bài giảng phương pháp tính

MỞ ĐẦU
1. Khái niệm về phương pháp tính: Phương pháp tính là môn học về
những lí luận cơ bản và các phương pháp giải gần đúng, cho ra kết quả
bằng số của các bài toán thường gặp trong toán học cũng như trong kĩ
thuật.
Chúng ta thấy rằng hầu hết các bài toán trong toán học như giải các
phương trình đại số hay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi
tuyến, các phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng,tính các tích
phân,... thường khó giải đúng được, nghĩa là khó tìm kết quả dưới dạng
các biểu thức.
Một số bài toán có thể giải đúng được nhưng biểu thức kết quả lại
cồng kềnh, phức tạp khối lượng tính toán rất lớn. Vì những lí do trên, việc
giải gần đúng các bài toán là vô cùng cần thiết.
Các bài toán trong kĩ thuật thường dựa trên số liệu thực nghiệm và
các giả thiết gần đúng. Do vậy việc tìm ra kết quả gần đúng với sai số cho
phép là hoàn toàn có ý nghĩa thực tế.
Từ lâu người ta đã nghiên cứu phương pháp tính và đạt nhiều kết
quả đáng kể. Tuy nhiên để lời giải đạt được độ chính xác cao, khối lượng
tính toán thường rất lớn. Với các phương tiện tính toán thô sơ, nhiều
phương pháp tính đã được đề xuất không thể thực hiện được vì khối lượng
tính toán quá lớn. Khó khăn trên đã làm phương pháp tính không phát
triển được.
Ngày nay nhờ máy tính điện tử người ta đã giải rất nhanh các bài
toán khổng lồ, phức tạp, đã kiểm nghiệm được các phương pháp tính cũ và
đề ra các phương pháp tính mới. Phương pháp tính nhờ đó phát triển rất
mạnh mẽ. Nó là cầu nối giữa toán học và thực tiễn. Nó là môn học không
thể thiếu đối với các kĩ sư.
Ngoài nhiệm vụ chính của phương pháp tính là tìm các phương
pháp giải gần đúng các bài toán,nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu
tính chất nghiệm, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v. Trong phần
này chúng ta sẽ nghiên cứu một loạt bài toán thường gặp trong thực tế và

đưa ra chương trình giải chúng.
2. Các đặc điểm của phương pháp tính: Đặc điểm về phương pháp của
môn học này là hữu hạn hoá và rời rạc hoá.
Phương pháp tính thường biến cái vô hạn thành cái hữu hạn, cái liên
tục thành cái rời rạc và sau cùng lại trở về với cái vô hạn, cái liên tục.
Nhưng cần chú ý rằng quá trình trở lại cái vô hạn, cái liên tục phải trả giá
đắt vì khối lượng tính toán tăng lên rất nhiều. Cho nên trong thực tế người
ta dừng lại khi nghiệm gần đúng sát với nghiệm đúng ở một mức độ nào
đó.
2


Đặc điểm thứ hai của môn học là sự tiến đến kết quả bằng quá trình
liên tiếp. Đó là quá trình chia ngày càng nhỏ hơn, càng dày đặc hơn hoặc
quá trình tính toán bước sau dựa vào các kết quả của các bước trước. Công
việc tính toán lặp đi lặp lại này rất thích hợp với máy điện toán.
Khi nghiên cứu phương pháp tính người ta thường triệt để lợi dụng
các kết quả đạt được trong toán học. Cùng một bài toán có thể có nhiều
phương pháp tính khác nhau. Một phương pháp tính được coi là tốt nếu
nó đạt các yêu cầu sau:
- phương pháp tính được biểu diễn bằng một dãy hữu hạn các bước
tính cụ thể. Các bước tính toán cụ thể này của phương pháp tính được gọi
là thuật toán. Thuật toán càng đơn giản càng tốt.
- đánh giá được sai số và sai số càng nhỏ càng tốt.
- thuật toán thực hiện được trên máy điện toán và thời gian chạy máy
ít nhất

3

CHỈÅNG 1

SAI SÄÚ
1.1 SAI SÄÚ TUÛT ÂÄÚI V SAI SÄÚ TỈÅNG ÂÄÚI
1.1.1 Sai säú tuût âäúi
Trong tênh toạn gáưn âụng chụng ta lm viãûc våïi cạc giạ trë gáưn âụng ca cạc
âải lỉåüng . Vç váûy váún âãư trỉåïc tiãn l nghiãn cỉïu sai säú ca cạc âải lỉåüng gáưn
âụng.
Xẹt âải lỉåüng âụng A cọ giạ trë gáưn âụng l a. Lục âọ ta nọi “ a xáúp xè A” v
viãút l “ a  A “. Trë tuût âäúi | a - A| gi l sai säú tuût âäúi ca a (a được coi l giạ
trë gáưn âụng ca A). Nọi chung chụng ta khäng thãø biãút âỉåüc säú âụng A, nãn khäng
tênh âỉåüc sai säú tuût âäúi ca a. Do váûy ta phi tçm cạch ỉåïc lỉåüng sai säú âọ bàòng
säú dỉång a no âọ låïn hån hồûc bàòng |a - A| :
|a - A|  a
(1-1)
Säú dỉång a ny gi l sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a. R rng nãúu a â l
sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a thç mi säú ’ > a âãưu cọ thãø xem l sai säú tuût âäúi
giåïi hản ca a. Vç váûy ty âiãưu kiãûn củ thãø ngỉåìi ta chn a l säú dỉång bẹ nháút
cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1).
Nãúu säú xáúp xè a ca A cọ sai säú tuût âäúi giåïi hản l a thç ta qui ỉåïc viãút :
A = a  a
(1-2)
Våïi nghéa ca (1-1) tỉïc l :
a - a  A  a + a
(1-3)
1.1.2 Sai säú tỉång âäúi
T säú :
a 

a

a

(1-4)

gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a
Ta suy ra :
a = |a| a
(1-5)
Cạc cäng thỉïc (1-4) v (1-5) cho ta liãn hãû giỉỵa sai säú tỉång âäúi v sai säú tuût âäúi.
Biãút a thç (1-4) cho phẹp tênh a , biãút a thç (1-5) cho phẹp tênh a .
Do (1-5) nãn (1-2) cng cọ thãø viãút :
A = a(1  a)
(1-6)
Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta xem a l sai säú tuût âäúi v lục âọ a cng l sai säú
tỉång âäúi.
1.1.3 Chụ thêch
Sai säú tuût âäúi khäng nọi nãn âáưy â cháút lỉåüng ca mäüt säú xáúp xè, cháút
lỉåüng áúy âỉåüc phn nh qua sai säú tỉång âäúi. Láúy thê dủ : âo hai chiãưu di A v B
âỉåüc a = 10m våïi a = 0,05m v b = 2m våïi b= 0,05m. R rng phẹp âo A cháút
lỉåüng hån phẹp âo B. Âiãưu âọ khäng phn nh qua sai säú tuût âäúi vç chụng bàòng
nhau, m phn nh qua sai säú tỉång âäúi :
a 

