50 bài tập rèn LUYỆN THEO CHỦ đề HÌNH học 9

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

CHỦ ĐỀ 1:
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG
GIÁC GÓC NHỌN
Câu 1. Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ
nhật ABCD . Chứng minh rằng MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 .

µ + Cµ = 900 . Chứng minh rằng
Câu 2. Cho tứ giác ABCD có D
AB 2 +CD 2 = AC 2 + BD 2 .
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Lấy D
thuộc cạnh AC , điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho

AD
HE
1
·
=
= . Chứng minh rằng BED
= 900 .
AC
HA
3
Câu 4. Cho hình vuông ABCD . Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ
cắt các canh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại
các điểm E và F .Chứng minh rằng:

1
1
1

Câu 5.
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

µ = 1200 . Tia Ax tạo với tia AB góc
Cho hình thoi ABCD với A
·
bằng 150 và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N
BAx
. Chứng minh rằng:

1
1
4
.
+
=
AM 2 AN 2
3AB 2

Câu 6. Cho tam giác cân ABC ,

µ = 200, AB = AC , AC = b, BC = a . Chứng minh rằng:
A

a3 + b3 = 3ab2 .
Câu 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,

a
b
c
.
=
=
sin A
sin B
sinC
Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c . Chứng
BC = a, AC = b, AB = c . Chứng minh rằng:

minh rằng: sin

A
a
. Câu 9. Cho góc vuông xOy và điểm A
£
2 b+c
35


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

cố định thuộc tia Oy , điểm B Î Ox sao cho OA = OB Điểm M
chạy trên tia Bx . Đường vuông góc với OB tại B cắt AM ở I .
Chứng minh tổng

1
1
không đổi.
+
AI 2 AM 2

Câu 10. Cho hình thang vuông ABCD có

A = D = 90o, AB = 9cm,CD = 16cm, BC = 25cm . Điểm E thuộc
cạnh BC sao cho BE = AB

·
a) Chứng minh: AED
= 900
b) Tính AE , DE
CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI
ĐƯỜNG TRÒN, GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

(

)

Câu 11. Cho đường tròn O; R , R = 4cm . vẽ dây cung AB = 5cm
, C là điểm trên dây cung AB sao cho AC = 2cm . Vẽ CD vuông
góc với OA tại D . Tính độ dài đoạn thẳng AD .

(

)

Câu 12. Cho đường tròn O;R , AC và BD là hai đường kính .
Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác
ABCD lớn nhất.
Câu 13. Cho đường tròn (O; R) từ điểm M bên ngoài đường tròn
ta kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm A, B và

C , D biết AB = CD . Chứng minh rằng MA = MC .

(

)

Câu 14. Cho đường tròn O; R đường kính AB,CD là dây cung

( )

·
của O , COD
= 900 , CD cắt AB tại M ( D nằm giữa C và M )
và OM = 2R . Tính độ dài các đoạn thẳng MD, MC theo R .

( )

Câu 15. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B . Gọi O là
đường tròn bất kỳ đi qua A và B . Qua C vẽ đường thẳng vuông

( )

góc với OA , cắt đường tròn O ở D và E . Chứng minh rằng các

độ dài AD, AE không đổi.
36


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

(

)

Câu 16. Cho đường tròn O; R , hai bán kính OA và OB vuông
góc tại O . C và D là các điểm trên cung AB sao cho AC = BD
và hai dây AC , BD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM ^ AB .

(

)

Câu 17. Cho điểm A ở ngoài đường tròn O;R . Vẽ cát tuyến

ABC và tiếp tuyến AM với đường tròn ( O ) . M là tiếp điểm.
Chứng minh rằng AB + AC ³ 2AM .
Câu 18. Cho đoạn thẳng AB , đường thẳng d và d ' lần lượt
vuông góc với AB tại A và B . M là trung điểm của AB . Lấy

·
C , D lần lượt trên d,d ' sao cho CMD
= 900 . Chứng minh rằng CD
là tiếp tuyến của dường tròn đường kính AB .

