Tập hút đều đối với một lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

❚❾P ❍Ó❚ ✣➋❯ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
P❆❘❆❇❖▲■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ❚Ü❆
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❑❍➷◆● ➷❚➷◆➷▼

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

❚❾P ❍Ó❚ ✣➋❯ ✣➮■ ❱❰■ ▼❐❚ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
P❆❘❆❇❖▲■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ❚Ü❆
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❑❍➷◆● ➷❚➷◆➷▼
◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍Õ❨

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✽

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❈→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣
❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽
◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❍➙♥
❳→❝ ♥❤➟♥

❳→❝ ♥❤➟♥

❝õ❛ tr÷ð♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥

❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

❚❙✳ P❤↕♠ ❚❤à ❚❤õ②

i


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐

❚❙✳ P❤↕♠ ❚❤à ❚❤õ②

✱ ♥❣÷í✐

❝æ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â
t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❜❛♥ ❧➣♥❤ ✤↕♦ ♣❤á♥❣ s❛✉
✣↕✐ ❤å❝ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣❍❙P ❚❤→✐
◆❣✉②➯♥ ✤➣ tr✉②➲♥ t❤ö ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✈➔ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻ ✈➟②
r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥
❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❍➙♥

ii


ử ử
ớ
ớ ỡ
ử ử
ởt số ỵ t tt

tự

ởt số



ổ



út t ử



i
ii

iii
v

ởt số





út t ử



ỹ tỗ t t út t ử









út





út ừ q tr ỡ tr

út ừ ỷ q tr tr





ởt số t tự tữớ ũ







ởt số ờ q trồ



iii


✷ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s✉②
❜✐➳♥ tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠
✷✸
✷✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉

✷✺

✷✳✸

❙ü tç♥ t↕✐ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣

✷✳✹

❚➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❞✉② ♥❤➜t
♥❣❤✐➺♠ ✈➔

p=2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

L2 (Ω)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✹✳✶

❚➟♣

(L2 (Ω), Lq (Ω))

✷✳✹✳✷

❚➟♣

(L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω))

✲ ❤ót ✤➲✉

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✼

✸✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✲ ❤ót ✤➲✉

✸✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✹✷

iv


▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t
R = (−∞; +∞) : t➟♣
Rn : ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ✈➨❝tì t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ♥ ❝❤✐➲✉.

C([a; b], Rn ) : t➟♣
C(Ω) : ❧➔
C k (Ω) :

❝→❝ sè t❤ü❝.

t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❬❛❀ ❜❪ ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ♠✐➲♥

Ω.

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ❝➜♣ ❦ tr➯♥ ♠✐➲♥

L2 ([a, b], Rm ) :
C ∞ (Ω) : ❧➔

t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ ❬❛✱ ❜❪ ✈➔ ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣

k∈N
k
Cc (Ω), Cc (Ω), ..., ❦þ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❤➔♠ tr♦♥❣

C(Ω), C k (Ω), ...,

✈î✐ ❣✐→ ❝♦♠♣❛❝t.

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥ ♠✐➲♥

❱î✐ ❣✐→ ❝♦♠♣❛❝t.

❚r♦♥❣ ✤â

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ♣ ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡.

:

(Ω)

Lp (Ω)

1
|(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞).

=(
(Ω)

∞

L (u) = {u : u → R|u ❧➔
❚r♦♥❣ ✤â

:

Ω.

C k (Ω).

✣÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣

Lp (Ω) : ❧➔

Ω.

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥ ♠✐➲♥

C0∞ (Ω) : ▲➔

u

Rn .

L∞ (u)

✤♦ ✤÷ñ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡,

= ❡ss sup |u|.
u

v

u

L∞ (u)

< ∞}.

Ω.

Rm .


L1loc (Ω) : tç♥

t↕✐

L1 (Ω) : ❣ç♠

❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡

Ω ⊂⊂ Ω t❤➻ v(x) ∈ L1 (Ω ).

Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ),
H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, 3...) ❧➔

✈î✐ ♠å✐

Ω|v(x)| < +∞.
V ⊂⊂ u}.

❦þ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈.

C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, ..., 0 < β ≤ 1) ❧➔
u = (ux1 , ..., uxn ) ❧➔

❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍♦❧❞❡r.

