Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH DIỆU HẰNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
CÂN BẰNG VECTƠ

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2018


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả đưa vào
luận án. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo
được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả

Đinh Diệu Hằng

iii

LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin
bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo thuộc trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghệ
thông tin và truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Khoa Khoa học cơ bản,
nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân
trong gia đình đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn
thành luận án tiến sĩ của mình.
Tác giả

Đinh Diệu Hằng


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iv

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

vii

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7

1.2. Tách các tập lồi không tương giao và dưới vi phân hàm lồi . .
1.3. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot và dưới vi

9

phân Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot . . .

11
11

1.3.2
1.3.3

Đạo hàm Dini và dưới vi phân Dini . . . . . . . . . . .
Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
15

1.4. Phần trong tựa tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ19
2.1. Điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke
. . 19
2.1.1

Nghiệm hữu hiệu yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2
2.1.3

Nghiệm hữu hiệu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25


v

2.2. Điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel – Penot .
2.2.1 Nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu toàn cục . .
2.2.2
Chương 3.

Nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
29
32

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán

cân bằng vectơ
37
3.1. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ không có ràng buộc 38
3.1.1

3.1.2

Điều kiện cần tối ưu cho bài toán (VEP) . . . . . . . .
Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (VEP) . . . . . . . .

38
41

3.2. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc . .
3.2.1 Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của (CVEP) . . . .

43
43

3.2.2 Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (CVEP) . . . . . . .
3.3. Áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài

46

toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3.1
3.3.2

Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân
vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ . . . . . . .

49

Chương 4. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với ràng
buộc cân bằng
52
4.1. Điều kiện cần tối ưu Fritz John . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1
4.1.2

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho bài toán (VEPEC)

52
54

4.1.3

Điều kiện cần Fritz John với điều kiện chính quy (VEPEC–
RC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Các điều kiện chính quy (VEPEC–CQ1) và (VEPEC–

58

CQ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu

58

của bài toán (VEPEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Điều kiện cần Kuhn – Tucker cho trường hợp Fx (.) khả
vi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.3. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.2
4.2.3


vi

4.3.1
4.3.2

Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của (VEPEC) .
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62
65

4.4. Áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài
toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.4.1
4.4.2

Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân
vectơ (VVIEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ (VOPEC) .

67

Kết luận chung

70

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

72

Tài liệu tham khảo

73

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

(V EP EC)

Bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng

(V V IEC)

Bài toán bất đẳng thức vectơ với ràng buộc cân bằng

(V OP EC)

Bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân bằng

(V EP EC − CQ1)

Điều kiện chính quy cho bài toán (VEPEC)

(V V IEC − CQ1)

Điều kiện chính quy cho bài toán (VVIEC)

(V OP EC − CQ1)

Điều kiện chính quy cho bài toán (VOPEC)

(V EP ), (V EP1 )

Bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc

(CV EP ), (CV EP1 ) Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
(V OP ), (V OP1 )

Bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc

(CV OP ), (CV OP1 ) Bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc
(V V I), (V V I1 )

Bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc

(CV V I), (CV V I1 )

Bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc

t.ư.,

tương ứng

X∗

Không gian tôpô đối ngẫu của X

ξ, x

Giá trị của phiếm hàm ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X

f 0 (¯
x; v)

Đạo hàm theo phương Clarke của f tại x¯ theo phương v

∂f (¯
x)

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯

f ♦ (¯
x; v)

Đạo hàm Michel - Penot của f tại x¯ theo phương v

∂ M P f (¯
x)

Dưới vi phân Michel - Penot của f tại x¯

∂D f (¯
x)

Dưới vi phân Dini của f tại x¯

f + (x; v)

Đạo hàm Dini trên của f tại x¯ theo phương v

f − (x; v)

Đạo hàm Dini dưới của f tại x¯ theo phương v

Df (x; v)

Đạo hàm Dini của f tại x¯ theo phương v

df (x; v)

Đạo hàm Hadamard của f tại x¯ theo phương v


viii

∇G f (¯
x)

Đạo hàm Gâteaux của f tại x¯ theo phương v

∇f (¯
x)

Đạo hàm Fréchet của f tại x¯

T (C; x)

Nón tiếp tuyến Clarke của C tại x¯

TC (x)

Nón tiếp liên của C tại x¯

N (C; x)

Nón pháp tuyến Clarke của C tại x¯ ∈ C

NC (x)

Nón pháp tuyến của C tại x¯ ∈ C: cực của nón tiếp liên

D∗

Nón đỗi ngẫu của D

D0

Nón cực của D

T

Phép chuyển vị

T∗

Toán tử liên hợp của toán tử T

intC

Phần trong của C

riC

Phần trong tương đối của C

qriC

Phần trong tựa tương đối của C

coC

Bao lồi của C

conecoA

Nón sinh ra bởi bao lồi của A

linA

Bao tuyến tính của A.


