Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHẠM THỊ THÚY VIỆT

HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ
KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHẠM THỊ THÚY VIỆT

HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ
KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2018


iii

Mục lục

Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

1

Chương 1. Toán tử trong không gian Hilbert

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2

Toán tử không giãn trong không gian Hilbert

1.3

Toán tử không giãn trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Phép chiếu lên tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Dưới vi phân của hàm lồi, chính thường . . . . . . . . . . 16

. . . . . . . 6

Chương 2. Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn
trung bình và ứng dụng
2.1

23

Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không
giãn trung bình trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . 23

2.2

Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của một
toán tử không giãn và một số hệ quả . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tài liệu tham khảo

49


iv

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận
được sự quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TS. Nguyễn
Bường (Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam). Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến
thầy.
Bên cạnh đó tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán Tin cùng các quý thầy cô đã trực tiếp giảng dậy lớp cao học Toán K10Y
trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền
đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Để hoàn thành luận văn này tôi gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp những người đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều
kiện để tôi theo học và thực hiện luận văn.
Trong quá trình làm luận văn tôi cũng rất cố gắng nhưng cũng không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các
Thầy, các Cô để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, ngày 29 tháng 4 năm 2018
Tác giả luận văn

Phạm Thị Thúy Việt

1

Bảng ký hiệu
H

không gian Hilbert thực

R

tập các số thực

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

.

chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Id

toán tử đồng nhất

Fix(T )

tập điểm bất động của toán tử T

T∗

toán tử liên hợp của toán tử T

PC (x)

hình chiếu của x lên C

NC

nón chuẩn của tập con lồi C

domf

miền hữu dụng của f

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

ri(domf )

tập các điểm trong tương đối của domf

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

L2 [a, b]

không gian các hàm khả tích bậc 2 trên đoạn [a, b]

L∞

không gian các hàm bị chặn

d(x, C)

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C


1

Mở đầu
Các tính chất của hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung
bình được đề xuất trong bài báo của nhóm hai tác giả: P. Com-Bettes
(trường Đại học Sorbonne Universite’s - UPMC Univ. Pais06) và Isao
Yamada (Học viện công nghệ Tokyo) được nghiên cứu và ứng dụng để
thiết kế các thuật toán điểm bất động mới trong không gian Hilbert.
Kết quả đạt được là một dạng mở rộng thuật toán tách tiến lùi để tìm
không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu.
Các toán tử không giãn đã chứng minh ứng dụng của nó trong giải

tích và giải các bài toán số phát sinh trong giải tích phi tuyến tính. Điều
này được giới thiệu trong [4].
Các toán tử trung bình là ổn định với các phép hợp và tổ hợp lồi, các
toán tử này tạo ra những động lực cơ bản trong nhiều thuật toán điểm
bất động kết hợp khác nhau. Các hằng số xác định giá trị của các hàm
số trong phương pháp lặp. Đây là điều quan trọng vì các hằng số này
nó tác động lớn đến tốc độ hội tụ.
Nội dung luận văn đề cập đến các hằng số trung bình của hợp và tổ
hợp lồi các toán tử trung bình và xây dựng lên các thuật toán điểm bất
động mới dựa trên những hằng số này.
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert
thực, toán tử không giãn, toán tử trung bình. Ngoài ra còn trình bày
một số khái niệm và tính chất cơ bản của phép chiếu lên tập đóng lồi


2

và dưới vi phân của hàm lồi.
Chương 2: Trình bày về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn,
toán tử trung bình. Đồng thời nêu ra ứng dụng vào thuật toán tìm điểm
bất động và thuật toán tách tiến lùi.


3

Chương 1

Toán tử trong không gian Hilbert
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert

và một số khái niệm, định nghĩa của tập lồi, hàm lồi. Đồng thời trình
bày về toán tử không giãn và toán tử không giãn trung bình. Các kiến
thức trong chương được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3].

