Tài liệu ôn tập học kỳ II môn toán 9

Tài liệu ôn tập Toán 9_kỳ II
PHẦN ĐẠI SỐ
Trắc nghiệm
Hãy khoanh tròn vào các chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1: Hàm số y = 2x2 đồng biến khi:
A. x < 0
B. x
C. x > 0
Đáp án C
Câu 2: Hàm số y = x2 nghịch biến khi:
A. x < 0
B. x
Đáp án D

C. x

D. x

D.x > 0

Câu 3:Chọn câu trả lời đúng:
A.

Đồ thị của hàm số y = 2x2 nằm phía dưới trục hoành,O là điểm thấp nhất

của đồ thị
B. Đồ thị của hàm số y = -2x2 nằm phía trên trục hoành, O là điểm cao nhất
của đồ thị
C. Đồ thị của hàm số y = x2 nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất
của đồ thị.
Đáp án: C

Câu 4: Đồ thị hàm số y=
A. (0 ; 

2
)
3

 2 2
x đi qua điểm nào trong các điểm sau:
3

B. (-1; 

2
)
3

C. (3;6)

D. ( 1;

2
)
3

Đáp án: B
Câu 5: Điểm K(  2 ;1 ) thuộc đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. y = 

1 2

x
2

B. y =

1 2
x
2

C. y = 2x 2

D. y = - 2x 2

Đáp án: B
Câu 6: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai?
A. x3 + 4x2 – 2 = 0
B. 2x2 + 5x – 3 = 0
C. 4x – 5 = 0
C. 5 + 2x = 7
Đáp án: B
Câu 7: Tập hợp các nghiệm của phương trình: -2x2 + 8 = 0 là:
A. {2; -2}
B. { -2}
C. { 4}
D. {-2; 4}
Đáp án : A
Câu 8. Cho phương trình : ax 2  bx  c  0 (a �0) . Nếu b 2  4ac  0 thì phương trình có hai
nghiệm là:
1

A. x1 

b  
b  
; x2 
a
a

B. x1 

C. x1 

b 
b 
; x2 
2a
2a

D. A, B, C đều sai.

  b
 b
; x2 
2a
2a

Đáp án: B.
2
Câu 9. Phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 (a �0) với b  2b�

và � b�
 ac .Khi  > 0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 là:

b�
 �b�
 �
;
a
a
b ' �b ' �
C.
;
2a
2a

b  �b  �
;
a
a
b  �b  �
D.
;
2a
2a

A.

B.

Đáp án: A
Câu 10: Cho phương trình 35x2 - 37x + 2 = 0. Khi đó tổng x1  x 2 bằng:
A. x =

37
35

B. x = 1

C. x = -1

D. Một đáp án khác.

Đáp án: A
.

Câu 11: Cho phương trình 8x2 + x - 1 = 0. Khi đó tích
1
8
Đáp án: A

A. 

B. 8

C.

1
8

x1 .x 2 bằng:

D. một đáp án khác.

Câu 12:Nếu hai số a ; b có a+b=5 và a.b=6 thì a và b là hai nghiệm của phương trình
A.x2+5x-6=0

B. x2+5x+6=0

C. x2-5x-6=0

D. x2-5x+6=0

Đáp án :D
Câu 13: Phương trình x4 -13x2 +36 = 0 có số nghiệm là:
A. 2
B.3
C.4
D.5
Đáp án: C
Câu 14: Phương trình x4 + 13x2 +36 = 0 sau khi đặt x2 = t (t ≥ 0) thì ta được phương
trình bậc hai là
A. t2 + 13 x2 +36 =0
B. t2 + 13t +36 =0
C. x2 + 13 x +36 =0
D. t2 - 13 t +36 =0
Đáp án: B
Câu 15: Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m - 4)x2 đồng biến khi x < 0
A. m < 4
B. m

C. m > 4
D. m
Đáp án A
2


Câu 16:Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m2 - 1)x2 nghịch biến khi x > 0
A. m < 1
B. m
C. m > 1
D. -1< m
Đáp án D
x2 . Tính giá trị của hàm số tại x = -2 ; x = -1; x = 0;