Mở đầu

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đã phát triển từ
những giai đoạn sớm nhất của toán học. Khởi đầu là những nghiên cứu về
các bài toán của phép tính biến phân cổ điển với các điều kiện tối ưu được
mô tả dưới dạng phương trình Euler. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết
các bài toán điều khiển tối ưu và qui hoạch toán học đã cho các kết quả dưới
dạng nguyên lý cực đại Pontryagin và qui tắc nhân tử Lagrange.
Năm 1965 A.YA. Dubovitsky và A.A. Milyutin đã đưa ra lý thuyết các điều
cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm. Lược đồ tổng quát của Dubovitsky
– Milyutin bao hàm được tất cả các bài toán quy hoạch toán học, điều khiển
tối ưu và biến phân cổ điển. Sau công trình của Dubovitsky – Milyutin, nhiều

lý thuyết các điều kiện cần tối ưu tổng quát khác ra đời như lý thuyết của
R.V. Gamkrelidze – G.L. Kharatishvili, L.W. Neustadt, H. Halkin, A.D. Ioffe
– V.M. Tikhomirov, B.N. Pshenichnyi, F.H. Clarke, B.D. Craven, . . .
Bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong kinh tế, kỹ thuật, giao thông
vận tải và một số ngành khoa học xã hội. Các điều kiện tối ưu không trơn đã
và đang phát triển mạnh mẽ dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke, Michel –
Penot, Mordukhovich (xem [13], [14], [20], [23], [30]–[32], [37]–[43], [46], [47],
[69], [70]). Jeyakumar – Luc đã tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân và
đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng (convexificator) đóng, không lồi cho
hàm vô hướng trong [29] và Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ trong [28]. Từ đó,
các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng và Jacobian xấp
xỉ đã phát triển mạnh (xem chẳng hạn [28], [29], [38], [39], [43], và các tài
liệu tham khảo ở đó). Một số nhà toán học Việt Nam đã có những đóng góp
đáng kể trong việc nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán bất đẳng thức
biến phân như các giáo sư Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan
Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn


2

Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyên Năng Tâm
và nhiều giáo sư khác (xem chẳng hạn [28, 29], [33], [36], [40], [43], [49], [58],
[61, 62], [67] ).
Bài toán cân bằng vectơ được Blum – Oettli [9] đưa ra năm 1994. Lớp
các bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài
toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất
động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ. Điều kiện tối ưu cho
bài toán cân bằng vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ đã được
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [1], [2], [9], [12], [15], [19], [22]–[25],
[40]–[44], [48], [54], [55], [63]–[66]).

Giannessi – Mastroeni – Pllegrini [19] đã dẫn điều kiện đủ tối ưu cho
bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều, Morgan –
Romaniello [48] thiết lập các điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa
biến phân suy rộng vectơ trong không gian Hilbert. Các điều kiện tối ưu cho
ε – nghiệm của bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian Banach được
Yang – Zeng [66] thiết lập. Các điều kiện tối ưu trong [63], [65] được thiết lập
bằng cách chứng minh sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân vectơ
và bài toán tối ưu vectơ. Gong ([23] - [25]) đã dẫn các điều kiện tối ưu cho
nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục cho
bài toán cân bằng vectơ không có ràng buộc và các điều kiện cần cho nghiệm
hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc với các hàm khả vi. Các
điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân với các ràng buộc
không trơn loại đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập qua các dưới vi
phân Clarke và Michel – Penot là vấn đề cần được nghiên cứu. Trong luận
án, chúng tôi nghiên cứu vấn đề này.
Borwein – Lewis (1992, [10]) đã đưa vào khái niệm phần trong tựa tương
đối (quasirelative interior) của một tập lồi trong không gian vô hạn chiều.
Trong không gian hữu hạn chiều phần trong tựa tương đối trùng với phần
trong tương đối. Cammaroto – Bella (2005, [11]) đã sử dụng khái niệm phần
trong tựa tương đối của Borwein – Lewis [10] thay thế cho phần trong để
chứng minh tách dưới ngôn ngữ phần trong tựa tương đối. Các điều kiện tối
ưu dưới ngôn ngữ phần trong tựa tương đối là vấn đề cần được nghiên cứu.


3

Trong luận án, bằng cách sử dụng định lý tách của Cammaroto – Bella [11],
chúng tôi chứng minh các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán
cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối trong các trường hợp không
có ràng buộc và có ràng buộc. Các điều kiện đủ tối ưu được dẫn với các giả