1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên
R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X được gọi là tổng
của x và y trong X, kí hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần
tử của X được gọi là tích của α và x trong X, kí hiệu là αx thỏa mãn
các điều kiện sau:
(i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X;
(ii) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X;
(iii) Tồn tại phần tử không (kí hiệu: 0) sao cho: x+0 = 0+x, ∀x ∈ X;
(iv) Với mọi x ∈ X ta có: 1.x = x.1 (1 được gọi là phần tử đơn vị);
(v) Với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x kí hiệu là −x và:
x + (−x) = 0;
(vi) (α + β)x = αx + βy, ∀x ∈ X và α, β ∈ R;
(vii) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X và α, β ∈ R;


4

(viii) α(x + y) = αx + αy với mọi x ∈ X và α ∈ R.
Định nghĩa 1.1.2 Cho H là không gian véctơ trên R, tích vô hướng
xác định trong H là một ánh xạ
., . : H × H → R
(x, y) → (x, y)

thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ H;
(ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ H;
(iii) (αx, y) = α(x, y), ∀x, y ∈ H, α ∈ R;
(iv) (x, x) > 0 khi và chỉ khi x = 0 và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta có:
(i) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) với mọi x, y, z ∈ H;
(ii) (x, αy) = α(x, y) với mọi x, y ∈ H, α ∈ R.
Định nghĩa 1.1.4 Cặp (H, ., . ), trong đó H là không gian tuyến tính
trên R, ., . là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert
thực.
Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert
H với mọi x, y ∈ H ta luôn có đẳng thức sau:
| x, y |2 ≤ x, y . x, y .
Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn được xác định bởi:
x =

x, x ,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy
đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định từ Định lý 1.1.6
thì H được gọi là không gian Hilbert thực.


5

Ví dụ 1.1.8 Không gian

∞
2

|xn |2 < +∞

x = (xn )n ∈ R :

l =

n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng,
∞

x, y =

x n yn ,

x = (xn )n∈N ,

y = (yn )n ∈ l2

n=1

và chuẩn
∞

x =

|xn |2 = (

x, x =

1
2

∞

n=1

|xn |2 ) .
n=1

Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng
b

x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] ,

x, y =
a

và chuẩn


 21

b

|x(t)|2 dt .

x =
a

Định nghĩa 1.1.10 Trong không gian Hilbert H
(i) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu
lim xn , y = x, y ,

∀y ∈ H.

(ii) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu
lim xn − x = 0.
Kí hiệu xn

x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy

{xn } đến phần tử x ∈ H.
Chú ý 1.1.11 :
(i) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu nhưng
điều ngược lại không đúng.


6

(ii) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất: nếu dãy {xn } trong không
gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn

→ x và xn

x thì

xn → x khi n → ∞.

1.2

Toán tử không giãn trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích trong ., . và chuẩn
. tương ứng, D là một tập con khác rỗng của H.
Định nghĩa 1.2.1 Toán tử T : D → H được gọi là
(i) không giãn nếu:
Tx − Ty ≤ x − y

∀x, y ∈ D;

(ii) không giãn chặt nếu:
Tx − Ty < x − y

∀x, y ∈ D;

(iii) co với hệ số α ∈ (0, 1) nếu:
Tx − Ty ≤ α x − y

∀x, y ∈ D.

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử T : D → H được gọi là toán tử không giãn
vững nếu
Tx − Ty

2

+ (Id − T )x − (Id − T )y

2

≤ x−y

2

với mọi x, y ∈ D.
Nhận xét 1.2.3 Ta thấy lớp toán tử không giãn vững chứa trong lớp
các toán tử không giãn.
Mệnh đề 1.2.4 Cho toán tử T : D → H và x, y ∈ X. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
(1) T là toán tử không giãn vững.
(2) Id − T là toán tử không giãn vững.


7

(3) 2T − Id là toán tử không giãn.
2

(4) T x − T y

≤ x − y, T x − T y .

(5) T x − T y, (Id − T )x − (Id − T )y ≥ 0.
(6) T y − T x, x − T x + T x − T y, y − T y ≤ 0.

(7) T y − x, T x − x + T x − y, T y − y ≥ T x − x

2

+ T y − y 2.

