
Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x - 3 là M(2;-5)
Vì (d): y = -2x + b đi qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn)
Vậy a = 1; b = -9.
b.
+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai
(1,5đ) số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.

/>
0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
3,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

25