0,05
0,05
 0,005   b 
 0,025
10
2

4


1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ
1.2.1. Chỉỵ säú cọ nghéa
Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø cạc
chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc 0 âáưu tiãn tênh tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa. Chàóng
hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa.
1.2.2. Chỉỵ säú âạng tin
Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng :
a     s 10 s
(1.7)
trong âọ s l nhỉỵng säú ngun tỉì 0 âãún 9, chàóng hản säú 76,809 âỉåüc viãút
76,809 = 7.101 + 6.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 9.10-3
tỉïc l cọ dảng (1.7) våïi :
1= 7, 2 = 6, -1 = 8, -2 =0, -3 = 9
Gi sỉí a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản a, ta chụ chỉỵ
säú s . Nãúu a  0,5.10s thç nọi s l chỉỵ säú âạng tin, nãúu a  0,5.10s thç nọi s l
chỉỵ säú âạng nghi.
Thê dủ : Cho a = 56,78932 våïi a = 0,0042 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7,8 l âạng tin
cn cạc chỉỵ säú 9,3,2 l âạng nghi. Cn nãúu a = 0,0075 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7 l âạng
tin cn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi.
R rng nãúu s l âạng tin thç cạc chỉỵ säú bãn trại nọ cng l âạng tin v nãúu
s l âạng nghi thç cạc chỉỵ säú bãn phi nọ cng l âạng nghi.
1.2.3. Cạch viãút säú gần đúng
Cho säú a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l a. Cọ hai
cạch viãút säú xáúp xè a; cạch thỉï nháút l viãút km theo sai säú nhỉ åí cäng thỉïc (1-2)
hồûc (1-6). Cạch thỉï hai l viãút theo qui ỉåïc : mi chỉỵ säú cọ nghéa l âạng tin. Mäüt
säú viãút theo cạch thỉï hai cọ nghéa l nọ cọ sai säú tuût âäúi giåïi hản khäng låïn hån
mäüt nỉía âån vë åí hng cúi cng. Cạc bng säú cho sàơn nhỉ bng logarit,v.v..

thỉåìng viãút cạc säú xáúp xè theo quy ỉåïc ny.
1.3. SAI SÄÚ QUI TRN
1.3.1 Hiãûn tỉåüng qui trn v sai säú qui trn
Trong tênh toạn khi gàûp mäüt säú cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi ngỉåìi ta b âi
mäüt vi chỉỵ säú åí cúi cho gn, viãûc lm âọ âỉåüc coi l qui trn säú. Mäùi khi qui
trn mäüt säú thç tảo ra mäüt sai säú måïi gi l sai säú qui trn nọ bàòng hiãûu giỉỵa säú â
qui trn våïi säú chỉa qui trn. Trë tuût âäúi ca ca hiãûu âọ gi l sai säú qui trn
tuût âäúi. Qui tàõc qui trn phi chn sao cho sai säú qui trn tuût âäúi cng bẹ cng
täút, ta chn qui tàõc sau âáy : Qui trn sao cho sai säú qui trn tuût âäúi khäng låïn
hån mäüt nỉía âån vë åí hng âỉåüc giỉỵ lải cúi cng, tỉïc l 5 âån vë åí hng b âi âáưu
tiãn, củ thãø l nãúu chỉỵ säú åí hng b âi âáưu tiãn  5 thç thãm vo chỉỵ säú giỉỵ lải cúi
cng mäüt âån vë, cn nãúu chỉỵ säú b âi âáưu tiãn < 5 thç âãø ngun chỉỵ säú giỉỵ lải
cúi cng.
5


Thê dủ : säú 56,78932 qui trn âãún säú chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba ( tỉïc l giỉỵ
lải cạc chỉỵ säú tỉì âáưu âãún chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba) s thnh säú 56,789; cng säú âọ
qui trn âãún säú l tháûp phán thỉï hai s l 56,79 v nãúu qui trn âãún ba chỉỵ säú cọ
nghéa thç s l 56,8.
1.3.2 Sai säú ca säú â quy trn
Gi sỉí a l säú xáúp xè ca säú âụng A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l a. Ta s quy
trn a thnh a’ våïi sai säú quy trn tuût âäúi l a’, tỉïc l :
| a’ - a |  a
(1 - 8)
Hy tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản a’ ca a’. Ta cọ:
a’ - A = a’ - a + a - A
Do váûy :
| a’ - a |  | a’ - a | + | a - A |  a’ + a
Tỉì âọ cọ thãø láúy:

a’ = a + a’
(1 - 9)
R rng a’ > a tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản.
1.3.3 nh hỉåíng ca sai säú quy trn
Xẹt mäüt thê dủ sau âáy:
p dủng cäng thỉïc nhë thỉïc Niuton ta cọ cäng thỉïc âụng :
( 2  1) 10  3363  2378 2
(1 - 10)
Våïi
2  1,41421356...
Báy giåì ta tênh hai vãú ca (1-10) bàòng cạch thay 2 båíi cạc säú quy trn
(xem bng 1-1). Sỉû khạc biãût giỉỵa cạc giạ trë tênh ra ca hai vãú chỉïng to sai säú quy
trn cọ thãø cọ nhỉỵng tạc dủng ráút âạng ngải trong quạ trçnh tênh toạn.
Bng 1-1
Vãú trại
Vãú phi
2
1,4
0,0001048576
33,8
1,41
0,00013422659
10,02
1,414
0,000147912
0,508
1,41421
0,00014866399
0,00862
1,414213563

0,00014867678
0,0001472
1.4 CẠC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ
1.4.1 Måí âáưu
Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y :
u = f(x,y)
(1-11)
 biãút sai säú ca x v y, hy tênh sai säú ca u.
ÅÍ âáy lỉu x , y ,u l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai säú
tuût âäúi ca x, y, u. Theo âënh nghéa (1-1) ta ln cọ:
|x|  x ; |y|  y
(1-12)
Ta phi tçm u âãø cọ |u|  u
6


1.4.2 Sai säú ca täøng u = x + y
Ta cọ u = x + y suy ra |u| = |x| + |y| do âọ theo (1-12) ta cọ:
|u|  x + y
Ta chn
x+y = x + y
(1-13)
Âãø cọ |u|  u . Váûy cọ quy tàõc sau:
Sai säú tuût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàòng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản ca
cạc säú hảng.
Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x v y cng dáúu. Khi âọ
u 

u  x   y


|u| | x  y|

Cho nãn nãúu |x - y| ráút bẹ thç sai säú tỉång âäúi giåïi hản ráút låïn. Do váûy trong quạ
trçnh tênh toạn ta phi tçm cạch trạnh phi trỉì cạc säú gáưn bàòng nhau.
1.4.3 Sai säú ca têch u = xy
Ta cọ u  du = ydx + xdy  yx +xy
|u|  |y||x| + |x||y| |y|x + |x|y
Ta suy ra :
|u| = |y|x + |x|y
Do âọ :  u 

u | y |  x |  | x |  y  x  y



|u|
| xy |
| x| | y|

Tỉïc l cọ  xy   x   y

(1-14)

Váûy ta cọ quy tàõc :
Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi
hản ca cạc thỉìa säú ca têch. Âàûc biãût cọ: y = xn
 y  n x våïi n ngun dỉång.
(1-15)
1.4.4 Sai säú ca mäüt thỉång u = x/y, y  0;
Tỉång tỉû nhỉ trỉåìng håüp têch ta cọ quy tàõc:

