Hệ tiên đề của hình học LOBACCHEVSKY và lý thuyết về đường song song

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN MẠNH CƯỜNG

HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY
VÀ LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Mạnh Cường

HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LOBACHEVSKY
VÀ LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG SONG SONG

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS.NGUYỄN THỊ TRÀ

Hà Nội – Năm 2018


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Hệ tiên đề của hình học Euclid . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Nhóm I gồm 8 tiên đề về liên thuộc . . . . . . . .

7

1.1.2

Nhóm II gồm 4 tiên đề về thứ tự . . . . . . . . .

8

1.1.3

Nhóm III gồm 5 tiên đề về bằng nhau

. . . . . .

8

1.1.4

Nhóm IV gồm 1 tiên đề liên tục . . . . . . . . . .

9

1.1.5

Nhóm V gồm 1 tiên đề về song song . . . . . . .

9

Phép nghịch đảo đối với đường tròn . . . . . . . . . . . .

10

2 Hệ tiên đề của hình học Lobachevsky và lý thuyết về
đường song song

12

2.1

Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Đường song song và đường phân kỳ của Lobachevsky . .

15

2.3

Các tính chất của đường thẳng song song. . . . . . . . .

17

2.4

Phân biệt các đường phân kỳ với các đường song . . . .

20

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.5

Nguyễn Mạnh Cường

Góc song song và hàm số Lobachevsky . . . . . . . . . .

3 Một số đối tượng khác trong hình học Lobachevsky
3.1

3.2

3.3

3.4

28
34

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . .

34

3.1.1

Đường thẳng cắt mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

34

3.1.2

Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . .

34

3.1.3

Đường thẳng phân kỳ với mặt phẳng . . . . . . .

34

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1

Hai mặt phẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.2

Hai mặt phẳng song song

. . . . . . . . . . . . .

35

3.2.3

Hai mặt phẳng phân kỳ . . . . . . . . . . . . . .

36

Các chùm đường thẳng trong mặt phẳng Lobachevsky . .

36

3.3.1

Chùm đường thẳng hội tụ . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.2

Chùm đường thẳng phân kỳ . . . . . . . . . . . .

36

3.3.3

Chùm đường thẳng song song . . . . . . . . . . .

37

Quỹ đạo trực giao của các chùm đường thẳng trong mặt
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5

Các bó đường thẳng trong không gian Lobachevsky . . .

38

3.6

Các mặt trực giao của các bó đường thẳng . . . . . . . .

39

4 Mô hình của hình học Lobachevsky

40

4.1

Xây dựng mô hình Poincare . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2

Nghiệm các tiên đề của hình học Lobachevsky. . . . . . .

41

4.2.1

Nhóm I (Các tiên đề liên thuộc) . . . . . . . . . .

41

4.2.2

Nhóm II (các tiên đề thứ tự) . . . . . . . . . . . .

41

4.2.3

Nhóm IV (tiên đề về liên tục) . . . . . . . . . . .

42

ii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

4.2.4

Nhóm III (các tiên đề bằng nhau) . . . . . . . . .

42

4.2.5

Nhóm V (tiên đề Lobachevsky) . . . . . . . . . .

47

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,
các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy cô tham gia
giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới ThS.
Nguyễn Thị Trà, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình giúp
đỡ để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 27/4/2018
Sinh viên

Nguyễn Mạnh Cường

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên
cứu của bản thân và sự hướng dẫn của ThS.Nguyễn Thị Trà.

Trong khóa luận này tôi có tham khảo một số công trình nghiên cứu
của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Tôi xin cam đoan kết quả
của khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào khác.