✈➨❝tì ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ✉.

n

u=

uxi xi

❧➔ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ❝õ❛ ❤➔♠ ✉.

i=1

✷ : ❦➳t

t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤.

vi



ồ t

ữỡ tr r t õ t tr
q tr ừ t ỵ õ ồ s ồ ự ỳ ợ
ữỡ tr õ ỵ q trồ tr ồ ổ
õ t út ữủ sỹ q t ừ
ồ tr t ợ t r ự sỹ tỗ t
sỹ ử tở tử ừ t ỳ t t
t ừ ừ t
r t ỵ tt ở ỹ t ổ
ữủ t tr ỵ tt ừ
ỵ tt ở ỹ ỵ tt ữỡ tr
r ỵ tt ữỡ tr tữớ t ỡ ừ ỵ
tt ự sỹ tỗ t t t ỡ ừ t út
t q ỵ tt t út ố ợ ợ ữỡ tr
r ữủ tr tr ởt tr ỳ ợ
ữỡ tr r ữủ ự t ợ ữỡ
tr r ỹ tỗ t t út t ử ố ợ ợ ữỡ tr
ữỡ tr r ỷ t t ổ s ữủ
ự t tr tử ừ t út t
ử ố ợ t r ữủ ự tr ổ tr

t q ỵ tt t út ố ợ ợ ữỡ tr




r ổ s rt ú t ỵ tt
t út t ử ố ợ ữỡ tr r s ữủ
ự t ự ữỡ tr r s õ

(u)



div((u) (u))

tr õ

(0) = 0

ữỡ

tr r s ự t tỷ rs ữỡ tr r
s r ss t q sỹ tỗ t t út
ữủ ự tr
ự sỹ tỗ t t t ừ t út ố ợ ợ ữỡ
tr r s tớ sỹ õ ỵ ồ ự
õ ự ử tr t tỹ t ợ ỳ tr
ú tổ ỹ ồ tr ở ự ợ
t ồ út ố ợ ởt ợ ữỡ tr r s tỹ

t t ổ ổtổổ

ử ử ự
ử ự

ử ừ ự sỹ tỗ t ởt số t t
ừ t út t ử ỗ t trỡ số rt ố

ợ ởt ợ ữỡ tr s r ss tr


ử ự
r ởt số ổ t út t ử sỹ
tỗ t t út t ử số rt r t q sỹ tỗ t
t út ố ợ ởt ợ ữỡ tr r s tỹ t
t ổ ổtổổ tr

Pữỡ ự

RN

ự sỹ tỗ t t ú tổ sỷ ử
ữỡ r t ủ ợ ờ t
ự sỹ tỗ t t út t trỡ ừ t út ú tổ
sỷ sử ữỡ ừ tt ở ỹ ổ õ r




ữỡ t t

ố ử

ở ỗ tr tr õ õ ữỡ
ở t ử t t
ữỡ tự
r ữỡ ú tổ ởt số ổ
t út t ử sỹ tỗ t ừ t út t ửsố rt

ừ t út t ửt út tr q tr ỡ tr t út
ỷ q tr tr ỳ tự ỡ s ờ trủ tự
ữỡ
ữỡ út ố ợ ởt ợ ữỡ tr r s
tỹ t t ổ ổtổổ
r t q sỹ tỗ t t út ố ợ ởt ợ ữỡ
tr r s tỹ t t ổ ổtổổ tr

RN tr

trữớ ủ ừ ữỡ tr õ t ổ

t ữỡ ụ tr t q t trỡ ừ t út
ữủ tr tr ởt trữớ ủ t õ trữớ ủ ỷ
t t t ự sỹ tỗ t t t
ừ t út ố ợ ợ ữỡ tr r s tớ
sỹ õ ỵ ồ ự õ ự ử tr t
tỹ t ợ ỳ tr ú tổ ỹ ồ tr ở
ự ợ t ồ út ố ợ ởt ợ ữỡ

tr r s tỹ t t ổ ổtổổ
ố ũ t tr tõ tt t q t ữủ




❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❤➔♠✱ t➟♣ ❤ót ✤➲✉✱ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✱sè ❝❤✐➲✉ ❢r❛❝t❛❧ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝✱

t➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà ✈➔ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ ♥û❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤❛ trà✳
◆❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê trñ ❝❤♦ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ð ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣
❬✺❪✱ ❬✼❪✱ ❬✽❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✱ ❬✶✺❪✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳
✤✐➸♠ ❣è❝

