chuyên đề dao động điều hòa rất hay

GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

CHUYÊN ĐỀ – DAO ĐỘNG CƠ
CHỦ ĐỀ: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các đại lượng thường gặp trong dao động điều hòa.
Ví dụ 1: Cho các phương trình dao động điều hòa như sau:
π
π


a. x = 5cos  4πt + ÷ (cm).
b. x = −5cos  2πt + ÷ (cm)
6
4


π

c. x = −5cos ( πt ) (cm).
d. x = 10sin  5πt + ÷ (cm)
3

Xác định A, ω, φ, f, T của các dao động điều hòa đó ?
Hướng dẫn giải:
π

a. x = 5cos  4πt + ÷ (cm)
6


- Biên độ:
A = 5 (cm).
- Tần số góc: ω = 4π (rad/s).
π
- Pha ban đầu: ϕ = ( rad ) .
6
ω 4π
ω = 2πf ⇒ f =
=
= 2 ( Hz ) .
- Tần số:
2π 2π
1 1
T = = = 0,5 ( s ) .
- Chu kì:
f 2
π

b. x = −5cos  2πt + ÷ (cm)
4

Vì biên độ A > 0 nên phương trình dao động điều hòa được viết lại:
π
5π 



x = 5cos  2πt + + π ÷ = 5cos  2πt + ÷ (cm)
4

4 



- Biên độ:
A = 5 (cm).
- Tần số góc: ω = 2π (rad/s).
5π
- Pha ban đầu: ϕ = ( rad ) .
4
ω 2π
f=
=
= 1( Hz ) .
- Tần số:
2π 2π
1 1
T = = = 1( s ) .
- Chu kì:
f 1
c. x = −5cos ( πt ) = 5cos ( πt + π ) (cm)
- Biên độ:
A = 5 (cm).
- Tần số góc: ω = π (rad/s).
- Pha ban đầu: ϕ = π ( rad ) .
1


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

ω
π
=
= 0,5 ( Hz ) .
2π 2π
1 1
T= =
= 2( s) .
- Chu kì:
f 0,5
π

d. x = 10sin  5πt + ÷ (cm)
3

- Biên độ:
A = 10 (cm).
- Tần số góc: ω = 5π (rad/s).
π
- Pha ban đầu: ϕ = ( rad ) .
3
ω 5π
f=
=
= 2,5 ( Hz ) .
- Tần số:
2π 2π
1 1

T= =
= 0,4 ( s ) .
- Chu kì:
f 2,5
- Tần số:

f=

π

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos  4πt + ÷, trong
6

đó x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của chất điểm khi
t = 0,25 ( s ) .
Hướng dẫn giải:
Khi t = 0,25 s thì:
- Li độ của chất điểm:
π
π
π
3


x = 6cos  4π.0,25 + ÷ = 6cos  π + ÷ = −6cos = −6.
= −3 3 ( cm )
6
6
6
2



- Vận tốc của chất điểm:
π
π

v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ ) = −24π sin  π + ÷ = 24π.sin = 12π = 37,68 (cm/s).
6
6

- Gia tốc của chất điểm:

π
3

2
a = v' = −ω2 Acos ( ωt + ϕ ) = −16π 2 .6cos  π + ÷ = −96π 2 . −
÷= 48 3π = 820,5
6

 2 
(cm/s2).
2
2
Hoặc: a = −ω x = −16π . −3 3 = 820,5 (cm/s2).

(

)

Ví dụ 3: Một vật nhỏ có khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20
cm, với tần số góc 6 rad/s. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
l 20
= 10 ( cm )
- Biên độ dao động của vật: A = =
2 2
- Tốc độ cực đại của vật: v max = ωA = 6.10 = 60 ( cm/s ) = 0,6 ( m/s )
2


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

2
2
2
2
- Gia tốc cực đại của vật: a max = ω A = 6 .10 = 360 ( cm/s ) = 3,6 ( m/s )
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi vật ở vị trí có li độ 10
cm vật có vận tốc 20π 3 cm/s. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
l 40
= 20 ( cm )
- Biên độ dao động của vật: A = =
2 2
Tìm ω = ?
Từ hệ thức độc lập với thời gian:
v2

v
20π 3
2
x + 2 = A2 ⇒ ω =
=
= 2π ( rad/s )
ω
A2 − x 2
202 − 102
- Tốc độ cực đại của vật: v max = ωA = 2π.20 = 40π ( cm/s )
2
2
2
2
- Gia tốc cực đại của vật: a max = ω A = 4π .20 = 80π ( cm/s )

Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm. Tính vận
tốc của chất điểm khi nó qua vị trí cân bằng và khi nó qua vị trí có li độ 4 cm.
Hướng dẫn giải:
- Tìm ω = ?
2π
2π
ω=
=
= 20 ( rad/s )
T 0,314
- Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc của vật đạt giá trị cực đại:
v max = ±ωA = ±20.8 = ±160 ( cm/s )
- Khi vật qua vị trí có li độ x = 4 cm thì:
v2

x 2 + 2 = A 2 ⇒ v = ±ω A 2 − x 2 = ±20. 82 − 4 2 ≈ ±139 ( cm/s )
ω
Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 2,5cos10t (cm). Vào
π
thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị . Khi đó, li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng
3
bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
π
π
π
Pha dao động là , ta suy ra: 10t = ⇒ t = ( s )
3
3
30
Khi đó:
- Li độ của vật là:
π

π
x = 2,5cos 10. ÷ = 2,5.cos  ÷ = 1,25 ( cm )
 30 
3
- Vận tốc của vật là:
π
25 3

π
v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ ) = −10.2,5.sin 10. ÷ = −25.sin  ÷ = −
( cm/s ) ≈ −22 ( cm/s )

2
 30 
3
- Gia tốc của vật là:
3


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

π
1
= −250. = −125 ( cm/s 2 )
3
2
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos ( 4πt + π ) (cm). Vật đó
qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào ? Khi đó độ lớn vận tốc
bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
Khi vật qua vị trí cân bằng thì x = 0
π
 π
nên: 5cos ( 4πt + π ) = 0 ⇒ cos ( 4πt + π ) = cos  ± ÷⇒ 4πt + π = ±
2
 2
Vì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên v > 0
π
3
⇒ 4πt + π = − + k2π ⇒ t = − + 0,5k với k ∈ Z

