Nhóm cơ bản của không gian tô pô (2018)

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖

▲➊ ❚❍➚ ◆❍❯◆●

◆❍➶▼ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ❑❍➷◆●
●■❆◆ ❚➷ P➷
❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ✿ ❍➐◆❍ ❍➴❈

❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✽


❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖

▲➊ ❚❍➚ ◆❍❯◆●

◆❍➶▼ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ❑❍➷◆●
●■❆◆ ❚➷ P➷
❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ✿ ❍➐◆❍ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

❚■➌◆ ❙➒ ✿ ◆●❯❨➍◆ ❚❻❚ ❚❍➁◆●

❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✽

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✤↕✐
❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥
❚➜t ❚❤➢♥❣✳
❚æ✐ ①✐♥ tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ t❤➛② ◆❣✉②➵♥ ❚➜t ❚❤➢♥❣ ✤➣ ✤à♥❤
❤÷î♥❣ ✈➔ ❝❤➾ ❞➝♥ s→t s❛♦ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔
❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❙ü ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➺♣✱ ♥❣❤✐➯♠ tó❝ ✈➔ ♥❤✐➺t t➻♥❤
tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ✤ó♥❣ ✤➢♥ ❝õ❛ t❤➛② ❧➔ t✐➲♥ ✤➲
q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ tæ✐ ❝â ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥
♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ
tr♦♥❣ ❜ë ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ♥â✐ r✐➯♥❣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ✤↕✐
❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ♥â✐ ❝❤✉♥❣✱ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ q✉→
tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳

❚→❝ ❣✐↔✳

✶


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✱ ✤÷ñ❝
❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚➜t ❚❤➢♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔
tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔✳

✷


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✹

✶ ◆❤â♠ ❝ì ❜↔♥

✶✳✶ ✣ç♥❣ ❧✉➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ◆❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ

✷✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳
✷✳✶✳✶ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➙♥❣ ✳ ✳
✷✳✷ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ✳ ✳
✷✳✸ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✶ ❚➼♥❤ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳

✸ ✣à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥

✸✳✶
✸✳✷
✸✳✸
✸✳✹
✸✳✺
✸✳✻

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

◆❤â♠ tü ❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➼❝❤ tü ❞♦ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤â♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
◆❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳
◆❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ①✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t➟♣ →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✻

✻
✼

✶✶

✶✶
✶✶

✶✷
✶✸
✶✹

✶✻

✶✻
✶✼
✶✼
✶✽
✷✵
✷✶



ị

ổ tổ ổ ởt ố tữủ ỡ ừ ồ õ
ừ ồ tổ ổ õ r ự t t tổ ổ
ổ tổ ổ tt r õ
ổ tổ ổ t õ
õ ỡ t ủ ỏ ữớ õ ũ
ố tr ổ tổ ổ õ ự ỹ tổ t
số ộ từ ừ ổ tổ ổ õ õ ỡ
ởt ố tữủ số ự ợ ộ ổ tổ ổ t ởt ổ
ử õ t t t ữủ ứ õ ụ ữ r ởt
ổ tổ ổ
ự t õ ỡ q trồ
õ ỵ tổ ồ t õ
ệ

r t õ ỡ ớ ổ ừ r t
õ ỡ ớ ỵ
ìẹ P

ỗ õ ỡ ừ ổ tổ ổ

Pì PP

r ự t ồ t t q ử

ị ĩ ế

ởt t t s tr ồ t
ự ổ tổ ổ õ ỡ
ể ế



▲✉➟♥ ✈➠♥ ❣ç♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✶✧❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❧♦↕✐ ✤ç♥❣
❧✉➙♥❀ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥✱ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤â♠
❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♥â✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✧❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ♣❤õ✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤õ ✈➔ ❝→❝❤ t➼♥❤ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ q✉❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ✳
❈❤÷ì♥❣ ✸✧✣à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❤â♠ tü ❞♦ ✈➔
✤à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥ ✈➲ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥✳

✺

❈❤÷ì♥❣ ✶
◆❤â♠ ❝ì ❜↔♥
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥✱ ❤❛✐
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦ rót
✤÷ñ❝✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥
tö❝✱ trø ❦❤✐ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã✳

✶✳✶ ✣ç♥❣ ❧✉➙♥
✭✣ç♥❣ ❧✉➙♥✮ ❈❤♦ X, Y ❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ✱ I =
[0, 1]✳ ❍❛✐ →♥❤ ①↕ f, g : X → Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➳✉ tç♥
t↕✐ ♠ët →♥❤ ①↕ F : X × I → Y s❛♦ ❝❤♦✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

F (x, 0) = f (x)
F (x, 1) = g(x)

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ✈✐➳t f

∀x ∈ X.