thiết về tính lồi suy rộng của các hàm dữ liệu. Các kết quả đó được áp dụng
để dẫn các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức vectơ và bài toán tối
ưu vectơ.
Bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng (hay còn gọi là các ràng
buộc bù) bao gồm bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu
vectơ với ràng buộc cân bằng như các trường hợp đặc biệt. Điều kiện chính
quy và điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng đã
được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem chẳng hạn [17], [18], [34], [35], [42],
[51]–[53], [59], [68], [70]). Việc tìm các điều kiện chính quy thích hợp để dẫn
các điều kiện Kuhn – Tucker cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng là đề
tài thu hút sự quan tâm nghiên cứu rộng rãi của nhiều tác giả trong những
năm gần đây. Các bài toán tối ưu phi tuyến với ràng buộc cân bằng không
thỏa mãn hầu hết các điều kiện chính quy thông thường cho các bài toán
quy hoạch toán học, trừ ra điều kiện chính quy Guignard. M.L. Flegel và C.
Kanzow [17] đã thiết lập các điều kiện cần kiểu Fritz John và Kuhn – Tucker
với điều kiện chính quy kiểu Mangasarian – Fromovitz cho bài toán tối ưu vô
hướng khả vi với ràng buộc cân bằng. M.L. Flegel và C. Kanzow [18] chứng
minh các điều kiện cần cấp 1 cho bài toán vô hướng với ràng buộc cân bằng
với điều kiện chính quy Guignard, và chỉ ra một số điều kiện đủ cho điều kiện
chính quy Guignard. Trong luận án, chúng tôi chứng minh các điều kiện cần
Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không trơn
với ràng buộc cân bằng dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke; các điều kiện cần
Kuhn – Tucker với các điều kiện chính quy thích hợp và các điều kiện đủ cho
nghiệm hữu hiệu với vác giả thiết về tính lồi suy rộng; Các kết quả được áp
dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
Mục đích của luận án là thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu
của bài toán cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối, các điều kiện cần
Fritz John và Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng

4

vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke,
các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu
hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ.
Nội dung chính mà chúng tôi nghiên cứu bao gồm:
a) Thiết lập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu
hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ
với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các
dưới vi phân Clarke và Michel – Penot.
b) Thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân
bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối trong các trường hợp không có ràng
buộc và có ràng buộc. Các điều kiện đủ tối ưu được dẫn với các giả thiết
về tính lồi suy rộng của các hàm dữ liệu. Các kết quả đó được áp dụng để
dẫn các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức vectơ và bài toán tối ưu
vectơ.
c) Thiết lập các điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài
toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng dưới ngôn ngữ dưới
vi phân Clarke; các điều kiện cần Kuhn – Tucker với các điều kiện chính quy
thích hợp, các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với vác giả thiết về tính
lồi suy rộng. Các kết quả đó được áp dụng áp cho bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
Các kết quả trình bày trong luận án được viết dựa vào các công trình của
Đ.V. Lưu và Đ.D. Hằng [40], [41], [42], và Đ.D. Hằng [2].
Luận án bao gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các chương
sau về bài toán cân bằng vectơ và các bài toán có liên quan, các định lý tách
các tập lồi không tương giao, một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân hàm
lồi, dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot và dưới vi phân Dini,

một số kết quả về dưới vi phân hàm hợp trong giải tích lồi, một số tính chất
của phần trong tựa tương đối và tách các tập có phần trong tựa tương đối
khác rỗng, một số lớp hàm lồi suy rộng sẽ sử dụng trong các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu


5

hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng
thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc
tập dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke với điều kiện chính quy thích hợp
và sử dụng kết quả của A. Jourani [32]. Các điều kiện đủ được dẫn với các
điều kiện về tính ∂−tựa lồi đặt trên hàm ràng buộc, trong đó ∂ kí hiệu dưới
vi phân Clarke. Khi sử dụng kết quả của D.V. Luu [37], các điều kiện tối ưu
cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc
theo nón lồi đa diện và ràng buộc tập qua dưới vi phân Michel – Penot được
thiết lập.
Chương 3 trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu
của bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ phần trong tựa tương đối. Bằng
cách sử dụng Định lý tách của Cammaroto – Bella [11], chúng tôi chứng minh
điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán không có ràng buộc dưới
ngôn ngữ dưới vi phân Clarle. Các điều kiện đủ tối ưu được dẫn với các giả
thiết về tính ∂−giả lồi của hàm mục tiêu. Sử dụng kết quả của Jiménez –
Novo [31] về nón của giao hai tập, chúng tôi chứng minh điều kiện cần cho
nghiệm hữu hiệu của bài toán có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng
buộc tập qua các dưới vi phân Clarke và Dini. Các điều kiện đủ cho nghiệm
hữu hiệu của bài toán đó được dẫn với các giả thiết về tính ∂−giả lồi và
∂D −tựa lồi. Các kết quả đó được áp dụng để dẫn các điều kiện tối ưu cho bài
toán bất đẳng thức vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
Chương 4 trình bày các kết quả về điều kiện cần Fritz John cho nghiệm

hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng
(VEPEC) dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke. Với các điều kiện chính quy
thích hợp cho bài toán với ràng buộc cân bằng, các điều kiện cần Kuhn –
Tucker được thiết lập. Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với vác giả
thiết về tính lồi suy rộng được chứng minh. Chú ý rằng để thiết lập điều kiện
cần cho (VEPEC) trên tập chấp nhận được K, ta xét bài toán cân bằng vectơ
(VEP1) trên tập K1 với K1 ⊆ K. Để thiết lập điều kiện đủ cho (VEPEC), ta
xét bài toán cân bằng vectơ (VEP2) trên tập K2 với K ⊆ K2 . Các kết quả
được áp dụng áp cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối
ưu vectơ.