(

)

Câu 19. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O;R vẽ hai tiếp

(

)

tuyến PA và PB tới đường tròn O;R với A và B là các tiếp
điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính
BC của đường tròn. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm
I của AH .
Câu 20. Một đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
AB, AC lần lượt tại D, E . Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD ;

CM cắt DE tại I . Chứng minh rằng

(

IM
DM
.
=
IC
CE

)

Câu 21. Cho đường tròn O;r nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

BC tại D . Vẽ đường kính DE ; AE cắt BC tại M . Chứng minh
rằng BD = CM .
Câu 22. Cho tam giác ABC . Một đường tròn tâm O nội tiếp tam
giác ABC và tiếp xúc với BC tại D . Đường tròn tâm I là đường
tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC

( )

tại F . Vẽ đường kính DE của đường tròn O . Chứng minh rằng

A, E , F thẳng hàng.
37


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Câu 23. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC , AB, AC lần lượt ở D, E , F . Đường thẳng qua E song song với

BC cắt AD, DF lần lượt ở M , N . Chứng minh rằng M là trung
điểm của đoạn thẳng EN .
Câu 24. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi O là trung điểm của BC .
Dựng đường tròn tâm O đường kính BC . Vẽ đường cao AD của

( )

tam giác ABC và các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn O (

M , N là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD . Hãy
chứng minh rằng AE .AD = AM 2 .
Câu 25. Cho tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AD tiếp
xúc với BC và đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD .
Chứng minh rằng AB / / CD .
Câu 26. Cho tam giác đều ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC
không chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BC , D là

» = 600 . Gọi M là giao
điểm trên nủa đường tròn sao cho sđCD
điểm của AD với BC . Chứng minh rằng BM = 2MC .

(

)

(

)

Câu 27. Cho đường tròn O; R và O ';R ' tiếp xúc trong tại A

( R > R ') . Tiếp tuyến tại điểm M

(

)

(

)

bất kỳ của O ';R ' cắt O;R tại

·
·
.
B và C . Chứng minh rằng BAM
= MAC

(

)

Câu 27. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R , AH là

(

)

đường cao H Î BC . Chứng minh rằng: AB.AC = 2R.AH .

µ nhọn nội tiếp trong đường tròn
Câu 28. Cho tam giác ABC có A

(O;R ) . Chứng minh rằng: BC

·
.
= 2R sin BAC

( )

( )

Câu 29. Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B .
Qua A vẽ hai cát tuyến CAD và EAF (C và E nằm trên đường

38


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

( )

( )

tròn O , D và F nằm trên đường tròn O ' ) sao cho

·
·
. Chứng minh rằng CD = EF .
CAB
= BAF

( )

Câu 30. Cho đường tròn O đường kính AB . C là điểm trên

(

)

cung AB (C khác A và B ). Vẽ CH ^ AB H Î AB . Vẽ đường

(

)

( )

tròn C ;CH cắt đường tròn O tại D và E . DE cắt CH tại M .
Chứng minh rằng MH = MC .

(

)

Câu 31. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R . Vẽ AD là

·
·
đường cao của tam giác ABC . Chứng minh rằng BAD
.
= OAC
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD . Đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCD cắt đường thẳng AC tại E . Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc với BD .
Câu 33. Cho đoạn thẳng AB . M là điểm di động trên đoạn thẳng
AB ( M khác A và B ). Vẽ đường thẳng xMy vuông góc với AB

tại M . Trên tia Mx lần lượt lấy C và D sao cho MC = MA,
MD = MB . Đường tròn đường kính AC cắt đường tròn đường
kính BD tại N ( N khác A ). Chứng minh rằng đường thẳng MN
luôn luôn đi qua một điểm cố định.

(

)

Câu 34. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O;R có
đỉnh A cố định, đỉnh B,C di động.Dựng hình bình hành ABDC .
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BDC là điểm cố định.