2
8
Khi đó: v max = ωA = 4π.5 = 20π ( cm/s )
a = v' = −ω2 Acos ( ωt + ϕ ) = −10 2.2,5.cos

Ví dụ 8: Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình
π

x = 20cos 10πt + ÷ (cm). Xác định độ lớn và chiều của các vectơ vận tốc, gia tốc và
2

lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
2π
2π
= 0,15 ( s ) thì:
Lúc t = 0,75T = 0,75. = 0,75.
ω
10π
Vận tốc của vật là:
π

v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ ) = −10π.20.sin 10π.0,15 + ÷ = −120π.sin 2π = 0 (cm/s).
2

Gia tốc của vật là:
a = v' = −ω2 Acos ( ωt + ϕ ) = −100π 2 .20.cos2π = −20000 ( cm/s 2 ) = −200 ( m/s 2 )
Lực kéo về:
F = ma = 0,05.( −200 ) = −10 ( N )
a và F âm nên gia tốc và lực kéo về ngược hướng với chiều dương của trục tọa độ.

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và chu kì là
0,2 s. Tính độ lớn gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
2π 2π
=
= 10π ( rad/s )
Ta có: ω =
T 0,2
v2 a 2
Ta chứng minh công thức: 2 + 4 = A 2
ω ω
Giả sử vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos ( ωt + ϕ ) thì:

4


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

 v 2 = ω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ ) (1)
 v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
 v = ω A sin ( ωt + ϕ )

⇔
⇔  a2

 2
2
4

2
2
2
2
2
a = −ω Acos ( ωt + ϕ )
a = ω A cos ( ωt + ϕ )
 2 = ω A cos ( ωt + ϕ ) (2)
ω
Lấy (1) cộng (2), ta được:
a2
v 2 + 2 = ω2 A 2 ⇒ a 2 = ω2 ( ω2 A 2 − v 2 ) ⇒ a = ω ω2 A 2 − v 2 = 10π 100π 2 .2 − 1000
ω
⇒ a = 10π 2000 − 1000 = 10π10 10 = 100π 2 = 1000 ( cm/s 2 ) = 10 ( m/s 2 )
2

2

2

2

π

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 20cos 10πt + ÷ (cm). Xác
2

định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược với chiều dương
kể từ thời điểm t = 0.
Hướng dẫn giải:

π
π 1


Ta có: 20cos 10πt + ÷ = 5 ⇒ cos 10πt + ÷ = = cos ( ±0,42π )
2
2 4


π
Vì v < 0 nên 10πt + = 0,42π + k2π ⇒ t = −0,008 + 0,2k với k ∈ Z .
2
Vì t > 0 nên vật qua vị trí có li độ x = 5 cm lần đầu tiên ứng nghiệm dương nhỏ nhất
trong họ nghiệm này là k = 1.
Vậy t = 0,192 s.
π

Ví dụ 11: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos 10πt − ÷ (cm). Xác
3

định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π 3 cm/s và tăng kể từ lúc t = 0.
Hướng dẫn giải:
π

Ta có: v = x ' = −40π sin 10πt − ÷
3

π
π



⇔ 20π 3 = −40π sin 10πt − ÷ ⇔ 20π 3 = 40πcos 10πt + ÷
3
6


π
3

 π
⇒ cos 10πt + ÷ =
= cos  ± ÷
6 2

 6
π
π
1
Vì v tăng nên: 10πt + = − + k2π ⇒ t = − + 0,2k với k ∈ Z
6
6
30
1
Vì t > 0 nên thời điểm gần nhất là t = ( s ) .
6
Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hòa.
♦ Phương pháp:
- Chọn trục tọa độ Ox.
- Gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng.
- Chiều dương …

5


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

- Gốc thời gian …
• Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
• Phương trình vận tốc của vật: x = −ωAsin ( ωt + ϕ )
1. Xác định tần số góc ω:
2π
ω = 2πf =
T
t
T=
với N là số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong thời gian t.
N
k
- Nếu con lắc lò xo: ω =
với k (N/m); m (kg).
m
g
- Nếu con lắc đơn: ω =
l
k
g
- Khi độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng ∆ℓ: k.∆l = mg ⇒ ω =
=
m

∆l
v
- Hệ thức độc lập: ω =
A2 − x2
2. Xác định biên độ dao động:
l
+ A = với ℓ là chiều dài quỹ đạo.
2
+ Nếu đề bài cho chiều dài lớn ℓmax và chiều dài nhỏ nhất của lò xo ℓmin thì:
l − l min
A = max
2
v2
+ Nếu đề cho li độ x ứng với vận tốc v thì: A = x 2 + 2 (nếu buông nhẹ v = 0).
ω
2
2
v
a
+ Nếu đề cho vận tốc v và gia tốc a thì: A 2 = 2 + 4
ω ω
v
+ Nếu đề cho tốc độ cực đại thì: A = max
ω
a
+ Nếu đề cho gia tốc cực đại thì: A = max2
ω
F
+ Nếu đề cho lực hồi phục cực đại thì: Fmax = kA ⇒ A= max
k

1
2W
+ Nếu đề cho năng lượng dao động thì: W = kA 2 ⇒ A =
2
k
3. Xác định pha ban đầu φ (dựa vào điều kiện ban đầu):
 x = Acosϕ
⇒ϕ
Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán t = 0 
 v = −Asin ϕ
• Chú ý:
6


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

• Khi thả nhẹ hay buông nhẹ vật thì v = 0, khi đó A = x.
• Khi vật đi theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0.
• Pha dao động là ( ωt + ϕ ) .
π

• sin α = cos  − α ÷
2

• cos ( π + α ) = −cosα
Ví dụ 12: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5 cm với chu kì T = 0,5 s. Viết
phương trình dao động của con lắc trong các trường hợp sau:
a. Lúc t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b. Lúc t = 0, vật ở vị trí biên.
c. Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc là: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
a. Lúc t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
2π 2π
ω=
=
= 4π ( rad/s )
T 0,5
Chọn t = 0 lúc x = 0 và v > 0, khi đó:
0 = Acosϕ
cosϕ = 0
π
⇔
⇒ϕ=−