✈➔ ❣å✐ F ❧➔ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ tø f ✤➳♥ g✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✭✣÷í♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ✮ ❈❤♦ y0 , y1 ∈ Y ✳ ✣÷í♥❣
tr♦♥❣ Y tø y0 ✤➳♥ y1 ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ f : I → Y ✈î✐✿
g

f (0) = y0
f (1) = y1 .

✭P❤➨♣ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣✮ ◆➳✉ f : I → X ❧➔
♠ët ✤÷í♥❣ tø x0 ✤➳♥ x1✱ ✈➔ g : I → X ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ tø x1 ✤➳♥ x2✱ t➼❝❤
f ∗ g : I → X ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣
f (2s)
✈î✐
0 ≤ s ≤ 21 .
(f ∗ g)(s) =
g(2s − 1) ✈î✐ 21 ≤ s ≤ 1.
tø x0 ✤➳♥ x2✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳

✻


ỗ ữớ ữớ f, g : I Y tr Y
tứ y0 y1 ỗ ữớ õ ởt F : I ì I Y
(s, 0) = f (s)
F (0, t) = y0
ợ FF (s,
s I
t I
1) = g(s).
F (1, t) = y1 .
õ t t f p g F ữủ ồ ởt ỗ ữớ tứ f
g ổ t t f g
q tữỡ ữỡ õ ợ tữỡ ữỡ tữỡ
ự ữủ ồ ợ ỗ ỵ [f ] ợ ỗ ừ

f : X Y.

õ ỡ
ởt ữớ tr X tứ x0 x0 ữủ ồ ởt ỏ
t ỡ s x0 t 1(X, x0) t ủ ợ ỗ ữớ ừ
ỏ tr X t ỡ s x0 ợ ộ [f ], [g] 1(X, x0) t




[f ] [g] = [f g]

õ 1(X, x0) ũ ợ t t ởt õ
ự ợ ồ ởt ỏ tr X t x0
ỵ 1 ởt ỏ t x0 ự [1] tỷ ỡ
ừ õ
1 ởt ỗ ữớ ợ [] [1] = [ 1] = []
ữỡ tỹ 1 ởt ỗ ợ [] [1] = [ 1] = []
[1] tỷ ỡ ừ õ
ự [1] tỷ ừ []
ợ ồ ởt ỏ tr X t x0 t 1 ụ ởt ỏ t x0
s r [], [1] 1(X, x0) 1 ởt ỗ ữớ ợ 1 t
x0 [] [1 ] = [ 1 ] = [1] ữỡ tỹ [1 ] [] = [1 ] = [1]
r [1] tỷ ừ []
ự ([] []) [] = [] ([] []) [], [], [] 1(X, x0)
rữợ t ú t ự r ( ) ỗ ữớ
ợ ( )
t t õ

1


(4s) ợ 0 s


4

1
1
( ( ))(s) = (4s 1) ợ

s

4
2



(2s 1) ợ 1 s 1
2

1


(2s)
ợ
0

s



2

1
(( ) )(s) = (4s 2) ợ s 3
2
4



(4s 3) ợ 3 s 1.
4
õ õ ởt ỗ F tứ ( ) ( ) t tớ
t t ỏ ợ 0 s (1 t) ã 41 + t ã 12 = 1 +4 t s õ
t ỏ ợ 1 +4 t s (1 t) ã 12 + t ã 34 = 2 +4 t ố ũ
t ỏ ợ 2 +4 t s 1

1+t
4s

)
ợ
0

s

(



4
1+t
1+t
2+t
r F (s, t) = (4s 1 t) ợ
s
4
4



( 4s 2 t ) ợ 2 + t s 1.
2+t
4
([] []) [] = [] ([] []) r õ t t t ủ

1 (X, x0 ) õ

ỡ ừ X
ử A Rn t ỗ x0 A t 1 (A, x0 ) õ t
tữớ
tỷ h : X Y ợ x0 X
y0 = h(x0 ) h : 1 (X, x0 ) 1 (Y, y0 ) ữủ ữ s
[f ] h ([f ]) = [h f ].

h ởt ỗ õ

ự [f ], [g] 1(X, x0) t õ [f ] [g] = [f g] 1(X, x0)
h([f g]) = [h (f g)] = [h f ] [h g] õ


h ([f ] [g]) = h ([f ]) h ([g]).