( )

Câu 35. Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ đường tròn O đường kính

BC . Vẽ AD là đường cao của tam giác ABC , các tiếp tuyến
AM , AN với đường tròn ( O ) ( M , N là các tiếp điểm). MN cắt AD
tại E . Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABC .
Câu 36. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Từ A vẽ các tiếp

( )

tuyến AM , AN với đường tròn O đường kính BC ( M , N là các
tiếp điểm). Chứng minh rằng M , H , N thẳng hàng.
39


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Câu 37. Cho tam giác ABC cân đỉnh A , đường trung trực của
AB cắt BC tại D . Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ACD .
Câu 38. Cho tam giác ABC

( Aµ = 90 ) và AB < AC . Vẽ đường
0

tròn tâm A bán kính AB cắt BC tại D , cắt AC tại E . Chứng
minh rằng DB .CB = EB 2 .
Câu 39. Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn

(O;R ) ( AB < AC , Aµ = 90 ) . Đường tròn ( I )
0

qua B,C tiếp xúc với

AB tại B , cắt đường thẳng AC tại D . Chứng minh rằng
OA ^ BD .
Câu 40. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O . Trên cùng

( )
AB và nửa đường tròn ( O ') đường kính AO . Trên ( O ') lấy điểm
M (khác A và O ), tia OM cắt ( O ) tại C , gọi D là giao điểm thứ
hai của CA với ( O ') .

một nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn O đường kính

a) Chứng minh tam giác ADM cân.

( )

b) Tiếp tuyến tại C của O cắt tia OD tại E , xác định vị trí tương

( )

( )

đối của đường thẳng EA đối với O và O ' .
Câu 41. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R . Gọi M

( )

là điểm di động trên đường tròn O . Điểm M khác A, B ; dựng
đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến AC và BD với đường tròn tâm M vừa dựng.
a) Chứng minh BM , AM lần lượt là các tia phân giác của các góc

·
·
và BAC
.
ABD

40


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

b) Chứng minh ba điểm C , M , D nằm trên tiếp tuyến của đường
tròn tâm O tại điểm M .
c) Chứng minh AC + BD không đổi, từ đó tính tích AC .BD theo
CD .
d) Giả sử ngoài A, B trên nửa đường tròn đường kính AB không
chứa M có một điểm N cố định. gọi I là trung điểm của MN , kẻ
IP vuông góc với MB . Khi M chuyển động thì P chuyển động
trên đường cố định nào.

( )

Câu 42. Cho nửa đường tròn O đường kính AB , điểm C thuộc

¼ , E là giao điểm
nửa đường tròn. Gọi I là điểm chính giữa AC
của AI và BC . Gọi K là giao điểm của AC và BI .
a) Chứng minh rằng EK ^ AB .
b) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp

( )

tuyến của O .
c) Chứng minh rằng AK .AC + BK .BI = AB 2 .

·
d) Nếu sin BAC
=

(

2 . Gọi
H là giao điểm của EK và AB .
3

)

Chứng minh K H K H + 2HE = 2HE .K E .

( )
đường tròn ( C ¹ A,C ¹ B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn ( O ) . Gọi M là điểm

Câu 43. Cho đường tròn O đường kính AB = 2A , điểm C thuộc

chính giữa cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC
tại N .
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân.
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R .
41


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

(

)

Câu 44. Cho đường tròn O; R đường kính AC . Trên đoạn thẳng

OC lấy điểm B và vẽ đường tròn ( O ') có đường kính BC . Gọi M

là trung điểm của AB , qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt

( )

( )

đường tròn O tại D và E . Nối CD cắt đường tròn O ' tại I .
a) Tứ giác DAEB là hình có đặc tính gì? Vì sao?
b) Chứng minh MD = MI và MI là tiếp tuyến của đường tròn

(O ') .
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC . Chứng minh
CH .MB = BH .MC .
Câu 45. Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường tròn tâm D
đường kính BC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại K , L . Lấy điểm
P thuộc cung nhỏ K L , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn tại P
cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N .
a) Chứng minh D BMD : D CDN rồi suy ra BM .CN =
b) Chứng minh

SMDN
SABC

=

BC 2
.
4

MN

.
2BC

c) Gọi E , F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho chu vi

·
D AEF bằng một nửa chu vi D ABC . Chứng minh rằng EDF
= 600
.
Câu 46. Cho tam giác ABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn

(O;R ) . Các tiếp tuyến của đường tròn (O ) tại A,C cắt nhau tại M
. BM cắt đường tròn ( O ) tại D . Chứng minh rằng:
MA
AD
=
MB
AB
AD.BC = AB .CD .

a)

42

b)


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

c) AB .CD + AD.BC = AC .BD .

d) D CBD cân.