Hà Nội, ngày 27/4/2018
Sinh viên

Nguyễn Mạnh Cường

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một lĩnh vực khó và quan trọng vì vậy nó được con
người nghiên cứu từ rất sớm. Đến thế kỷ thứ III trước công nguyên,
hình học đã được Euclid hệ thống hóa dưới hình thức tiên đề mang
tên ông. Các tiên đề Euclid dường như hiển nhiên đúng theo trực
quan và trực giác mà bất kỳ định lý nào rút ra từ chúng đều đúng
theo nghĩa tuyệt đối. Hơn hai nghìn năm qua, hình học Euclid được
mặc định là thứ hình học duy nhất tồn tại và khi chúng ta bước đầu
tiếp xúc, nghiên cứu các vấn đề về hình học thì đều làm việc với
nó. Trong quá trình phát triển, hình học Euclid đã thu được nhiều
công trình nghiên cứu đáng kể gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà
toán học. Tuy nhiên, một bộ phận không nhỏ khác khi nghiên cứu
các tiên đề của Euclid đã nghi ngờ định đề V (định đề song song)

có thể suy ra từ 4 nhóm tiên đề trước đó, từ đó họ bỏ ra nhiều công
sức để chứng minh với hy vọng xóa bỏ định đề này khỏi hệ thống
tiên đề Euclid. Nhưng họ càng tìm cách chứng minh thì càng lâm
vào vòng luẩn quẩn và đi đến thất bại.
Đến thế kỉ XIX, có hai nhà toán học là Janos Bolyai (1802-1860) và
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) đã nghiên cứu độc lập
với nhau và đã tìm ra một lời giải hết sức độc đáo, đầy sáng tạo đó
là giữ nguyên các tiên đề khác của Euclid và thay định đề V bởi một
tiên đề khác phủ nhận định đề V: “Trong mặt phẳng, qua một điểm
nằm ngoài một đường thẳng có nhiều hơn một đường thẳng không
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

cắt đường thẳng ấy”. Janos Bolyai đã công bố công trình của mình
ba năm sau lần xuất bản thứ nhất của Lobachevsky (ông không hề
biết gì về sự xuất bản của Lobachevsky) và tất nhiên cũng giống
như Lobachevsky, lý thuyết của ông không được các nhà khoa học
đương thời công nhận. Chỉ sau khi Lobachevsky và Bolyai đã mất,
thế giới khoa học mới đánh giá được công trình của hai nhà toán
học. Chính Lobachevsky đã đặt cơ sở cho sự tổng quát hóa các quan
niệm đối với việc hình thành hình học trừu tượng, từ đó xây dựng
nên một thứ hình học không mâu thuẫn và phát triển nó thành
một môn hình học mới, giải phóng hình học ra khỏi trực giác, mở
rộng sự hiểu biết và phạm vi áp dụng của hình học. Mặc dù cùng
nghiên cứu đồng thời và độc lập song công trình của Lobachevsky
được công bố trước nên nó mang tên “Hình học Lobachevsky”. Hình

học Lobachevsky được khởi xướng dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về
đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm
ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác,
nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao
nhau với đường thẳng gốc. Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm
đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song
với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận
hình học logic.
Hình học Lobachevsky là cơ sở toán học của thuyết tương đối của
Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của
không gian nhiều chiều. Mặt khác, nó được ứng dụng trong nhiều
nội dung khác như cơ học lượng tử hay vật lý thiên văn. Mặc dù

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

được ứng dụng khá nhiều nhưng hình học Lobachevsky lại không
được nghiên cứu trong bậc phổ thông và ngay cả bậc đại học bởi
vì mức độ trừu tượng và đặc biệt là nó không tồn tại trong thực tế
cuộc sống.
Ngay từ lần đầu tiên được tiếp xúc với hình học Lobachevsky, tôi
đã cảm thấy vô cùng thích thú và mong muốn được tìm hiểu sâu
hơn về nó. Càng đi sâu vào nghiên cứu, tôi càng thấy được nhiều
điều thú vị về loại hình học này. Chính vì những lý do trên, tôi chọn
đề tài “Hệ tiên đề của hình học Lobachevsky và lý thuyết về đường
song song” làm đề tài nghiên cứu khóa luận của mình. Trong đề tài

chỉ nêu lên một phần nhỏ của hình học này nhưng mong rằng thông
qua đó người đọc phần nào hiểu biết hơn về hình học Lobachevsky.
2. Mục đích nghiên cứu
- Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về hình học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Hệ tiên đề của hình học Lobachevsky.
- Phạm vi nghiên cứu: Hình học Lobachevsky.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày về hình học Lobachevsky và lý thuyết đường song song.
- So sánh các tính chất hình học tương ứng giữa hình học Euclid và
hình học Lobachevsky, tìm ra mối quan hệ giữa hai loại hình học
này.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 4 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Hệ tiên đề của hình học Lobachevsky và lý thuyết về
đường song song
Chương 3: Một số đối tượng khác trong hình học Lobachevsky