ỵ



✐✮ ◆➳✉ h : (X, x0) → (Y, y0) ✈➔ k : (Y, y0) → (Z, z0) t❤➻ (k ◦ h)∗ = k∗ ◦ h∗✳
✐✐✮ ◆➳✉ i : (X, x0) → (X, x0) ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤➻ i∗ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✤ç♥❣
♥❤➜t ❝õ❛ π1(X, x0)
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✐✮ ❚❛ ❝â (k ◦ h) : (X, x0) → (Z, z0) ⇒ (k ◦ h)∗ : π1(X, x0) → π1(Z, z0)✱
[f ] → (k ◦ h)∗ ([f ]) = [k ◦ h ◦ f ]✳
▼➦t ❦❤→❝✿
h∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ), [f ] → h∗ ([f ]) = [h ◦ f ]✳
k∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Z, z0 ), [h ◦ f ] → k∗ ([h ◦ f ]) = [k ◦ h ◦ f ]✳
❙✉② r❛ (k∗ ◦ h∗)([f ]) = (k ◦ h)∗([f ]) ✈î✐ ∀[f ] ∈ π1(X, x0)✳
✐✐✮ ◆➳✉ i : (X, x0) → (X, x0) ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t✱ t❛ ❝â✿
i∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ), [f ] → i∗ ([f ]) = [i ◦ f ] = [f ]✱ ∀[f ] ∈ π1 (X, x0 )✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ✭❍❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X
Y✱

✈➔

t❛ ♥â✐ ❝❤ó♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ f : X → Y
✈➔ g : Y → X ♠➔ g ◦ f idX ✈➔ f ◦ g idY ✳ ❑þ ❤✐➺✉✿ X ≈ Y.
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ◆➳✉ X ≈ Y t❤➻ π1 (X, x0 ) ∼

= π1 (Y, y0 ) ✈î✐ x0 ∈ X ✈➔
y0 ∈ Y.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ ❝↔♠ s✐♥❤✿
(f g)∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Y, y0 ).

❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿
(f g)∗ = idπ1 (Y,y0 )

✭✈î✐ y0 ∈ Y ♥➔♦ ✤â✮✳ ❱➻ f g ≈ idY ♥➯♥ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ F : I × I → Y s❛♦
❝❤♦✿
F (., 0) = f g
F (., 1) = idY .

●å✐ [γ] ∈ π1(Y, y0) ✈î✐ γ

: I → Y ❧➔ ♠ët
G = F0 (γ × id) : I × I → Y t❤ä❛ ♠➣♥✿

✈á♥❣ t↕✐ y0✳ ❑❤✐ ✤â✱ →♥❤ ①↕

G(t, 0) = F (γ(t), 0) = f g(γ(t))
G(t, 1) = F (γ(t), 1) = γ(t).
✾


❱➟② f g ◦ γ ≈ γ ✱ tù❝ ❧➔ [f g ◦ γ] = [γ]✳ ❉♦ ✈➟②✿ (f g)∗ = idπ (Y,y )✱ ♥â✐ ❝→❝❤
❦❤→❝✿ f∗ ◦ g∗ = id✳
❚÷ì♥❣ tü✿ g∗ ◦ f∗ = id. ❱➟② f∗ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉✳ ❚ù❝ ❧➔✿ π1(X, x0) π1(Y, y0).
1

0

◆➳✉ π1(X) = π1(Y ) t❤➻ X ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ ✈î✐ Y.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ✭❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦ rót ✤÷ñ❝✮ ❈❤♦ A ⊂ X ✳ ❚❛ ♥â✐ X ❝♦
rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✤÷ñ❝ ✈➲ A ♥➳✉ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕✿ F : X × I → X s❛♦ ❝❤♦✿

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳


F (x, 0) = x
F (x, 1) ∈ A , ∀x ∈ X.

F (a, t) ∈ A , ∀a ∈ A.

❚❛ ❣å✐ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✤÷❛ X ✈➲ A✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ Rn ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✤÷ñ❝ ✈➲ ♠ët ✤✐➸♠✳
❚❤➟t ✈➟②✿ ❳➨t →♥❤ ①↕ F : Rn × I → Rn , (x, t) → (1 − t)x.
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ◆➳✉ X ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✈➲ A t❤➻ X ≈ A.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ F : X × I → X ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝â rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✤÷❛
X ✈➲ A✳ ◆➯♥ t❛ ❝â✿f = F (x, 0) : X → X ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ✈➔
g = F (x, 1) : X → A✳
❳➨t idA : A → X ❧➔ →♥❤ ①↕ ♥❤ó♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✿ g ◦ idA : A → A ❧➔ →♥❤ ①↕
✤ç♥❣ ♥❤➜t✳
❚❛ ❝â✿ iA ◦ g : X → X ✈➔ F : X × I → X s❛♦ ❝❤♦✿ F (x.0) = idX ✈➔
F (x, 1) ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ i ◦ g ✳
❙✉② r❛✿ idA ◦ g ≈ idX ✳ ❱➟② X ≈ A.
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ◆➳✉ A ❧➔ ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ❝õ❛ X t❤➻ π1 (X, a) ≈ π1 (A, a).
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳ π1 (Rn , x) ≈ {1}.
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ◆➳✉ X

❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣ ✈➔ x0, y0 ∈ X t❤➻ π1(X, x0) ∼
=

π1 (X, y0 ).