(

)

Câu 47. Trên nửa đường tròn tâm O;R , đường kính AB lấy hai
điểm M , E theo thứ tự A, M , E , B . Hai đường thẳng AM và BE
cắt nhau tại C , AE và BM cắt nhau tại D .
a) Chứng minh rằng tứ giác MCED nội tiếp và CD vuông góc với
AB .
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB . Chứng minh rằng
BE .BC = BH .BA .
c) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn

(O )

cắt nhau tại một điểm I thuộc CD .

·
·
d) Cho BAM
= 450, BAE
= 300 . Tính diện tích tam giác ABC theo

R.
Câu 48. Cho tam giác ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh
BC . Các điểm D, E lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao

·
cho DOE
bằng 600 .
a) Chứng minh BD.CE không đổi,

·
b) Chứng minh rằng tia DO là tia phân giác của BDE
.
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng
đường tròn này luôn tiếp xúc với DE và AC .

( )

d) Gọi P ,Q lần lượt là tiếp điểm của O với AB, AC . I và N lần
lượt là giao điểm của PQ với OD và OE . Chứng minh rằng
DE = 2IN .

(

)

Câu 49. Cho đường tròn O;R và điểm A ở bên ngoài đường

( )

tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O ( B,C là các
tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AB .

43

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và xác định tâm I của
đường tròn này.
b) Chứng minh rằng AM .AO = AB .AI .
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ACM . Chứng minh MG / / BC .
d) Chứng minh I G vuông góc với CM .

(

)

Câu 50) Cho đường tròn O;R nội tiếp D ABC , tiếp xúc với cạnh

AB, AC lần lượt ở D và E
a) Gọi O ' là tâm đường tròn nội tiếp D ADE , tính OO ' theo R .

µ và Cµ cắt đường thẳng DE
b) Các đường phân giác trong của B
lần lượt tại M và N . Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp được
đường tròn.
c) Chứng minh

MN
DM
EN
.
=
=

BC
AC
AB

PHẦN 3
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN
CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ
SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Câu 1. Giải:
Vẽ ME ^ AB, E Î AB . EM cắt DC tại F . Tứ giác AEFD có
µ =E
µ =D
µ = 900 nên là hình
A
·
chữ nhật, suy ra EA = FD, MFD
= 900 .
µ =B
µ = Cµ = 900
Tứ giác EBCF có E

44


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

·
nên là hình chữ nhật, suy ra EB = FC , MFC
= 900 . Áp dụng

định lý Pitago vào các tam giác vuông EAM , FMC , EBM , FMD ,
ta có:
MA 2 = EM 2 + EA 2;MC 2 = FM 2 + FC 2;MB 2 = EM 2 + EB 2;
MD 2 = FM 2 + FD 2 .Do đó MA2 + MC 2 = EM 2 + EA2 + FM 2 + FC 2
và MB 2 + MD 2 = EM 2 + EB 2 + FM 2 + FD 2 mà
EA = FD, FC = EB . Suy ra MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 .
Câu 2. Giải:
µ + Cµ = 900 < 1800 nên hai
Ta có D
đường thẳng AD và BC cắt nhau.
Gọi E là giao điểm của AD và BC .
µ + Cµ = 900 nên ·
Vì D ECD có D
CED = 900 .
Các tam giác EAB, ECD, EAC , EBD vuông tại E nên theo định
lý Pitago ta có: EA2 + EB 2 = AB 2 (1); EC 2 + ED 2 = CD 2 (2);
EA 2 + EC 2 = AC 2 (3);

EB 2 + ED 2 = BD 2 (4).Từ (1) và (2) ta

có: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = AB 2 + CD 2 .Từ (3) và (4) ta có:
EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = AC 2 + BD 2 . Do đó
AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 .
Câu 3. Giải:
Từ giả thiết

AD
HE
1
=

=
AC
HA
3

ta nghĩ đến DF ^ AH , F Î AH .
Từ đó AF = HE , HA = FE và
áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
45


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

HEB, FDE , HAB, FAD, ABD ta sẽ chứng minh được:
BE 2 + ED 2 = BD 2 .
Câu 4. Giải: Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF cắt
DC tại G .Xét D ABE và D ADG có:
·
·
ABE
= ADG
= 900;AB = AD (vì ABCD là hình vuông);
·
·
·
(hai góc cùng phụ với DAE
). Do đó
BAE
= DAG
D ABE = D ADG (g.c.g) Þ AE = AG .