Câu 17: Cho hàm số y =
x = 1; x = 2.
Đáp án
x
-2
-1
y=

0
0

x2

1

2

Câu 18: Điểm A(n;
) thuộc đồ thị của hàm số y =
A. 2
B. 4
C.
Đáp án C

x2 . Thì giá trị của n bằng:
D. -2

Câu 19:Đồ thị của hàm số y = ax2 đi qua điểmM(1; 3). Khi đó hệ số a bằng:
A). a = 1
B). a = 2
C). a = 3
D). a = 4
Đáp án: C
Câu 20: Parabol(P) có phương trình y =40x2 đi qua điểm A có
tọa độ là (0,15; n).Khi đó n =
A. 0,9
B. 0,09
C.9
Đápán: A
Câu 13. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 4x2 - 5x + 1 = 0
B. 2x2 + x – 1 = 0
C. 3x2 + x + 2 = 0
D. x2 + x – 1 = 0
Đáp án: C.
Câu 21. Với giá trị nào của a thì phương trình: x2+ x – a = 0 có hai nghiệm phân biệt ?

A. a > -

1
;
4

B.a<

1
;
4

C.a>

Đáp án: A.
Câu 22. Phương trình 5x2 + 8x – 3 = 0
A. Có nghiệm kép
C. Có hai nghiệm cùng dấu
Đáp án: B

1
;
4

D. a < -

B. Có hai nghiệm trái dấu
D. Vô nghiệm

Câu 23: Cho phương trình 3x2 - 7x + 4 = 0. Khi đó ( x1  x2 ) x1 x2 bằng.

A. 1

B.

28
9

C. 12

Đáp án: B
Đáp án: B
Câu 24: Giải phương trình x4 +5x2 + 4 = 0. (1)
Đáp án: Đặt x2 = t (t ≥ 0)
3

D. Một đáp án khác.

1
4


(1) trở thành t2 +5t + 4 = 0
Ta có a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên pt có 2 nghiệm
t1 = -1<0 (loại); t2 = -4 < 0( loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 25: Giải phương trình x3 + 3x2 +2x=0
Đáp án:
x3 + 3x2 + 2x = 0  x(x2 + 3x + 2) = 0  x(x+1)(x + 2) = 0
x1 = 0; x2 = -1; x3 = -2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = -1; x3 = -2.

Câu 26:Biết chu vi hình chữ nhật là 40cm và chiều dài hình chữ nhật là x(cm) Thì chiều
rộng hình chữ nhật là:
A.40-x

B.20-x

C.20+x

D.40+x

Đáp án:B
Câu 27:Nếu chiều dài hình chữ nhật là x(cm) và chiều rộng hình chữ nhật kém chiều
dài là 5(cm) thì chiều rộng hình chữ nhật được biểu thị là:
A.x-5

B.x:5

C.x+5

Tự luận
Câu 1: Cho hàm số y= f(x)= -3x2
a/ Tính f(-1); f(-2); f(0); f(1); f(2).
b/ Tìm các giá trị của x biết giá trị của hàm số y = -3; y = -12 ; y = -27
Đáp án
a/
x
-2
-1
0
1

2
2
y = -3x
-12
-3
0
-3
-12
b/+/Với y = - 3 ta có -3 = -3 x2
x2 = 1
x = 1 hoặc x =-1
Vậy x 
+/Với y = - 12 ta có -12 = -3 x2
x2 = 4
x = 2 hoặc x = -2
Vậy x 
+/ Với y = - 27 ta có -27 = -3 x2
x2 = 9
x = 3 hoặc x = -3
Vậy x 
1
2

Câu 2: Cho hàm số y =  x 2 (1)
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
4


b. Lấy điểm B trên (P) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
B và điểm A(-2;-2)

Đáp án:
a.Vẽ đồ thị

b.Điểm B �(P) với x = 1 thì y = -1/2
Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A và B có dạng y = ax+b
A(-2;-2) � (d) � -2a +b =-2
B(1;-1/2) � (d) � a +b =-1/2
2 a  b   2
�
a  b  1/ 2
�

Giải hệ phương trình : �

ta được a = 1/2 ; b = -1

Vậy phương trình của đường thẳng (d) là:y =

1
x 1
2

Câu 3: Cho hai hàm số y = 0,2x2 và y =x
a.Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b.Tìm tọa độ của các giao điểm của hai đồ thị.
Đáp án :
a)

5

b)Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình :
�
�x  0
y

x
�
�
�
�y  0, 2 x 2
�
�y  0
�
� ��
x0�
�
�
�x  5 .Vậy hai giao điểm là: (0;0) và (5;5)
�y  x
��
x

5
�
�
��
�
�y  5

Câu 4:Cho hàm số y =

1 2
x (1)
4

a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số (1)
b.Lấy hai điểm A,B trên (P) lần lượt có hoành độ -2 ; 4.Tính diện tích tam giác OABvới
O là gốc tọa độ của hệ trục.
Đáp án :
a. Đồ thị của hàm số (1)

6


1
2
b.Với x A  2 � y A  (2)  1
4
1
4

Với xB  4 � yB  .(4) 2  4
Giọi A’ và B’ là hình chiếu của A và B lên trục hoành .
Ta có SOAB  S AA ' B ' B  SOAA '  SOBB '
Tứgiác AA’B’B là hình thang vuông tại Avà B’ nên :
S AA ' B ' B 

1
1

(AA ' BB '). A ' B '  (1  4).6  15 (đvdt)
2
2

1
1
SOAA '  OA.OA '  .2.1  1 (đvdt)
2
2
1
1
SOBB'  OB.OB'  .4.4  8
2
2

Vậy SOAB = 15-1-8=6 (đvdt)
Câu 5:Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Giải phương trình khi m = 4;
b) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Đáp án:
a) Thay m = 4 vào phương trình ta có: x2 - 2(4 - 1)x – 3 – 4 = 0
 x2 - 6x – 7 = 0,  = (-6)2 – 4.1.(-7) = 64 > 0 =>
.
Phương trình có hai nghiệm:
2
b) Ta có: = [-2(m - 1)]2 – 4(– 3 – m ) =
+ 15
Do
với mọi m; 15 > 0 > 0 với mọi m.
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 6. Cho phương trình:
x2  2(m 2)x  m2  3m  5  0. (2)
a) Giải phương trình với m 3.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Đáp án:
a) Thay m = 3 vào phương trình (2) ta có phương trình : x2 – 2x + 5 = 0.
Ta có:
. Vậy pt (2) vô nghiệm.
2
b) Ta có:
[-2(m-2)] – 4.1.(m2 – 3m + 5) = - 4m – 4.
Để pt (2) có nghiệm kép 
 - 4m – 4 = 0  m = - 1.
Khi đó pt (2) có nghiệm là: x1 = x2 =
Câu 7. Giải các phương trình :
a) 5x2 - 6x – 1 = 0

b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

c) 3x2 – 4x + 7 = 0
Đáp án:
7


a) Ta có

 '  (3)2  5.(1)  14

Vì  > 0 nên PT có hai nghiệm phân biệt x1  (3)  14  3 14 ; x2  3 14
5

b) Ta có  '  ( 3)2  (2  3)(2 3)  4   ' = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

c)Ta có



3 2
 3 2
1 ; x2 
  (7  4 3 )
2 3
2 3

 '  (2)2  3.7  17

Vì  < 0 nên PT đã cho vô nghiệm
Câu 8: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a) -2x2 - 6x + 8 = 0
b) 23x2 +32x +9 = 0
c) -2x2 - 6x + 8 = 0
d) 23x2 + 32x + 9 = 0
Đáp án:
a) -2x2 - 6x + 8 = 0
Ta có: a + b + c = -2 + (-6) +8 = 0
và x2  4
 x1 1
b) 23x2 + 32x + 9 = 0

Ta có: a - b + c = 23 - 32 + 9 = 0
và x  9
 x1  1
2

23

c) -2x2 - 6x + 8 = 0
Ta có: a + b + c = -2 + (-6) +8 = 0
và x  c  4
x

1
 1
2
a
d) 23x2 + 32x + 9 = 0
Ta có: a - b + c = 23 - 32 + 9 = 0

8

5

5




x1  1 và

Câu 9: a) Cho phương trình x2 - 6x + 8 = 0. Tính x12  x22 .
b) Cho phương trình x2 + 3x -10 = 0. Tính

1 1
 .
x1 x2

Đáp án:
a) x2 - 6x + 8 = 0

 ( 6) 2  4.1.8 4  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có.