Chương 4: Mô hình của hình học Lobachevsky

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ tiên đề của hình học Euclid

1.1.1

Nhóm I gồm 8 tiên đề về liên thuộc

1. Có ít nhất một đường thẳng đi qua hai điểm.
2. Có không quá một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau.
3. Trên mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm
không cùng thuộc một đường thẳng.
4. Cho ba điểm bất kỳ, bao giờ cũng có một mặt phẳng chứa chúng.
Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất một điểm.
5. Với bất kỳ ba điểm không thẳng hàng thì không có quá một mặt
phẳng chứa chúng.
6. Nếu hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc một
mặt phẳng, thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng trên.
7. Nếu hai mặt phẳng chứa một điểm chung thì chúng còn chứa ít
nhất một điểm chung khác nữa.
8. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Nguyễn Mạnh Cường

Nhóm II gồm 4 tiên đề về thứ tự

1. Nếu điểm B ở giữa điểm A và C thì A, B, C là ba điểm khác nhau
cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A.
2. Cho bất cứ hai điểm A, C nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm
B trên đường thẳng AC sao cho C ở giữa A và B.
3. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao
giờ có quá một điểm ở giữa hai điểm kia.
4. Tiên đề Pasch: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một
đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm
nào trong ba điểm A, B, C. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với
đoạn AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn thẳng AC
hoặc với đoạn thẳng BC.
1.1.3

Nhóm III gồm 5 tiên đề về bằng nhau

1. Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc
A bao giờ cũng có một điểm B sao cho đoạn thẳng A B "bằng" đoạn
thẳng AB và được kí hiệu là A B ≡ AB. Đối với mọi đoạn thẳng AB
ta đều có AB = BA
2. Nếu A B ≡ AB và A”B” ≡ AB thì A B ≡ A”B”.

3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với B ở giữa A và C và ba điểm
A , B , C thẳng hàng với B nằm giữa A và C . Nếu AB ≡ A B và
BC ≡ B C thì AC ≡ A C .
4. Cho một góc (h, k) và một nửa mặt phẳng xác định bởi bởi đường
thẳng chứa tia h . Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có
một và chỉ một tia k cùng gốc với tia h sao cho góc (h , k ) bằng góc
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

(h, k) và được kí hiệu là (h , k ) ≡ (h, k). Đối với mọi góc (h, k) ta đều
có (h, k) ≡ (k, h)
5. Cho ∆ABC và ∆A B C . Nếu AB ≡ A B , AC ≡ A C và BAC ≡
B A C thì bao giờ cũng có ABC ≡ A B C và ACB ≡ A C B .
1.1.4

Nhóm IV gồm 1 tiên đề liên tục

Tiên đề Dedekind:
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp
không rỗng sao cho:
+ Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một và chỉ một lớp.
+ Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.
Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp.
Có thể coi điểm này là điểm cuối của lớp thứ nhất hoặc là điểm đầu của
lớp thứ hai.

Định nghĩa 1.1.1. Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên
một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Dedekind là một lát cắt
Dedekind của đường thẳng.
1.1.5

Nhóm V gồm 1 tiên đề về song song

Cho một đường thẳng a bất kì và một điểm A không thuộc a. Khi đó
trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a có nhiều nhất
một đường thẳng qua A và không cắt a.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Mạnh Cường

Phép nghịch đảo đối với đường tròn

Cho đường tròn (C) tâm O bán kính r và một điểm M không trùng
với O. Với mỗi điêm M bao giờ ta cũng có một điểm M’ duy nhất trên
OM sao cho OM .OM = r2 . Phép biến hình f xác định như trên sao
cho f (M ) = M gọi là phép nghịch đảo đối với đường tròn (C). Đường
tròn (C) qua phép nghịch đảo f biến thành chính nó gọi là đường tròn
nghịch đảo, điểm O gọi là tâm nghịch đảo.
Đối với đường tròn tâm O đường kính AB ta có: OM .OM = OA2 =
OB 2 .

