Các tiền đề của cơ học lượng tử. Toán tử, hàm riêng và trị riêng

10

Chơng II: Các tiên đề của Cơ học lợng tử.
Toán tử, hàm riêng và trị riêng

2.1. Các đại lợng quan sát đợc và các toán tử
a) Tiên đề 1
Nội dung: Mỗi đại lợng quan sát đợc hay biến số động lực
A

trong Cơ học lợng tử tơng ứng với một toán tử
A

sao cho phép đo
A
thu đợc các giá trị đo đợc
a
là các trị riêng của
A

, nghĩa là các
giá trị
a
là những giá trị mà phơng trình trị riêng

aA
=

có
nghiệm

. Ta nói

là hàm riêng của toán tử
A

tơng ứng với trị
riêng
a
.
b) Toán tử xung lợng
Ta hy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lợng
=
r
h
r
ip

.
Xét hạt chuyển động một chiều trên trục
x
. Khi đó ta có
x
ip
x


= h

và phơng trình trị riêng của toán tử xung lợng là

x
p
x
i
=


h
, (1)
trong đó
x
p
là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu đợc khi đo thành phần
trên trục
x
của xung lợng; hàm sóng
( )
x

tơng ứng với một giá trị
xác định của xung lợng
( )
x
p
là hàm mà
( )
dxx
2

là xác suất tìm thấy

hạt (với xung lợng
x
p
) trong khoảng
[ ]
dxxx
+
,
.
11
Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên). Khi đó ta có
nghiệm
( )
ikx
x
Ae
xip
Ax
=






=
h
exp

, trong đó số sóng

h
p
k
=
. Nh vậy
( )
x

là
hàm tuần hoàn theo
x
.
Ta hy tìm bớc sóng

:
( )

+
=
xikikx
ee
=

kik sincos
+




=

=

0sin
1cos


k
k


2=
k
, tức là

2
=
h
p



h
p
==
h
2
(hệ thức De Broglie).
Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lợng tơng ứng với
trị riêng
p

có bớc sóng là bớc sóng De Broglie

h
.
Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lợng là
( )
ikx
k
Aex
=

;
kp
h
=
. (2)
c) Toán tử năng lợng
H


Toán tử tơng ứng với năng lợng là toán tử năng lợng hay
toán tử Hamilton
H

, trong đó
p
r
đợc thay bởi
p

r
.
Toán tử năng lợng của hạt có khối lợng
m
trong trờng thế
( )
rV
r
là
( ) ( )
rV
m
rV
m
p
H
r
h
r
+=+=
2
22
22


. (3)
Phơng trình trị riêng có dạng
( ) ( )
rErH
rr

=

. (4)
Đây chính là phơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời
gian.
12
Xét hạt tự do:
2
22
22


==
mm
p
H
h
. (5)
Đối với hạt tự do một chiều, ta có phơng trình trị riêng
( ) ( )
xEx
xm

=



2
22

2
h
.
Đặt
2
2
2
h
mE
k =
(
k
đợc gọi là số sóng), ta có phơng trình
0
2
=+

k
xx
.
Do không có điều kiện biên nên
( )
ikxikx
BeAex

+=

. (6)
( )
x

là hàm riêng của toán tử
H

tơng ứng với trị riêng năng
lợng
m
k
E
2
22
h
=
.
( )
k
h
chính là xung lợng của hạt tự do vì với hạt tự do thì năng
lợng
m
k
m
p
E
22
222
h
==
.
Ta nhận thấy rằng hàm

( )
ikxikx
BeAex

+=

ứng với
0=
B
cũng là
hàm riêng của toán tử xung lợng
p

r
.
Việc 2 toán tử
H

và
p

r
của một hạt tự do có chung hàm riêng là
một trờng hợp đặc biệt của một định lí tổng quát hơn.
Tiếp theo, ta hy chứng minh rằng nếu

là hàm riêng của
p

r

thì

cũng là hàm riêng của
H

.
Thật vậy, do

là hàm riêng của
p

r
nên ta có


kp h
r
=

.
Do đó
( )
( )
( )
( )

m
k
p

m
k
k
m
p
p
m
p
H
2

22


2


2
h
r
h
h
r
r
r
====
,
13
tức là

cũng là hàm riêng của
H

.
Cả năng lợng và xung lợng của hạt tự do có các giá trị liên
tục:
m
k
E
2
22
h
=
;
kp
h
=
; (7)
nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng
k
nào.
Hàm riêng tơng ứng là

( )
ikx
k
Aex =

.
Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lợng chắc

chắn đợc giá trị
k
h
, phép đo năng lợng chắc chắn đợc giá trị
m
k
2
22
h
.
Giả sử ta đo vị trí
x
của hạt. Hạt sẽ ở đâu?
Theo Born, khi hạt ở trạng thái đợc mô tả bởi hàm sóng
( )
ikx
k
Aex =

thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt
trong khoảng
[ ]
dxxx
+
,
là
constA
k
==
22

. Mật độ xác suất cùng bằng
một hằng số cho mọi
x
. Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào,
từ
=
x
tới
+=
x
là nh nhau.
Chú ý rằng
E
và
t
là các biến bổ sung:
h

tE
.
; nghĩa là nếu
năng lợng bất định một lợng
E

thì thời gian cần để đo
E
sẽ bất
định bởi
E

t


h
. Trong trờng hợp này
m
k
E
2
22
h
=
; suy ra
0=
E
.
Để đo
E
, ta phải cho hạt tơng tác với một dụng cụ đo năng
lợng, ví dụ một tấm nối với một lò xo, để đo xung lợng truyền vào
tấm khi hạt va vào. Nếu đặt tấm trên hớng đi của hạt thì chúng ta
phải đợi bao lâu để phát hiện đợc hạt? Câu trả lời đúng là: không
14
biết! Có thể chúng ta chỉ phải đợi trong 10
-8
s. Cũng có thể chúng ta
phải đợi trong 10
1 0
năm.

2.2. Phép đo trong Cơ học lợng tử (Tiên đề 2)
Nội dung: Phép đo biến số động lực
A
thu đợc giá trị
a
đa
hệ về trạng thái
a

, trong đó
a

là hàm riêng của toán tử
A

tơng
ứng với trị riêng
a
.
Ví dụ: hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt ở
trong trạng thái nào. ở một thời điểm bất kì, ta đo xung lợng của
hạt và đợc giá trị
kp
h=
. Phép đo này đa hệ về trạng thái
k

. Phép
đo xung lợng ngay sau đó chắc chắn thu đợc giá trị
kp

h
=
.

Giả sử ta đo vị trí của một hạt tự do và đo đợc vị trí
'
xx
=
. Từ
2 tiên đề ta suy ra
1) Có một toán tử
x

tơng ứng với phép đo đợc vị trí
x
;
2) Đo
x
đợc giá trị
'
x
đa hạt về hàm riêng của toán tử
x


tơng ứng với trị riêng
'
x
.
Ta có phơng trình trị riêng

( ) ( )
'''

xxxxxx
=

(trong bểu diễn toạ độ).
Trong đó
( )
'
xx


là hàm delta Dirac.

2.3. Tiên đề 3
(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó
với các tính chất của một hệ)