θ✳

❍➔♠

x ≥0

✭✐✮
✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

❈❤♦

X

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣

. :X→R

✈î✐ ♠å✐

λx = |λ| x

x∈X

✈î✐ ♠å✐

x+y ≤ x + y

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ tr➯♥

✈➔

X

K

✈î✐

♥➳✉

x = 0 ⇔ x = θ.

x∈X

✈î✐ ♠å✐

✈➔

λ ∈ K✳

x, y ∈ X.

❑❤✐ ✤â ❝➦♣

(X, . )

◆❤➟♥ ①➨t✳

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈î✐ ❦❤♦↔♥❣

❝→❝❤

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳

d(x, y) = x − y

✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣

❝→❝❤ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

✹

X

✤➛② ✤õ ✤è✐ ✈î✐ ❦❤♦↔♥❣


s ữủ ồ ổ

X

ổ t t tr trữớ số tỹ

R ởt t ổ ữợ tr X

ởt

., . X ì X R tọ

s



x, y = y, x

ợ ồ

x, y X

x + y, z = x, z + y, z



x, y = x, y

x, x > 0

ợ ồ

ợ ồ

ợ ồ

x, y, z X

x, y X R

x = 0 x, x = 0 x = 0

ổ t t

X

., .

ũ ợ t ổ ữợ

ữủ ồ

ổ t rt
ừ tỷ

x X



|x| =

|x|

ữủ

x, x



ổ t rt ừ ợ tr s
ữủ ồ ổ rt

ổ
Lp(), 1 p <



RN

ỗ tt t s

p

ổ
tr

ợ ữủ

ữ s

u

Lp ()

1
|u|p dx) p .

:= (


Lp ()

ổ

L()

ổ ỗ tt

ữủ tr

u

1 < p < +

L ()



ợ

:= ess sup |u(x)|.
x






sỷ

:R

ữủ s ổ

tọ s

(H ) L1loc ()





(H,

)

ợ



(0, 2), lim infxz |xz| (x) > 0 ợ

ồ

z ,

ổ

tọ

(H ) lim inf|x| |x| (x) > 0 ợ > 2.

õ t ổ

C0 ()



D01 (, )

ờ s ừ ừ ổ

ố ợ

u
D01 (, )

D01 (,)

1
(x)| u|2 dx) 2 .

:= (


ổ rt ợ t ổ ữợ

(u, v) := (

(x) u vdx.




D 1(, )

2, (0, 2)

ổ ố ừ

2

sỷ

N




4

(2, )
2 = 2N
2N


(2,
)
N 2+
N 2
ố ụ

D01 (, )



N =2
.



N 3

số ụ ợ tr ú q

ổ

D01 (, )

r t sỷ ử ổ ử tở tớ
s


C([a, b]; X)
X

tử tứ

sỷ

X

ởt ổ

ổ ỗ tt

[a, b]



X

ợ

||u||C([a,b];X) = sup ||u(t)||X .
t[0,T ]



u : [a, b]


Lp (a, b; X)

ổ ỗ tt

s

b

||u||Lp (a,b;X) := (
a

u : (a, b) X

1
||u(t)||pX dt) p < +.

ờ sỷ r tr RN , N 2 tọ


(H )

õ

P ú

D01 (, ) L2 ()

P ú

D01 (, ) Lp ()

tử
t

p [1, 2 )

ờ sỷ r ổ tr RN , N 2


tọ
P ú


(H,
)

õ

D01 (, ) Lp ()

P ú

D01 (, ) Lp ()

tử ợ ồ
t

ổ õ trồ
ổ

C0 ()

p [2 , 2 ]

p (2 , 2 )

D02 (, )

õ ừ

ợ

u

D02 (,)

1
|div((x) u)|2 dx) 2 .