Sau đây là một số tính chất của phép nghịch đảo:
- Nếu điểm M là nghịch đảo của điểm M thì M là nghịch đảo của M .
- Mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo (C) biến thành chính nó.
- Nếu M và N là hai điểm không thẳng hàng với O thì 4 điểm M, N, M , N
cùng nằm trên một đường tròn.
- Phép nghịch đảo có tính chất bảo tồn góc.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

- Phép nghịch đảo biến một đường thẳng đi qua tâm nghịch đảo O thành
chính nó.
- Phép nghịch đảo biến một đường thẳng không đi qua tâm O thành
một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo và ngược lại.
- Phép nghịch đảo biến một đường tròn đường kính AB và không đi qua
tâm O của đường tròn nghịch đảo thành một đường tròn đường kính
A B (A là ảnh của A và B là ảnh của B). Đường tròn ảnh cũng không
đi qua tâm O nói trên.

11


Chương 2
Hệ tiên đề của hình học
Lobachevsky và lý thuyết về đường
song song
2.1

Hệ tiên đề

Hệ tiên đề gồm tất cả các tiên đề của các nhóm I, II, III, IV trong hình
học tuyệt đối và tiên đề Lobachevsky (tiên đề V’).
Tiên đề Lobachevsky (tiên đề V’):
Trong mặt phẳng xác định bởi đường thẳng a và một điểm A không thuộc
đường thẳng đó có ít ra là hai đường thẳng đi qua A và không cắt đường
thẳng a.
Chú ý. Tiên đề V’ phủ định tất cả các mệnh đề tương đương với tiên
đề V của Euclid. Tiên đề V’ tương đương với hai mệnh đề " Tổng các
góc của một tam giác nhỏ hơn 2v" hay mệnh đề " Góc trên của tứ giác
Saccheri là một góc nhọn".
Ở đây tứ giác Saccheri được định nghĩa như sau:
Tứ giác AA B B có hai góc A, B ở đáy dưới đều vuông và hai cạnh bên
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

bằng nhau là AA và BB . Do sự đối xứng qua đường trung trực của
đoạn thẳng AB ta có hai góc A và B ở đáy trên của tứ giác đó bằng
nhau. Người ta gọi tứ giác có tính chất như trên là tứ giác Saccheri.

Hình 2.1: Tứ giác Saccheri

Định lí 2.1.1. Cho đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường
thẳng đó thì qua A có vô số đường thẳng không cắt a và cùng nằm trong

một mặt phẳng với a.

Chứng minh.
Theo tiên đề V’, giả sử qua điểm A không thuộc đường thẳng a cho
trước có hai đường thẳng a1 , a2 không cắt đường thẳng a.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

Trên đường thẳng a2 lấy điểm B2 khác A sao cho đối với đường thẳng
a1 điểm B2 khác phía với đường thẳng a.
Nối B2 với một điểm B bất kỳ trên a thì đoạn BB2 cắt a1 tại B1 . Trên
đoạn B1 B2 lấy điểm M nằm giữa B1 B2 (có vô số điểm M ).
Ta thấy rằng AM không cắt đường thẳng a.
Thật vậy:
Nếu đường thẳng AM cắt a theo một điểm C về phía từ A đến M .
Khi đó theo tiên đề Pasch đối với ∆BCM , đường thẳng a1 cắt cạnh BM
tại B1 nên a1 phải cắt một trong hai cạnh còn lại đó là M C hoặc BC.
Đường thẳng a1 không thể cắt M C vì nếu a1 cắt M C tại I thì điểm M
nằm trên AI và điểm B1 nằm trên AI nên ba điểm M, A, B1 thẳng hàng
trái với giả thiết.
Do đó a1 phải cắt BC tức là a1 cắt a cũng trái với giả thiết.
Nếu đường thẳng AM cắt a theo một điểm C về phía từ M đến A
thì khi đó áp dụng tiên đề Pasch đối với ∆BM C , có a2 cắt cạnh M C
tại A nên a2 phải cắt một trong hai cạnh còn lại là BM hoặc BC .
Nếu a2 cắt cạnh BM tại K thì K thuộc M B hay B thuộc KB2 . Mà A
thuộc KB2 nên A, B2 , B thẳng hàng, trái với giả thiết.