2
−ωAsin ϕ > 0 sin ϕ < 0
π

Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là: x = 5cos  4πt − ÷ (cm)
2

b. Lúc t = 0, vật qua vị trí có li độ 5 cm theo chiều dương.
• Trường hợp 1: Vật ở vị trí biên dương.
Chọn t = 0 lúc x = A và v = 0, khi đó:
5 = 5cosϕ
cosϕ = 1

⇔
⇒ϕ=0

−ωAsin ϕ = 0 sin ϕ = 0
Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là: x = 5cos ( 4πt ) (cm)
• Trường hợp 2: Vật ở vị trí biên âm.
Chọn t = 0 lúc x = −A và v = 0, khi đó:
−5 = 5cosϕ
cosϕ = −1
⇔
⇒ϕ=π

−ωAsin ϕ = 0 sin ϕ = 0
Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là: x = 5cos ( 4πt + π ) (cm)
c. Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương.
Chọn t = 0 lúc x = 2,5 cm và v > 0, khi đó:
1

2,5 = 5cosϕ
π
cosϕ =
⇔
2⇒ϕ=−

3
−ωAsin ϕ > 0 sin ϕ < 0

7

GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

π

Vậy phương trình dao động điều hòa của vật là: x = 5cos  4πt − ÷ (cm)
3

Ví dụ 13: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T = 1 s. Lúc t = 2,5 s vật qua
vị trí có li độ x = −5 2 cm và vận tốc v = −10π 2 cm/s. Viết phương trình dao động
điều hòa của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hòa có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
2π
= 2π ( rad/s )
Ta có: ω =
T
Tìm A = ?
A2 = x 2 +

2

(

v
= −5 2
ω2

)

2

( −10π 2 )
+
( 2π )

2

2

= 50 + 50 = 100 ⇒ A = 10 ( cm )

Chọn t = 2,5 s lúc x = −5 2 cm và v = −10π 2 cm/s, khi đó:
−5 2 = 10cosϕ
(1)

−10π 2 = −20π sin ϕ (2)
Lấy (2) chia (1), ta được:
π
−2π tan ϕ = 2π ⇒ tan ϕ = −1 ⇒ ϕ = −
4
π

Vậy phương trình dao động điều hòa: x = 10cos  2πt − ÷ (cm)
4

Ví dụ 14: Vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz. Tại t = 0, vật có li độ x = 4 cm và
vận tốc v = +12,56 cm/s. Viết phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
Tìm ω = ?
Ta có: ω = 2πf = 2π.0,5 = π ( rad/s )
Chọn t = 0 lúc x = 4 cm và v = +12,56 cm/s, khi đó:
4 = Acosϕ
Acosϕ = 4
π
⇔
⇒ϕ=−

4
−ωAsin ϕ = 12,56 Asin ϕ = −4
4
4
A=
=
= 4 2 ( cm )
 π
Từ (1), ta suy ra:
2
cos  − ÷
 4
2
π

Vậy phương trình dao động điều hòa: x = 4 2cos  πt − ÷ (cm)
4


8


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Ví dụ 15: Một vật dao động điều hòa thực hiện 10 dao động trong 5 s, khi vật qua vị trí
cân bằng nó có vận tốc 20π cm/s. Chọn chiều dương là chiều lệch của vật, gốc thời gian
lúc vật qua vị trí có li độ x = 2,5 3 cm và đang chuyển động về vị trí cân bằng. Viết
phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc của vật: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
Chu kì dao động của vật:
t 5
T = = = 0,5 ( s )
n 10
Tần số góc của vật:
2π 2π
ω=
=
= 4π ( rad/s )
T 0,5
Khi vật qua vị trí cân bằng thì vận tốc của vật cực đại nên:
v
20π
v max = ωA ⇒ A = max =
= 5 ( cm )
ω

4π
Vì chiều dương là chiều lệch của vật nên lúc t = 0 vật qua vị trí x = 2,5 3 cm thì v < 0.
Khi đó:

2,5 3 = 5cosϕ cosϕ = 3
π
⇔

2 ⇒ϕ=
6
−ωAsin ϕ < 0
sin ϕ > 0

π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 5cos  4πt + ÷ (cm)
6

Ví dụ 16: Con lắc lò xo gồm quả cầu có khối lượng 300 g, lò xo có độ cứng 30 N/m treo
vào một điểm cố định. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, gốc
thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Kéo quả cầu xuống khỏi vị trí cân bằng 4 cm rồi
truyền cho nó một vận tốc ban đầu 40 cm/s hướng xuống. Viết phương trình dao động
của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc của vật: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
Ta có: ω =

k
30

=
= 10 ( rad/s )
m
0,3

Tìm A = ?
v2
v2
402
2
2
Từ hệ thức độc lập: A = x + 2 ⇒ A = x + 2 = 4 + 2 = 4 2 ( cm )
ω
ω
10
Chọn t = 0 lúc x = 4 cm và v = 40 cm/s, khi đó:
2

2

9


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12


cosϕ =
4 = 4 2cosϕ

⇔


40 = −40 2 sin ϕ 
sin ϕ =

Chuyên đề Dao động cơ

2
2 ⇒ϕ= π
4
2
2

π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 4 2cos 10t + ÷ (cm)
4

Dạng 3: Xác định li độ, vận tốc, gia tốc và lực hồi phục ở một thời điểm hay ứng với
pha đã cho.
♦ Phương pháp:
Muốn xác định x, v, a và Fhp ở một thời điểm hay ứng với pha đã cho ta chỉ cần thay t
hay pha đã cho vào các biểu thức của x, v, a.
x = Acos ( ωt + ϕ )
- Biểu thức của li độ:
- Biểu thức của vận tốc: v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ )
2
- Biểu thức của gia tốc: a = v' = −ω Acos ( ωt + ϕ )
- Nếu đã xác định được x ta sẽ xác định được a và Fhp như sau:
2
a = −ω2 x và Fhp = −kx = − mω x