:= (

õ ởt ổ rt ợ t ổ ữợ tữỡ ự

(u, v)D02 := (

div((x) u)div((x) v)dx.


t q s s r trỹ t tứ ừ ổ
ú

D01 (, ) L2 ()





tọ

D01 (, ), D02 (, )

(H )

sỷ ởt tr RN (N 2)
tọ

(H )

õ ú

D02 (, ) D01 (, )



tử


u ∈ C0∞ (Ω)✱

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ ❤➔♠

||u||2D01 (Ω,σ) =

t❛ ❝â

σ| u)|2 dx
Ω

=−

div(σ u)udx
Ω

1
|div(σ u)|2 dx) 2 (

≤(
Ω

1

|u|2 dx) 2
Ω

= ||u||D02 (Ω,σ) ||u||L2 (Ω) .
||u||L2 (Ω) ≤ C||u||D01 (Ω,σ)

▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❝â

✱ ð ✤â

C

✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐

u✱

✈➟② t❛

❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸ ❚➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ö❝
✶✳✸✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠
X

●✐↔ sû

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t❛ ❝â ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
①↕

▼ët ♥û❛ ♥❤â♠ ✭ ❧✐➯♥ tö❝✮ tr➯♥

S(t) : X → X, t ≥ 0✱
✭✐✮

S(0) = I ✱ I

✭✐✐✮

X

❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ →♥❤

t❤ä❛ ♠➣♥

❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ♥❤➜t✱

S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s)✱

✭✐✐✐✮

S(t)u0

❧✐➯♥ tö❝ ✤è✐ ✈î✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳

(t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X ✳

◗✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛

S(t) tr➯♥ I ⊂ R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ u : I → X

t❤ä❛ ♠➣♥✿

u(t + s) = S(t).u(s),
✈î✐ ♠å✐
◆➳✉

s ∈ I, t ≥ 0
I =R

✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

✈➔

τ >0

t + s ∈ I✳

uo = z ∈ X ✱

t❤➻

u

❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ ①✉②➯♥ q✉❛

z

γ(z)✳

◗✉ÿ ✤↕♦ ✤➛② ✤õ
♥➳✉

s❛♦ ❝❤♦

γ = {u(t)

s❛♦ ❝❤♦

t ∈ R}

❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ t✉➛♥ ❤♦➔♥

s❛♦ ❝❤♦✿

u(t + τ ) = u(t),
✽

✈î✐ ♠å✐

t∈R


u0 X

P tỷ
ở ỹ

ồ ố ứ ừ

(X, S(t))



S(t)u0 =u0 ,




Y X



t 0.

t

ữủ ồ t ữỡ

Y X



ợ ồ

ữủ ồ t

Y X

ữủ ồ t

S(t)Y Y, t 0

S(t)Y Y, t 0

S(t)Y = Y, t 0

ợ t t t ừ ỷ õ



ở ỹ

(X, S(t))

ồ t tữỡ

ự t tỗ t ởt t

B0 X


(X, S(t))

t t tỗ t ởt t

ợ ở ỹ

ợ ồ

t T

ỷ õ

S(t)

tỗ t ởt t
t ừ

T = T (B) 0

B0

s

ữ ồ t tử ố

ồ t tữ t

B0 X

út tữ út

X

S(t) t t tỗ t ởt t B0 X

t


B0



tỗ t

(X, S(t))




B X

s ợ ồ t

S(t)B B0

út

X

tữỡ ự út t ừ
ở ỹ

B0 X

B X

tỗ t

T = T (B) 0

s

s ợ ồ

S(t)B B0 , t T

ữ ồ ởt t tử ố ợ ỷ õ

S(t)

t ởt ỷ õ t t t ữủ
õ ổ ú ữ õ ú ố ợ ỷ õ tr
ổ ỳ
ớ t t t t



sỷ

X

ởt ổ ỷ õ

ồ t t ợ ồ

t > 0, S(t)

S(t)

õ t ữợ


S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),
S (1) (t)

õ



S (2) (t)



tọ t t s

BX

ợ t t

rB (t) = sup ||S (1) (t)y||X 0 t +;
yB
ợ t t

B

tr

X

[ (2) (t0 )B] = [

t0

tỗ t

s t ủ

S (2) (t)B]



tt0
t tr

X



[]