✶✵


❈❤÷ì♥❣ ✷
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ
✷✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳

❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ✱ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ❝õ❛ X ❧➔ ♠ët
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X˜ ❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕ p : X˜ → X t❤ä❛ ♠➣♥✿
❱î✐ ✤✐➸♠ x ∈ X ✤➲✉ ❝â ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð U ⊂ X s❛♦ ❝❤♦✿
−1
p (U ) = ∪i∈I Ui ✈➔ p|U : Ui → U ❧➔ ✤ç♥❣ ♣❤æ✐✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ✭▼➦t ①♦➢♥ è❝✮ ❧➔ ♠➦t ①♦➢♥ ✤✐♥❤ è❝ S ⊂ R3 ❧➔ t➟♣ ❝→❝
✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣ (s.cos2πt, s.sin2πt) ✈î✐ (s, t) ∈ (0, ∞) × R✳ ❳➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
p : S → R2 − {0}✱ (x, y, z) → (x, y)✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥➔② ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ♣❤õ p : S → R2 − {0} ✈➻ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ R2 − {0} ✤÷ñ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣
♠ët ✤➽❛ ♠ð U tr♦♥❣ R2 − {0} ✈î✐ p−1(U ) ❜❛♦ ❣ç♠ ♥❤✐➲✉ ✤➽❛ ♠ð rí✐ r↕❝
✤➳♠ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ S ❝❤✐➳✉ ✤ç♥❣ ♣❤æ✐ ❧➯♥ U ✳
❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ p : S 1 → S 1 , p(z) = z n ✳
●å✐ S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}❀ s✉② r❛ z = e2iπt✱ ❧➜② z0 ∈ S 1 ⇒ z0 = e2iπt✳
▼➔ U = {z : z = e2iπt, t ∈ (t − ε, t + ε)} ♥➯♥✿
p−1 (U ) = {e + } ✈î✐ k = 0, n − 1.
i

2iπt
n

✷✳✶✳✶

2iπk
n

❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➙♥❣

❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ p : X˜ → X ✱ ♠ët ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ ft : Y → X ✈➔ ♠ët
→♥❤ ①↕ f˜0 : Y → X˜ ♥➙♥❣ f0✱ t❤➻ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ✤ç♥❣ ❧✉➙♥ f˜ : Y → X˜
❝õ❛ f˜0 ♠➔ ♥➙♥❣ ft✳
✶✶


x0 ) 1 (X, x0 ) ữủ s ởt ổ ừ
p : 1(X,
x0 ) (X, x0 ) ỡ õ p (1 ((X,
x0 )) tr
p : (X,
1 (X, x0 ) ỗ ợ ỗ ừ ỏ tr X t x0
X t tứ x0 ỏ
x0 ) (X, x0 ) ợ
ố ữủ tớ ừ ừ ởt ổ ừ p : (X,
tổ ữớ số ừ p (1 ((X,
x0 )) tr 1 (X, x0 )
X, X
x0 ) (X, x0 ) ởt

sỷ ởt ổ ừ p : (X,
f : (Y, y0) (X, x0) ợ Y tổ ữớ tổ ữớ
x0 ) ừ f tỗ t
ữỡ t ởt f : (Y, y0)rightarrow(X,
x0 )
f (1 (Y, y0 )) p (1 ((X,
ởt ổ ừ p : X X ởt f : Y X
f1, f2 : Y X ừ f ũ t ởt ừ Y Y tổ
t ũ t ồ tr Y

P ổ ừ
p1 : X1 X p2 : X2 X ổ
ừ ỳ p1 p2 ữủ ỗ ổ : X1 X2
s p2. = p1 ỏ ồ ỳ ổ ừ
X tổ ữớ tổ ữớ ữỡ
ỡ ữỡ ổ ừ tổ ữớ p1 :
1
X1 X p2 : X2 X x1 p1
1 (x0 ) x2 p2 (x0 ) õ tỗ t ởt
f ừ p1 p2 f (x1) = x2 p1 (1(X1, x1)) =




p2 (1 (X2 , x2 ).

ỵ ỵ X

ổ tổ ữớ
tổ ữớ ữỡ ỡ ỷ ữỡ õ tỗ t

s ỳ t ợ t ỡ s ừ ổ
x0 ) (X, x0 ) t õ
ừ tổ ữớ p : (X,
ừ 1(X, x0) ọ q ỡ s t s õ ởt s
ỳ ợ ừ ổ ừ tổ ữớ p : X X
ợ ủ ừ õ ừ 1(X, x0).
ự ự r ợ ởt ổ ừ p :
x0 ) (X, x0 ) t ờ ỡ s x0 tr p1 (x0 ) tữỡ
(X,
x0 )) õ ủ ừ 1 (X, x0 )
ự ợ t p(1(X,