�x1  x2  6
 x12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 62  2.8 20
�
�x1.x2  8
b) x2 + 3x -10 = 0

 32  4.10 49  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có.

1 1 x1  x2
3
3
�x1  x2  3



=> 

�
x1 x2
x1.x2
 10 10
�x1.x2  10
Câu 10: Cho Pa rabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2mx - m2 +1
a) Chứng minh rằng (d) luôn cát (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m:
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn

x12  x22 20
Đáp án:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x2 = 2mx - m2 +1  x2 - 2mx + m2 -1 =0

(1)

c) Ta có  '  m 2  (m2  1)  1  0 . Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m nên (d) luôn cát (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
b) Từ câu a ta có phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m.Theo hệ thức Vi et ta có
2m,
-1
Nên ta có

x12  x22 20
9


 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 20
 4m 2  2(m 2  1) 20 (định l? vi-ét)

 2m 2 18  m 2 9  m 3
Câu 11: Giải phương trình (x – 1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
Đáp án: (x – 1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
x3 – 3x2 + 3x – 1 + 0,5x2 = x3 + 1,5x
-2,5x2 +1,5x – 1 = 0
5x2 – 3x + 2 = 0
∆ = b2 – 4ac = (-3)2 -4.5.2 = 9 – 40 = -31<0
PT vô nghiệm.
Câu 12: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km,khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h
nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
30

30

1

Đáp án: Gọi ẩn và lập được phương trình là: у  3  у  2
Giải phương trình ta được y=15
Vậy: Vận tốc của bác Hiệp là 15km/h
Vận tốc của cô Liên là 12km/h
Câu 13:Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà .Nếu họ cùng làm thì sau 4 ngày xong
việc .Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày.Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc’
1
п

Đáp án: Gọi ẩn và lập được phương trình là: 

1
1

п6 4

Giải phương trình ta được n=6
Vậy:Đội I làm một mình xong công việc mất 6 ngày
Đội II làm một mình xong công việc mất 12 ngày
Câu 14: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 240m2. Nếu tăng chiều rộng 3m và
giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm chiều dài và chiều rộng của
mảnh đất.
�240
�
 4 � 240
�п
�

Đáp án:Phương trình lập được là  п  3 �
Giải phương trình ta được n=12
Vậy:Chiều rộng mảnh đất là 12m
Chiều dài mảnh đất là 240:12=20m

Câu 15: Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g.Thể
tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10cm 3, nhưng khối lượng
10


riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1g/cm 3. Tính
khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Đáp án:

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là n (n>1)
Ta có phương trình :

858 880

 10
п 1 п

Giải phương trình ta được n=8,8
Vậy:Khối lượng riêng của miếng thứ nhất là 8,8g/cm3
Khối lượng riêng của miếng thứ hai là 7,8g/cm3
Câu 16:Một ca nô chạy từ bến A đến bến B dài 50km cả di lẫn về mất 5 giờ 20 phút.
Hỏi tỷ số vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô là bao nhiêu? Biết rằng khi nước
đứng yên ca nô chạy với vận tốc đều và vận tốc của dòng nước là 5km/h
Đáp án: Gọi vận tốc đều của ca nô khi nước yên lặng là n (km/h)
Ta có phương trình là:

50
50 16


п5 п5 3

Giải phương trình ta được n=20
Từ đó suy ra tỷ số là :

20  5 25 5


20  5 15 3

Câu 17: Một ô tô chuyển động đều với một vận tốc dự định để đi hết quãng đường dài
120km. Đi được nửa đường xe nghỉ 3 phút ,nếu để đến nơi đúng giờ xe phải tăng tốc
thêm 2km/h trên quãng đường còn lại.Tính thời gian xe chạy.
Đáp án:Gọi vận tốc ô tô dự định đi là n(km/h)
Ta có phương trình :