Sai säú tỉång âäúi ca mäüt thỉång bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi ca cạc säú hảng:
x/y = x + y
(1-16)
1.4.5 Cäng thỉïc täøng quạt
Cho u = f(x1,x2,x3,..,xn)
Ta cọ

n

u  |
i 1

f
|  xi
xi

(1-17)

V tỉì âọ ta suy ra u theo âënh nghéa (1.4).
Thê dủ : Tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca thãø
têch hçnh cáưu:
1
V  d 3
6

nãúu cho âỉåìng kênh d = 3,7  0,05 cm v  = 3,14.
Gii : Xem  v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ :
V =  + 3d
 = 0,0016/3,14 = 0,0005
7

d = 0,05/3,7 = 0,0135
Suy ra V = 0,0005 + 3x 0,0135 = 0,04
1
6

Màût khạc: V  d 3 =26,5 cm3
Váûy cọ

V = 26,5x0,04 = 1,06  1,1 cm3
V = 26,5  1,1 cm3
1.5 - SAI SÄÚ TÊNH TOẠN V SAI SÄÚ PHỈÅNG PHẠP
1.5.1. Måí âáưu
Khi gii gáưn âụng mäüt bi toạn phỉïc tảp ta phi thay bi toạn â cho bàòng mäüt bi
toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàòng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc nhåì
mạy tênh âiãûn tỉí. Phỉång phạp thay thãú bi toạn nhỉ váûy âỉåüc gi l phỉång phạp
gáưn âụng. Sai säú do thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp. Khi gii cạc
bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn cạc phẹp tênh, trong quạ trçnh tênh toạn áúy ta
ln phi quy trn cạc kãút qu trung gian. Sai säú tảo ra båïi viãûc quy trn gi l sai
säú tênh toạn. Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca hai loải sai säú
phỉång phạp v sai säú tênh toạn.
1.5.2. Thê dủ
a/ Hy tênh täøng:
A

1
1
1
1

1
1
 3  3  3  3  3.
3
1
2
3
4
5
6

Gii : A l täøng ca 6 phán säú. Ta cọ thãø tênh trỉûc tiãúp A m khäng cáưn phi thay
nọ bàòng mäüt täøng âån gin hån. Vç váûy bi toạn khäng cọ sai säú phỉång phạp. Âãø
tênh A ta hy thỉûc hiãûn cạc phẹp chia âãún ba chỉỵ säú l tháûp phán v âạnh giạ cạc
sai säú quy trn tỉång ỉïng:
1 1
  1,000
13 1
1 1
  0,125
23 8
1
1

 0,037
3
27
3
1
1


 0,016
3
64
4
1
1

 0,008
3
125
5
1
1

 0,125
3
216
6

våïi 1 = 0
2  0
 3  1.10  4
 4  4.10  4
5  0
 6  4.10  4

Váûy A  a = 1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899
|A - a | =
|(

1
1
1
1
1
1
 1)  ( 3  0,125)  ( 3  0,037)  ( 3  0,016)  ( 3  0,008)  ( 3  0,005) |
3
1
2
3
4
5
6

Hay |A - a| 
|(

1
1
1
1
1
1
 1)  ( 3  0,125)  ( 3  0,037)  ( 3  0,016)  ( 3  0,008)  ( 3  0,005) | 
3
1
2
3

4
5
6

8


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 9.10-4

Do âọ a = 0,899 l giạ trë gáưn âụng ca A våïi sai säú tênh toạn l 9.10-4; ta viãút :
A = 0,899  9.10-4
(1-18)
b/ Hy tênh täøng dy säú sau:
B

1
1
1
1
 3  3  ...  (1) n 1 3  ...
3
1
2
3
n

Våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 5.10-3.
Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ. Do âọ viãûc tênh B l håüp l.
Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khäng thãø tênh hãút âỉåüc. Vç váûy
âãø tênh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè tênh B bàòng täøng

ca n säú hảng âáưu:
Bn 

1
1
1
1
 3  3  ...  (1) n 1 3
3
1
2
3
n

Bi toạn tênh Bn âån gin hån bi toạn tênh B. Lục âọ |B-Bn| l sai säú phỉång phạp,
váún âãư l phi chn n sao cho täøng sai säú phỉång phạp cäüng våïi sai säú tênh toạn
phi nh hån 5.10-3.
Theo l thuút vãư chùi âan dáúu, ta cọ:
| B  B n ||

1
1
1

 ... |
3
3
(n  1)
( n  2)
(n  1) 3

Nãúu ta chn n = 6 thç tháúy :
| B  B n |

1
1

 3.10 3
3
343
7

Chụ ràòng B6 = A ta â tênh åí thê dủ trãn (xem (1-18)).
B6 = A = 0,899  9.10-4
Váûy ta cọ:
B - 0,899 = B - B6 + A - 0,899
|B - 0,899|  |B - B6| + |A - 0,899|
|B - 0,899|  3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-4
Váûy ta â tênh âỉåüc B  0,899 våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 4.10-3:
B = 0,899  4.10-3
Chụ :Trong sai säú täøng håüp cúi cng cọ pháưn ca sai säú phỉång phạp v
cọ pháưn ca sai säú tênh toạn, nãn ta phi phán bäú håüp l sao cho sai säú cúi cng
nh hån sai säú cho phẹp.
1.6 . SỈÛ ÄØN ÂËNH CA MÄÜT QUẠ TRÇNH TÊNH
Xẹt mäüt quạ trçnh tênh vä hản âãø tênh mäüt âải lỉåüng no âọ. Ta nọi quạ trçnh tênh l
äøn âënh nãúu sai säú tênh toạn tỉïc l cạc sai säú quy trn têch ly lải khäng tàng vä
hản; Nãúu sai säú âọ tàng vä hản thç ta nọi quạ trçnh tênh l khäng äøn âënh.
Nhỉ váûy nãúu quạ trçnh tênh l khäng äøn âënh thç khäng cọ hy vng tênh âỉåüc âải
lỉåüng cáưn tênh våïi sai säú nh hån sai säú cho phẹp. Âãø kiãøm tra tênh äøn âënh ca mäüt
quạ trçnh tênh thỉåìng ngỉåìi ta gi sỉí sai säú chè xy ra tải mäüt bỉåïc, sau âọ cạc phẹp

tênh âãưu lm âụng khäng cọ sai säú, nãúu cúi cng sai säú tênh toạn khäng tàng vä
9


haỷn thỗ xem nhổ quaù trỗnh tờnh laỡ ọứn õởnh. Trong thổỷc tóỳ, mỷc duỡ quaù trỗnh tờnh laỡ
vọ haỷn maỡ ta cuợng chố laỡm mọỹt sọỳ hổợu haỷn bổồùc, nhổng vỏựn phaới õoỡi hoới quaù trỗnh
tờnh ọứn õởnh mồùi hy voỹng vồùi mọỹt sọỳ hổợu haỷn bổồùc coù thóứ õaỷt õổồỹc mổùc õọỹ chờnh
xaùc mong muọỳn.
BAèI TP
1) Khi õo mọỹt goùc ta õổồỹc caùc giaù trở sau :
a = 21o373;
b = 1o10
Haợy tờnh sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa caùc sọỳ xỏỳp xố õoù bióỳt rũng sai sọỳ tuyóỷt õọỳi trong
caùc pheùp õo laỡ 1o.
2) Cho a = 10,00 0,05, b = 0,0356 0.0002, c = 15300 100,
d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa S1 = a + b + c + d; S2 = a+ 5c - d.
S3 = c3.
3) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa noù :
* a = 1,8921
a = 0,001
* a = 22,351
a = 0,1
4) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa noù :
* a = 0,3941
a = 0,0025
* a = 38,2543
a = 0,0027
5) Haợy quy troỡn caùc sọỳ õuùng dổồùi õỏy vồùi ba chổợ sọỳ coù nghộa õaùng tin rọửi xaùc õởnh
sai sọỳ tuyóỷt õọỳi vaỡ sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa chuùng
* 2,1514