(8) T x − T y ≤ α(x − y) + (1 − α)(T x − T y) , với α ≥ 0.
Chứng minh:
(1) ⇔ (2): Ta có
2

x−y

≥ Tx − Ty

2

2

+ (Id − T )x − (Id − T )y

= [Id − (Id − T )x] − [Id − (Id − T )y]

2

+ (Id − T )x − (Id − T )y 2 .
Vì vậy theo định nghĩa toán tử không giãn vững ta có T là toán tử
không giãn vững khi và chỉ khi Id − T là toán tử không giãn vững.
(1) ⇔ (3): Ta có
(2T − Id)x − (2T − Id)y

2

2

− x−y

= 2(T x − T y) + (1 − 2)(x − y)

− x−y

= 2 Tx − Ty

2

− x−y

2

= 2 Tx − Ty

2

− x−y

= 2 Tx − Ty

2

+ 2 (Id − T )x − (Id − T )y

+ (−1) x − y

2

2

2

2

− 2(1 − 2) T x − T y − (x − y)

+ 2 (Id − T )x − (Id − T )y
2

2

2

− x−y

2

− 2 x − y 2.

Từ biến đổi trên suy ra T là toán tử không giãn vững nếu và chỉ nếu
2T − Id là toán tử không giãn.
(1) ⇔ (4): Ta có
(Id − T )x − (Id − T )y

2

= (x − y) − (T x − T y)
= x−y

2

+ 2 Tx − Ty

+ Tx − Ty

2

+ Tx − Ty

2

2
2

− 2 x − y|T x − T y


8

Hơn nữa, theo (4)
Tx − Ty

2

≤ x − y, T x − T y .

Suy ra bất đẳng thức trên tương đương với
(Id − T )x − (Id − T )y

2

+ Tx − Ty

2

≤ x − y 2.

(4) ⇔ (5):
T x − T y, T x − T y ≤ x − y, T x − T y
⇔ T x − x − T y + y, T x − T y ≤ 0
⇔ (Id − T )x − (Id − T )y, T x − T y ≥ 0.
Vậy (4) ⇔ (5).
(5) ⇔ (8): Với mọi x, y ∈ H, α ∈ R+ thì
x, y ≤ 0 ⇔ x ≤ x − αy
nên
T x − T y, (Id − T )x − (Id − T )y ≥ 0
⇔ T x − T y, T x − T y − (x − y) ≤ 0
⇔ T x − T y ≤ T x − T y − α [(T x − T y) − x − y]
⇔ T x − T y ≤ α(x − y) + (1 − α)(T x − T y) .
Từ đó suy ra (5) ⇔ (8).
(4) ⇔ (6): Ta có
T y − T x, x − T x + T x − T y, y − T y ≤ 0
⇔ T x − T y, x − T x − T x − T y, y − T y ≥ 0

⇔ T x − T y, x − y − (T x − T y) ≥ 0
⇔ Tx − Ty
Vậy ta có (4) ⇔ (6).

2

≤ x − y, T x − T y .


9

(6) ⇔ (7): Tương tự, ta có
T y − T x, x − T x + T x − T y, y − T y ≤ 0
⇔ T y − x + x − T x, T x − x − T x − y + y − T y, y − T y ≥ 0
⇔ T y − x, T x − x + T x − y, T y − y ≥ T x − x

2

+ T y − y 2.

Hệ quả 1.2.5 Cho T : H → H là toán tử tuyến tính. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
(1) T là toán tử không giãn vững.
(2) 2T − Id ≤ 1.
(3) T x

2

≤ x, T x với mọi x ∈ H.

(4) T ∗ là toán tử không giãn vững.
(5) T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương.
Chứng minh: Ta chứng minh các khẳng định tương đương như sau.
(1) ⇔ (2) ⇔ (3): Theo Mệnh đề 1.2.5 thì T là toán tử không giãn
vững nếu và chỉ nếu 2T − Id là toán tử không giãn, vì vậy
(2T − Id)x − (2T − Id)0 ≤ x − 0 ⇔ (2T − Id)x ≤ x .
Suy ra 2T − Id ≤ 1. Hơn nữa, với 2T − Id là toán tử không giãn thì
Tx − T0

2

≤ x − 0, T x − T 0 ⇔ T x

2

≤ x, T x .

(1) ⇔ (4): Ta có
2T ∗ − Id = (2T − Id)∗ = 2T − Id ≤ 1.
Do đó 2T ∗ − Id là toán tử không giãn hay suy ra T ∗ là toán tử không
giãn vững.
(3) ⇔ (5): Từ (3), ta có
x, T x ≥ T x, T x ⇔ x, T x − x, T ∗ T x ≥ 0 ⇔ x, (T − T ∗ T )x ≥ 0.