6

Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
- Seminar Tối ưu, Khoa Toán - Tin, Đại học Thăng Long, Hà Nội;
- Seminar Nghiên cứu sinh của Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm - Đại
học Thái Nguyên;
- Hội nghị Khoa học hàng năm của Trường Đại học Công nghệ Thông tin và
Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, từ 2014 – 2017.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Để trình bày các điều kiện tối ưu không trơn ta cần các khái niệm dưới vi
phân cho các hàm không trơn và các công cụ cần thiết để thiết lập các kết
quả. Chương 1 trình bày các khái niệm và kiến thức cần sử dụng trong các
chương sau bao gồm: Bài toán cân bằng vectơ và các bài toán có liên quan,
các định lý tách các tập lồi không tương giao, một số kiến thức cơ bản về

dưới vi phân hàm lồi, dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot và
dưới vi phân Dini, một số tính chất của phần trong tựa tương đối và định lý
tách, một số lớp hàm lồi suy rộng. Nội dung của Chương 1 được tham khảo
trong các tài liệu [3]–[8], [10], [11], [13], [46], [56], [57].
1.1.

Bài toán cân bằng

Giả sử X là không gian Banach, M là một tập con của X, F là ánh xạ từ
X × X vào Rm . Khi đó, F = (F1 , . . . , Fm ); với P là nón lồi đóng nhọn trong
Rm . Xét bài toán cân bằng vectơ (VEP) sau đây: Tìm x ∈ M sao cho với mọi
y ∈ M,
F (x, y) ∈
/ −P \ {0}.
Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu (efficient solution) của bài toán (VEP)
nếu bao hàm thức trên đúng với mọi y ∈ M . Trong trường hợp intP = ∅,
x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu (weak efficient solution) của bài toán
(VEP) nếu với mọi y ∈ M ,
F (x, y) ∈
/ −intP.
Đặt Fx (y) := F (x, y), Fk,x (y) := Fk (x, y) (k ∈ J := {1, . . . , m}). Giả sử
Fx (x) = 0. Trong trường hợp P = Rm
+ , điểm x ∈ M là nghiệm hữu hiệu (t.ư.
nghiệm hữu hiệu yếu) của (VEP) nếu không có điểm y ∈ M nào thỏa mãn
Fk,x (y)

0 (∀ k ∈ J),


8

Fs,x (y) < 0 với ít nhất một s ∈ J,
(t.ư. Fk,x (y) < 0 ∀k ∈ J).
Giả sử £(X; Rm ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào
Rm , T là ánh xạ từ X vào £(X; Rm ). Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ
(VVI) sau đây là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng vectơ (VEP):
Tìm x ∈ M sao cho
(T x)(y − x) ∈
/ −P \ {0} (∀y ∈ M ).
Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VVI) nếu bao hàm thức
trên đúng với mọi y ∈ M . Trong trường hợp intP = ∅, x sẽ được gọi là
nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VVI) nếu
(T x)(y − x) ∈
/ −intP (∀y ∈ M ).
Chú ý rằng định nghĩa nghiệm hữu hiệu trong trường hợp P = Rm
+ (t.ư.
nghiệm hữu hiệu yếu trong trường hợp P = Rm
++ ) như sau: Không tồn tại
y ∈ M sao cho
T (x)k (y − x)

0 với mọi k ∈ J,

T (x)s (y − x) < 0 với ít nhất một s ∈ J,
t.ư. T (x)k (y − x) < 0 với mọi k ∈ J
m
trong đó T (x) = (T (x)1 , . . . , T (x)m ), T (x)k : X → R (k ∈ J), Rm
++ = intR+ .

Nếu F (x, y) = f (y) − f (x) (x, y ∈ M ), trong đó f : X → Rm , bài toán cân

bằng vectơ (VEP) trở thành bài toán tối ưu vectơ (VOP) sau đây:
min{f (x) : x ∈ M }.
Khi đó, định nghĩa cực tiểu Pareto hay nghiệm hữu hiệu trong trường hợp
P = Rm
+ (t.ư. cực tiểu Pareto yếu hay nghiệm hữu hiệu yếu trong trường hợp
P = Rm
++ ) như sau: Không tồn tại x ∈ M thỏa mãn
fk (x)

fk (x) (∀ k ∈ J),

fs (x) < fs (x) với ít nhất một s ∈ J,
(t.ư. fk (x) < fk (x) ∀k ∈ J).


9

1.2.