* 0,16152
* 0,01204
* -0,0015281

10


CHỈÅNG 2

TÊNH GÁƯN ÂỤNG NGHIÃÛM THỈÛC CA MÄÜT PHỈÅNG TRÇNH
2.1. NGHIÃÛM V KHONG PHÁN LY NGHIÃÛM
2.1.1 Nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh mäüt áøn
Xẹt phỉång trçnh mäüt áøn
f(x) = 0
(2-1)
trong âọ f l hm säú cho trỉåïc ca âäúi säú x.
Nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2-1) l säú thỉûc  tha mn (2-1) tỉïc l khi thay
x båíi  åí vãú trại ta âỉåüc:
f() = 0
(2-2)
2.1.2 nghéa hçnh hc ca nghiãûm
y
Ta v âäư thë ca hm säú y = f(x) (2-3)

trong mäüt hãû ta âäü vng gọc Oxy
(hçnh 2.1). Gi sỉí âäư thë càõt trủc honh
tải mäüt âiãøm M thç âiãøm M ny cọ tung
âäü y = 0 v honh âäü x = . Thay chụng
M
x

vo (2-3) ta âỉåüc

0 = f()
(2-4)
Váûy honh âäü  ca gia âiãøm M chênh l
Hçnh 2.1
mäüt nghiãûm ca (2-1).
Trỉåïc khi v âäư thë ta cng cọ thãø thay thãú phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh
tỉång âỉång g(x) = h(x) (2-5) räưi
v âäư thë ca hai hm säú (hçnh 2-2)
y
f
y = g(x)
M
y = h(x)
(2-6)
Gi sỉí hai âäư thë áúy càõt nhau tải M
Cọ honh âäü x =  thç ta cọ:
g
g() = h()
(2-7)
x
Váûy honh âäü  ca giao âiãøm M

ca hai âäư thë (2-6) chênh l mäüt nghiãûm
ca (2-5) tỉïc l ca (2-1).
Hçnh 2-2
2.1.3. Sỉû täưn tải nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1)
Trỉåïc khi tçm cạch tênh gáưn âụng nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1) ta phi
xẹt xem phỉång trçnh cọ nghiãûm hay khäng. Cọ nhiãưu cạch âãø biãút nghiãûm cọ täưn

tải hay khäng, chàóng hản nhỉ v âäư thë, kho sạt hm.. Ta cng cọ thãø sỉí dủng âënh
l sau âáy:
Âënh l 1: Nãúu cọ hai säú thỉûc a v b (a:
f(a).f(b) < 0 (2-8); âäưng thåìi f(x) liãn tủc trãn [a,b] thç åí trong khong
[a,b] cọ êt nháút mäüt nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2-1).
Âiãưu ny cọ thãø minh ha trãn âäư thë (hçnh 2-3).
Âäư thë ca y = f(x) tải a  x  b l mäüt âỉåìng liãưn näúi hai âiãønm A v B, A åí phêa
dỉåïi B åí phêa trãn trủc honh nãn phi càõt trủc honh êt nháút mäüt âiãøm åí trong
11


khoaớng tổỡ a õóỳn b. Vỏỷy phổồng trỗnh (2-1) coù ờt nhỏỳt mọỹt nghióỷm ồớ trong khoaớng
[a,b].
y

y

x

a
A

B

B
a

b

x
b

A

Hỗnh 2-3

Hỗnh 2-4

2-1-4. Khoaớng phỏn ly nghióỷm (Khoaớng taùch nghióỷm)
ởnh nghộa: Khoaớng [a,b] naỡo õoù goỹi laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa phổồng
trỗnh (2-1) nóỳu noù chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa phổồng trỗnh õoù.
óứ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm ta coù thóứ duỡng caùc õởnh lyù sau.
ởnh lyù 2: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm sọỳ f(x) lión tuỷc vaỡ õồn
õióỷu, õọửng thồỡi f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu, tổùc laỡ coù (2-8) thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly
nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1). ióửu naỡy coù thóứ minh hoaỷ trón õọử thở (H. 2-4).
ọử thở cuớa haỡm sọỳ y = f(x) cừt truỷc hoaỡnh taỷi mọỹt vaỡ chố mọỹt õióứm ồớ trong [a,b].
Vỏỷy [a,b] chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Nóỳu f(x) coù õaỷo haỡm thỗ õióửu kióỷn õồn õióỷu coù thóứ thay bũng õióửu kióỷn khọng
õọứi dỏỳu cuớa õaỷo haỡm vỗ õaỷo haỡm khọng õọứi dỏỳu thỗ haỡm sọỳ õồn õióỷu.
ởnh lyù 3: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm f(x) lión tuỷc, õaỷo haỡm f(x)
khọng õọứi dỏỳu vaỡ f(a), f(b) traùi dỏỳu thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh (2-1).
Muọỳn tỗm caùc khoaớng phỏn ly nghióỷm ngổồỡi ta thổồỡng khaớo saùt sổỷ bióỳn thión
cuớa haỡm sọỳ rọửi aùp duỷng õởnh lyù 3.
2-1-5. Thờ duỷ
Cho phổồng trỗnh:
f(x) = x3 - x - 1 = 0
(2-9)
Haợy chổùng toớ phổồng trỗnh trón coù nghióỷm thổỷc vaỡ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm.

Giaới: Trổồùc hóỳt ta xeùt sổỷ bióỳn thión cuớa haỡm sọỳ f(x), noù xaùc õởnh vaỡ lión tuỷc
taỷi moỹi x, õọửng thồỡi: f(x) = 3x2 - 1 = 0 taỷi x = 1/3ẵ
Ta suy ra baớng bióỳn thión :
x
f(x)
f(x)

-

-1/3ẵ
0
M

+

-

+
+
+

-
Trong õoù M f (

+1/3ẵ
0
m

1
3

)