10

Do đó
x, (T − T ∗ T )x + (T − T ∗ T )∗ ≥ 0
⇔ x, (T + T ∗ − 2T ∗ T )x ≥ 0.

Từ đó suy ra T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương.

1.3

Toán tử không giãn trung bình

Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, D ⊂ H, D =
∅, α ∈ (0; 1) và cho T : D → H là một toán tử không giãn. Khi đó T
được gọi là toán tử không giãn trung bình với hệ số α hay α -trung bình
nếu tồn tại một toán tử không giãn R : D → H để T = (1 − α)Id + αR.
Mệnh đề 1.3.2 Cho D là một tập hợp con khác rỗng của H, cho T :
D → H không giãn và cho α ∈ (0; 1). Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) T là toán tử α-không giãn trung bình.
1
1
Id + T là toán tử không giãn.
(ii) 1 −
α
α
(iii) (∀x ∈ D)(∀y ∈ D) có:
2

Tx − Ty

≤ x−y

2

−

1−α
(Id − T )x − (Id − T )y 2 .
α

(iv) (∀x ∈ D)(∀y ∈ D) có:
Tx − Ty

2

+ (1 − 2α) x − y

2

≤ 2(1 − α) x − y|T x − T y .

Chứng minh:
(i) ⇔ (ii): Lấy x, y ∈ D và đặt R = (1 − λ)Id + λT với λ =

1
hay
α


11

T = (1 − α)Id + αR và
Rx − Ry

2

2

= (1 − λ)(x − y) + λ(T x − T y)
= (1 − λ) x − y

2

+ λ Tx − Ty

2

− λ(1 − λ) (Id − T )x − (Id − T )y 2
1
1
= x−y 2−
x−y 2+
Tx − Ty 2
α
α
1
1
− (1 − ) (Id − T )x − (Id − T )y 2 .
α
α
Do đó
x−y

2

− Rx − Ry

2

= x−y

2

− Tx − Ty

2

1−α
(Id − T )x − (Id − T )y 2 .
α
Từ biến đổi trên suy ra (i) ⇔ (ii).
−

Tiếp theo ta chứng minh (ii) ⇔ (iii): Với R là toán tử không giãn thì
với mọi x, y ∈ D, ta có:
Rx − Ry

2

≤ x − y 2.

Do vậy:
− Rx − Ry 2 ≥ 0
1−α
⇔ x−y 2−

(Id − T )x − (Id − T )y
α
x−y

2

2

≥ 0.

Từ đó có (iii).
Chứng minh (iii) ⇔ (iv): Ta có
(Id − T )x − (Id − T )y

2

= x − y 2 + T x − T y 2 −2 x − y, T x − T y .

Suy ra:
Tx − Ty

2

≤ x−y

2

1−α
1−α
x−y 2−

Tx − Ty
α
α
1−α
+2
x − y, T x − T y ,
α

−

2


12

hay
α Tx − Ty

2

+ (1 − α) T x − T y

≤α x−y

2

− (1 − α) x − y

2
2

−2(1 − α) x − y, T x − T y .
Sau đây ta có mệnh đề về sự bảo toàn tính không giãn trung bình
của toán tử.
Mệnh đề 1.3.3 Cho toán tử T : D → H, các hằng số α ∈ (0, 1) và
1
λ ∈ (0, ). Khi đó T là toán tử α− không giãn trung bình nếu và chỉ
α
nếu (1 − λ)Id + λT là toán tử λα -không giãn trung bình.
Chứng minh: Do T là toán tử không giãn trung bình nên tồn tại R
là toán tử không giãn sao cho T = (1 − α)Id + αR. Khi đó
(1 − λ)Id + λT = (1 − λ)Id + λ (1 − α)Id + αR
= (1 − λα)Id + λαT.
1
Do λ ∈ (0, ) nên λα ∈ (0, 1). Từ đó suy ra (1 − λ)Id + λT là toán tử
α
không giãn trung bình với hệ số λα hay (1 − λ)Id + λT là toán tử λα
-trung bình.

1.4

Phép chiếu lên tập lồi đóng

Định nghĩa 1.4.1 Tập C là tập con của không gian Hilbert H, C được
gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì nằm
trong nó. Tức là C là tập lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1] :

λx + (1 − λ)y ∈ C.

Ví dụ 1.4.2 1. Tập các không gian con là tập lồi.
2. Tập rỗng là tập lồi.
3. Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.