sỷ r x1 ỡ s tr p1(x0) ởt
ữớ tứ x0 x1 ởt ỏ X ởt
xi )) ợ i = 0, 1
tỷ õ g 1(X, x0) t Hi = p(1(X,
õ g1H0g H1 ợ f ởt ỏ t x0 t ã f ã ởt
ỏ t x1
ữỡ tỹ gH1g1 H0 õ H1 g1H0g
ứ tự tr t ữủ g1H0g = H1
õ t ờ ỡ s tứ x0 s x1 t ờ H0 s õ
ủ H1 = g1H0g
ữủ t ờ H0 s ởt õ H1 = g1H0g ồ
ởt ỏ g ữớ t t x0 x0 =
ợ trữợ õ t ữủ H1 = g1H0g

ờ ừ
ợ ổ ừ p : X X ởt

X
ữủ ồ ởt ờ ừ
X
ờ ũ ợ ủ t t

ởt õ ỵ G(X).
ử 1 (S 1 ) = ?
õ (R, exp) tr õ (exp(t) = e2it) ừ ờ ử ừ S 1 ử
ỵ tr t õ G(R)
= 1 (S 1 ) sỷ h G(R) t exp(h(x)) =
exp(x) h(x) = x + n(x) , n(x) Z s r n(x) = h(x) x : R Z
tử tr t rớ r n(x) = const s r h(x) =
= Z.
x + n , n Z õ G(X)
ử ợ ổ ừ S 1 S 1 z z n ờ ừ
= Zn .
ỏ ừ S 1 q õ ở ừ 2n G(X)
t s q trỹ t ừ t t ữớ tự t
tổ ữớ ởt ờ ừ
sỷ G(X)
t ữủ ừ ởt õ t

ờ ỗ t õ t ố ởt ừ X.





ổ ừ t ổ ừ p : X

ữủ ồ t ợ ộ x X ộ x, x ừ x
t õ ởt ờ ừ x t x .
ử ờ ừ tr ử tr ổ
ừ t
X



õ ỡ

x0 ) (X, x0 ) ởt ổ ừ tổ
ỵ p : (X,

ữớ ừ ổ tổ ữớ tổ ữớ ữỡ X
x0 )) 1 (X, x0 ) õ
H õ p(1(X,
ổ ừ X t H õ
t ừ 1(X, x0)
ợ tữỡ N (H)/H õ N (H) õ õ
G(X)
ừ H tr 1(X, x0).
ợ 1 (X, x0 )/H X
ừ t
õ r G(X)
1 (X, x0 )
õ ợ ừ ờ ử X X ú t õ G(X)

ự r ự ừ ỵ t
ỡ s x0 p1(x0) t x1 p1(x0) tữỡ ự ợ ủ H
ởt tỷ [] 1(X, x0) õ ởt ữớ tứ tứ

x0 x1 õ [] tr õ õ N (H)
x0 ) = 1 (X,
x1 ) tữỡ ữỡ sỹ tỗ t ừ ởt ờ ừ
p (1 (X,
x0 t x1 õ ổ ừ t
N (H) = 1 (X, x0 ) ự H õ t ừ 1 (X, x0 )
, [] ợ ờ ừ x0
t : N (H) G(X)
t x1 tr tr õ ởt ỗ
t ởt ỏ tữỡ ự ờ ừ x0
t x1 t . .( ) ởt ữớ tứ x0 s (x1) = (x0)
. ờ ừ tữỡ ự [][ ]
tr t õ t t ừ õ ự ợ []
ỏ tr X Ker = H

t q ừ ỵ ỗ t õ G(X)
N (H)/H



◆➳✉ t→❝ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët ♥❤â♠ G tr➯♥ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Y
t❤ä❛ ♠➣♥ ♠é✐ y ∈ Y ❝â ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ U s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ ↔♥❤ g(U ) ✈î✐ ♠å✐
g ∈ G t❤❛② ✤ê✐ ❧➔ rí✐ ♥❤❛✉✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ g1 (U ) ∩ g2 (U ) = ∅ ⇔ g1 = g2 ✱
t❤➻✿
✐✱ ⑩♥❤ ①↕ t❤÷ì♥❣ p : Y → Y /G , p(y) = Gy ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ
❝❤✉➞♥ t➢❝✳
✐✐✱ G ❧➔ ♥❤â♠ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤õ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ Y → Y /G ♥➳✉ Y
❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣✳
✐✐✐✱ G ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ π1(Y /G)/p∗(π1(Y )) ♥➳✉ Y ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣✱
❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❱➼ ❞ö ✷✳✻✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ ♣❤õ✿ p : R → S 1
❚❛ ❝â π1(S 1) ∼
= G(R)✳ ❚❤❡♦ ✈➼ ❞ö tr➯♥ t❛ ❝â✿ G(R ∼
= R)✳
❱➟② π1(S 1) ∼
= Z✳
❱➼ ❞ö ✷✳✼✳ ●å✐ T = S1 × S1 ❧➔ ♠ët ①✉②➳♥✳ ●å✐ p : R → S1 ❧➔ ♠ët ♣❤õ✳
❳➨t →♥❤ ①↕✿