1
3 3



1
3

1 0

12


Váûy âäư thë càõt trủc honh tải mäüt âiãøm duy nháút (Hçnh 2-5) do âọ phỉång
trçnh (2-9) cọ mäüt nghiãm thỉûc duy nháút, k hiãûu nọ l . Ta tênh thãm:
f(1) = 13 -1 -1 < 0 v f(2) = 23 -2 - 1 > 0
Váûy khong [1,2] chỉïa nghiãûm thỉûc duy nháút ca phỉång trçnh (2-9).
Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-9) cọ mäüt nghiãûm thỉûc duy nháút  nàòm trong khong
phán ly nghiãûm [1,2].
y
-1/3½

x

+1/3½


2-2 PHỈÅNG PHẠP CHIA ÂÄI
2-2-1. Näüi dung phỉång phạp
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc  phán ly åí trong khong
[a,b].Ta tçm cạch thu nh dáưn khong phán ly nghiãûm bàòng cạch chia âäi liãn tiãúp
cạc khong phán ly nghiãûm â tçm ra. Trỉåïc hãút ta chia âäi [a,b] âiãøm chia l c =
(a+b)/2. R rng khong phán ly nghiãûm måïi s l [a,c] hay [c,b]. Ta tênh f(c), nãúu
f(c) = 0 thç c chênh l nghiãûm âụng . Nãúu f(c)  0, lục âọ ta so sạnh dáúu ca f(c)
våïi dáúu ca f(a) âãø chn khong phán ly nghiãûm måïi:
Nãúu f(c) trại dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [a,c].
Nãúu f(c) cng dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [c,b].
Lục ny ta cọ khong phán ly nghiãûm måïi chè nh bàòng nỉía khong phán ly
nghiãûm ban âáưu, v k hiãûu l [a1,b1]. Ta lải tiãúp tủc nhỉ váûy cho khong phán ly
nghiãûm måïi [a1,b1] cho âãún láưn thỉï n ta âỉåüc khong phán ly [an,bn] nọ nàòm trong
[a,b] v chè di bàòng 1/2n ca [a,b]. Theo âënh nghéa ta cọ:
an    bn ; bn - an =

(b  a )
.
2n

Váûy cọ thãø láúy an lm giạ trë gáưn âụng ca , lục âọ sai säú l:
|   a n | bn  a n 

ba
2n

(2-10)

ba
2n

(2-11)

cng cọ thãø láúy bn lm nghiãûm gáưn âụng ca , lục âọ sai säú l :
|   bn | bn  a n 

Do âọ våïi n â låïn an hay bn âãưu â gáưn våïi . Khi n thç an, bn nãn ta
nọi phỉång phạp chia âäi häüi tủ.
Chụ : Trong quạ trçnh chia âäi liãn tiãúp, cọ thãø gàûp âiãøm chia m tải âọ f(c)=0.
Khi âọ ta cọ âiãøm chia chênh l nghiãûm âụng ca f(x)=0 .
13


2.2.2 Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh (2-9), ta â chỉïng t nọ cọ khong phán ly nghiãûm [1, 2]
v cọ f(1) < 0, f(2) > 0. Ta chia âäi khong [1,2] âiãøm chia l 3/2.
2

3
 3  3
f        1  0 trại dáúu våïi f(1) váûy   [1,3/2].
2
2 2

Ta chia âäi khong [1, 3/2], âiãøm chia l 5/4 ta cọ f(5/4) < 0 cng dáúu våïi f(1), váûy
  [5/4, 3/2].
Ta chia âäi khong [5/4, 3/2], âiãøm chia l 11/8. Ta cọ f(11/8) > 0 trại dáúu våïi
f(5/4), váûy   [5/4, 11/8].
Ta chia âäi khong [5/4, 11/8], âiãøm chia l 21/16. Ta cọ f(21/16) < 0 cng dáúu
våïi f(5/4), váûy   [21/16, 11/8].

Ta chia âäi khong [21/16, 11/8], âiãøm chia l 43/32. Ta cọ f(43/32) > 0 trại dáúu
våïi f(21/16), váûy   [21/16, 43/32].
Ta dỉìng quạ trçnh chia âäi tải âáy v láúy 21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375 lm
giạ trë gáưn âụng ca  thç sai säú khäng vỉåüt quạ 1/25 = 1/32 = 0,03125. Nhỉ váûy ta
â chia âäi 5 láưn khong [1, 2] l 2-1=1. Nãúu u cáưu sai säú bẹ hån thç ta phi tiãúp
tủc chia âäi.
2.2.3. Thuật tốn của phỉång phạp chia âäi
1) Cho phỉång trçnh f(x) = 0.
2) ÁÚn âënh sai säú cho phẹp .
3) Xạc âënh khong phán ly nghiãûm [a, b].
4) Láûp chỉång trçnh tênh theo så âäư khäúi sau âáy:
Nháûp f(x), a,b, 
Tênh c = (a+b)/2; Tênh f(c)
Â

S

f(c).f(a) < 0

Thay b = c

Thay a = c
Tênh e= b - a
e<

S

Â
Kãút qu:
 = a våïi | - a| < 

 = b våïi | - b| < 

14


Cách làm trên được mô tả trong chương trình sau dùng để tìm
nghiệm của phương trình:
x4 + 2x3 - x - 1 = 0; trên đoạn [0, 1]
Chương trình 2-1
//chia doi cung
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define epsi 0.00001
void main()
{
float x0,x1,x2;
float y0,y1,y2;
float f(float);
int maxlap,demlap;
clrscr();
printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen");
printf("\nbang cach chia doi cung\n");
printf("Cho cac gia tri x0,x1,maxlap\n");
printf("Cho gia tri x0 = ");
scanf("%f",&x0);
printf("Cho gia tri x1 = ");
scanf("%f",&x1);
printf("Cho so lan lap maxlap = ");
scanf("%d",&maxlap);

y0=f(x0);
y1=f(x1);
if ((y0*y1)>0)
{
printf("Nghiem khong nam trong doan x0 - x1\n");
printf(" x0 = %.2f\n",x0);
printf(" x1 = %.2f\n",x1);
printf(" f(x0) = %.2f\n",y0);
printf(" f(x1) = %.2f\n",y1);
}
demlap=0;
do
{

15


}

}

x2=(x0+x1)/2;
y2=f(x2);
y0=f(x0);
if (y0*y2>0)
x0=x2;
else
x1=x2;
demlap=demlap+1;
while(((abs((y2-y0))>epsi)||(demlap

if (demlap>maxlap)
{
printf("Phep lap khong hoi tu sau %d lan lap ",maxlap);
printf(" x0 = %.2f\n",x0);
printf(" x1 = %.2f\n",x1);
printf(" f(x2) = %.2f\n",y2);
}
else
{
printf("Phep lap hoi tu sau %d lan lap\n",demlap);
printf("Nghiem x = %.2f",x2);
}
getch();

float f(float x)
{
float a=x*x*x*x+2*x*x*x-x-1 ;
return(a);
}
Kt qu tớnh cho nghim: x = 0.87
2.3. PHặNG PHAẽP LP
2.3.1 Mọ taớ phổồng phaùp
Xeùt phổồng trỗnh (2-1) vồùi giaớ thióỳt noù coù nghióỷm thổỷc vaỡ phỏn ly trong khoaớng
[a, b]. Trổồùc hóỳt ta chuyóứn phổồng trỗnh (2-1) vóử daỷng tổồng õổồng:
x x
(2-12)
Sau õoù ta choỹn mọỹt sọỳ xo naỡo õoù [a, b] laỡm xỏỳp xố õỏửu rọửi tờnh dỏửn daợy sọỳ xn theo
quy từc:
16

x n    x n 1 ,

n  1,2..