·
D AGF có GAF
= 900;AD ^ GF
theo hệ thức về cạnh và đường
cao tam giác vuông, nên ta có:
1
1
1
+
=
.
2
2
AG
AF
AD 2
Do đó

1
1
1
+
=
.
2
2
AE
AF
AD 2

Câu 5.

Dựng AE ^ AN , AH ^ CD E , H Î CD ,dựng AF ^ BC thì hai
tam giác AHE , AFM bằng nhau nên AE = AM . Trong tam
giác vuông AEN ta có:
nên ta có:

46

1
1
1
+
=
, mà AE = AM
AE 2 AN 2 AH 2

1
1
1
+
=
.Ta cần chứng minh:
2
2
AM
AN
AH 2

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

3
3
AB Û AH =
DC .Nhưng điều này là hiển nhiên
2
2
do tam giác ADC , ABC là các tam giác đều.
AH =

Câu 6. Giải:
·
Vẽ tia Bx sao cho CBx
= 200 , Bx
cắt cạnh AC tại D . Vẽ AE ^ Bx, E Î Bx .
Xét D BDC và D ABC có
·
·
·
chung.
CBD
= BAC
= 200 ; BCD
Do đó

BD
BC
DC
=

=
AB
AC
BC

BD
a2
a2
.
.BC = ;AD = AC - DC = b AB
b
b
·
·
·
D ABE vuông tại E có ABE
= ABC
- CBD
= 600 nên là nửa

Þ BD = BC = a ; DC =

AB
b
b
= Þ DE = BE - BD = - a .
2
2
2
D ABE vuông tại E , nên theo định lý Pitago ta có:

tam giác đều, suy ra BE =

3
AE 2 + BE 2 = AB 2 Þ AE 2 = AB 2 - BE 2 = b2 . D ADE vuông tại
4
E , nên theo định lý Pitago ta có:
2

2
æ a2 ö
ö
3 2 æ
b
3
1
÷
÷
ç
ç
÷
AE + DE = AD Þ b + ç - a÷
=
bÞ b2 + b2 - ab + a2
ç
÷
÷
ç
÷
÷

ç
ç
4
bø
4
4
è2
ø è
2

2

= b2 - 2a2 +

2

a4
a4
Þ
+ ab = 3a2 Þ a3 + b3 = 3ab2 .
2
2
b
b

Câu 7. Giải:
Vẽ AH ^ BC , H Î BC ;

47

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

µ = 900
vì trong D HAB có H
nên sin B =

AH
; vì trong D HAC
AB

µ = 900 nên sinCµ = AH . Do đó
có H
AC
sin B
AC
b
b
c
. Chứng minh tương tự ta có
=
= Þ
=
sinC
AB
c
sin B
sinC
a
b

a
b
c
.Vậy
.
=
=
=
sin A
sin B
sin A
sin B
sinC
Câu 8. Giải:
Vẽ đường phân giác AD
của tam giác ABC .
Theo tính chất đường phân
giác của tam giác ta có

Þ

BD
DC
=
AB
AC

BD
BD + DC
BC

BD
a
=
=
=
. Vậy
.
AB
AB + AC
AB + AC
AB b + c

·
Vẽ BI ^ AD ( I Î AD ) , suy ra BI £ BD . D IAB có AIB
= 900 , do
·
đó sin BAI
=

A
a
BI
; hay sin £
.
2 b+c
AB

Câu 9.
Dựng đường thẳng vuông góc
với AM tại A cắt BO tại K .