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✸✳

✤➙② ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕

p × p : R × R → S1 × S1
♣❤õ✳ ❚❛ ❝â✿ G(p × p) ∼
= Z × Z✳

❱➟② π1(S1 × S1) ∼
=Z×Z

✶✺


ữỡ
ỵ
ỵ ởt ữỡ t õ ỡ ừ
ổ tổ q ổ t ổ
õ ỡ t sỷ ử õ tố ỵ
ú t õ t t õ ỡ ừ ởt ữủ ợ ổ

õ tỹ
S ởt t t ý ồ S 1 ởt t s ợ S
tữỡ ự tỷ x S ợ x1 S 1 ởt tứ ợ ỳ tr S ởt
ỳ tỷ ừ S S 1 ổ õ tỷ ữủ
ồ tứ rộ
tứ t ỹ ữủ ởt tứ ợ t tứ õ

(s1 s2 ...sn )(t1 t2 ...tm ) = s1 s2 ...sn t1 t2 ...tm .

t ữợ r ởt tứ s1s2...sn ợ ỳ tr S
tứ t õ s s1 t t õ ọ
t ủ tt tứ ỳ tr S ợ t tỷ
tr t ởt õ P tỷ ỡ tứ rộ tỷ
1 1
ừ tứ s1s2...sn s1
n ...s2 .s1 .
õ ỗ tứ ợ ỳ tr S ữủ ồ õ
tỹ s S ỵ < S >
ử õ < {a} > s ởt tỷ a t ỵ < a >
õ t t < a >= {an; n Z} tr õ am.an = am+n tỷ



✤ì♥ ✈à ❧➔ a0✳
❚❛ ❝â✿ < a >∼
= (Z, +).
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❈❤♦ G ❧➔ ♠ët t➟♣ ✈➔ R ❧➔ t➟♣ ❝→❝ tø ✈î✐ ❝❤ú tr♦♥❣ G✱
tù❝ ❧➔ R ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ G✳ ●å✐ N ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛
G ❝❤ù❛ R✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥❤â♠ t❤÷ì♥❣ < G > /N ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ < G/R >✳
❈→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❝õ❛ ♥❤â♠ ✤â ✈➔ ❝→❝

♣❤➛♥ tû ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺✳
❱➼ ❞ö ✸✳✷✳ < a|a2 >= {a0 , a} ∼
= Z2 .

✸✳✷ ❚➼❝❤ tü ❞♦ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤â♠✳
❈❤♦ G ✈➔ H ❧➔ ❤❛✐ ♥❤â♠✳ ❳➨t t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tø ✈î✐ ❝❤ú tr♦♥❣ G ❤♦➦❝
tr♦♥❣ H ♠➔ tr♦♥❣ ♠ët tø ♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧✐➯♥ t✐➳♣ ♠➔ t❤✉ë❝ ❝ò♥❣ ♠ët
t❤➻ ✤÷ñ❝ ❣✐↔♥ ÷î❝ ❜ð✐ t♦→♥ tû ♥❤â♠✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿ ba2ab3b−5a = ba3b−2a.
◆â✐ r✐➯♥❣✱ ♥➳✉ x ✈➔ x−1 ❦➲ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ♠ët tø t❤➻ ❝❤ó♥❣ tr✐➺t t✐➯✉
♥❤❛✉✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ❣✐↔♥ ÷î❝✳ ❈❤♦ ❤❛✐ tø✱ t❛ ❞ü♥❣ ♠ët
tø ♠î✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t ❝❤ó♥❣ ❦➲ ♥❤❛✉✳
❇ê ✤➲ ✸✳✶✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tø ð tr➯♥ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ♥❤â♠✱ t❛ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤
tü ❞♦ ❝õ❛ G ✈➔ H ✳ ❑þ ❤✐➺✉✿ G ∗ H.
❱➼ ❞ö ✸✳✸✳ < g > ∗ < h >:= {g m1 hn1 g m2 hn2 ...g mk hnk |mi , ni ∈ Z}.