(2-13)

xo cho trỉåïc  [a, b]
(2-14)
Quạ trçnh ny cọ tênh làûp âi làûp lải nãn phỉång phạp ny cọ tãn l phỉång phạp
làûp, hm  gi l hm làûp.
2.3.2. Sỉû häüi tủ ca phỉång phạp làûp
Âënh nghéa:Nãúu dy xn   khi n   thç ta nọi phỉång phạp làûp (2-13), (2-14)
häüi tủ.
Khi phỉång phạp làûp häüi tủ thç xn cng gáưn våïi  nãúu n cng låïn. Cho nãn ta cọ thãø
xem xn våïi n xạc âënh l giạ trë gáưn âụng ca . Nãúu phỉång phạp làûp khäng häüi tủ
thç xn cọ thãø ráút xa . Vç váûy chè cọ phỉång phạp làûp häüi tủ måïi cọ giạ trë. Âãø kiãøm
tra xem mäüt phỉång phạp làûp cọ häüi tủ hay khäng ta dng âënh l sau.
Âënh l 4: Xẹt phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) gi sỉí :
1) [a, b] l khong phán ly nghiãûm  ca phỉång trçnh (2-1) tỉïc l ca
phỉång trçnh (2-12);
2) Mi xn tênh theo (2-13) (2-14) âãưu  [a, b];
3) Hm (x) cọ âảo hm tha mn:
 ' x   q  1
a  x  b Trong âọ q l mäüt hàòng säú. (2-15)
Thãú thç phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) häüi tủ :
xn   khi n  
(2-16)
Chỉïng minh âënh l :
Trỉåïc hãút vç  l nghiãûm ca (2-12) nãn cọ  = () âem âàóng thỉïc ny trỉì âi (213) vãú våïi vãú ta âỉåüc

 - xn = () - (xn-1)
(2-17)
Ta s ạp dủng cäng thỉïc Lagrangiå vo vãú phi ca âàóng thỉïc trãn.
Cäng thỉïc Lagrangiå âỉåüc phạt biãøu: Cho hm säú F(x) liãn tủc trãn [a,b], cọ âảo
hm trong (a,b) thç täưn tải säú c  (a,b), tỉïc l c = a + (b-a), 0<  <1 sao cho:
F(b) - F(a) = F’(c)(b-a)
(2-18)
p dủng (2-18) ta cọ :
 - xn = ’(c) ( - xn-1)
(2-19)
våïi c = a + ( - xn-1)  (a,b).
Theo gi thiãút (2-15) ta cọ |’(c)|  q <1. Do váûy (2-19) cho
| - xn | = |’(c)| |  - xn-1|  q | - xn-1|
Nãn cọ
| - xn |  q | - xn-1|
Báút âàóng thỉïc ny âụng våïi mi n. Do váûy cọ :
| - xn |  q | - xn-1|
| - xn-1 |  q | - xn-2|
.. .. ..
| - x2 |  q | - x1|
| - x1 |  q | - x0|
Nhán cạc báút âàóng thỉïc ny vãú våïi vãú ta âỉåüc :
17


| - xn | qn | - x0|
(2-20)
Vỗ vaỡ x0 õaợ xaùc õởnh, qn 0 khi n do 0 < q < 1, nón vóỳ phaới 0 vaỡ ta coù
| - xn | 0 khi n
où chờnh laỡ õióửu phaới chổùng minh.

2.3.3 Chuù thờch
Khi haỡm õaợ thoớa maợn giaớ thióỳt 3) cuớa õởnh lyù 4 thỗ sổỷ thoớa maợn giaớ thióỳt 2) phuỷ
thuọỹc vaỡo vióỷc choỹn xo vaỡ noù thoớa maợn trong õióửu kióỷn sau: Giaớ sổớ |(x)| q < 1
Nóỳu (x) > 0 ta coù thóứ choỹn xo [a, b] mọỹt caùch bỏỳt kyỡ, coỡn nóỳu (x) < 0 thỗ phaới
choỹn xo theo quy từc:
x0 a
x0 b

( a b)
2

khi

a

khi

( a b)
b
2

(2-21)

Muọỳn bióỳt thuọỹc khoaớng naỡo ta chố vióỷc tờnh f((a+b)/2) rọửi so saùnh dỏỳu cuớa noù
vồùi dỏỳu cuớa f(a).
2.3.4. aùnh giaù sai sọỳ
Giaớ sổớ ta tờnh theo (2-13) (2-14) n lỏửn vaỡ xem xn laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa . Khi õoù
sai sọỳ | - xn| coù thóứ õaùnh giaù bồới cọng thổùc | - xn| qn| - xo|. Ta coỡn coù
| - xo| < b - a
nón:

| - xn| qn(b - a)
(2-22)
Nhổng cọng thổùc naỡy thổồỡng cho sai sọỳ quaù lồùn so vồùi thổỷc tóỳ. Ta xeùt mọỹt cọng
thổùc õaùnh giaù sai sọỳ khaùc nhổ sau.
ởnh lyù 5 : Xeùt phổồng trỗnh
F(x) = 0
(2-23)
Coù nghióỷm X [c,d] vaỡ X laỡ mọỹt sọỳ [c,d] õổồỹc xem laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa X.
Luùc õoù ta coù
XX

F(X )

(2-24)

m

Trong õoù m laỡ mọỹt sọỳ dổồng thoớa maợn
|F(x)| m > 0, c< x < d
(2-25)
Chổùng minh : Theo giaớ thióỳt ta coù F(X) = 0 nón coù F( X ) = F(X)
Aùp duỷng cọng thổùc Lagrangiồ (2-18) vaỡo vóỳ phaới õổồỹc F( X ) = F(C) ( X -X)
Trong õoù C = X + ( X -X) (c,d). Theo giaớ thióỳt (2-25) ta coù
|F( X )| = |F(C)| | X -X| m| X - X|
tổỡ õoù ta ruùt ra kóỳt luỏỷn(2-24).
Ta aùp duỷng kóỳt quaớ naỡy õóứ õaùnh giaù sai sọỳ cuớa phổồng phaùp lỷp.
Vồùi F(x) = x - (x), c = a, d = b
X = , X = xn
Ta thu õổồỹc

| x n |

| xn (xn ) |
m

(2-26)

Trong õoù m laỡ mọỹt sọỳ dổồng thoớa maợn
0< m < |(x - (x))|,
aTheo giaớ thióỳt (2-15) cuớa õởnh lyù 4 ta coù:
18


|(x - (x))’| = |1 - ’(x)|  1 - |’(x)|  1 - q > 0
Màût khạc (xn) - xn = (xn) - (xn-1)
= ’(c)(xn - xn-1)
Trong âọ
c = xn-1 + (xn - xn-1)  (a,b)
Do âọ :
|(xn) - xn| = |’(c)| |(xn - xn-1)|  q|xn - xn-1|
Váûy (2-26) tråí thnh:
  xn 

q
x n  x n 1
1 q

(2-27)

Cäng thỉïc ny cho phẹp ta âạnh giạ sai säú theo nhỉỵng âải lỉåüng vỉìa tênh âỉûåc xn-1
v xn.
2.3.5. Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh x3 - x - 1. Ta â chỉïng minh âỉåüc nọ cọ mäüt nghiãûm thỉûc  phán
ly trong khong [1,2]. Báy giåì ta dng phỉång phạp làûp âãø tênh gáưn âụng nghiãûm 
âọ. Mún thãú trỉåïc hãút ta tçm hm làûp (x) thêch håüp âãø phỉång phạp làûp häüi tủ,
tỉïc l (x) phi tha mn nhỉỵng gi thiãút ca âënh l 4.
Phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút thnh : x = x3 -1
(2-28)
3
2
V âàût (x) = x -1 nhỉng lục ny ’(x) = 3x  3 tai mi x  [1,2].
Nãúu hm làûp chn nhỉ váûy phỉång phạp làûp s khäng cọ hy vng häüi tủ. Ta viãút
phỉång trçnh dỉåïi dảng khạc nhỉ sau :
x3 = x + 1
x = (x + 1) 1/3
Ta âàût
(x) = (x + 1) 1/3
(2-29)
Lục âọ