13

Định nghĩa 1.4.3 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm x1 , ..., xk nếu
k

k
j

λj x , λj ≥ 0, ∀j = 1, ..., k,

x=
j=1

λj = 1.
j=1

Mệnh đề 1.4.4 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các điểm của nó. Tức là:
k

k
1

∀k ∈ N, ∀λ1 , ..., λk > 0 :

k

λj xj ∈ C.

λj = 1, ∀x , ..., x ∈ C ⇒
j=1

j=1

Mệnh đề 1.4.5 Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H. Khi đó:
(i) A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B} ;
(ii) λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ;
(iii) A × C := {x ∈ H, H|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} .
là các tập lồi.
Định nghĩa 1.4.6 Tập C ⊂ H được gọi là nón nếu
∀x ∈ C,

∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và một tập lồi.
Định nghĩa 1.4.7 Cho C ⊆ H, xo ∈ C. Nón pháp tuyến ngoài của tập
C tại xo là tập hợp
NC (xo ) := {ω : ω, x − xo ≤ 0;

∀x ∈ C} .

Định nghĩa 1.4.8 Cho C ⊂ H, C = ∅ là tập lồi đóng và y ∈ H, đặt
dC :=inf x − y ,

x ∈ C,

dC (y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) =
π − y , thì π là hình chiếu của y trên C.
Kí hiệu: π = PC (y) là hình chiếu của y trên C.


14

Mệnh đề 1.4.9 Cho C ⊂ H, C = ∅ là tập lồi đóng. Khi đó,
(i) Với ∀y ∈ H, π ∈ C.Khi đó π = PC (y) ⇔ y − π ∈ NC (π).
(ii) Với ∀y ∈ H, hình chiếu PC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy
nhất.
(iii) Nếu y ∈
/ C, thì PC (y) − y, x − PC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của
C tại PC (y) và tách hẳn y khỏi C, tức là:
PC (y) − y, x − PC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C
và
PC (y) − y, y − PC (y) < 0, ∀x ∈ C.
(iv) Ánh xạ y → PC có các tính chất:
1. PC (x) − PC (y) ≤ x − y với mọi x, y (tính không giãn).
2. PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y)

2

(tính đồng bức).

Chứng minh:
(i) Giả sử có π = PC (y) ta chứng minh y − π ∈ NC (π).

Gọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Đặt: xλ := λx + (1 − λ)π. Ta có x, π ∈ C và
tập C lồi nên xλ ∈ C. Do π = PC (y) suy ra π − y ≤ y − xλ .
π−y

2

≤ y − xλ

2

π−y

2

≤ y − (λx + (1 − λ)π)

π−y

2

≤ λ(π − x) + (y − π)

π−y

2

≤ λ2 π − x

2

+ y−π

2
2
2

+ 2λ π − x, y − π

λ2 π − x

2

+ 2λ π − x, y − π ≥ 0.

Do λ > 0 nên λ π − x

2

+ 2 π − x, y − π ≥ 0 đúng với mọi x ∈ C và

λ ∈ (0, 1). Vì vậy λ → 0 thì π − y, x − π ≥ 0 với mọi x ∈ C. Suy ra
y − x ∈ NC (π).
Giả sử y − x ∈ NC (π) ta chứng minh π = PC (y). Thật vậy vì y − x ∈
NC (π) nên với x ∈ C, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
y−π ≤ y−x ,

∀x ∈ C.


15

Do đó π = PC (y).
(ii) Nếu y ∈ C thì
PC (y) = y
dC (y) = 0.
Nếu y ∈
/ C thì dC (y) = π − y . Theo định nghĩa cận dưới đúng thì tồn
tại một dãy xk ∈ C sao cho
lim

k→∞

Vì dãy xk

xk − y = dC (y) < +∞.