60 60
1 120



п п  2 20
п

Giải phương trình ta được n=48
Vậy thời gian xe chạy là :

120 1

 2 giờ 17 phút
48 20

Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = - 9x2+ 6x – 1
Đáp án
Ta có y = - (3x - 1)2
Đặt y = Y; 3x - 1 = X Y = - X2 v? a = -1< 0 nên giá trị lớn nhất của hàm số
Y = -X2 là Y = Y(0)= 0 suy ra 3x – 1 = 0  x = 1/3
Vậy GTLN của y = 0 khi x = 1/3
Câu 19:

Cho Parabol (P) y =

1 2
x và A(0 ;3).Gọi B là điểm thuộc (P)
4

Tìm độ dài nhỏ nhất của AB .
11


Đáp án:

1
4

Gọi B( x0 , y0 ) , v? B � (p) nên y0  x02
2

2
2
�1
� 1
Ta có AB 2   x0  0   � x02  3 �  x02  4   8
�4
� 16
2
AB 2 �8 ( Dấu ‘=’ xảy ra � x0  4 � x0  �2)

Vậy minAB2 = 8 , do đó minAB = 2 2 ( khi và chỉ khi x0  �2 )
Câu 20: Cho các phương trình : x2 + mx – 1 = 0 (1)

x2 – x + m = 0 (2)
Tìm m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó
Đáp án: Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:
( m + 1) x – ( m + 1) = 0 ↔ ( m + 1 ) x = m + 1
+Với m = - 1 hai phương trình (1) và (2) đều là x2 – x – 1 = 0
Vậy nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) là: (1± ): 2
+ Với m ≠ - 1 ta có x = 1 thay vào (1) ta được m = 0 khi đó
(1) có dạng: x2 – 1 = 0 có nghiệm x = ± 1
(2) có dạng x2 – x = 0 có nghiệm là 0 và 1
Vậy với m = 0 thì (1) và (2) có nghiệm chung là: 1.
Kết luận: - Với m = - 1 thì hai phương trình (1) và (2) có hai nghiệm chung là: (1±
2
- Với m = 0 thì (1) và (2) có một nghiệm chung là: 1.
Câu 21: Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
Đáp án
a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có:
= 22 –4.( -3)(m - 1) = 12m – 8. Pt (1) có nghiệm = 12m-8 0  m 
12

2
3

):


2
th? phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = (là nghiệm)
2

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có:
 = 22 - 4(-3)(m-1) = 12m – 8. Pt (1) có nghiệm duy nhất  = 12m- 8 = 0  m =
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó pt (1) có nghiệm x =

.

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: x =
Với m =

3
2

2
thì phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 3.
3

Câu 22: Cho phương trình x  2 x  1  m 2  6m  11 0

a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
Đáp án
a)Với m=2 phương trình để cho trở thành

x  2 x  1  3 0
Đặt

x  1 t 0 Ta có t2 + 2t – 2 =0
t  1 

3 (loại) hoặc t  1  3

Vậy với t  1  3 th? x ( 1  3 ) 2  1 5  2 3
b)Đặt

x  1 t 0 phương trình đã cho trở thành:
t2 + 2t – m2 + 6m – 10 = 0 (*)

Phương trình (*) có a = 1> 0, c = -m2 + 6m – 10 = -[(m-3)2 + 1]< 0
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu t1 và t 2
Giả sử t 2 > 0
Khi đó x = t 2 2  1 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Câu 23: Cho phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m-4) = 0
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
b) Tìm m để biểu thức A = ( x1  x2 ) 2 có giá trị nhỏ nhất:
Đáp án:
13

2

3


a) Ta có  16m 2  33  0 . Phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt
với mọi m.