✸✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥
❈❤♦ U, V ⊂ X ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ♠ð ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣ s❛♦ ❝❤♦
U ∩ V ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷í♥❣✱ ❝❤♦ x0 ∈ U ∩ V ✳ ●å✐ iU : U ∩ V → U ✈➔
iV : U ∩ V → V ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♥❤ó♥❣✳
❑❤✐ ✤â✿

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶✳

π1 (U ∪ V, x0 ) ∼
=

π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 )
.
< {(iU )∗ (α).(iV )−1
∗ (α)|α ∈ π1 (U ∩ V, x0 )} >

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➔② tæ✐ ❝❤➾ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ →♥❤ ①↕ φ : π1(U ), x0 ∗ π1(V, x0) → π1(U ∪ V, x0) ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳
✶✼


ởt ỏ õ tr X t x0 ờ số s
t ủ ợ ừ { 1(U ), 1(V )} ừ [0, 1] tỗ t ởt
ừ [0, 1] 0 = t0 < t1 < ... < tn = 1 s ([ti1, ti] U )
1([ti1, ti] V ) , i = 0, n ỡ ỳ ú t õ t s
(ti) U V t i ữớ |[t ,t ] ữủ t số õ
[0, 1] ữủ t số õ 1 .2 ...n ởt ữớ tr
U V tứ (ti ) x0 , 1 i n 1 t ỗ ữớ tr
U V t õ
i1 i

1 .2 ...n
1
(1 .1 ).(11 .2 .2 )...(n1
.n ).
õ ộ ỏ t x0 tr U V ỗ
ỏ t x0 tr U tr V
ồ jU : U U V jV : V U V ồ

ữớ ợ ởt t

: 1 (U ), x0 1 (V, x0 ) 1 (U V, x0 )
a1 b1 ...an bn (jU ) (a1 )(jV ) (b1 )...(jU ) (an )(jV ) (bn ).
ởt ỗ t

q U V ỡ t 1 (U V, x0 )
= 1 (U, x0 )1 (V, x0 ).

õ ỡ ừ t ữớ trỏ


X ổ sr s
n

X=

Si
i=1

Si ỗ ổ ợ ữớ trỏ S 1 sỷ tỗ t p X Si Sj = {p}
i = j õ X ữủ ồ t ừ ữớ trỏ
ỵ X t ừ ữớ trỏ S1 , ..., Sn ồ p
ừ ữớ trỏ õ 1(X, p) õ tỹ
fi ỏ tr Si t f1 , ..., fn tỷ s ừ 1 (X, p).
ự t ờ s




❈❤♦ X = A ∪ B ✈î✐ A, B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ X ✳ ❈❤♦
f : A → Y ✈➔ g : B → Y ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✱ s❛♦ ❝❤♦✿ f (x) = g(x)
✈î✐ x ∈ A ∩ B ✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕✿
❇ê ✤➲ ✸✳✷✳

h:X→Y

s❛♦ ❝❤♦✿ h(x) = f (x) ♥➳✉ x ∈ A ✈➔ h(x) = g(x) ♥➳✉ x ∈ B
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝➛♥ ❦✐➸♠ tr❛ →♥❤ ①↕ h : X → Y s❛♦ ❝❤♦✿ x → f (x) ♥➳✉ x ∈ A ✈➔
x → g(x) ♥➳✉ x ∈ B ❧➔ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳
❈❤♦ U ⊂ Y ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ t❤➻ h−1(U ) = f −1(U ) ∪ g−1(U )✳ ❱➻ f ❧✐➯♥ tö❝
♥➯♥ f −1(U ) ✤â♥❣ tr♦♥❣ A✱ ❞♦ ✤â ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ ✈➻ g ❧✐➯♥ tö❝
♥➯♥ g−1(U ) ✤â♥❣ tr♦♥❣ B ✱ ❞♦ ✤â ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳
❱➟② h−1(U ) = f −1(U ) ∪ g−1(U ) ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ❙✉② r❛ h ❧✐➯♥ tö❝✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣
t❤❡♦ n✳
❱î✐ n = 1 ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣✳
❈❤♦ X ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❝õ❛ n ✤÷í♥❣ trá♥ S1, ..., Sn ✈î✐ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ p✳
❚r➯♥ ♠é✐ Si ❧➜② ♠ët ✤✐➸♠ qi = p✳ ✣➦t wi = Si − qi✳
❑þ ❤✐➺✉ U = S1 ∪ w2 ∪ ... ∪ wn ✈➔ V = w1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn✳
❑❤✐ ✤â✿ U ∩ V = w1 ∪ w2 ∪ ... ∪ wn.
❚❛ ❝â wi ✤ç♥❣ ♣❤æ✐ ✈î✐ ❦❤♦↔♥❣ ♠ð✱ ❞♦ ✤â ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✈➲ p✳ ●å✐
Fi : wi × I → wi ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣✳ ❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ tr➯♥✱ t❛ ❝â
→♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ F : U ∩ V × I → U ∩ V ❧➔ ♣❤➨♣ ❝♦ rót ❜✐➳♥
❞↕♥❣ ✤÷❛ U ∩ V ✈➲ p✳
❱➟② U ∩ V ❧➔ ✤ì♥ ❧✐➯♥✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥ t❛ ❝â✿
π1 (X, p) ∼
= π1 (U, p) ∗ π1 (V, p).