∈ C bị chặn nên tồn tại một dãy con xkj

hội tụ yếu

tới điểm π. Do C đóng và lồi nên C đóng yếu, suy ra π ∈ C. Vậy
π − y = lim

j→∞

xkj − y = lim

k→∞

xk − y = dC (y). Suy ra π là hình

chiếu của y lên C. Ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại π 1 , π 2
là hình chiếu của y lên C khi đó y − π 1 ∈ NC (π 1 ); y − π 2 ∈ NC (π 2 ). Suy
ra
π 1 − y, π 1 − π 2 ≥ 0,
π 2 − y, π 2 − π 1 ≥ 0.
Cộng vế với vế π 1 − π 2 ≤ 0 ⇒ π 1 = π 2 . Vậy hình chiếu pC (y) của y
trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Do y−π ∈ NC (π) nên π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C. Vậy π − y, x =
π − y, π là một siêu phẳng tựa của C tại π và
π − y, x − π = − π − y

2

< 0.

(iv)
1. Ta có x → PC (x) luôn xác định (theo (ii)). Do z−PC (z) ∈ NC (PC (z)), ∀z
nên
z − PC (z), PC (x) − PC (z) ≤ 0.


16

z − PC (z), PC (y) − PC (z) ≤ 0.
Áp dụng z = y và z = x vào hai công thức này, ta có
x − PC (x), PC (y) − PC (x) ≤ 0.
y − PC (y), PC (x) − PC (y) ≤ 0.
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:
PC (y) − PC (x), PC (y) − PC (x) + x − y ≤ 0.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
PC (x) − PC (y) ≤ x − y .
2. Theo (ii) ta áp dụng lần lượt với PC (x), PC (y), ta có:
PC (x) − x, PC (x) − PC (y) ≤ 0
y − PC (y), PC (x) − PC (y) ≤ 0.
Cộng vế hai bất đẳng thức, ta được:
PC (x) − PC (y) + y − x, PC (x) − PC (y) ≤ 0
⇔ PC (x) − PC (y)

2

+ PC (x) − PC (y), y − x ≤ 0

⇔ PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y) 2 .
điều phải chứng minh.

1.5

Dưới vi phân của hàm lồi, chính thường

Cho C ⊆ Rn là tập lồi và f : C → R. Ta kí hiệu
dom f := {x ∈ C|f (x) < +∞} .


17

Định nghĩa 1.5.1 Tập domf được gọi là miền hữa dụng của f . Tập
epi f := {(x, µ) ∈ C × R|f (x) ≤ µ}
được gọi là trên đồ thị của hàm f bằng cách cho f (x) = +∞ nếu x ∈
/ C,

ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và ta có
dom f := {x ∈ Rn |f (x) < +∞} .
epi f := {(x, µ) ∈ Rn × R|f (x) ≤ µ} .
Định nghĩa 1.5.2 Cho C ⊆ Rn , C = ∅ lồi và f : C → R. Ta nói f là
hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong Rn+1 .
Ta chủ yếu xét trong hàm f : Rn → R ∪ {+∞}. Khi đó định nghĩa trên
tương đương với
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.5.3 Cho C ⊆ Rn , C = ∅ lồi.
(i) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là hà lồi chặt trên C nếu
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1).
(ii) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ
số η > 0 nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có
1
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2
(iii) Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
Mệnh đề 1.5.4 Một hàm f : C → R là hàm lồi trên C khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1] .
⇒ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β.


18

Ví dụ 1.5.5 Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định
nghĩa như sau:
dC (x) := min x − y .
y∈C

Khi đó dC là một hàm lồi.

Định nghĩa 1.5.6 Một hàm f gọi là chính thường nếu domf = ∅ và
f (x) > −∞ với mọi x.
Định nghĩa 1.5.7 Một hàm số f gọi là đóng nếu epif là một tập đóng
trong Rn+1 .
Định nghĩa 1.5.8 Nếu f1 , f2 là những hàm lồi, chính thường thì f1 +f2
là hàm lồi.
Hệ quả 1.5.9 Nếu f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi, chính thường và λ1 , λ2 , ..., λm
là các số dương thì hàm λ1 f1 + λ2 f2 + ... + λm fm là lồi.
Định nghĩa 1.5.10 Cho f : Rn → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới
đạo hàm của f tại điểm x0 ∈ Rn nếu
x∗ , x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn .
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm x0 được gọi là dưới vi
phân của f tại điểm đó và được kí hiệu là
∂f (x0 ) = x∗ | x∗ , x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn .
Nếu ∂f (x0 ) = ∅ thì ta nói f là khả vi dưới vi phân tại điểm x0 .
Mệnh đề 1.5.11 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường. Khi đó,
(i) Nếu x ∈
/ domf thì ∂f (x) = ∅.
(ii) Nếu x ∈ int(domf ) thì ∂f (x) = ∅ và compact. Ngược lại, nếu
∂f (x) = ∅, compact thì x ∈ ri(domf ).