1
’(x) = (1/3)(x + 1) -2/3 =  

1

 3  3 ( x  1) 2

nãn

0 < ’(x)  1/3 tải mi x  [1,2]
Lục ny hm làûp (x) tha mn cạc âiãưu kiãûn ca âinh l 4 v chụ thêch åí cäng
thỉïc (2-21). Ta bàõt âáưu thỉûc hiãûn phẹp làûp tải x0 báút k trong [1,2]; chàóng hản chn
x0 = 1. Gi sỉí ta tênh làûp 5 láưn våïi cạc kãút qu nhỉ sau :
x0 = 1
x1 = 1,25992105; | - x1|  0,13
x2 = 1,312293837; | - x2|  0,027
x3 = 1,322353819; | - x3|  0,005
x4 = 1,324268745; | - x4|  0,00096
x5 = 1,324632625; | - x5|  0,000182
Kãút qu ny cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi. Ta quy trn nọ âãún 4 chỉỵ säú l tháûp
phán bàòng cạch viãút:
 - 1,3246 =  - x5 + x5 - 1,3246
| - 1,3246|  | - x5| + |x5 - 1,3246|
| - 1,3246|  0,000182 + 0,00003265
Do âọ :
| - 1,3246|  0,00025
19


Vỏỷy ta coù kóỳt quaớ laỡ
= 1,3246 0,00025.
Chuù yù : Trong thổỷc tóỳ ngổồỡi ta dổỡng quaù trỗnh tờnh khi
|(xn - xn-1)| < sai sọỳ cho pheùp
2.3.6 Thuỏỷt toaùn cuớa phổồng phaùp lỷp
- Cho phổồng trỗnh f(x) = 0
- n õởnh sai sọỳ cho pheùp
- Xaùc õởnh khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b]
- Tỗm haỡm lỷp họỹi tuỷ
- Choỹn xỏỳp xố õỏửu x0

- Tờnh
xn = (xn-1) vồùi n = 1,2,3,.. cho tồùi khi | xn - xn-1| < thỗ dổỡng.
Lỏỳy kóỳt quaớ xn vồùi sai sọỳ

xn

q
trong õoù q laỡ sọỳ dổồng nhoớ hồn 1
1 q

thoớa maợn |(x)| q<1 vồùi moỹi x (a,b).
Chng trỡnh gii phng trỡnh exp((1/3)*ln(1000-x)) vi s ln lp cho trc
Chng trỡnh 2-2
//lap don
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void main()
{
int i,n;
float x,x0;
float f(float);
clrscr();
printf("Cho so lan lap n = ");
scanf("%d",&n);
printf("Cho gia tri ban dau cua nghiem x0 = ");
scanf("%f",&x0);
x=x0;
for (i=1;i<=n;i++)
x=f(x);

printf("Nghiem cua phuong trinh la :%.4f",x);
getch();
}
float f(float x)
{

20


float a=exp((1./3.)*log(1000-x));
return(a);
}
Chương trình giải phương trình exp((1/3)*ln(1000-x)) với sai số cho trước
Chương trình 2-3
//lap don
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void main()
{
int i;
float epsi,x,x0,y;
float f(float);

}

clrscr();
printf("Cho sai so epsilon = ");
scanf("%f",&epsi);
printf("Cho gia tri ban dau cua nghiem x0 = ");

scanf("%f",&x0);
x=x0;
y=f(x);
if (abs(y-x)>epsi)
{
x=y;
y=f(x);
}
printf("Nghiem cua phuong trinh la %.6f",y);
getch();

float f(float x)
{
float a=exp((1./3.)*log(1000-x));
return(a);
}
Cho giá trị đầu xo = 1.Kết quả tính toán x = 9.966555
21


2.4. PHỈÅNG PHẠP TIÃÚP TUÚN
2.4.1. Mä t phỉång phạp
Mủc tiãu ca phỉång phạp tiãúp tuún l tçm cạch thay phỉång trçnh (2-1),
phi tuún âäúi våïi x, bàòng mäüt phỉång trçnh gáưn âụng tuún tênh âäúi våïi x. Chụng ta
dng khai triãøn Taylo âãø lm âiãưu âọ.
Cäng thỉïc Taylo : Cho hm säú F(x) xạc âënh v cọ âảo hm âãún cáúp n+1 tải
x0 v lán cáûn x0. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n ca F(x) tải x0 l:
F ( x)  F ( x 0 )  ( x  x 0 ) F ' ( x 0 ) 

( x  x0 ) 2

( x  x0 ) n (n)
F " ( x 0 )  ... 
F ( x0 ) 
2!
n!

( x  x 0 ) n 1 ( n 1)

F
(c )
(n  1)!

(2-30)

c = x0 + (x - x0); 0 <  < 1
(2-31)
Cäng thỉïc ny cọ giạ trë tải cạc giạ trë x tải lán cáûn x0, c l mäüt säú trung gian nàòm
giỉỵa x0 v x.
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc  phán ly trong [a,b]. Gi
sỉí hm f cọ âảo hm f’(x)  0 tải x  [a,b] âảo hm cáúp hai f’’(x) tải x  (a,b). Ta
chn x0  [a,b] räưi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút ca f tải x0 :
1
( x  x 0 ) 2 f ' ' (c )
2
c  x 0   ( x  x 0 )  ( a, b )

f ( x)  f ( x 0 )  ( x  x 0 ) f ' ( x 0 ) 
x  [a, b],

Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-1) âỉåüc viãút thnh :

1
f (x0 )  (x  x0 ) f ' (x0 )  (x  x0 ) 2 f ' ' (c)  0
2

Ta b qua säú hảng cúi cng v âỉåüc phỉång trçnh:
f(x0) + (x - x0)f’(x0) = 0
(2-32)
Tỉïc l ta â thay phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh báûc nháút (2-32). Âọ l viãûc
thay thãú gáưn âụng. Gi x1 l nghiãûm ca (2-32) ta cọ ngay :
x1  x 0 

f ( x0 )
f ' ( x0 )

(2-33)

Tỉì x0 ta tênh mäüt cạch tỉång tỉû ra x1, vv... v mäüt cạch täøng quat, khi â biãút xn ta
tênh xn+1 theo cäng thỉïc
x n 1  x n 

f ( xn )
f ' ( xn )

(2-34)

x0 chn trỉåïc trãn [a,b]
(2-35)
v xem xn l giạ trë gáưn âụng ca nghiãûm .
Phỉång phạp tênh xn theo phỉång phạp tuún tênh họa trãn gi l phỉång phạp

Niutån hay cng chênh l phỉång phạp tiãúp tuún.
Chụ 1 : Nhçn vo (2-34) , (2-35) ta tháúy phỉång phạp tiãúp tuún cng l loải
phỉång phạp làûp våïi hm làûp
 ( x)  x 

f ( x)
f ' ( x)

(2-36)
22


Chuù yù 2 : Vóử mỷt hỗnh hoỹc thỗ f(x0) laỡ hóỷ sọỳ goùc cuớa tióỳp tuyóỳn cuớa õọử thở haỡm sọỳ y