Tách các tập lồi không tương giao và dưới vi phân hàm lồi

Các khái niệm và kết quả về giải tích lồi sau đây (xem [5], [56]) là cần thiết
cho các chương sau.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tôpô tuyến tính và các tập hợp A, B ⊂
X. Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ = 0 tách A và B, nếu tồn tại số
α sao cho:
x∗ , y ≤ α ≤ x∗ , x

(∀x ∈ A, ∀y ∈ B).

Nếu bất đẳng thức trên có dạng:
x∗ , y < α < x∗ , x

(∀x ∈ A, ∀y ∈ B).

thì ta nói x∗ tách ngặt A và B.
Siêu phẳng đóng H := {x : x∗ , x = α} được gọi là siêu phẳng tách A và
B. Các tập A và B gọi là tách được.
Định lý 1.1. (Định lý tách thứ nhất) Hai tập lồi khác rỗng bất kì không tương
giao trong không gian tôpô tuyến tính, một tập có điểm trong thì tách được.
Định lý 1.2. (Định lý tách thứ hai) Giả sử A, B là các tập đóng khác rỗng
không tương giao trong không gian lồi địa phương và A compact. Khi đó A và
B tách ngặt được.
Từ Định lý tách thứ 2 ta suy ra rằng: Có thể tách ngặt một điểm với một
tập lồi đóng không chứa điểm đó.
Từ hai định lý tách ta suy ra các kết quả sau:
Mệnh đề 1.1. Giả sử nón K và tập A tách được bởi siêu phẳng H. Khi đó
K và A cũng tách được bởi siêu phẳng H đi qua đỉnh của nón và H //H.
Mệnh đề 1.2. Giả sử K là một nón lồi đóng có đỉnh tại x0 trong không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương X, L là một tia đi qua x0 và L ⊂ K. Khi đó,
K và L tách được.
Định lý 1.3. Giả sử K là nón lồi đỉnh tại 0, intK = 0, L là một không gian
con, intK ∩ L = ∅. Giả sử x∗ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L
thỏa mãn:
x∗ , x ≥ 0

(∀x ∈ K ∩ L).


10

Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ trên X sao cho:
x ∗ , x = x∗ , x
x ∗, x ≥ 0

(∀x ∈ L),

(∀x ∈ K).

Định nghĩa 1.2. Nón liên hợp K ∗ của K được định nghĩa như sau:
K ∗ := {x∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Chú ý rằng K ∗ đóng ∗ yếu và
K ∗ = (K)∗ = (coK)∗ ,
trong đó co là ký hiệu bao lồi, K là bao đóng yếu của K.
Các kết quả sau về nón liên hợp là công cụ tốt để dẫn các điều kiện tối ưu.
Định lý 1.4. Giả sử K1 , K2 , . . . , Kn là các nón lồi mở (đỉnh tại 0),
∅. Khi đó:
∗
n

n
i=1 Ki

=

n

Ki

Ki∗ .

=

i=1

i=1

Định lý 1.5. (Duboviskii - Milyutin) Giả sử K1 , K2 , . . . , Kn , Kn+1 là các
nón lồi (đỉnh tại 0); các nón K1 , K2 , . . . , Kn mở. Khi đó, ni=1 Ki = ∅ ⇐⇒
∃x∗i ∈ Ki∗ (i = 1, . . . , n + 1) không đồng thời bằng 0 sao cho:
x∗1 + x∗2 + · · · + x∗n + x∗n+1 = 0.
Giả sử f là hàm lồi trên D ⊂ X. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu là
domf , được định nghĩa như sau:
domf = {x ∈ D : f (x) < +∞}.
Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và f (x) >
−∞.
Định nghĩa 1.4. Dưới vi phân của hàm lồi f tại x¯ ∈ X được định nghĩa
như sau:
∂C f (¯
x) = {x∗ : x∗ , x ≤ f (x) − f (¯
x) ∀x ∈ X}.
Định lý 1.6. (Moreau–Rockafellar) Giả sử f1 , . . . , fm là các hàm lồi chính
thường trên X. Khi đó, với mọi x ∈ X,
∂C (f1 + · · · + fm )(x) ⊃ ∂C f1 (x) + · · · + ∂C fm (x).


11

Hơn nữa, nếu tại x ∈
trừ ra một hàm), thì

i=1m

domfi , tất cả các hàm f1 , . . . , fm liên tục (có thể

∂C (f1 + · · · + fm )(x) = ∂C f1 (x) + · · · + ∂C fm (x).
1.3.

Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot và dưới vi
phân Dini

1.3.1

Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel – Penot

Giả sử X là không gian Banach, X ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của X,
x¯ ∈ X và f là hàm giá trị thực xác định trên X.
Trong [6], đạo hàm theo phương Clarke của f tại x¯ theo phương v được
xác định như sau:
f 0 (¯
x; v) = lim sup
x→¯
x,t↓0

f (x + tv) − f (x)
.
t

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được xác định bởi:
∂f (¯

x) = ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ f 0 (¯
x; v), ∀v ∈ X ,
trong đó ξ, v là giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Chú ý rằng dưới vi phân
Clarke của f được quy về đạo hàm thông thường khi f khả vi chặt.
Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯, nếu tồn tại số
ε > 0 và K > 0 sao cho:
|f (x ) − f (x”)| ≤ K

x −x

(∀x , x ∈ x¯ + εB),

trong đó, B là hình cầu đơn vị mở trong X.
Dưới vi phân Clarke có một số tính chất sau:
Định lý 1.7. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số K tại x¯.
Khi đó,
1. ∂f (¯
x) = ∅, lồi, compact ∗ yếu trong X ∗ và
ξ
trong đó

.