õ ừ t

ởt ở ỹ ồ t õ t t t õ
t

S (1) (t) 0

tr ó r r t ở

ỹ t ỳ ụ t
t r ữủ tọ tỗ t ởt t
t
s

K

tr

X

s ợ t t

S (2) (t)B K, t t0 (B)

B X

tỗ t

t0 (B)

õ r ởt t t

õ õ ởt t tử t
ờ s rt ỳ ự t t t

ờ ỷ õ S(t) t t tỗ t ởt t
t

K

s

lim dist(S(t)B, K) = 0,

t+

ợ ồ t

B

tr

ự
tỷ

K

X

t t ợ ồ

v := S (2) (t)u K

t>0

s

dist(S(t)u, K) = ||S(t)u S (2) (t)u||.




u X

tỗ t


õ t

S (1) (t)u = S(t)u S (2) (t)u

t sỹ t

tọ tt tr ừ t t t

t


X

ởt ổ ỗ ỷ õ

B

t tử
ỷ õ

S(t)

ỷ õ
tr

X

õ ởt

t s tữỡ ữỡ

t t

S(t)

ồ

S(t)

tở ợ

AK

tự ợ ồ

tk , {S(tk )xk }
k=1

{xk }

t tữỡ ố tr

X
ỗ t ởt t t

KX

s

dist(S(t)B, K) 0 t .

út t ử
út t ử ố tữủ tr t ừ ỵ tt ở ỹ
t ổ



ởt t rộ

t ử ố ợ ỷ õ

A




S(t)

A

ừ

X

ồ ởt t út



ởt t õ

A
A

t tự

S(t)A = A

út ồ t

B

ợ ồ

ừ

X

t > 0

tự

lim dist(S(t)B, A) = 0,

t
õ

dist(E, F ) = supaE infbF d(a, b)

ỳ t

E



F

ừ

ỷ sr

X

t t s ừ t út t ử q trỹ t ừ





sỷ S(t) õ t út t ử A õ


B

ởt t t ừ

X

t

BA

t ỹ




B

ởt t õ út t ừ

X

t

AB

t ỹ t


A

t

t q s õ trú ừ t út t ử

ỵ



sỷ ỷ õ

S(t)

õ t út t ử

A

õ ồ q

ừ õ r ứ q t

õ tr

A

ỡ ỳ

S(t)

ỡ tr

A

t

A

ủ

ừ tt q ừ
t q ữợ r r ở ỹ tr t út t
ử s qt t õ t õ ừ q
r s ởt tớ ừ ợ t ởt q
ừ ữỡ tr ố trổ s ố ữ ởt q õ tr
t út tr ởt tớ ừ

ỵ
A

sỷ ở ỹ

trữợ ởt q

tớ

v0 A

T > 0

u(t) = S(t)u0

(X, S(t))

ởt s số

õ tỗ t ởt tớ

õ t út t ử

>0

ởt

= ( , T)

ởt

s

||u( + t) S(t)v0 ||
q ồ

u(t)

ợ ồ

0 t T.

tr ởt tớ ỡ

t ũ q tr t út t ử
q trỹ t ừ

q





A

s


trữợ ởt q

u(t)

tỗ t ởt s số

n

ởt t tớ

{ n }
n=1

ợ

0,

{tn }
n=1

ợ

tn+1 tn n ,
ởt

{vn }
n=1

ợ

||u(t) S(t tn )vn ||
ỡ ỳ ữợ

vn A

s

n ợ ồ tn

||vn+1 S(tn+1 tn )vn ||

t tn+1 .
tợ

n

ỹ tỗ t t út t ử
t q s ỡ sỹ tỗ t t út t ử

ỵ
sỷ

S(t)
ừ

S(t)



ỷ õ tử tr ổ

t t t

S(t)

t

ử ố ợ

A = (B)

S(t)

B

X

sỷ

ởt t tử

ởt t t rộ t út t

ỡ ỳ t út t ử

A

tổ tr

X

q s tữớ ữủ ũ ự sỹ tỗ t t út
t ử ố ợ ữỡ tr r tr ữỡ s

q

ỷ õ

S(t)