• Chú ý:
+ Nếu v > 0; a > 0; Fhp > 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ cùng chiều với chiều
dương của trục tọa độ.
+ Nếu v < 0; a < 0; F hp < 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ ngược chiều với chiều
dương của trục tọa độ.
Ví dụ 17: Một một có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa theo phương trình
π

x = 5cos  2πt + ÷ (cm). Lấy π2 = 10 . Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục
6

trong các trường hợp sau:
a. Ở thời điểm t = 5 s.
b. Pha dao động là 1200.
Hướng dẫn giải:
a. Ở thời điểm t = 5 s.
π
π
3

= 2,5 3 ( cm )
- Li độ: x = 5cos  2π.5 + ÷ = 5cos = 5.
6
6
2

π
π

- Vận tốc: v = −10π sin  2π.5 + ÷ = −10π sin = −5π ( cm/s )

6
6

2
2
2
- Gia tốc: a = −ω x = −4π .2,5 3 = −100 3 ( cm/s )
2
−2
- Lực hồi phục: Fhp = −mω x = −0,1.40.2,5 3.10 = −0,1 3 ( N )
b. Khi pha dao động 1200.
π π
1200 =  + ÷ = ( ωt + ϕ )
2 6

10


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

π
π π
- Li độ: x = 5cos  + ÷ = −5sin = −2,5 ( cm )
6
2 6
π
π π
- Vận tốc: v = −2π.5sin  + ÷ = −10πcos = −5π 3 ( cm/s )

6
2 6
2
2
- Gia tốc: a = −ω x = −40.( −2,5 ) = 100 ( cm/s )

2
−1
−2
- Lực hồi phục: Fhp = −mω x = −10 .4.10.( −2,5.10 ) = 0,1( N )

Ví dụ 18: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos ( 4πt ) (cm). Tính tần số
dao động, li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 s.
Hướng dẫn giải:
ω 4π
=
= 2 ( Hz )
- Tần số dao động của vật: ω = 2πf ⇒ f =
2π 2π
- Li độ dao động của vật sau khi vật dao động được 5 s:
x = 4cos ( 4π.5 ) = 4cos20π = 4 ( cm )
- Vận tốc dao động của vật sau khi vật dao động được 5 s:
v = x ' = −ωAsin ( ωt + ϕ ) = −4π.4.sin ( 4π.5 ) = −16π.sin 20π = 0 ( cm/s )
Dạng 4: Xác định thời gian ngắn nhất vật đi qua li độ x1 đến x2:
♦ Phương pháp:
Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều và chuyển động tròn đều để tính.
- Khi vật dao động điều hòa từ x1 đến x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn
đều từ M đến N.
• Chú ý: x1 là hình chiếu của M lên trục Ox.
x2 là hình chiếu của N lên trục Ox.

- Thời gian ngắn nhất vật đi từ x 1 đến x2 bằng thời gian vật chuyển động tròn đều từ M
đến N là:
·
·
MON
MON
hoặc
∆t = t MN =
.T
∆t = t MN =
.T
3600
2π
ϕ
T
Tổng quát: ∆t =
2π
A
T
- Khi vật đi từ x = 0 đến x = ± thì t =
2
12
T
A
- Khi vật đi từ x = ± đến x = A thì t =
6
2
T
A 2
A 2

- Khi vật đi từ x = 0 đến x = ±
hoặc x = ±
đến x = ± A thì t =
8
2
2
T
A 2
- Vật 2 lần liên tiếp qua x = ±
thì t =
4
2
∆s
- Vận tốc trung bình của vật dao động lúc này: v tb =
(∆s tính như dạng 3)
∆t
11


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Ví dụ 19: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos ( ωt + ϕ ) . Tính
A
a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến x = .
2
A
A 3
b. Thời gian vật đi từ vị trí x = −

đến x =
theo chiều dương.
2
2
c. Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a.
Hướng dẫn giải:
A
a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng x = 0 đến x =
2
ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến N.
Khi đó, quỹ đạo của vật quét được một góc là:
2π
ϕT
·
ϕ = MON
= ωt =
t⇒t=
T
2π
A
1
π
π
mà: cosNOx
·
·
= 2 = = cos ⇒ NOx
=
A 2
3

3
π π π
⇒ϕ= − =
2 3 6
π
.T
Vậy: t = ϕT = 6 = T
2π 2π 12
A
A 3
b. Thời gian vật đi từ vị trí x = −
đến x = .
2
2
A
A 3
Khi vật đi từ vị trí x = −
đến x =
tương ứng với vật
2
2
chuyển động tròn đều từ M đến N.
π π π
·
MON
= + =
3 6 2
π
Vậy: t = ϕ T = 2 T = T
2π

2π
4
A
c. Vận tốc trung bình khi vật đi từ x = 0 đến x =
2
A
s
6A
v tb = = 2 =
t T
T
12
A/2

O

x

A

N

M

O

A/2

M

N

12

x


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua vị trí li độ x0 có vận tốc v0.
♦ Phương pháp:
Phương trình li độ của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Phương trình vận tốc của vật: v = −ωAsin ( ωt + ϕ )
1. Khi vật qua vị trí có li độ x0 thì:
x
x 0 = Acos ( ωt + ϕ ) ⇒ cos ( ωt + ϕ ) = 0 = cosα
A
±α − ϕ 2π
⇒ ωt + ϕ = ±α + k2π ⇒ t =
+
k (t > 0)
ω
ω
• Với k ∈ N khi ±α − ϕ > 0
• Với k ∈ N* khi ±α − ϕ < 0
Khi có điều kiện của vật thì ta loại bớt một nghiệm t.
2. Khi vật có vận tốc v0 thì:
v

v0 = −ωAsin ( ωt + ϕ ) ⇒ sin ( ωt + ϕ ) = − 0 = sin α
ωA
 α − ϕ 2π
t = ω + ω k
 ωt + ϕ = α + k2π
⇒
⇒
ω
t
+
ϕ
=
π
−
α
+
k2
π
(
)
 t = π − α − ϕ + 2π k

