De dap an thi HSG mon toan

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học 2017 - 2018
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

ĐỀ MINH HỌA
Đề thi có 03 trang

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
(Gồm 16 câu trắc nghiệm khách quan có 1 hoặc nhiều lựa chọn. Hãy chọn các
phương án đúng và viết và tờ giấy thi.)
� y
x �� y  x �
A�

:
�x  xy y  xy ��
�� xy �
�
�
��
�.Sau khi rút gọn biểu thức thì
Câu 1. Cho biểu thức

A sẽ bằng:
A. -1

B.

xy
x y

G

Câu 2. Cho biểu thức
gọn biểu thức ta sẽ có G=?

A.

x
x y

B.

C. 2

D. x

1
3 x 2 y

:
x  y yx x y

2

x y

y
y2

(với x> 0; y>0; x#y). Rút

1
x
D. 6

x
x2

C.

Câu 3: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(6;2) và vuông góc với đường thẳng
1
y = - 3 x + 1 là:

A. y = -3x +20

B. y = 3x -16

1
C. y = 3 x

1
D. y = 3 x + 1
2

Câu 4. Cho phương trình

là?
A. 6
B. 7

2

( x  3 x) 2  6( x  3 x)  7

.Tổng các nghiệm của phương trình

C. 4

D. 5

2mx  3y  5
�
�
Câu 5: Điều kiện của tham số m để hệ phương trình �(m  1)x  y  2 có nghiệm duy

nhất (x; y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là:
A. 5  m  3 ;

B. m  5 ;

C. m  3 ;

D. m  3 hoặc m  5 .

Câu 6: Hàm số
A. 2018;

y





2017  2018 x 2

đạt giá trị lớn nhất bằng:

B. 2017  2018 ;

C. 1;

D. 0.


2
3
2
Câu 7: Giá trị của m để phương trình x  2mx  m  4m  2m  6  0 có nghiệm kép
là:

A. m = 1;

C. m  � 2 ;

B. m = 3;

D. m = –3.

Câu 8: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì phương trình
b 2 x 2  (b 2  c 2  a 2 )x  c 2  0 có số nghiệm là:

A.1 nghiệm;

B. 2 nghiệm;

C. vô nghiệm;

D. vô số nghiệm

 , có AB = 10cm, AC =
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD 
15cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Độ dài đoạn thẳng CE
là:
D �BC

A. 10cm;

B. 12cm;

C. 15cm;

D. 9cm.

�
�
Câu 10. Tam gi¸c ABC cã B

= 2 C ; AB = 4cm; BC = 5cm. TÝnh ®é dµi
AC?

A. 9 cm

B. 20cm

C. 36cm

D. 6cm

Câu 11. Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10 cm, chiều cao ứng
với cạnh bên bằng 12 cm. Tam giác cân đó có diện tích là.
A. 60 cm2

B.120 cm2

C. 75cm2

D.57cm2
�

Câu 12. Cho tam giác ABC có ( A  90 ), AH vuông góc với cạnh huyền BC(H �BC)
0

có sinB = 0,6. Kết quả nào sau đây là sai.
AH
A. cosC = AC

B. cosC = sin HAC

C. cosC = 0,6

CH
D. cosC = AC

�

0
�
Câu 13: Cho tam giác ABC cân tại A, có BAC  45 và AB = 2018cm. Khi đó độ dài
đoạn thẳng BC là:

A. 2018 2  2 (cm);

B. 4036 (cm);

C. 2018 2 (cm);

D.



2018 2  2



(cm).

0 �

0 �
0
� �
Câu 14: Tứ giác ABCD có A  C  90 ; B �90 ; D �90 . Nhận xét nào sau đây đúng:

A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD không đi qua điểm C.
B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm D.
C. Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm
của BD.