∗

∗≤

K

(∀ξ ∈ ∂f (¯

x)),

là chuẩn trong X ∗ ;

2. f 0 (¯
x, v) = max{ ξ, v : ξ ∈ ∂f (¯
x)} (∀v ∈ X);


12

3. Ánh xạ đa trị ∂f đóng ∗ yếu, tức là ζi ∈ ∂f (xi ), {xi } → x¯, ζ¯ là điểm giới
hạn của {ζi } theo tôpô ∗ yếu thì ζ¯ ∈ ∂f (¯
x);
4. Nếu dim X < +∞, thì ∂f nửa liên tục trên tại x¯;
5. Nếu dim X < +∞, thì
/ S, xi ∈
/ Ωf },
∂f (x) = co{lim ∇f (xi ) : xi → x, xi ∈
trong đó S là tập tùy ý có độ đo Lebesgue bằng 0, Ωf là tập các điểm
không khả vi của f (Ωf có độ đo 0);
6. Giả sử fi là các hàm Lipschitz địa phương tại x, αi ∈ R (i = 1, . . . , n).
Khi đó,
n

n

αi fi (¯
x) ⊂

∂
i=1

αi ∂fi (x).
i=1

Nếu f : Rp → Rn là Lipschitz địa phương tại x, thì Jacobian suy rộng
Clarke của f tại x¯ được xác định bởi (xem [6]):
∂f (¯
x) = co lim ∇f (xi ) : xi → x¯, xi ∈ S ,
i→∞

trong đó ∇f (xi ) là ma trận Jacobi của f tại xi , S là tập các điểm mà f khả
vi. Trong trường hợp n = 1, Jacobian suy rộng Clarke của f tại x¯ trùng với
dưới vi phân Clarke của f tại x¯.
Trong [46], đạo hàm theo phương Michel – Penot của f tại x¯ theo phương
v được xác định bởi:
f ♦ (¯
x; v) = sup lim sup
ω∈X

t↓0

f (¯
x + t(v + ω)) − f (¯
x + tω)
.
t

Dưới vi phân Michel – Penot của f tại x¯ là

∂ M P f (¯
x) = ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ f ♦ (¯
x; v), ∀v ∈ X .
Nếu f khả vi Gâteaux tại x¯ (xem [46])
∂ M P f (¯
x) = {∇G f (¯
x)}
trong đó ∇G f (¯
x) là đạo hàm Gâteaux của f tại x¯.
Nếu f khả vỉ Fréchet tại x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯
x):
∂ M P f (¯
x) = {∇f (¯
x)}.


13

Nếu f là Lipschitz địa phương với hằng số L thì hàm f 0 (¯
x; .) và f ♦ (¯
x; .) là
thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X, Lipschitz với hằng số L trên X,
trong đó ∂f (¯
x) và ∂ M P f (¯
x) khác rỗng, lồi, compact ∗ yếu của X ∗ và
với mọi ξ ∈ ∂f (¯
x) và ξ ∈ ∂ M P f (¯
x).

ξ ≤L

Hơn nữa, với mọi v ∈ X, ta có (xem [46]):
f ♦ (¯
x, v) = max{ ξ, v : ξ ∈ ∂ M P f (¯
x, v)}.
Khi f là hàm Lipschitz địa phương tại x¯, ta có (xem [60]):
f ♦ (¯
x, v) ≤ f 0 (¯
x, v), (∀v ∈ X),
∂ M P f (¯
x) ⊂ ∂f (¯
x).
Mối quan hệ giữa dưới vi phân hàm lồi và các dưới vi phân Clarke và
Michel – Penot được phát biểu trong định lý sau:
Định lý 1.8. Giả sử f là hàm lồi trên X và Lipschitz địa phương tại x ∈ X.
Khi đó, với mọi v ∈ X,
f ♦ (x; v) = f 0 (x; v),
∂ M P f (x) = ∂f (x) = ∂C f (x).
Các dưới vi phân ∂ M P f (¯
x) và ∂f (¯
x) có thể rất khác nhau. Ví dụ sau đây
minh họa điều đó.
Ví dụ 1.1. Cho hàm f trên R

x2 |cos π |, x = 0,
x
f (x) =
0
x = 0.
Chọn x¯ = 0, ∂ M P f (0) = {0}, f ♦ (0, v) = 0, (∀v ∈ R). Nhưng f 0 (0, v) = π|v|,

∂f (0) = [−π, π]. Như vậy, ∂ M P f (0) ∂f (0).
Định nghĩa 1.5. Nón tiếp tuyến Clarke của C ⊂ X tại điểm x¯ ∈ C, ký hiệu
T (C; x¯):
T (C; x¯) := {v ∈ X : ∀xn ∈ C, xn → x¯, ∀tn ↓ 0, ∃vn → v
sao cho xn + tn vn ∈ C, ∀n}.
Nón pháp tuyến Clarke của C tại x¯, ký hiệu N (C; x¯):
N (C; x¯) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ 0, ∀v ∈ T (C; x¯)}.