S(t)

t

B

ởt t tử t t

õ ởt t út t ử t tổ

A = (B)

ớ t ởt t q tr s ữủ
sỷ ử tr ữỡ s ự t trỡ ừ t út t
ử ữỡ t t




▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶✺✳
●✐↔ sû

❬✶✺❪✳

{S(t)}t≥0

❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ tr➯♥

❝â ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣

B ⊂ Lr (Ω)✱

❦➻ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥

M = M( )

Lr (Ω)

Lr (Ω)

✈➔ ❣✐↔ sû r➡♥❣

✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ❜➜t ❦➻

tç♥ t↕✐ ❤❛✐ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣

{S(t)}t≥0

>0

✈➔ ❜➜t

T = T (B)

✈➔

s❛♦ ❝❤♦

mes(Ω(|S(t)u0 | ≥ M )) ≤ ,
✈î✐ ♠å✐

e⊂Ω

✈➔

u0 ∈ B

✈➔

tr♦♥❣ ✤â

mes(e)

❦➼ ❤✐➺✉ ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❝õ❛

Ω(|S(t)u0 | ≥ M ) := {x ∈ Ω||(S(t)u0 )(x)| ≥ M }✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✻✳
●✐↔ sû

t ≥ T✱

X

❬✶✺❪✳

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆û❛ ♥❤â♠

❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤ ✲ ②➳✉ tr➯♥

✈î✐ ❜➜t ❦➻

X

{S(t)}t≥0 tr➯♥ X

✤÷ñ❝

♥➳✉✿

{xn }∞
n=1 ⊂ X, xn → x, tn ≥ 0, tn → t

t❛ ❝â

S(tn )xn

S(t)x ∈ X.

❑➳t q✉↔ s❛✉ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤ ✲
②➳✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✶✼✳
●✐↔ sû

X, Y

❬✶✺❪✳

❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔

♥❣➝✉ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❣✐↔ sû r➡♥❣
❝õ❛

Y✱

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉

i:X→Y

❑❤✐ ✤â

{S(t)}t≥0

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ trò ♠➟t

{S(t)}t≥0

S(t)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✽✳

i∗ : Y ∗ → X ∗

❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ tr➯♥

X

✈➔

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ tr➯♥

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤ ✲ ②➳✉ tr➯♥

❜✐➳♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝✉↔

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♥â

❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trò ♠➟t✳ ●✐↔ sû
t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t t❤➯♠

X

X ∗, Y ∗

X × R+

❬✶✺❪✳

✶✹

X

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

Y
Y✳

{S(t)}t≥0

t❤➔♥❤ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛

X✳


ỷ õ

{S(t)}t0

ữủ ồ tọ

ợ t t
số ữỡ
t

tB

ừ

X

t

> 0

ởt ổ ỳ

{P S(t)x|x B, t tB }
|(I P )S(t)x|

tr õ

B

(C) tr X

P : X X1



tỗ t ởt

X1

ừ

X

s


ợ t

t tB



x B,

t

s tữớ ũ ự t trỡ ừ t út t
ử tự ự sỹ tỗ t ừ t út t ử tr ổ
trỡ ỡ ổ ự

ỵ



{S(t)}t0

sỷ

ởt ỷ õ tử tr

tử tử tr
ử tr

Lr ()

õ

Lr ()

{S(t)}t0

ợ

r q

Lq ()

õ ởt t út t

õ t út t ử tr

Lq ()






{S(t)}t0

õ ởt t tử tr

>0

ợ t

số ữỡ

Lq ()

t ởt t

M = M ( , B)

T = T ( , B)



B

ừ

Lq ()

tỗ t

s

|S(t)u0 |q < ,



{S(t)}t0

ởt ỷ õ

(|S(t)u0 |M )

ợ t

u0 B

ỵ
sỷ

X





ổ

tử tr

X

t T

X

õ

{S(t)}t0

õ ởt t út t ử tr

s tọ

{S(t)}t0
{S(t)}t0

õ ởt t tử tr
tọ



(C)

tr

X

X


✶✳✹ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉

✶✳✹✳✶ ❚➟♣ ❤ót ✤➲✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤ì♥ trà
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳
ε
●✐↔ sû