D. Bn im A; B; C; D cựng thuc mt ng trũn cú tõm l trung im
ca AC.
Cõu 15: Cho na ng trũn tõm O, ng kinh AB = 10cm. Gi M l mt im bt
k thuc na ng trũn, qua M k tiờp tuyờn xy. Gi D v C ln lt l hỡnh chiờu
ca A, B trờn xy. Din tich ln nht ca t giỏc ABCD l:
A. 50cm2;

B. 100cm2;

C. 25cm2;

D. Kờt qua khỏc.

Cõu 16: Cú 108 ngi ng ki tham gia hc tiờng Anh, Phỏp, Nht, biờt s ngi hc
1
tiờng Nht bng 2

1
s ngi hc tiờng Phỏp; s ngi hc tiờng Phỏp bng 3 s

ngi hc tiờng Anh. S ngi hc tiờng Anh l:
A. 54

B. 72

C. 36

D. ỏp ỏn khỏc.

II. PHN T LUN (12,0 im)
Cõu1: (5,0 im)

a) Cho biểu thức

2
x
1

S

:
1




x 1 x x x x 1
x 1
. Tìm tất cả các giá

trị của x để biểu thức S nhận giá trị là một số nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức .
3

P 22 x 3x 169
3

x

2011

, biết:

10 6 3.





3 1

62 5 5

Cõu2: (6,0 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. N l im tựy ý thuc cnh AB. Gi E l
giao im ca CN v DA. V tia Cx vuụng gúc vi CE v ct AB ti F. Ly M l trung
im ca EF.
a) Chng minh: CM vuụng gúc vi EF.
b) Chng minh: NB.DE = a2 v B, D, M thng hng.

c) Tỡm v tri ca N trờn AB sao cho din tich ca t giỏc AEFC gp 3 ln din tich
ca hỡnh vuụng ABCD
Cõu3: (1,0 im) Cho a, b, c > 0. Chng minh rng:
a
b
c
a
b
c





ab bc ca
bc
ca
ab


-------------------------Ht------------------------

HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII
CP TNH NM HC 2017 - 2018
MễN: TON
I. PHN TRC NGHIM: 8,0 im ( Mụi cõu ỳng c 0,5 im
Cõu
ỏp ỏn
Cõu
ỏp ỏn

1
A
9
D

2
B
10
D

3
B
11
C

4
A
12
A

5
C
13
A

6
D
14
B,C

7
B
15
A

8
C
16
B

II. PHN T LUN: 12,0 im
Cõu1: (5,0 im)
2
x
1

S

:
1




x 1
x 1 x x x x 1

. a) Cho biểu thức
. Tìm tất cả các giá

trị của x để biểu thức S nhận giá trị là một số nguyên
b) Tính giá trị của biểu thức
3

P 22 x 3 x 169
3

Cõu

í

x

2011

, biết:

10 6 3.





3 1

62 5 5

Ni dung

i
m


ĐKXĐ: x 0; x 1

Rút gọn ta đợc:

0,25
S

S

a
2,5

x 1
x x 1

Với x 0; x 1 ta có:
Mặt khác: Đặt

0,5

x 1

0

2

1 3

x
2 4


0,25

x a 0; a 1 . Giả sử tồn tại x để

S có giá trị nguyên thì phơng trình
( ẩn a tham số S ) có nghiệm
Sa 2 a S 1 S 1 0

S

a 1
a a 1
2

0,25

có nghiệm

Tacó:
Cõu 1

3S 2 6 S 1 0 3 S 1 4 1

2

5,0

2 3
2 3
S 1
3
3

0,5

Mà S 0 ; S nguyên nên S 1; S 2
x0

x 1
1
x4

-Với S 1 thì x x 1
x 1

x 1

2
1

x
x x 1
4

-Với S 2 thì

0,5

Vì x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ nên với
x 0; x 4; x

0,25

1
4 thì S nhận giá trị là một số

nguyên.
3

x

Ta có:
b
2,5

Do đó:

( 3 1)3 .





3 1

( 5 1) 2 5

P 22.23 3.2 169

2011



3 1

2

3 1

5 1 5

1,5

12011 1

1


Câu2: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là
giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung
điểm của EF.
a.Chứng minh: CM vuông góc với EF.
b.Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.

c.Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích
của hình vuông ABCD

E
M

A

N

D

B

F

C

�
�
�
Ta có: ECD  BCF (cùng phụ với ECB )

Câu2

a

Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vuông – góc
nhọn)

6,0 đ

2đ

� CE = CF

1.0

�  ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF

1,0
b

* Vì  EDC =  FBC � ED = FB

 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

0,5


vuông ta có:
BC2 = NB.BF
� a2 = NB.DE (đpcm)

*  CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

CM 
2đ

0.5

EF
2

 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên
AM 

EF
2

0.5

� CM = AM � M thuộc đường trung trực của AC.