19

Mệnh đề 1.5.12 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn và λ > 0. Khi
đó
∂(λf )(x) = ∂λf (x), ∀x ∈ Rn .
Chứng minh: Ta có,
x∗ ∈ ∂(λf )(x) ⇔ x∗ , z − x ≤ (λf )(z) − (λf )(x), ∀z ∈ Rn
⇔ x∗ , z − x ≤ λf (z) − λf (x), ∀z ∈ Rn

x∗
,z − x
λ

⇔

≤ f (z) − f (x), ∀z ∈ Rn

x∗
⇔
∈ ∂f (x) ⇔ x∗ ∈ λ∂f (x).
λ
Vậy ∂(λf )(x) = ∂λf (x), ∀x ∈ Rn .
Định lý 1.5.13 (Định lý Moreau-Rockafellar)
Cho f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi, chính thường trên Rn . Khi đó
m

m

∂fi (x), ∀x ∈ Rn .

fi (x) ⊇

a) ∂

i=1
m

i=1
m

ri(domfi ) = ∅ thì ∂

b) Nếu
i=1

m

fi (x) =
i=1

∂fi (x), ∀x ∈ Rn .

i=1

Chứng minh:
a) Giả sử x∗ ∈

m

m

∂fi (x) thì x∗ =

i=1

xi ∗ ,với xi ∗ ∈ ∂fi (x), i = 1, 2, ..., m.

i=1

∗

Ta có xi ∈ ∂fi (x), i = 1, 2, ..., m.
⇔ x∗i , z − x ≤ fi (z) − fi (x), ∀z ∈ Rn , i = 1, 2, ..., m
m

m

x∗i , z

⇒

−x

≤

i=1

m

i=1
m

⇒ x∗ , z − x ≤

i=1
m

fi (x), ∀z ∪ Rn .

fi (z) −
i=1

fi (x), ∀z ∈ Rn .

fi (z) −

i=1

m

⇒ x∗ ∈ ∂

fi (x), ∀x ∈ Rn .
i=1

m

m

fi (x) ⊇

Vậy ∂
i=1

∂fi (x), ∀x ∈ Rn .

i=1
m

m

fi (x) ⊆

b) Ta cần chứng minh ∂
i=1

i=1

∂fi (x), ∀x ∈ Rn . Xét mệnh


20

đề: Cho f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi hữu hạn trên một tập lồi D = ∅
và A là một ma trận thực cấp k × n. Giả sử b ∈ int A(D). Khi đó
hệ: x ∈ D, Ax = b, fi (x) < 0, i = 1, ..., m không có nghiệm khi và
m

chỉ khi tồn tại t ∈ Rk và λi ≥ 0, i = 1, ..., m sao cho
m

t, Ax − b +

λi = 1 và
i=1

λi fi (x) ≥ 0, ∀x ∈ D.
i=1

+) Với m = 1 thì hiển nhiên đúng.
+) Với m = 2:
Lấy x0 ∈ Rn và x∗ ∈ ∂(f1 + f2 )(x0 ). Theo định nghĩa của dưới vi phân
ta có:
x∗ , x − x0 ≤ (f1 + f2 )(x) − (f1 + f2 )(x0 ), ∀x ∈ Rn .
⇔ f1 (x) + f2 (x) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − x∗ , x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ Rn .


f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − x∗ , x − x0 < 0

x = y
không có nghiệm.
Lấy D = domf1 × domf2 và A(x, y) = x − y. Theo giả thiết f1 liên tục
tại một điểm a ∈ domf1 ∩ domf2 , nên tồn tại một lân cận U sao cho
U = (a + U ) − a ⊂ domf1 − domf2 = A(D).
Vậy 0 ∈ int A(D). Áp dụng mệnh đề xét ở trên với
f (x, y) = f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − x∗ , x − x0 ,
A(x, y) = x − y
ta có
t, x − y + f1 (x) + f2 (x) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − x∗ , x − x0
với mọi x ∈ domf1 , y ∈ domf2 .
Với x ∈
/ domf1 , y ∈
/ domf2 thì bất đẳng thức trên là đúng.

≥ 0,