ω
ω

α − ϕ > 0
• Với k ∈ N khi 
π − α − ϕ > 0
α − ϕ < 0
• Với k ∈ N* khi 

π − α − ϕ < 0
Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 8cos2πt (cm). Kể từ t = 0
vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất tại thời điểm ?
Hướng dẫn giải:
π
1 1
Ta có: 0 = 8cos2πt ⇔ cos2πt = 0 ⇒ 2πt = + kπ ⇒ t = + k với k ∈ N
2
4 2
Vì t > 0 nên k = 0, 1, 2, 3, ...
1
Vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất ứng với k = 0 ⇒ t = ( s )
4
π

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos  4πt + ÷ ( x tính
6

bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba theo chiều
dương vào thời điểm nào ?
Hướng dẫn giải:
Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương nên v > 0, ta có 2 điều kiện:

13


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

π
π 1

 

2 = 4cos  4πt + ÷
cos  4πt + ÷ =


6
6 2
x = 2 
π
π

 
⇔
⇔
⇒ 4πt + = − + k2π

6
3
v > 0
−24π sin  4πt + π  > 0 sin  4πt + π  < 0

÷

÷

 

6
6

1 1
⇒ t = − + k với k = 1, 2, 3, 4, ...
8 2
1 1
1 3 11
Vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba ứng với k = 3 ⇒ t = − + .3 = − + = ( s )
8 2
8 2 8
Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều với dao động điều hòa.
4 3
Lúc t = 0 vật ở vị trí có li độ là x = A =
( cm ) ứng với
2
vật ở vị trí M.
Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương tức là qua điểm P
Vật qua điểm P lần thứ ba ứng với góc quét là:
·
ϕ = 2.2π + 2π − MOP
N

M

-A

O

A

x

A/2

(

)

P

π π π
·
= + =
với MOP
6 3 2
π
3π 11π

=
Vậy, ϕ = 4π +  2π − ÷ = 4π +
2
2
2

Thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ ba là:
11π
ϕ
11
t = = 2 = ( s)

ω 4π 8
π

Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos  4πt + ÷ ( x tính
6

bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 vào thời điểm
là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
π
π 1
π
π


π
Ta có: 2 = 4cos  4πt + ÷ ⇔ cos  4πt + ÷ = = cos  ÷⇒ 4πt + = ± + k2π
6
6 2
6
3


3
π π
1 1


4
π

t
+
=
+
k2
π
t
=

 24 + 2 k
6 3
⇒
⇒
 4πt + π = − π + k2π  t = − 1 + 1 k
6
3
8 2


Vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 ứng với k = 1004 ở nghiệm trên.
1 1
1
12049
+ .1004 =
+ 502 =
Vậy t =
( s)
24 2
24
24

14


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều với dao động điều hòa.
A 3 4 3
Lúc t = 0 vật ở vị trí có li độ x =
=
( cm )
2
2
Mỗi chu kì (1 vòng) vật qua vị trí x = 2 cm là 2 lần
Qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2009 thì vật phải quay 1004 vòng
rồi tiếp tục đi từ M đến N, tức góc quét là:
π
π 12049π
ϕ = 1004.2π + = 2008π + =
6
6
6
12049π
12049
Suy ra: t = ϕ =
6
=
( s)
ω

4π
24
π

Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos  2πt + ÷ (cm). Tìm
2

thời điểm vật qua vị trí có li độ x = 5 cm lần thứ hai theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
π
π 1


 π
Ta có: 5 = 10cos  2πt + ÷ ⇔ cos  2πt + ÷ = = cos  ÷
2
2 2


3
1

t
=
−
+k

π
π
12

⇒ 2πt + = ± + k2π ⇒ 
với k ∈ Z và t > 0 ⇒ k = 1, 2, 3, ...
2
3
t = − 5 + k

12
Vì qua vị trí x = 5 cm theo chiều dương nên v > 0
π

Khi đó, −20π sin  2πt + ÷ > 0 . Để thỏa mãn điều kiện v > 0, ta chọn:
2

5
t=− +k
12
Vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ hai nên k = 2
5
19
Vậy: t = − + 2 = ( s )
12
12
Ví dụ 24: Vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos ( πt ) (cm) sẽ qua vị trí cân
bằng lần thứ ba (kể từ lúc t = 0) vào thời điểm nào ?
Hướng dẫn giải:
π
Ta có: 0 = 5cos ( πt ) ⇒ cos ( πt ) = 0 ⇒ πt = + kπ
2
1
⇒ t = + k với k ∈ Z

2
Vì t > 0 nên k = 0, 1, 2, 3, ...
Vật qua vị trí cân bằng lần thứ ba ứng với k = 2
N

M

-A

O

A

A/2

P

15

x


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Vậy t =

Chuyên đề Dao động cơ

1
+ 2 = 2,5 ( s )

2

2π
t (x tính
3
bằng cm và t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ
2011 tại thời điểm ?
Hướng dẫn giải:
2π
2π
1
 2π 
Ta có: −2 = 4cos t ⇔ cos t = − = cos  ÷
3
3
2
 3 
 t = 1 + 3k
2π
2π
⇒
t=±
+ k2π ⇒ 
với k ∈ Z
3
3
 t = −1 + 3k
Với k = 0 thì vật qua vị trí x = −2 cm lần thứ nhất tại thời điểm t = 1 s
Với k = 1 thì vật qua vị trí x = −2 cm lần thứ hai và ba tại thời điểm 2 s và 4 s
Vậy vật qua vị trí x = −2 cm lần thứ 2011 ứng với k = 1005

Suy ra, t = 1 + 3.1005 = 3016 s.
π

Ví dụ 26: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10cos 10πt + ÷ (cm). Xác
2

định thời điểm vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008.
Hướng dẫn giải:
π
π 1


 π
Ta có: 5 = 10cos 10πt + ÷ ⇔ cos 10πt + ÷ = = cos  ± ÷
2
2 2


 3
π π
1 1


10
π
t
+
=
+
k2

π
t
=
−
+ k


π
π
2 3
60 5
⇒ 10πt + = ± + k2π ⇒ 
⇔
với k ∈ Z
2
3
10πt + π = − π + k2π
t = − 5 + 1 k
2
3
60 5