✭✐✮✳ ▼ët ❤➔♠

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉

t+1

||ϕ||2L2
b
✭✐✐✮✳ ▼ët ❤➔♠
✤â♥❣ ❝õ❛

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

{ϕ(. + h)|h ∈ R}

✭✐✐✐✮✳ ▼ët ❤➔♠
❜➜t ❦➻

=

||ϕ||2L2 (R;ε)
b

> 0✱

η>0

t∈R

t

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ❜❛♦

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣

ϕ ∈ L2loc (R; ε)

tç♥ t↕✐

||ϕ||2ε ds < ∞.

= sup

L2loc (R; ε)✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tà♥❤ t✐➳♥ ♥➳✉ ✈î✐

s❛♦ ❝❤♦

t+η

||ϕ||2ε ds < .

sup
t∈R

❑➼ ❤✐➺✉

t

L2b (R; ε)✱ L2c (R; ε)✱ L2n (R; ε)

t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à

❝❤➦♥ tà♥❤ t✐➳♥✱ ❝♦♠♣❛❝t tà♥❤ t✐➳♥ ✈➔ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tà♥❤ t✐➳♥ tr♦♥❣

L2loc (R; ε)✳

❚❛ ❝â✿

L2c (R; ε) ⊂ L2n (R; ε) ⊂ L2b (R; ε).
●å✐

Hω (g)

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣

{g(. + h)|h ∈ R}

tr♦♥❣

L2b (R; L2 (Ω))

✈î✐ tæ♣æ ②➳✉✳ ❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✽❪✳

❇ê ✤➲ ✶✳✹✳✷✳

❬✽❪

✭✐✮✳ ❱î✐ ♠å✐

σ ∈ Hω (g), ||σ||2L2 ≤ ||g||2L2
b

✭✐✐✮✳ ◆❤â♠ ❝❤✉②➸♥ ❞à❝❤

{T (h)}

✭✐✐✐✮✳

T (h)Hω (g) = Hω (g)

✭✐✈✮✳

Hω (g)

✈î✐

b

❀

❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ tr➯♥

h∈R

Hω (g)

❀

❀

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳

❚❛ s➩ sû ❞ö♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦➨♣ ✤è✐ ✈î✐ q✉→
tr➻♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ ❬✼❪✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➸
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ trì♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ót ✤➲✉ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✳

✶✻


sỷ



X, Y

ởt t t số

ổ

{U (t, )|t , R},

ú tử

X

ồ

q tr tr

X

ợ ồ

ữủ ồ ồ

, {U (t, )|t , R}

q tr ởt ồ ử tở t số tứ

X

Y

ởt

X



tọ

U (t, s)U (s, ) = U (t, ), t s , R,
U (, ) = Id,


tr õ

ữủ ồ ổ trữ

trữ

B(X)


t

ởt t

= t0 (, B)

P Y

s

U (t, )B B0

{U (t, )}

ỵ

A Y

M

t

R

(X, Y )

út

(X, Y )

út ừ ồ

A M

t

X ì

{U (t, )}

ởt t õ t t



Y

t

h R+



(X ì , Y )



ởt ồ

tử

(u, ) U (t, )u





(X, Y )

(X, Y )

R

X

{T (h)|h 0}

ợ ồ

{U (t, )}

trữợ



tr õ

T (h) =

t t

tử tứ

ữủ ồ t

ồ q tr tr

tọ

ợ ồ



út ợ ồ

õ t t

U (t + h, + h) = UT (h) (t, )

t t0 ởt



{U (t, )}

t tỷ tr

(X, Y )

ợ ồ

{U (t, )} õ õ t t (X, Y ) út

ợ t t õ



X

U (t, ) ợ ồ R ồ B B(X)

õ

ố ợ ồ q tr

sỷ

ữủ ồ

B B(X), limt+ sup distY (U (t, )B, P ) = 0


q tr



B0 B(Y ) ữủ ồ t (X, Y ) tử

ữủ ồ õ t t

trữợ

R

t tt t ừ

ừ ồ q tr
tỗ t t0

ỗ t ợ

t t õ õ

út t