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực
của AC

0.5

� B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của

AC (đpcm).

c
2đ

Đặt DE = x (x > 0)  BF = x

1
AF �
 AE  CB 
SACFE = SACF + SAEF = 2
1
 (AB  BF) �
 AE  AD 
2
1
 (a  x).DE
2
1
 (a  x)x
2

SACFE = 3.SABCD

0.5

0.25

1
� (a  x)x  3a 2 � 6a 2  ax  x 2  0
2
� (2a  x)(3a  x)  0

Do x > 0; a > 0  3a + x > 0 � 2a  x  0 � x = 2a
� A là trung điểm của DE � AE = a

0.5

AN AE

1
Vì AE //BC nên NB BC
� N là trung điểm của AB.

0,5

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.25

Câu3: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a
b
c
a
b
c





ab bc ca
bc
ca
ab

Câu3
1,0đ

a
a
ac
1�

ab abc .
* Vì a, b, c > 0 nên a  b
b
ba

;
b

c
a

b

c
Tương tự:

�

c
cb


ca abc

a
b
c


2
ab bc ca
(1)

* Ta có:

a
a

bc
a (b  c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
a  (b  c)
� a (b  c)  0
2
2
1
ۣ
abc
a(b  c)

ۣ

2a
abc

a
a (b  c)

2a
abc

a
bc

0,5


2b
b
�
;
a

b

c
a

c
Tương tự:

�

2c
c
�
abc
ba

a
b
c


�2
bc
ca
ab

Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
�

a
b
c


2
bc
ca

ab
(2)

0,5

Từ (1) (2) ta có đpcm.
PHÒNG GD&ĐT
THANH SƠN

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH
Năm học 2017 - 2018

TRƯỜNG THCS
LÊ QUÝ ĐÔN

Môn: Toán (Phần trắc nghiệm khách quan)
Thời gian 45 phút không kể thời gian giao đề

(Đề minh họa)
Điểm bài thi

Họ tên, chữ ký giám khảo

Bằng số:

Giám khảo số 1:

Bằng chữ:

Giám khảo số 2:

Số phách

Hãy khoanh tròn vào chữ cái trước các câu trả lời đúng
Câu 1. Giá trị của biểu thức
2017
A. 2016

Câu 2. Cho biểu thức

A

2015
B. 2017
a

1
1 2
3

3



1
1 2 3
3

3

3

2016
C. 2017

�
�
�


1
1  2  3  ...  20163 là:
3

3

3

2017
D. 2015

2 1
3 2
4 3
2017  2016


�
�
�


1 2
23
3 4
2016  2017 thì:


A.

a

2
5

B.

a

3
10

C.

a

7
20

D.

a

1
2 2



1
2017

Câu 3. Đường thẳng đi qua điểm A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên
dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố là:
A. 3x +y -15 =0

B. 3x – y +5 = 0

C. x - y +15 = 0

D. x +y -7 =0

Câu 4. Đường thẳng đi qua A(7; 2) và cách đều hai điểm B(2; 8) và C(8; 4) về hai phía là:
A. 2x +y –7 =0

B. 2x +y -16 =0

C. 2x +3y -21 =0

D. 4x – 8y +7 =0

Câu 5. Cho đường thẳng (d): y = 2x +4. Đường thẳng (d’) đối xứng với d qua đường thẳng y

=x có phương trình là:
A. y =4x +2

B. x -2y -4 =0

C. x -2y +4 =0

D. x – y =0

Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Biết AH = 14cm; BH = HC
= 30cm. Độ dài AD bằng:
A. 11cm

B. 20cm

C. 32cm

D. 35cm

(a  1) x  y  a  1
�
�
Câu 7. Cho hệ phương trình: �x  (a  1) y  2
(tham số a ). Với điều kiện của a để hệ

phương trình có nghiệm duy nhất
7
A. 8

1

B. 2

 x; y  thì giá trị nhỏ nhất của x + y là:
1
C. 4

5
D. 8

Câu 8. Cho Parabol (P) y  x và đường thẳng (d): y = 2x + 3. Gọi A, B là giao điểm của (d)
và (P). Tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:
2

A. (0; 0)

�1 1 �
�; �
B. �2 2 �

�1 �
� ;1 �
C. �2 �

D.

