Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018


ii

Mục lục
MỞ ĐẦU

iv

Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược
1.1 Đồng nhất thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin . .
1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang
1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1
5
9

Chương 2. Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác
ngược
2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác . . . . . . . . .
2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược . . . . . .
2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin

2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan

13
13
13
15
19
19
23

Chương 3. Một số dạng toán liên quan
3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học . . . . . . . . .
3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức . . . . . . . . .
3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức . . . . . . . .
3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương
trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học . . . . . . . . . .
3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic . . . . . . . . .

28
28
35
35
41
44
50
60

iii

KẾT LUẬN

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

67


iv

MỞ ĐẦU
Chuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung học
phổ thông. Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quan
đến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa.
Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong
nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụng
trong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong các
bài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quan
đến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số. . .
Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toán
liên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liên
quan thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc
loại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằm
trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổ
thông hiện hành.
Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác cho
giáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp các

hàm lượng giác và lượng giác ngược”.
Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong
đa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sát
phương trình, bất phương trình. . . . Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sử
dụng các tài liệu tham khảo [1]-[6].
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương.
Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược.
Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng
giác ngược. Xét các ví dụ áp dụng liên quan.


v

Chương 2. Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược.
Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác,
lượng giác ngược và các dạng toán liên quan.
Chương 3. Một số dạng toán liên quan.
Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị
trong đại số và một số bài tập áp dụng lượng giác trong các bài toán hình học. Tiếp
theo, chương này trình bày hệ thống các bài tập giải các đề thi HSG quốc gia và
Olympic liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáo nhân dân,
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc tới GS - Người thầy rất nghiêm khắc, tận tâm trong công việc và đã truyền
thụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán
- Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo
đã tham giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trường

THPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả có cơ
hội học tập và nghiên cứu.
Tác giả.


1

Chương 1. Một số tính chất của các hàm
lượng giác và lượng giác ngược
Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng
giác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các chương tiếp theo.

1.1
1.1.1

Đồng nhất thức lượng giác
Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin

Ta có công thức Euler
eiα = cos α + i sin α, α ∈ R.
Khi đó


iα
−iα

cos α = e + e
2
iα − e−iα
e


sin α =
.
2i
eα + e−α
Từ đó, ta suy ra cos(iα) =
. Như vậy hàm số cost với t = iα là biểu thức
2
1
1
có dạng
a+
, trong đó a = eα , cho nên, về mặt hình thức ta sẽ có nhiều
2
a
biến đổi thu được từ các công thức liên quan đến biến x ∈
/ [−1; 1] giống như hàm
số cost.
Ví dụ 1.1. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 2t = 2 cos2 t − 1,
chính là công thức
1 2 1
a + 2
2
a

1
1
=2
a+

2
a

2

− 1.


2

hay
2x2 − 1 =

1 2 1
1
1
a + 2 , với x =
a+
, a = 0.
2
a
2
a

Ví dụ 1.2. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 3t = 4 cos3 t − 3 cost,
chính là công thức
1 3 1
a + 3
2

a

3

1
1
=4
a+
2
a
4x3 − 3x =

với
x=

−3

1
1
a+
2
a

.

1 3 1
a + 3 ,
2
a

1
1
a+
, a = 0.
2
a

Ví dụ 1.3. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cost,
chính là công thức
1 5 1
a + 5
2
a

1
1
= 16
a+
2
a

5

1
1
− 20
a+
2
a

3

+5

1
1
a+
2
a

.

hay
16x5 − 20x3 + 5x =
với
x=

1 5 1
a + 5 ,
2
a

1
1
a+
, a = 0.
2
a

Ví dụ 1.4. Hệ thức đại số ứng với công thức
cos 5t + cost = 2 cos 3t cos 2t,
chính là công thức
1
1
1 5 1
a + 5 +
a+
2
a
2
a

=2

1 3 1
a + 3
2
a

1 2 1
a + 2
2
a

.


3

Từ đó, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t ta thu được
đồng nhất thức đại số sau
1 5 1
a + 5
2
a

= −x + 2 4x3 − 3x (2x2 − 1),

trong đó
x=

1
1
a+
, a = 0.
2
a

Ví dụ 1.5. Cho số thực m với |m| > 1. Tính giá trị của biểu thức
M = 8x3 − 6x,
trong đó
x=

1
2

3

m+

m2 − 1 +

3

m−

m2 − 1 .

Lời giải. Vì |m| > 1 nên tồn tại số thực q để có hệ thức
m=

1 3 1
q + 3 .
2
q

Đặt t = q3 ta được phương trình t 2 − 2mt + 1 = 0,
√
√
từ đó suy ra t = m ± m2 − 1 hay q3 = m ± m2 − 1.
Chọn
q=

3

m+

m2 − 1,

thì ta được
1
1
q+
2
q

=

1
2

3

m+

m2 − 1 +

3

m−

m2 − 1 = x.

Theo ví dụ 1.2 thì 4x3 − 3x = m nên M = 2m.
Tiếp theo, trong mục này sẽ trình bày một số đồng nhất thức quen biết liên quan
đến hàm số sin. Từ công thức Euler ta thu được hệ thức
i sint =

eit − e−it

.
2

Suy ra biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta cách chuyển đổi
các đồng nhất thức đối với hàm số sin sang các đồng nhất thức đại số.


4

Ví dụ 1.6. Xét công thức khai triển
sin 3t = 3 sint − 4 sin3 t,
Từ đây ta thu được công thức
i sin (3it) = 3 (i sin it) + 4 (i sin it)3 .
Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức
1 3 1
a − 3
2
a

1
1
=3
a−
2
a

1
1
+4
a−

2
a

3

,

hay
4x3 + 3x =
với
x=

1 3 1
a − 3
2
a

1
1
a−
, a = 0.
2
a

Ví dụ 1.7. Xét công thức biến đổi
sin 5t + sint = 2 sin 3t 1 − 2 sin2 t ,
Ta viết lại công thức dưới dạng
i sin i (5t) + i sin(it) = 2i sin i(3t) 1 + 2 (i sin it)2 .
Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức
1

1
1 5 1
a − 5 +
a−
2
a
2
a

1 3 1
=2
a − 3
2
a

1
1
1+2
a−
2
a

2

.

Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển hàm lượng giác sin 3t ta thu được đồng
nhất thức đại số sau
1 5 1
a − 5

2
a

= −x + 2 4x3 + 3x

trong đó
x=

1
1
a−
, a = 0.
2
a

2x2 + 1 ,


Luận văn đủ ở file: Luận văn full