Còn nếu a2 cắt BC tức là a2 cắt a cũng trái với giả thiết.
Vì M là một điểm tùy ý trên đoạn B1 B2 nên ta có vô số đường thẳng
AM đi qua A cùng nằm trong một mặt phẳng với a và không cắt a.
Hệ quả. Định lý trên cũng đúng với mọi điểm A và mọi đường thẳng
a không chứa điểm A đó.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Nguyễn Mạnh Cường

Đường song song và đường phân kỳ của Lobachevsky

Xét tập hợp các đường thẳng đi qua điểm A không thuộc a cho trước.
Hạ AH vuông góc với a tại H.
Giả sử a nằm ngang và đường thẳng AH chia mặt phẳng ra làm hai
phần: trái, phải.
Lấy M bên phải điểm H trên a. Đặt α = HAM
Cho M đi xa dần điểm H về bên phải thì α tăng dần nhưng tổng 3 góc
π
của một tam giác nhỏ hơn 2v mà AHM = 1v nên α < .
2
π
Dãy {α} là dãy tăng bị chặn trên bởi nên nó có giới hạn hữu hạn ω.
2

π
.
M →∞
2
Gọi Au là tia tạo với AH về bên phải một góc ω. Ta có Au là giới hạn

Ta có: lim α = ω ≤

của những tia AM cắt đường thẳng a theo hướng bên phải điểm H tức
là mọi tia AM tạo với AH góc α < ω thì đều cắt a.
Tia Au không cắt a. Thật vậy: Nếu Au cắt a tại M1 khi đó ta lấy M
bên phải điểm M1 thì AM cắt a tại M và α = HAM > ω trái với giả
thiết ω là giới hạn của α và α < ω. Vậy Au không cắt a.
π
π
Ta có: ω ≤ . Nếu ω = thì mọi tia AM tạo với AH một góc nhỏ hơn
2
2
π
π
đều cắt a nghĩa là chỉ có đường thẳng b qua A tạo với AH góc thì
2
2
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

π
.
2
Nếu điểm M xa dần H về phía trái, vì lý do đối xứng ta cũng có tia Av

b không cắt a (trái với tiên đề Lobachevsky). Vậy ω <

có tính chất tương tự tia Au.
Định nghĩa 2.2.1. Hai đường thẳng Au, Av được xác định như trên
gọi là hai đường thẳng đi qua điểm A song song với đường thẳng a và
mỗi đường thẳng song song về một phía.
Định nghĩa 2.2.2. Các đường khác còn lại đi qua điểm A và không cắt
a gọi là các đường thẳng phân kỳ.
Ta có thể thấy tập hợp các đường thẳng qua A phân kỳ với a nằm
trong phần " gạch gạch".

Nhận xét.
Hai đường thẳng Au và Av tạo với đường vuông góc AH một góc ω
có thể xem là ranh giới cửa những đường thẳng đi qua A cắt và không
cắt a. Như vậy tại mỗi điểm A có một và chỉ một đường thẳng song song
với đường thẳng a theo một hướng xác định.
Mọi đường thẳng đi qua A tạo với AH một góc α < ω đều cắt a.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Nguyễn Mạnh Cường

Các tính chất của đường thẳng song song.

Định lí 2.3.1. Nếu đường thẳng Au song song với đường thẳng a về một
hướng nào đó thì sự song song này không phụ thuộc vào vị trí điểm A
trên Au.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp:
a, Ta lấy một điểm A1 trên tia Au.