 1;1

Câu 9. Cho Parabol (P) y  x . Tập hợp các điểm M sao cho các tiếp tuyến kẻ từ M với (P)
vuông góc với nhau là đường thẳng:
2

1
A. y = 4

1
B. y = 2

C. y = -1

D. y = -2

Câu 10. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 60cm. Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD =
20cm. Lấy H là trung điểm của AD. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AB tại M.
Độ dài đoạn MD là:
A. 25cm
B. 28cm
C. 29cm
D. 20 2 cm


2
Câu 11. Giá trị của m để phương trình: x  mx  2m  4  0 (tham số m) có ít nhất một
nghiệm không âm là:

A. m > 2

B. m �2

C. m �2

D. m < 2

Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Các đường trung tuyến BD và

CE vuông góc với nhau. Độ dài cạnh BC bằng;
A. 2 5 cm;

B. 3 5 cm;

C. 4 5 cm;

D. 5 5 cm.

Câu 13. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 6 2 cm. Gọi d là tiếp tuyến tại A của
đường tròn, lấy M là một điểm bất kì trên d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BM, cắt d
tại N. Độ dài nhỏ nhất của MN là:
A. 10 2 cm

B. 12cm

C. 6 2 cm

D. 10cm

Câu 14. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD. Điểm O chia
trong đoạn AD theo tỉ số 2:1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tỉ số của AK:KC bằng:
4
A. 5

B. 2cm2

C. 8cm2

D. 6cm2

Câu 15. Cho tam giác ABC, biết AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm.
Diện tích tam giác ABC là:
A. 233,5cm2

B. 232,5cm2

C. 235,2cm2

D. 234,4cm2

Câu 16. Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh là 6cm. Người ta muốn cắt một hình thang như
hình vẽ. Tổng của x + y để diện tích hình thang EFGH bé nhất là:

A. 7cm

B. 5cm

7 2
C. 2 cm

D. 4 2 cm


------------------------ Hết ------------------------

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

Năm học 2017 - 2018
Môn: Toán (Phần tự luận)

(Đề minh họa)

Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y;
b) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:
a2 – b = b2 – c = c2 – a
Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = –1.
Câu 2 (4,0 điểm).
2
2
a) Giải phương trình: 3 x  4 x  5  x  3  11x  25 x  2  0 ;

b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (4,5 điểm).
/

Cho đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AC và
/
/

AD của đường tròn (O) và (O ). Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) tại E. Qua A kẻ
/
cát tuyến cắt (O) và (O ) lần lượt tại M và N.
MC
a) Chứng minh tỉ số NF không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A;


b) Gọi K là giao điểm của ME và NF; I là trung điểm của MN. Chứng minh
đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định khi MN quay quanh A;
c) Khi MN song song với EF, chứng minh: MN = BE + BF.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  3 . Tìm giá trị
19a  3 19b  3 19c  3
T


1  b2
1  c2
1  a2
nhỏ nhất của biểu thức:

------------------------ Hết ------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: Toán 9

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 8 điểm). Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm


Câu

Đáp án

1

B

2

A, C

3

A, D

4

B

5

B

6

A, C

7

A

8

D

9

A

10

B

11

C

12

A

13

B

14

A

15

C

16

C

II. PHẦN TỰ LUẬN: ( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y;
b) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:
a2 – b = b2 – c = c2 – a
Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1.
Nội dung cần đạt
a) pt: x(y + 1)2 = 32y

Điểm


Vì (y, y+1) = 1 nên 32 M(y + 1)2 � (y + 1)2 � {1; 4; 16}
Vì y nguyên dương nên y � {1; 3}

1.5

Vậy (x; y) � {(8;4), (6;3)}
b) Ta có:
a 2 – b = b2 – c
2

2

b –c=c –a
a2 – b = c2 – a

� a  b 1 

ac
a b

� b  c 1 

ba
bc

� c  a 1 

c b
ca

1.5

� (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1

Câu 2 (4,0 điểm).
2
2
a) Giải phương trình: 3 x  4 x  5  x  3  11x  25 x  2  0 ;

b) Giải hệ phương trình:
Nội dung cần đạt

Điểm

a) Điều kiện : x �3
2
2
PT � 3 x  4 x  5  x  3  11x  25x  2
2
2
� 3 ( x  4 x  5)( x  3)  x  6 x  25