Vì t > 0 nên khi vật qua vị trí x = 5 cm lần thứ 2008 ứng với k = 1004
1 1
1 1004 12047
=
≈ 201( s )
Vậy t = − + k = − +
60 5

60
5
60
Dạng 6: Tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian đã cho.
♦ Phương pháp:
- Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
- Phương trình vận tốc của vật: x = −ωAsin ( ωt + ϕ )
• Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2:
2π
t −t
m
N= 2 1 =n+
với T =
ω
T
T
• Xét trong 1 chu kì:
+ Vật đi được quãng đường là: 4A
+ Vật đi qua 1 vị trí (li độ) bất kì là 2 lần.
- Nếu m = 0 thì:
Ví dụ 25: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos

16


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

+ Quãng đường mà vật đi được trong số chu kì đó là: ST = 4nA

+ Số lần vật qua vị trí bất kì x0 là: MT = 2n
- Nếu m ≠ 0 thì:
+ Khi t = t1 ta tính x1 = Acos ( ωt1 + ϕ ) và v1 dương hay âm (không tính v1).
+ Khi t = t2 ta tính x 2 = Acos ( ωt 2 + ϕ ) và v2 dương hay âm (không tính v2).
m
Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẽ
chu kì rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số lần
T
Mlẽ vật đi qua vị trí x0 tương ứng.
- Khi đó: + Quãng đường mà vật đi được là: S = ST + Slẽ
+ Số lần vật qua x0 là: M = MT + Mlẽ
π

Ví dụ 27: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos  2πt + ÷ (x tính bằng
3

cm và t tính bằng s). Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75 s.
Hướng dẫn giải:
2π 2π
=
= 1( s )
Chu kì dao động của vật: T =
ω 2π
Khoảng thời gian 3,75 s ứng với ( 3T + 0,75 ) ( s )
- Quãng đường mà vật đi được trong 3 chu kì là: S3T = 4nA = 4.3.4 = 48 (cm)
- Quãng đường mà vật đi được trong thời gian 0,75 s.
S0,75s = MO + ON + NO + OP = MO + 4 + 4 + OP
π MO
π
1

⇒ MO = Acos = 4. = 2 ( cm )
Với: cos =
3
A
3
2
π OP
π
3
cos =
⇒ OP = Acos = 4.
= 2 3 ( cm )
6 A
6
2
⇒ S0,75s = 2 + 4 + 4 + 2 3 = 10 + 2 3 ( cm )
Vậy tổng quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75 s là:
S = S3T + S0,75s = 48 + 10 + 2 3 ≈ 61,5 ( cm )
♦ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó
có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
- Khi chất điểm qua VTCB thì tốc độ của nó đạt giá trị cực đại ⇒ v max = ωA = 20 ( cm/s )
2
- Đề bài cho: khi v = 10 ( cm/s ) thì a = 40 3 ( cm/s )
P

O

N

v2 a 2
a2
a2
2 2
2
2
2
Từ công thức: A = 2 + 4 ⇔ A ω = v + 2 ⇔ v max = v + 2
ω ω
ω
ω
2

17

M

x


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

a

(

40 3

Chuyên đề Dao động cơ

)

2

3.402
⇒ω=
=
=
= 4 ( rad/s )
v 2max − v 2
202 − 102
3.102
v
20
= 5 ( cm )
mà: v max = ωA ⇒ A = max =
ω
4
Bài 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì bằng 2 s.
Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình trong khoảng thời ngắn nhất khi chất
1
điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
lần
3
thế năng là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
- Cơ năng của vật dao động điều hòa: W = Wđ + Wt
- Vị trí vật có động năng bằng 3 lần thế năng:

1 2
1 2
A2
A
2
W = 3Wt + Wt ⇔ kA = 4. kx ⇒ x =
⇒x=±
2
2
4
2
1
- Vị trí vật có động năng bằng lần thế năng:
3
1
4
1
4 1
3A 2
A 3
W = Wt + Wt ⇔ W = Wt ⇔ kA 2 = . kx 2 ⇒ x 2 =
⇒x=±
3
3
2
3 2
4
2
Thời ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có
1

A
A 3
động năng bằng lần thế năng ứng với vật đi từ x =
đến x = . Khi đó:
3
2
2
N
π
·
- Góc quét: ϕ = MON =
M
6
π
x
O
ϕ
1
6
A/2
⇒t=
T = .2 = ( s )
2π
2π
6
A 3 A A
- Quãng đường: s =
− =
3 − 1 = 5 3 − 1 ( cm )
2

2 2
Vậy tốc độ trung bình trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có
1
động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng lần thế năng là:
3
s 5 3 −1
v tb = =
= 30 3 − 1 ≈ 21,96 ( cm/s )
1
t
6
Bài 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất
A
khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = − , chất điểm có tốc độ trung bình là
2
bao nhiêu ?
2

(

(

)

(

) (

)

18

)


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ
M

Hướng dẫn giải:
- Quãng đường vật đi từ vị trí có li độ x = A đến vị
A
trí có li độ x = − là:
2
A 3A
s=A+ =
2
2
- Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x = A đến vị
A
trí có li độ x = − là:
2
π π
2π
+
ϕ
T
t=
T= 2 6T= 3 T=

2π
2π
2π
3
3A
s
2 = 9A
Vậy, v tb = = T
t
2T
3
Bài 4: Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s. Lấy π = 3,14.
Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kì dao động là:
s = 4A
- Thời gian vật đi được trong 1 chu kì là T
2π
A = 31,4 = 10π ( cm/s )
Ta có: v max = ωA =
T
10πT
⇒A=
= 5T
2π
Vậy tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì dao động là:
s 4A 4.5T
v tb = =
=
= 20 ( cm/s )

t T
T
π

Bài 5: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos  5πt + ÷ (x tính
6

bằng cm và t tính bằng s). Trong một giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0 chất điểm qua vị
trí có li độ x = +1 cm bao nhiêu lần ?
Hướng dẫn giải:
2π 2π 2
=
= = 0,4 ( s )
Chu kì dao động của vật là: T =
ω 5π 5
Trong thời gian t = 1( s ) = 2,5T = 2T + 0,5T
x