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ U ❝♦ rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✈➲ S 1 ✈➔ V
❝â rót ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ✈➲ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❝õ❛ (n − 1) ✤÷í♥❣ trá♥✳
❱➟② π1(X, p) ∼
= π1 (U, p) ∗ π1 (V, p)✳
❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✾


õ ỡ ừ
r ử t sỷ ử ổ ừ t ữủ 1(S 1 ì
S 1)
= Z ì Z r ử t s õ ỡ ừ
tổ q t tỹ
ứ ử t õ p ì p : R ì R S 1 ì S 1 t
ừ õ I 2 t ữủ
= p ì p : I 2 T = S 1 ì S 1.

õ ừ I 2 ổ A = S 1 ì{1}{1}ìS 1
A t ừ ữớ trỏ
tr ừ I 2 s T A T
õ t ổ I 2 ừ õ A
ỵ s
ỵ X ổ sr A ổ õ
tổ ữớ ừ X sỷ õ ởt tử h : B 2 X
tr B 2 s X A S 1 = B 2 A
p S 1, a = h(p) ồ
k : (S 1 , p) (A, a)

ừ h õ ỗ
i : 1 (A, a) 1 (X, a)

s tứ ú t t õ
t ọ t ừ 1(X, a) ự ừ k : 1(S 1, a) 1(A, a)
ỵ õ ỡ ừ õ ỡ ừ S 1 ì S 1
õ ỗ tỷ s , ợ q 1 1

ự X = S 1 ì S 1 h : I 2 X
ừ ừ p ì p : R ì R S 1 ì S 1 p(0, 0) BdI 2
a = h(p) A = h(BdI 2) t tt ừ ỵ tr ữủ tọ




ổ A t ừ ữớ trỏ õ ỡ ừ A
õ tỹ t ú t t a0 ởt ữớ a0(t) = (t, 0)
b0 ởt ữớ b0(t) = (0, t) BdI 2 t ữớ = h a0
= h b0 ỏ tr A s [], [] t
tỷ s tỹ 1(A, a)
a1 ởt ữớ a1(t) = (t, 1) b1 ởt ữớ b1(t) = (1, t)
BdI 2 t ỏ f tr BdI 2 ữủ t
f = a0 (b1 (a b))

t f ởt tỷ s ừ 1(BdI 2, p) ỏ g = h f
t ( ( ))
ỵ tr t õ 1(X, a) tữỡ ừ õ tỹ s
tỷ tỹ [] [] õ t ọ t ự
tỷ [][][1][ 1].

t ử
X

R3
1 (R3 X).

ủ ừ n ữớ t q ố tồ ở

õ ỡ ừ ổ t ữủ tứ ọ
S 1 ì S 1 ỗ t ởt ữớ trỏ S 1 ì {x0 } tr ởt
ỏ ợ ữớ trỏ S 1 ì {x0} tữỡ ự tr ởt ỏ

r r 1(R2 Q2) ổ ữủ
r r ủ X Y ừ ổ rộ X Y ỡ
X tổ ữớ
r r ổ ừ R3 ủ õ
1
1
n t ( n , 0, 0) ợ n = 1, 2, ... ỡ




❑➌❚ ▲❯❾◆
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❚æ ♣æ✳ ❑➳t q✉↔
✤↕t ✤÷ñ❝ ❜❛♦ ❣ç♠✿
✶✳ ✣÷❛ r❛ ✤÷ñ❝ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ♣æ✿ ✤ç♥❣
❧✉➙♥✱ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ç♥❣ ❧✉➙♥✱ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥✱ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♣❤õ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♥â✳
✷✳ ✣÷❛ r❛ ❝→❝❤ t➼♥❤ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ q✉❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤õ ✈➔ ❝â ✈➼ ❞ö✱ ❜➔✐
t➟♣ ❝ö t❤➸✳
✸✳ ✣÷❛ r❛ ❝→❝❤ t➼♥❤ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ q✉❛ ✤à♥❤ ❧þ ❱❛♥ ❑❛♠♣❡♥ ✈➔ ❝â ✈➼
❞ö ✈➲ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥✱ ♥❤â♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛
①✉②➳♥ ✈➔ ❝â ❜➔✐ t➟♣ ❝ö t❤➸✳

✷✷

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❬✶❪ ❆✳❍❛t❝❤❡r✱ ✷✵✵✷✱ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ t♦♣♦❧♦❣② ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳
❬✷❪ ❏✳ ▼✉♥❦r❡s✱ ✶✾✾✾✱ ❚♦♣♦❧♦❣②✭s❡❝♦♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✮ P❡❛rs♦♥✳

✷✸