14

Các nón T (C; x¯) và N (C; x¯) là lồi khác rỗng, T (C; x¯) là đóng và N (C; x¯)
là đóng ∗ yếu.
1.3.2

Đạo hàm Dini và dưới vi phân Dini

Giả sử X là không gian Banach, X ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của X,
x¯ ∈ X và f là hàm giá trị thực trong X.
Giả sử f : X → R. Đạo hàm Dini trên của f tại x theo phương v được
định nghĩa như sau:
Df (x; v) = lim sup
t↓0

f (x + tv) − f (x)
·
t

(1.1)

Đạo hàm Hadamard trên của f tại x theo phương v là
f (x + tu) − f (x)
·
t
t↓0

df (x; v) = lim sup
u→v,

(1.2)

Khi thay lim sup bằng lim inf trong (1.1) và (1.2), ta nhận được đạo hàm
Dini dưới Df (x; v) và đạo hàm Hadamard dưới df (x; v) của f tại x theo
phương v. Khi Df (x; v) = Df (x; v) (t.ư. df (x; v) = df (x; v)), ta ký hiệu giá
trị chung đó là Df (x; v) (t.ư. df (x; v)), và gọi là đạo hàm Dini (t.ư. đạo hàm
Hadamard) của f tại x theo phương v.
Hàm f là khả vi Dini (khả vi Hadamard) tại x nếu đạo hàm Dini (t.ư. đạo
hàm Hadamard) tại x tồn tại theo mọi phương. Nếu df (x; v) tồn tại, thì đạo
hàm Df (x; v) cũng tồn tại và chúng bằng nhau.
Như vậy, nếu f khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet ∇f (x), thì
Df (x; v) = df (x; v) = ∇f (x), v .
Dưới vi phân Dini của f tại x được định nghĩa như sau:
∂D f (x) = {ξ ∈ X ∗ : ξ, v

Df (x; v), ∀v ∈ X}.

Nếu Df (x; .) là hàm lồi, ta có
∂D f (x) = ∂C Df (x; .)(0),
trong đó ∂C Df (x; .)(0) là dưới vi phân của Df (x; .) tại v = 0 theo nghĩa giải
tích lồi.

15

Trong [6], nón tiếp liên (contingent cone) của tập C ⊂ X tại x ∈ C được xác
định như sau:
TC (x) = {v ∈ X : ∃ tn ↓ 0, ∃ vn → v sao cho x + tn vn ∈ C, ∀ n}.
Nón pháp tuyến tương ứng với TC (x) là
NC (x) = {ξ ∈ X ∗ : ξ, v

0, ∀ v ∈ TC (x)}.

Nón TC (x) khác rỗng và đóng; nón NC (x) khác rỗng đóng ∗ yếu; nón TC (x) có
thể không lồi. Nếu C lồi thì TC (x) trùng với nón tiếp tuyến Clarke và NC (x)
trùng với nón pháp tuyến Clarke, và
NC (x) = {ξ ∈ X ∗ : ξ, x − x

0, ∀ x ∈ C}.

Đây là nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi.
Với nón D ⊂ X, nón liên hợp của D được xác định bởi
D∗ = ξ ∈ X ∗ : ξ, v

0, ∀ v ∈ D .

Nón cực của nón D được xác định bởi
D0 = ξ ∈ X ∗ : ξ, v

0, ∀ v ∈ D .

Như vậy nón pháp tuyến của C tại x là nón cực của nón tiếp liên TC (x).
1.3.3

Một số kết quả bổ trợ

Nhắc lại Định lý 2 ([27], Mục 4.2, Chương 4) và Mệnh đề 7.3.9(d) [60].
Mệnh đề 1.3. Giả sử A : X → Y là ánh xạ tuyến tính liên tục và f là hàm
thực lồi trên Y . Khi đó, với mỗi x ∈ X,
A∗ ∂C f (Ax) ⊂ ∂C (f A)(x).
Nếu f là liên tục tại mọi điểm thuộc ImA, thì với mỗi x ∈ X,
A∗ ∂C f (Ax) = ∂C (f A)(x),
trong đó A∗ : Y ∗ → X ∗ là ánh xạ liên hợp của A, ImA là ảnh của A.
Mệnh đề 1.4. Nếu f lồi trên X và Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ X thì với
mỗi v ∈ X,
f ♦ (¯
x, v) = f 0 (¯
x, v).
∂ M P f (¯
x) = ∂f (¯
x) = ∂C f (¯
x).