= f(x) taỷi x0. Ta xem trón hỗnh 2-6.
y
oỹan õọử thở AB cừt truỷc hoaỡnh taỷi M
B
Coù hoaỡnh õọỹ chờnh laỡ nghióỷm õuùng .
óứ tờnh gỏửn õuùng ta thay mọỹt caùch
a M
gỏửn õuùng cung AB bồới tióỳp tuyóỳn taỷi B,
B coù hoaỡnh õọỹ x0, tióỳp tuyóỳn naỡy cừt
P b x
truỷc hoaỡnh taỷi P, P coù hoaỡnh õọỹ x1 vaỡ ta
A
xem x1 laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa .
Hỗnh 2-6
óứ tờnh x1 ta vióỳt phổồng trỗnh tióỳp tuyóỳn taỷi B
Vồùi x0 = b ta coù : Y - f(x0) = f(x0) (X - x0)

Taỷi P ta coù X = x1, Y = 0 nón coù :
-f(x0) = f(x0)(x1 - x0)
Tổỡ õoù ta suy ra (2-33). Cho nón phổồng phaùp naỡy õổồỹc goỹi laỡ phổồng phaùp tióỳp
tuyóỳn.
2.4.2. Sổỷ họỹi tuỷ vaỡ sai sọỳ
Vỏỳn õóử ồớ õỏy laỡ khi tờnh bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn thỗ phaới coù xn khi n
. ióửu naỡy õổồỹc khúng õởnh ồớ õởnh lyù sau.
ởnh lyù 6: Giaớ sổớ [a,b] laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1), f coù õaỷo
haỡm f, f vaỡ f lión tuỷc trón [a,b], f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu trong (a,b). Xỏỳp xố õỏửu x0
choỹn laỡ a hay b sao cho f(x0) cuỡng dỏỳu vồùi f. Khi õoù xn tờnh bồới (2-34) (2-35) họỹi
tuỷ vóử khi n , cuỷ thóứ hồn ta coù xn õồn õióỷu tng tồùi nóỳu ff<0, xn õồn õióỷu
giaớm tồùi nóỳu ff >0. Khi dổỡng laỷi ồớ n xaùc õởnh ta õổồỹc xn vaỡ coi xn gỏửn õuùng vồùi
.
Vóử sai sọỳ aùp duỷng õởnh lyù 5 ta coù :
| x n |

| f (xn )
m

(2-37)

Vồùi 0< m |f(x)|,
xb
(2-38)
Ta khọng chổùng minh õởnh lyù 6 nhổng coù thóứ hióứu trón caùc hỗnh 2-7 dổồùi õỏy.
b)
y
a)
y
B

A
x2 x1
a

b x
a
x2 x1 b x
A
B
y
y
A
B
d)
a x1 x2

b x

b
x
a x1 x2
c)
B
A
Hỗnh 2-7

23


2.4.3 Thê dủ

* Hy tênh càn báûc hai ca mäüt säú dỉång a. Tỉïc l cọ phỉång trçnh x2 = a hay ta cọ
thãø viãút l :
f(x) = x2 - a = 0
(2-39)
R rng nghiãûm dỉång ca phỉång trçnh (2-39) phán ly trong khong [1,a]; Trong
khong âọ f’(x) =2x > 0, f’’ = 2 >0. Váûy ta cọ thãø ạp dủng âënh l 6. Cäng thỉïc (234) viãút thnh :
x n 1 

1
a
( xn  )
2
xn

(2-40)

Våïi a = 2 ta cọ f(2) =22 -2 > 0 cng dáúu våïi f’’ nãn ta chn x0 = 2. p dủng cäng
thỉïc (2-40) cọ :
x1 = 1,5
x2 = 1,417
x3 = 1,41421
Ta biãút 2 =1,414213562 nãn ta tháúy phỉång phạp tiãúp tuún häüi tủ ráút nhanh.
 Ta lải gii phỉång trçnh (2-9), f(x) = x3 - x -1 = 0 ta â tçm âỉåüc khong phán ly
nghiãûm ca nọ l [1,2]. Trong khong âọ
f’(x) = 3x2 -1 > 0
f’’(x) = 6x > 0
Váûy cọ thãø ạp dủng âënh l 6. Âãø chn x0 ta tênh f(2) = 23 -2 - 1 = 5 >0 cng dáúu
våïi f’’ váûy chn x0 = 2. Ta cọ cäng thỉïc tênh :
x n 1

x n3  x n  1
 xn 
3x n2  1

x0  2

Ta cọ bng kãút qu tênh toạn nhỉ sau:
n
xn
0
2
1
1,545454545
2
1,359614916
3
1,325801345
4
1,324719049
5
1,324717950

Sai säú

0,0000024
2.10-10

2.4.4. Chụ
Trong thỉûc tãú ta dỉìng quạ trçnh tênh khi |xn - xn-1| < ; với  là sai säú cho phẹp
2.4.5. Thût toạn gii bàòng phỉång phạp tiãúp tuún

1. Cho phỉång trçnh f(x) = 0
2. ÁÚn âënh sai säú cho phẹp 
3. Tçm khong phán ly nghiãûm [a,b] trong âọ f’ v f’’ khäng âäøi dáúu.
4. Chn x0
24


5.

Tênh

x1  x 0 

f ( x0 )
f ' ( x0 )

Tênh e = |x1 - x0|
S

e<

Thay x0 = x1

Â
Tênh e = |x1 - x0|
Våïi sai säú   x1 

f ( x1 )
m

trong âoï 0 < m < |f’(x)|, x(a,b).
Chương trình 2- 4

//phuong phap Newton
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#define n 50
#define epsi 1e-5
void main()
{
float t,x0;
float x[n];
int i;
float f(float);
float daoham(float);
clrscr();
printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n");
printf("bang phuong phap lap Newton\n");
printf("Cho gia tri cua x0 = ");
scanf("%f",&x0);
i=1;
x[i]=x0;
do
{

25

;

}

x[i+1] = x[i]-f(x[i])/daoham(x[i]);
t = fabs(x[i+1]-x[i]);
x[i]=x[i+1];
i=i+1;
if (i>100)
{
printf("Bai toan khong hoi tu\n");
getch();
exit(1);
}
else

}
while (t>=epsi);
printf("Nghiem x = %.5f",x[i]);
getch();

float f(float x)
{
float a=x*x-x-2;
return(a);
}
float daoham(float x)
{
float d=2*x-1;
return(d);

}
Chng trỡnh ny c dựng xỏc nh nghim ca hm ó c
nh ngha trong function. Trong trng hp ny phng trỡnh ú l:
x2 - x - 1 = 0
Kt qu tớnh vi giỏ tr u xo = 0 cho nghim x = 2.
2.5. PHặNG PHAẽP DY CUNG
2.5.1. Mọ taớ phổồng phaùp
Trong phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn ta õaợ thay cung õọử thở AB cuớa haỡm y = f(x) bồới tióỳp
tuyóỳn veợ taỷi A hay B. Bỏy giồỡ ta thay cung AB bồới dỏy cung AB rọửi lỏỳy hoaỡnh õọỹ
x1 cuớa giao õióứm P cuớa dỏy cung vồùi truỷc hoaỡnh laỡm giaù trở gỏửn õuùng cuớa nghióỷm .
(H. 2-8).
26