Dựng IH ^ OA . Ta dễ chứng minh
48


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

được D AOK = D IHA Þ AK = AI .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AK M ta có:
1
1
1
+
=
( không đổi)
2
2
AK
AM
AO 2
Câu 10.
a). Do BE = AE = 9cm Þ CE = 25 - 9 = 16cm .
GọiK là giao điểm của DE và AB . Ta có
·
·
·
· E nên tam giác
BEK
= DEC
= EDC
= AK

BEK cân do đó BK = BE Þ D AEK vuông tại
E ( Do BA = BK = BE ).
b) Tính được: AD = 24cm suy ra:
1
1
1
1
1
=
+
= 2 + 2 Þ AE = 14,4cm;DE = 19,2cm
2
2
2
AE
AD
AK
24
18
CHỦ ĐỀ 2:
SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI
ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG
THẲNG
Câu 11. Giải:
Vẽ đường kính AE có AE = 8cm .
Điểm B thuộc đường tròn
·
đường kính AE Þ ABE
= 900 .
·

Xét D ADC và D ABE có DAC

49


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

·
·
= ABE
= 900 ,
(chung), ADC

(

do đó D ADC : D ABE Þ

)

AD
AC
AC .AB
. Mà
=
Þ AD =
AB
AE
AE

AC = 2cm, AB = 5cm, AE = 8cm , nên AD =

2.5 5
= ( cm) .
8
4

Câu 12.
Giải:Vẽ AH ^ BD ( H Î BD ) .
Tứ giác ABCD có
OA = OA = R,OB = OD = R
nên là hình bình hành. Mà
AC = BD = 2R do đó tứ giác

ABCD là hình chữ nhật, suy ra
SABCD = AB .AD .
µ = 900 , AH ^ DB nên AB .AD = AH .DB .
D ABD có A
Vì AH £ AO, DB = 2R nên SABCD £ 2R 2 (không đổi). Dấu “=”
xảy ra Û H º O Û AC ^ BD .
Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì
diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Câu 13. Giải:
Vẽ OH ^ AB ( H Î AB ) , OK ^ CD ( K Î CD ) .
Ta có AB = CD (gt), nên
OH = OK (định lý liên
hệ dây cung và khoảng
50


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

cách đến tâm) và H , K
lần lượt là trung điểm của
AB,CD (định lý đường kính

(

·
0
vuông góc dây cung) Þ AH = CK . Xét D OHM OHM = 90

)

có OM (cạnh chung) và OH = OK , do đó D OHM = D OK M
(cạnh huyền, cạnh góc vuông) Þ MH = MK . Ta có
MH - AH = MK - CK Þ MA = MC .
Câu 14. Giải:
·
Vì COD
= 900 suy ra tam giác
COD vuông cân tại O nên
CD = R 2 .Gọi H là trung điểm của CD . Vì D HOM vuông tại
H,
1
2
OH = CD =
R,OM = 2R . Trong tam giác vuông OMH ta
2
2
2

2
có: MH 2 = OM 2 - OH 2 = 4R 2 - R = 7R Þ MH = 14 R suy ra
2
2
2

MD = MH - AH =

R 2
2

(

)

R 2
7 - 1 , MC =
2

(

)

7 +1

Câu 15.
Gọi H là giao điểm của OA và DE .
Ta có OA ^ DE Þ AD = AE . Chỉ cần
chứng minh AD hoặc AE có độ dài
không đổi. Các đoạn thẳng AB, AC

51


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

có độ dài không đổi, DE ^ OA từ đó
gợi cho ta vẽ đường phụ là đường kính AF để suy ra:
AD 2 = AH .AF , AC .AB = AH .AF .
Câu 16. Giải:
D OAB cân đỉnh O , AC = BD ,
những điều này giúp ta nghỉ đến
chứng minh OM là đường phân giác
góc O của D OAB .Vẽ OI ^ AC ,
OK ^ BD ( I Î AC , K Î BD )
thì ta có OI = OK suy ra lời giải bài toán.
Câu 17. Giải:
Vẽ OH ^ BC , H Î BC ,
suy ra BH = HC (định lý
đường kính vuông góc dây cung).
Ta có AB + AC =

( AH -

·
BH ) + ( AH + HC ) = 2AH . D MAO có AMO
= 900 , theo
·
định lý Pitago có AM 2 + OM 2 = OA 2 ; D HAO có AHO
= 900
nên AH 2 + OH 2 = OA 2 mà OB = OM = R , OH £ OB nên