 S  x1  x2  (4m  1)(*)

 P  x1 .x2 2(m  4)(**)
Từ (*) Suy ra m 

P
Hay
Do đó

 S1
4

Thay vào (**) ta có

 S  17
2

2P + S = -17

2 x1 .x2  x1  x2  17

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m.
b) Ta có

A ( x2  x1 ) 2 ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 16m 2  33 33
Dấu “=” xảy ra khi m=0
Min A = 33 Khi m = 0.
Câu 24: Giải phương trình 2(x2 - 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0. (2)
Đáp án: (2)  2(x2 - 4x + 2)2 + (x2 - 4x + 2) - 6 = 0 (3)
Đặt x2 - 4x + 2 = t (t ≥ -2)
(3)  2t2 + t - 6 = 0. Tính ∆ = b2 – 4ac = 49 t1
t1 =

 x2 - 4x + 2 =

,

2

x2 - 4x + 2 = -2  x2 - 4x + 4 = 0 x-2=0  x=0
Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm

, =0

14


PHẦN HÌNH HỌC
Trắc nghiệm :
Khoanh tròn vào đáp án đúng trong các câu sau
Câu 1. Góc nội tiếp chắn cung 1200 có số đo là:
A. 1200
B. 900
C. 300

Đáp án: D
0
Câu 2. Ở hình bên, biết �
ACB = 90 .Số đo cung AB là:
A. 900
B. 1800
C. 300
D. 600

D. 600
C

A

B

O

Đáp án: B
�
Câu 3. Cho hình bên,biết BAC
<900 .Khẳng định nào sau
đây là đúng:
�
�
A. BAC
= BOC
�
C. BAC
=

�
ABO

1 �
BOC
2
�
�
D. BAC
= ACO

�
B. BAC
=

Đáp án: B
Câu 4:

15

B

A

O
C


�  300 . Số đo �

Cho hình vẽ, biết xAB
AmB bằng:

A. 150

B. 300

C. 600

D. Một đáp
số khác

Câu 5: Hai bán kính OA, OB của đường tròn tạo thành góc ở tâm có số đo bằng 800.
Số đo cung lớn AB là:
A. 1600
B. 600
C.
2800
D. 800
Câu 6. Nếu tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn tâm O, ta có
a, + =
+ .
c,
= = 1v.
b, = = 1v.
d ,cả ba câu trên đều sai.
Đáp án a.
Câu 7. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta có :
a, OA = OB = OC = OD.
c, +

= + .
b,
=
.
d, cả 3 câu trên đều dúng.
Đáp án D.
Câu 8. Trong các tứ giác sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn? Hãy trọn
câu trả lời đúng.
a , Hình thoi.
c , Hình bình hành.
b , Hình chữ nhật.
d , hình thang.
Đáp án b.
� =700.
Câu 9 Cho hình bên,biết CAB
C
�
Số đo CMB
là:
0
A. 70
B. 1400
C. 350 D. Kết quả
O
70
A
khác
Đáp án: A
B
0

M

� là hai cung nhỏ của (O;R) biết �
� so sánh dây AB và CD
Câu 10. Cho �
AB , CD
AB > CD

A. AB>CD

B.AB=CD

C. AB< CD

D.Đáp án khác

Đáp án:A
Câu 11:Chọn đáp án đúng (Đ) sai (S) tương ứng một ô ở cột bên trái và một ô ở cột bên
phải để được câu trả lời đúng
Câu hỏi
1)Đường tròn nội tiếp đa giác tiếp xúc với tất cả
các cạnh của đa giác đó.
2)Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm
các đường trung trực của tam giác đó.
3)Mỗi đa giác đều chỉ có một đường tròn nội tiếp
và một đường tròn ngoại tiếp.
4) Tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn
ngoại tiếp của một đa giác đều luôn trùng nhau.
16

Trả lời Đ hoặc S


5)Tâm đường tròn nội tiếp hình vng là giao
điểm hai đường chéo hình vng.
Đáp án : 1-Đ,2-S,3-Đ,4-Đ,5-Đ
Câu 12 : Độ dài C ( chu vi ) của một đường tròn bán kính R được tính theo cơng thức?
A. C  2 �R
C. C  2 �R 2
B. C  2 �2 R

D. C  �R

Đáp án : A
Câu 13 : Độ dài cung tròn n 0 bán kính R được tính theo cơng thức?
A. l  �Rn
B. l  2 �Rn
C. l 
Đáp án : C

�Rn
180

D. l 

�Rn
360

Câu 14: Trên đường tròn (O;R), lấy hai điểm Avà B sao cho số

đo cung nhỏ AB bằng 900. Độ dài dây AB (tính theo R) là:
A. R
B. R 2
C. R 3
D.