� 3 ( x  4 x  5)( x  3)  ( x  4 x  5)  10( x  3)
2

2
�
�a  x  4 x  5
�
Đặt �b  x  3

2

( a  0, b �0 )

Pt : 3ab = a2 – 10b2 � (a + 2b)(a – 5b) = 0
� a = 5b ( vì a + 2b > 0)
� x 2  6 x  25  25( x  3)

Giải pt được nghiệm

2,0

2
�
(1)
�x + y + x(1- 2y) = 0
�2
2
2
b) Hệ tương đương �(x + y) + 3x (1- 2y) = 0 (2)

Thay (1) vào (2) được
x0
�
�
1
2
 x(1  2 y )   3x 2 (1  2 y)  0 � 2 x 2 (1  2 y )(2  y)  0 � �y 
� 2
�
y2
�

Với x = 0 suy ra y = 0
x2   y 

Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra

1
2 (Vô lí)

2.0

Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)

Câu 3 (4,5 điểm).
/

Cho đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AC và
/
/
AD của đường tròn (O) và (O ). Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) tại E. Qua A kẻ
/
cát tuyến cắt (O) và (O ) lần lượt tại M và N.
MC
a) Chứng minh tỉ số NF không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A;

b) Gọi K là giao điểm của ME và NF; I là trung điểm của MN. Chứng minh
đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định khi MN quay quanh A;
c) Khi MN song song với EF, chứng minh MN = BE + BF.
.Nội dung cần đạt
Vẽ hình:

Điểm


a) AEC : AFD( g.g )

0,50

�  MAC
�  FAN
�  FDN
� ; MCE
�  MAE
�  NAF
�  FDN
� � EMC : FND( g.g )
MEC
�

MC EC AC


ND FD AD (không đổi)

0,50
0,50

�
�
�
�
b) Ta có KMA  ECA  ADF  ANF � KMN cân tại K

� KI là đường cao của KMN � IK  MN (1)

Tứ giác MCDN là hình thang vuông. Gọi P là trung điểm của CD � P cố
định.

0,50

0,50

IP là đường trung bình của hình thang MCDN � IP  MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng IP và IK trùng nhau � P; I ; K thẳng hàng
0,50

� IK đi qua P cố định.
�
�
c) EF//MN � EFA  FAN (so le trong)
�  EDC
�  1 sdCE
�
� EFA
2
Tứ giác EFDC nội tiếp

� �
� �
� �
� FAN
ADB � FN
AB � FN
AF  �
AB  �
AF

0,50

0,50

� � AN  BF
��
AFN  BAF

Chứng minh tương tự ta được BE = AM

0,50

Mà MN  AM  AN � MN  BE  BF
Câu 4 (1,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:

T

19a  3 19b  3 19c  3


1  b2
1  c2
1  a2

Ta có: a  b  c �3
b
c � �a  1 b  1 c  1 �
�a
T  16 �



� 2
� 3 � 2 
�
2
1 b 1 c 1 a2 � �
1 b 1 c2 1 a2 �
�
a
b
c
a 1 b 1 c 1
A


B


2
2
2
1  b 1  c 1  a và
1  b2 1  c 2 1  a 2
Đặt

Ta lại có:
b
c �
�a

abc A  abc� 2 

�
2
1  b 1  c 1  a2 �
�
*)

0.5


ab 2
bc 2
ca 2
ab bc ac 3
3



�    
A a b c
2
2
2
2 (*)
1 b 1 c 1 a
2
2
2 2
�a  1 b  1 c  1 �

a  b  c  3 B  a  b  c  3 � 2 

�
2
1

b
1

c
1  a2 �
�
*)

   

a  ab 2  a  1  1  b 2 b  bc 2  b  1  1  c 2 c  a 2c  c  1  1  a 2



1  b2
1  c2
1  a2
ab 2  b 2 bc 2  c 2 a 2c  a 2 3 a  b  c



� 
1  b2
1  c2

1 a2
2
2
3 a bc a bc 3
B a b c 3
(**)
2
2
2
2

Từ (*) và (**) ta có:
3 � �a  b  c 3 �
�
16 A  3B �16 �
a  b  c  � 3 �
 �
�
�
2� � 2
2�
�
35
39
�
T �  a b c 
33
2
2
. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33.

a

b

c
 1.
Dấu “=” xảy ra khi

0.5

0.5

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.