Gọi A1 H1 là đường thẳng qua A1 vuông góc với a tại H1 . Ta cần chứng
minh với bất kỳ tia A1 p trong H1 A1 u đều cắt a.
Lấy D trên tia A1 p, ta có HAD < ω nên tia AD cắt a tại một điểm M .
Áp dụng tiên đề Pasch cho ∆AHM , đường thẳng A1 D cắt cạnh AM và
không cắt AH vì tia A1 p nằm bên phải đối với A1 H1 nên tia A1 p cắt
HM tức là cắt a.
b, Ta lấy một điểm A2 trên tia đối của tia Au.

Hạ A2 H2 vuông góc a tại H2 . Ta cần chứng minh bất kỳ tia Ar trong
góc H2 A2 u đều cắt a.
Gọi α = rA2 u, tia A2 r cắt AH2 tại B.
Từ A dựng một tia trong góc HAu tạo với Au một góc bằng α tia này
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

cắt a tại C.

Áp dụng tiên đề Pasch cho ∆H2 AC, đường A2 r cắt AH2 tại B và không
căt cạnh AC vì nếu cắt thì mâu thuẫn với định lý góc ngoài của tam
giác (α > α là vô lý). Nên A2 r phải cắt H2 C tức là A2 r cắt a.
Vậy đường thẳng Au song song với đường thẳng a theo một hướng nào
đó thì sự song song này không phụ thuộc vào vị trí của điêm A trên
đường thẳng Au.
Định lí 2.3.2. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b về một
hướng nào đó thì b cũng song song với a theo hướng đó.

Chứng minh. Theo giả thiết a song song với b nên b không cắt a. Lấy C
trên b hạ CH vuông góc với a tại H. Ta chứng minh: Một tia CE bất
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

kì trong HCb đều cắt a.
Đặt ECb = α. Về hai phía của CH ta vẽ hai tia CM và CN tạo với CH
α
những góc bằng nhau và nhỏ hơn cắt a tại M và N .
2
∆CM N cân có M = N và CN a > CM a.
Trong CN a từ N dựng tia N x tạo với N C góc CN x = CM a. Vì CN x <
CN a nên N x cắt b tại K.
Về phía song song ta đặt M I = N K khi đó ∆M CI = ∆N CK(c.g.c)
nên suy ra M CI = N CK hay M CN = ICK.
Vì M CN < α nên ICK < α do đó CE nằm trong HCI nên cắt HI.
Vậy b song song với a theo hướng đã cho.

Chú ý. Vì quan hệ song song ở đây có tính đối xứng nên ta có thể nói
hai đường thẳng đó song song với nhau.
Định lí 2.3.3. Hai đường thẳng cùng song song vói đường thẳng thứ ba
theo cùng một hướng thì song song với nhau theo cùng hướng đó.
Chứng minh. Giả sử a và b đều song song với c theo cùng một hướng.
Khi đó a và b không thể cắt nhau vì nếu cắt tại điểm M nào đó thì qua
M ta có hai đường thẳng cùng song song với c theo cùng một hướng (vô
lý). Ta xét hai trường hợp:
1, Trường hợp a, b nằm cùng phía với c.

Ta lấy A nằm trên a, C nằm trên c. Nối AC cắt b tại B. Từ A về phía
song song ta vẽ tia Ax nằm trong CAa. Vì a song song với c nên Ax cắt
c tại C1 .
Mặt khác A và C1 khác phía với b nên AC1 cắt b tại B1 .
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Mạnh Cường

Vậy a song song với b.
2,Trường hợp a, b khác phía với c.

Lấy A nằm trên a, B nằm trên b.
Từ A vẽ tia Ax bất kì trong BAa về phía song song.
Vì a song song với c nên Ax cắt c tại C1 .
Vì b song song với c nên C1 x cắt b tại B1 .
Suy ra Ax cắt b tại B1 . Vậy a song song với b.

2.4

Phân biệt các đường phân kỳ với các đường
song

Ở phần trước ta đã biết đường song song và đường phân kỳ cùng qua
20