OH £ OM . Do đó OH 2 £ OM 2 , suy ra AH ³ AM . Từ đó ta có:
AB + AC ³ 2AM .
Câu 18. Giải:
Vẽ MH ^ CD, H Î CD .
Gọi N là trung điểm của CD
52


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

thì MN là đường trung bình của
hình thang và tam giác MNC cân
·
·
·
tại N nên NMC
.
= ACM
= MCN
·
Suy ra CM là tia phân giác của ACH
nên MA = MH , Từ đó
ta có điều phải chứng minh.
Câu 19. Gợi ý:
Dễ thấy PB / / AH , gọi D là giao điểm của CA và BP thì tam
giác BAD vuông tại A . Do PA = PB Þ PA = PB = PD (Do
·
·
·
·

cùng phụ với DBA
).
PDA
= DAP
= PAB
Áp dụng định lý Thales ta có:
IA
IH
AH
mà
=
=
PD
PB
BD
PB = PD Þ IA = IH

Câu 20. Giải:
Điều cần chứng minh làm ta nghĩ đến định lý Thales do vậy
ta làm xuất hiện “hai đường thẳng song song”.
+ Vẽ CK / / AB, K Î DE .
Ta có

IM
DM
(*)
=
IC
CK

·
·
·
· C
+ Vì CEK
= AED
= ADE
= EK

53


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Suy ra tam giác CEK cân tại C Þ CE = CK .Thay vào (*) ta
có:

IM
DM
=
IC
CE

Câu 21. Giải:
Vẽ tiếp tuyến tại E của
đường tròn ( O ) cắt AB, AC lần lượt
tại H , K .Ta có
ED ^ HK , ED ^ BC Þ HK / / BC .
Gọi N là tiếp điểm của đường tròn ( O ) tiếp xúc với AC .
OK ,OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD

· OC = 900 .
(tính chất trung tuyến) Þ K
·
·
·
·
+ Xét D OEK và D CDO có OEC = CDO = 900 ,OK E = COD

(

)

EK
OE
·
(cùng phụ với EOK
).Do đó D OEK : D CDO Þ
hay
=
OD CD
EK
r
HE
r
. Tương tự cũng có
. Do vậy
=
=
r
CD

r
BD
EK
BD
EK
BD
EK
BD
=
Þ
=
hay
(1)
=
HE
CD
EK + HE
BD + CD
HK
BC
+ Trong D ABM có HE / / BM , áp dụng hệ quả của định lý
Thales trong tam giác ta có

HE
AE
. Tương tự có
=
BM
AM

HE
EK
EK
EK + HE
EK
AE
=
Þ
=
. Do đó
hay
=
BM
CM
CM
CM + BM
CM
AM
EK
HK
EK
CM
=
Þ
=
CM
BC
HK
BC
54

(2)


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Từ (1) và (2) cho ta BD = CM .
Câu 22. Giải: Theo đề ra có A,O, I
thẳng hàng (vì O, I cùng nằm
trên tia phân góc A ).
+ Gọi M , N là tiếp điểm của ( O ) ;

( I ) với AB , ta có OM / / IN
nên

AO OM
(hệ quả của định lý Thales).
=
AI
IN

Mà OM = OE , IN = IF nên có

AO OE
=
.
AI
IF

·

·
Mặt khác ED ^ BC , IF ^ BC Þ OD / / IF Þ AOE
.
= AIF
+ Xét D OAE và D IAF có

AO OE ·
·
, do đó
=
; AOE = AIF
AI
IF

·
·
. Vậy A, E , F thẳng hàng.
D OAE : D IAF Þ OAE
= IAF
Câu 23. Giải
+ Vì đường tròn (I ) tiếp xúc với
các cạnh tại D, E , F nên suy ra
AE = AF , BE = BD,CD = CF .
+ Dựng AK / / BD ( K Î DF ) ta có:
MN
MD EM
AM
,
. Ta cần
=

=
AK
DA BD
AD

55


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

chứng minh:

MD
AM
MD
BD
. Nhưng
.AK =
.BD Û
=
DA
AD
AM
AK

AK = AF = AE , BD = BE nên ta cần chứng minh:

MD
BE
=

AM
AE

(điều này là hiển nhiên).
Câu 24. Giải:
AM , AN là các tiếp tuyến của đường
tròn ( O ) ,gọi H là giao điểm của AO
và MN .
Ta có tam giác AHE đồng dạng với
Tam giác ADO nên AE .AD = AH .AO .
Cũng theo tính chất tiếp tuyến ta có: AH .AO = AM 2 .Từ đó
suy ra điều phải chứng minh.
Câu 25. Giải:
Gọi O, I lần lượt là tâm của các
đường tròn đường kính AD, BC .
Cần chứng minh AB / / OI cho ta
nghĩ đến các điểm M , N là tiếp
điểm của đường tròn ( O ) tiếp xúc
với BC , đường tròn ( I ) tiếp xúc với AD .
BC
AD
,OM =
,OM ^ BC , IN ^ AD giúp ta có SAOI = SBOI
2
2
từ đó có được AB / / OI .
IN =

56

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

CHỦ ĐỀ 3- GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN, TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Câu 25. Giải:
Gọi O là trung điểm của BC
·
thì tam giác OCD đều nên OCD
= 600
Þ AB / / CD .Để chứng minh: BM = 2MC
Ta cần chứng minh AB = 2CD .
Xét tam giác vuông BDC ta có:
1
CD = BC .sin300 = BC suy ra BC = AB = 2CD
2
Câu 26. Giải:
Ta gọi giao điểm của AM và cung BC
·
·
» = DC
¼ .
là D .Ta có BAM
= MAC
Û BD
Û OD ^ BC Û O 'M / / OD
·
·
Û AMO
' = ADO
·

·
Để chứng minh: AMO
ta
' = ADO
dựa vào các tam giác cân O 'AM và OAD .
Câu 27. Giải:
Vẽ đường kính AD của đường
·
tròn ( O ) , suy ra ACD
= 900
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét D HBA và D CDA có:
57


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

·
·
·
·
¼ ),
AHB
= ACD
= 900 ;HBA
= CDA
(góc nội tiếp cùng chắn AC

(

)

AH
AB
=
Þ AB .AC = AD.AH . Mà
AC
AD
AD = 2R . Do đó AB.AC = 2R.AH .

Do đó D HBA : D CDA Þ

Câu 28. Giải:
Vẽ đường kính BD của đường tròn

(O;R )

·
Þ BCD
= 900 (góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn).
·
. Ta lại có
D BCD có Cµ = 900 nên BC = BD sin BDC
·
·
¼ ) nên
(góc nội tiếp cùng chắn BC
BD = 2R;BDC

= BAC
·
.
BC = 2R sin BAC
Từ bài toán này ta cần ghi nhớ kết quả quan trọng:
Trong tam giác ABC ta có:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sinC

Câu 29. Giải:
·
Ta có: AB là tia phân giác của CAF
,
Vẽ BH ^ CD, BK ^ EF .
Thì suy ra BH = BK
Ta có: D CBD$ D EBF suy ra
CD
BH
=
= 1 Û CD = EF . Đó là điều phải chứng minh.
EF
BK

Câu 30. Giải:
Dựng đường kính HN của đường tròn
58


PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

(C )

cắt đường tròn ( O ) tại K khi đó ta có

CN = CH = HK và
MC .MK = MH .MN ( = MD.ME ) .
Þ MC .MK = ( HC - MC ) .( HC + MC )
2
Û MC .MK = HC 2 - MC 2 Û MC (MC + MK ) = HC

Hay Û MC (MC + MK ) = HC 2 Û MC .2HC = HC 2 Û HC = 2MC
là điều phải chứng minh.
Câu 31. Giải:
Dựng đường kínhAE của đường
·
·
tròn ( O;R ) .Ta có AEC
= ABD
(cùng chắn cung AC )
suy ra D DBA : D CEA , từ đó suy ra
·
·
.

BAD
= OAC
Câu 32.
·
·
Ta có: BEC
(cùng chắn cung )
= BDC
·
·
(so le trong)
BC và ABD
= BDC
·
·
suy ra BEC
.
= ABD
Vì vậy tia BD là tia tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
Câu 33. Giải:
59