16

1.4.

Phần trong tựa tương đối

Định nghĩa 1.6. [10] Với tập con lồi C của X (X có thể vô hạn chiều), phần

trong tựa tương đối (quasirelative interior) của C, ký hiệu là qriC, là tập của
các phần tử x ∈ C sao cho clcone(C − x) là một không gian con tuyến tính
của X.
Khái niệm phần trong tựa tương đối là một mở rộng của khái niệm phần
trong tương đối (relative interior) trong không gian hữu hạn chiều. Nón pháp
tuyến của C tại x ∈ C là tập
N (C; x) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, x − x ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Khi đó, nếu x ∈ C thì x ∈ qriC khi và chỉ khi N (C; x) là không gian con
tuyến tính của X ∗ . Chú ý rằng nếu dimX < ∞ và C là tập lồi khác rỗng thì
riC = ∅ và qriC = riC, trong đó ri ký hiệu phần trong tương đối.
Tính chất 1.1. Giả sử C và D là hai tập lồi của X sao cho qriC = ∅ và
qriD = ∅; x0 ∈ C, x ∈ qriC, α ∈ R và λ ∈ [0; 1). Khi đó,
• qriC + qriD ⊆ qri(C + D),
• αqriC = qri(αC),
• qri(C × D) = qriC × qriD,
• cl qriC = cl C,
• (1 − λ)x0 + λx ∈ qriC,
• qriC = qri(qriC).
Định lý 1.9. (Định lý tách Cammaroto – Bella [11]) Giả sử A và B là các
tập lồi khác rỗng của X. Giả sử qriA = ∅, qriB = ∅ và clcone(qriA − qriB)
không là không gian con tuyến tính của X. Khi đó, tồn tại 0 = ζ ∈ X ∗ sao
cho
ζ, x ≤ ζ, y (∀x ∈ A, ∀y ∈ B).
Nhận xét 1.1. Định lý 1.9 không cần điều kiện intA = ∅ hoặc intB = ∅.
Điều kiện này được thay bởi qriA = ∅ hoặc qriB = ∅. Trong không gian


17

hữu hạn chiều, điều này tự động thỏa mãn, bởi vì với A, B khác rỗng lồi thì

qriA = riA = ∅ và qriB = riB = ∅.
Ví dụ sau đây minh họa cho Định lý 1.9.
Ví dụ 1.2. Cho X = Rp , A = {(x1 , . . . , xp−1 , 1) ∈ Rp : 0
xi
1, i =
1, . . . , p − 1} và B = {(x1 , . . . , xp−1 , 0) ∈ Rp : xi 0, i = 1, . . . , p − 1}. Khi
đó, qriA = {(x1 , . . . , xp−1 , 1) ∈ Rp : 0 < xi < 1, i = 1, . . . , p − 1} = ∅, qriB =
{(x1 , . . . , xp−1 , 0) ∈ Rp : xi > 0, i = 1, . . . , p − 1} = ∅ và clcone(qriA − qriB)
không là một không gian con tuyến tính của Rp . Vì vậy, ta có thể áp dụng
Định lý 1.9 để tách các tập A và B bởi một siêu phẳng.
1.5.

Hàm lồi suy rộng

Ký hiệu ∂f (x) là dưới vi phân Clarke của hàm thực Lipschitz địa phương
f trên không gian Banach X; f được gọi là ∂−giả lồi tại x¯ trên C của X nếu
(xem [57])
(∃ξ ∈ ∂f (¯
x)) ξ, x − x¯ ≥ 0 ⇒ f (x) − f (¯
x) ≥ 0 (∀x ∈ C).
Nếu f khả vi Fréchet tại x¯, f giả lồi tại x¯ trên C, thì
∇f (¯
x), x − x¯ ≥ 0 ⇒ f (x) − f (¯
x) ≥ 0 (∀x ∈ C).
Hàm thực Lipschitz địa phương f được gọi là ∂−tựa lồi tại x¯ trên C của X
nếu (xem [57])
f (x) − f (¯
x) ≤ 0 ⇒ ξ, x − x¯ ≤ 0 (∀ξ ∈ ∂f (¯
x), ∀x ∈ C).
Hàm f là ∂−tựa lõm tại x¯ trên C nếu −f là ∂−tựa lồi tại x¯ trên C. Hàm f

được gọi là ∂−tựa tuyến tính tại x¯ trên C nếu f là ∂−tựa lồi và ∂−tựa lõm
tại x¯ trên C.
Khi thay ∂ bằng ∂ M P (t.ư. ∂D ) trong các định nghĩa trên ta nhận được các
khái niệm ∂ M P −giả lồi, ∂ M P −tựa lồi, ∂ M P −tựa tuyến tính (t.ư. ∂D −giả lồi,
∂D −tựa lồi, ∂D −tựa tuyến tính).