R 3
2

Đáp án: B
Câu 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng d song song với BC cắt AB, AC lần
lượt tại M và N .Khi đó tứ giác BMNC có:
A, Tứ giác BMNC nội tiếp được
C, +
=2v
B,
+
=
+
D, cả 3 câu trên đều đúng.
Đáp án d.
Câu 16 : Bánh xe đạp có đường kính là 650mm.Hỏi một vòng quay của bánh xe đi được
qng đường gần đúng nhất là :
A. 1221mm
B. 2041mm
C. 1300mm
D.4082mm
Đáp án : B
Câu 17:Tam giác ABC vng tại A có AB=12cm,AC=16cm. Độ dài đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC là:

A. 10 �
B. 30 �
C. 20 �
D. 15 �
Đáp án :Độ dài đường kính BC là 20cm.Chu vi hình tròn là C= �d=20 �
Câu 18:: Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của nó ta được mặt
phẳng cắt là hình:
A. Một hình chữ nhật.
B. Một hình tròn.
Câu 19:. Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13cm và chiều

cao 3cm là:
17


A. 16 cm2
B. 10 cm2
C. 39 cm2
Đáp án: C
C. Một hình tam giác.
Câu 19:. Bán kính đáy của hình nón bằng 4cm, độ dài đường sinh bằng 8cm thì diện
tích xung quanh của hình nón bằng:
A. 31
B. 32
C. 33
D. 34
Đáp án: B
Câu 20:. Thể tích của hình cầu có bán kính R = 3cm là:
A. V = 113,02cm3
B. V = 113,03cm3

C, V = 113,04cm3
Đáp án: C

D. V = 113,05cm3

Tự luận
Câu 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm M
� =�
� . Gọi giao điểm của AM với BN là P, của AN với BM là
và N sao cho AM
MN = NB
H. Chứng minh:
a) PH vuông góc với AB
b) Tứ giác AMNB là hình thang cân.
Đáp án:
P

N

M
H

A

B

O
�
a) AMB
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))

suy ra BM  PA.
Tương tự AN  PB
Tam giác APB có hai đường cao AN và BM
cắt nhau tại H nên PH  AB.
� = NB
� nên ABM
�
�
b) Vì AM
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau),
 BMN
suy ra MN//AB (vì hai góc so le trong bằng nhau)
=> tứ giác AMNB là hình thang.
� =�
� nên AMN
�
Lại do AM
MN = NB
=�
MNB suy ra AN = BM
Hình thang AMNB có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

Câu 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao kẻ từ B và từ C
A
cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD.
a) Chứng minh BD//CH
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
H
O
Đáp án:

C
18
B
D


�
a) -Có ABD
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
=> BD  AB
Lại có CH  AB (gt) nên => BD//CH (từ vuông góc đến song song )
b) C/m tương tự câu a) ta có CD//BH
Tứ giác BHCD có hai cặp cạnh đối song song (BD//CH; CD//BH) nên là hình bình
hành.

Câu 3.Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là
một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình
chiếu của H trên AB.
1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh
3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ∆ECM là tam
giác vuông cân tại C
Đáp án
C
M
0
1) Ta có
= 90 ( do chắn nửa đường tròn đk AB)
H
0

= 90 (do K là hình chiếu của H trên AB)
=>
+
= 1800 nên tứ giác CBKH nội
B
tiếp trong đường tròn đường kính HB.
A
K
O
2) Ta có ∠ACM = ∠ABM (do cùng chắn cung AM
của (O))
và ∠ACK = ∠HCK = ∠HBK (vì cùng chắn cung
HK.của đ tròn đk HB)
Vậy ∠ACM = ∠ACK
V? OC  AB nên C là điểm chính giữa của cung AB  AC = BC và = sd = 900
Xét 2 tam giác MAC và EBC có
MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và
=
= vì cùng chắn cung MC của (O)
MAC và EBC (c.g.c)  CM = CE  tam giác MCE cân tại C (1)
Ta lại có
.