-A/2

Lúc t = 0, vật ở vị trí có li độ là x =

3 3
A 3
( cm ) =
2
2
19

O

A


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Trong 2 chu kì đầu vật qua vị trí có li độ x = +1 cm là 4 lần, trong 0,5 chu kì tiếp theo
chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 cm là 1 lần.
Vậy trong thời gian 1 s đầu tiên kể từ lúc t = 0 chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 cm là
5 lần.
CHỦ ĐỀ: CON LẮC LÒ XO
♦ TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1. Định nghĩa: Con lắc lò xo là hệ thống gồm một lò xo có độ cứng k, có khối lượng
không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắn với vật nặng có khối lượng m được đặt
theo phương ngang hoặc phương thẳng đứng.
k
- Phương trình dao động của con lắc lò xo: x = Acos ( ωt + ϕ ) với ω =
m
m
- Chu kì dao động của con lắc lò xo: T = 2π
k
- Lực gây ra dao động điều hòa của con lắc lò xo luôn hướng về vị trí cân bằng và được
gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và chính là lực
gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
- Lực kéo về: F = −kx = − mω2 x
2. Năng lượng của con lắc lò xo:
• Động năng:
1 − cos ( 2ωt + 2ϕ ) 

1
1
1
Wđ = mv 2 = mω2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ ) = mω2 A 2 

2
2
2
2


• Thế năng:
1 + cos ( 2ωt + 2ϕ ) 
1
1
1
Wt = kx 2 = mω2A 2cos 2 ( ωt + ϕ ) = mω2A 2 

2
2
2
2


Nhận xét: Động năng và thế năng của con lắc lò xo (hay vật dao động điều hòa) biến
T
thiên điều hòa cùng tần số góc là ω ' = 2ω , tần số f ' = 2f , chu kì T ' = .
2
• Cơ năng:
1

1
W = Wđ + Wt = mω2 A 2 = kA 2 = hằng số.
2
2
Nhận xét:
- Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động.
- Cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.
3. Đối với lò xo treo:
• Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB:
mg
∆l =
k
• Chiều dài của lò xo tại VTCB:
l CB = l 0 + ∆l (với ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo)
• Chiều dài lớn nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí thấp nhất):
20


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

l max = l 0 + ∆l + A = l CB + A
• Chiều dài nhỏ nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí cao nhất):
l min = l 0 + ∆l + A = l CB − A
l + l min
⇒ l CB = max
2
• Khi A > ∆l (với Ox hướng xuống) xét trong 1 chu kì dao động:
- Thời gian lò xo nén, tương ứng với vật đi từ M1 đến M2.

- Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật đi từ M2 đến M1.
♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các đại lượng thường gặp trong dao động của con lắc lò xo:
Ví dụ 1: Con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m = 200 g và lò xo có độ cứng là k = 50
N/m. Tính chu kì dao động của con lắc lò xo. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc lò xo:
m
0,2
T = 2π
= 2π
= 2π 4.π2 .10 −4 = 2π.2.π.10 −2 = 0,4 ( s )
k
50
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo dao động với chu kì là 0,5 s, khối lượng của quả nặng là m =
400 g. Lấy π2 = 10 . Tính độ cứng của lò xo ?
Hướng dẫn giải:
m
4π2 m 4.10.0,4
2
2 m
⇔ T = 4π
⇒k=
=
= 64 ( N/m )
Ta có: T = 2π
k
k
T2
0,25

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 200 g. Trong
20 s con lắc thực hiện được 50 dao động toàn phần. Tính độ cứng của lò xo. Lấy π2 = 10
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc lò xo:
t 20
T= =
= 0,4 ( s )
n 50
Mặt khác:
m
m
4π2 m 4.10.0,2
T = 2π
⇔ T 2 = 4π 2 ⇒ k =
=
= 50 ( N/m )
k
k
T2
0,4 2
Ví dụ 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, kích thích cho con lắc dao động theo
phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm,
chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng,
2
2
gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy g = 10 ( m/s ) = π .
Thời gian ngắn nhất kể từ lúc t = 0 đến lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là bao
nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
m ∆l

Tại vị trí cân bằng: mg = k∆l ⇔ =
k
g
21


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

m
∆l
T 2 .g 0,4 2.10
⇒ T = 2π
= 2π
⇒ ∆l =
=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
k
g
4π2
4.10
A
⇒ x = A − ∆l = 8 − 4 = 4 ( cm ) =
2
Thời gian ngắn nhất lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương đến lực đàn hồi của lò xo có
độ lớn cực tiểu là:
T T T 7T 7.0,4 2,8 28
7
t= + + =

=
=
=
= ( s)
4 4 12 12
12
12 120 30
Dạng 2: Viết phương trình dao động của con lắc lò xo.
♦ Phương pháp:
- Sử dụng một số phương pháp giải giống như dao động điều hòa của vật ở phần trên.
k
g
- Tìm ω: ω =
=
m
∆l
• Một số kết luận chung để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm dạng viết phương trình
dao động điều hòa:
- Nếu kéo vật ra khỏi VTCB một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính
là biên độ dao động.
- Nếu chọn gốc thời gian là lúc thả vật thì:
+ Nếu kéo vật ra theo chiều dương thì ϕ = 0 .
+ Nếu kéo vật ra theo chiều âm thì ϕ = π .
- Nếu từ VTCB truyền cho vật một vận tốc nào đó dao động điều hòa thì vận tốc đó
v
chính là vận tốc cực đại, khi đó A = max .
ω
π
- Chọn gốc thời gian là lúc truyền cho vật vận tốc thì ϕ = − nếu chiều truyền vận
2

π
tốc cùng chiều với chiều dương, ϕ = nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều dương.
2
Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo có
khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía
dưới cách vị trí cân bằng 5 cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục Ox
thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển
động, gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
k
40
=
= 400 = 20 ( rad/s )
m
0,1
Chọn t = 0 lúc x = −A = −5 ( cm ) , khi đó:
− x −5
cosϕ =
=
= −1 ⇒ ϕ = π
A
5
Ta có: ω =