= 450 (vì chắn cung sd
= 900)
=
= 450 (tính chất tam giác MCE cân tại C)

Mà

+
+
= 1800 (Tính chất tổng ba góc trong tam giác)

= 900 (2)
Từ (1), (2)  tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).
Câu 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt
BC ở D và cắt đường tròn (O) tại E.
a) Chứng minh AB.AC = AD.AE
19


b) Chứng minh rằng: ED.EA = EB2

Đáp án:
a) Xét hai tam giác AEB và ACD có
�
� 2 (GT)
A1  A
�1  C
�1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
E
=>  AEB đồng dạng với  ACD (g-g)
=>

A
1

2

O

AE AB

hay AB.AC = AD.AE
AC AD

�1  A
� 2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
b) -Có B
�1  A
� 2 (gt) => B
�1  A
�1 (cùng bằng A
�2 )
A
-Xét hai tam giác EAB và EBD có

1

D
B

C

1
1

E

�1  A
�1
B
�1 là góc chung (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
E
=>  EAB đồng dạng với  EBD (g-g)

=>

EA EB

hay ED.EA =EB2
EB ED

Câu 5 .Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên
ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O). Vẽ đường kính
BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và
B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:
1. 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
2. Đoạn thẳng ME = R.
3. Cho OM = 2R, tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC
4. Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố
định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc 1 đường
tròn
Ta có: ∠MBO = 900 (vì MB là tiếp tuyến)
∠MCO 90 0 (v? MC là tiếp tuyến)
⇒∠MBO + ∠ MCO = 900 + 900 = 1800
⇒ Tứ giác MBOC nội tiếp
(vì có tổng 2 góc đối bằng1800)⇒4 điểm M, B,

O, C cùng thuộc 1 đường tròn
2) Chứng minh ME = R:
20

B

1
M

2

1

O

K

E

C

B'


Ta có MB//EO (vì cùng vuông góc với BB’)
=> ∠ O1 =  M1 (so le trong)
Mà ∠ M1 =  M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) =>  M2 =  O1 (1)
C/m được MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC)
=>  O1 =  E1 (so le trong) (2)
Từ (1), (2) =>  M2 =  E1 => Tứ giác MOCE nội tiếp

=>  MEO =  MCO = 900
=>  MEO =  MBO =  BOE = 900 => Tứ giác MBOE là hình chữ nhật
=> ME = OB = R (điều phải chứng minh)
3) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn đường kính MO suy ra
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOC là
C  2 �R

4) Chứng minh khi OM=2R thì K di động trên 1 đường tròn cố định:
Chứng minh được Tam giác MBC đều =>  BMC = 600
=>  BOC = 1200
=>  KOC = 600 -  O1 = 600 -  M1 = 600 – 300 = 300
Trong tam giác KOC vuông tại C, ta có:
CosKOC 

OC
OC
3 2 3R
 OK 
R :

0
OK
2
3
Cos 30

Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm O,
bán kính =

2 3R

(điều phải chứng minh)
3

Câu 6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D
khác B).
a) Chứng minh AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh
=
Đáp án
Đáp án
M
a)
=
= 900 nên tứ giác AMCO
D
C
nội tiếp
=
= 90 Tứ giác AMDE cóD, E
cùng nhìn AM dưới cùng một góc 900
Nên AMDE nội tiếp
b)

E

0

c) Vì AMDE nội tiếp nên
( cùng chắn cung AE)
Vì AMCO nội tiếp nên
chắn cung AO)
Suy ra

( cùng

21

A

O

B


Câu 7:Trên một đường tròn, lấy liên tiếp 3 cung AC,CD ,DB sao cho số đo 3 cung này
bằng nhau và bằng 60 độ .Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến với
đường tròn tại B và C cắt nhau tại T.Chứng minh rằng
a,Góc AEB bằng góc BTC
b,CD là tia phân giác của góc BCT
Đáp án:
a) Theo giả thiết ta có:
1800  600
 600
=
2
2400  1200
 600

2

Suy ra:
�  1 sd BD
�  300
b) Ta có BCD

2
1
�  sdCD
�  300 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
TCD
2
�  TCD
�  300
dây cung) => BCD
�
Hay CD là tia phân giác của BCT

22