22


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 5cos ( 20t + π ) (cm)
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lò xo có khối lượng
không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng 4 cm và thả
nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo vật, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết
phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
k
40
=
= 100 = 10 ( rad/s )
m
0,4
Chọn t = 0 lúc x = A = 4 (cm), khi đó:
4 = 4cosϕ ⇒ cosϕ = 1 ⇒ ϕ = 0
Vậy phương trình dao động của vật là: x = 4cos10t (cm)
Ví dụ 7: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g dao động trên trục Ox với
chu kì 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Viết phương trình dao động của con lắc.
Chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
2π 2π
=
= 10π ( rad/s )
Ta có: ω =
T 0,2
L 40
= 20 ( cm )

Biên độ dao động: A = =
2 2
Chọn t = 0 lúc x = 0 và v < 0, khi đó:
0 = Acosϕ
cosϕ = 0
π
⇔
⇒ϕ=


2
−ωAsin ϕ < 0 sin ϕ > 0
π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 20cos 10πt + ÷ (cm)
2

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào
lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục tọa độ thẳng
đứng, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên xuống. Kéo vật nặng xuống
phía dưới cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s theo chiều
từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hòa với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật
bắt đầu dao động. Cho g = 10 m/s2 = π2. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Ta có: ω = 2πf = 2π.2 = 4π ( rad/s )
Từ công thức liên hệ:
Ta có: ω =

A2 = x 2 +

2

2

v
v
⇒ A = x2 + 2 =
2
ω
ω

( 5 2)

2

( 20π 2 )
+
( 4π )

23

2

2

= 50 + 50 = 10 ( cm )


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

2
Chọn t = 0 lúc x = 5 2 ( cm ) và v = 20π 2 ( cm/s ) , khi đó:


2
cosϕ =
5 2 = 10cosϕ
2 ⇒ϕ=−π
⇔

4
−4π.10.sin ϕ = 20π 2
sin ϕ = − 2

2
π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 10cos  4πt − ÷ (cm)
4

Ví dụ 9: Một lò xo có độ cứng 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu
còn lại gắn vào vật có khối lượng 500 g. Kéo vật ra khỏi vị cân bằng một đoạn
x = 3 ( cm ) và truyền cho vật một vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết phương
trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
k

50
=
= 100 = 10 ( rad/s )
m
0,5
Từ hệ thức độc lập:
2
v2
v2
102
2
2
2
A =x + 2 ⇒A= x + 2 =
3 + 2 = 3 + 1 = 2 ( cm )
ω
ω
10
Chọn t = 0 lúc x = 3 ( cm ) và v = 10 cm/s, khi đó:
Ta có: ω =

( )


3
cos
ϕ
=

 3 = 2cosϕ


2 ⇒ϕ=−π
⇔

6
1
−10.2.sin ϕ = 10 
sin ϕ = −

2

π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 2cos 10t − ÷ (cm)
6

5π 

hoặc: x = 2cos 10t + ÷ (cm)
6 

Dạng 3: Bài toán liên quan đến động năng, thế năng của con lắc lò xo.
♦ Phương pháp:
Để tìm các đại lượng liên quan đến năng lượng của con lắc, ta viết biểu thức liên quan
đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm, từ đó suy ra đại lượng cần tìm.
♦ Các công thức:
1
1
• Thế năng: Wt = kx 2 = kA 2cos 2 ( ωt + ϕ )
2

2
1
1
1
• Động năng: Wđ = mv 2 = mω2 A 2 sin ( ωt + ϕ ) = kA 2 sin 2 ( ωt + ϕ )
2
2
2
24


GV: Chiêm Thành Phát-Vật lí 12

Chuyên đề Dao động cơ

Nhận xét: Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên tuần hoàn cùng tần số
T
góc là ω ' = 2ω hoặc cùng tần số là f ' = 2f hoặc cùng chu kì T ' = .
2
• Trong một chu kì dao động có 4 lần động năng và thế năng bằng nhau (hay nói cách
khác là có 2 vị trí trên quỹ đạo) nên khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng và
T
thế năng bằng nhau là .
4
1
1
1
1
• Cơ năng: W = Wđ + Wt = mv 2 + kx 2 = mω2A 2 = kA 2 = hằng số
2

2
2
2
Ví dụ 10: Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có tốc độ cực đại là 1 m/s và cơ
năng là 1 J. Tính độ cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con
lắc.
Hướng dẫn giải:
Lưu ý: khi áp dụng các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng thì các đại lượng
đều đổi về hệ SI.
1 2
2W
2.1
2
=
= 800 ( N/m )
2
Từ công thức tính cơ năng: W = 2 kA ⇒ k = A 2 =
−4
−2
25.10
5.10
(
)
Từ công thức: v max

k
kA 2 800.( 5.10
= ωA =
A⇒m= 2 =
m

v max
12

−2

)

2

= 2 ( kg )

1 k
1 800
=
= 3,18 ( Hz )
2π m 2π 2
Ví dụ 11: Một con lắc lò xo có độ cứng 150 N/m và có năng lượng dao động là 0,12 J.
Khi con lắc có li độ 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s. Tính biên độ và chu kì dao động
của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Năng lượng dao động của con lắc chính là cơ năng:
1
2W
2.0,12
W = kA 2 ⇒ A =
=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
2
k
150

Từ hệ thức độc lập:
v2
v2
1002
100 50
2
2
A = x + 2 ⇒ω=
= 2
=
=
( rad/s ) ≈ 28,87 ( rad/s )
2
2
2
ω
A −x
4 −2
2 3
3
Chu kì dao động:
2π 2π π 3
T=
=
=
( s ) ≈ 0,22 ( s )
ω 50
25
3
Ví dụ 12: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g, dao động điều hòa trên

trục Ox với chu kì 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Tính độ cứng của lò xo và cơ
năng của con lắc. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
f=

25