Về môđun đối đồng điều địa phương Artin (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN ĐỖ MINH CHÂU

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

Mục lục

MỞ ĐẦU

2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Vành catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin . . . . . . . . .

6

1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . .

8

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong
trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay

17

2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương . . . . . 17

2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay
2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng

. . . . . . . . 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn
tính bão hòa nguyên tố

37

3.1 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 37
3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với
giá tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
KẾT LUẬN

54

TÀI LIỆU THAM KHẢO

55
1


LỜI CẢM ƠN
Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" được thực
hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành
dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của TS. Trần Đỗ Minh Châu. Tác
giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn

khoa học của mình. Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS. TS.
Lê Thị Thanh Nhàn với những góp ý quý báu của cô để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy
cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả
học tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc và các đồng nghiệp
Trung tâm HN và GDTX Tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành nhiệm vụ học tập của mình.
Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động
viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.

1


MỞ ĐẦU
Lý thuyết đối đồng điều địa phương được A. Grothendieck giới thiệu
vào năm 1960. Sau đó lý thuyết này nhanh chóng phát triển và thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trở thành công cụ nghiên
cứu không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại
số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp,...
Một trong những tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương là tính Artin. Cho (R, m) là vành giáo hoán Noether địa phương,

M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều d và I là iđêan của R. Năm 1971,
I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [16] đã chứng minh được môđun đối dồng
điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) luôn là Artin với mọi i ≥ 0. Sau
đó R. Y. Sharp [28] phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phương
Artin thứ hai là HId (M ). Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điều

địa phương Artin này đã được phản ánh trong các công trình của R. Y.
Sharp [27], M. Brodmann-Sharp [3], N. T. Cường, L. T. Nhàn...
Theo I. G. Macdonald [15], tập iđêan nguyên tố gắn kết của Rmôđun Artin, kí hiệu là AttR A, có vai trò quan trọng tương tự như tập
iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh. Mục đích của luận
văn là trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo [3], [24],
[20], [22] về mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hòa
nguyên tố và xây dựng công thức số bội của Hmi (M ) và HId (M ) khi R là
thương của vành Cohen-Macaulay và các môđun này thỏa mãn tính bão
hòa nguyên tố. Nhắc lại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn
tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR (0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p
chứa AnnR A (xem [8]).
2


Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận
văn được trình bày thành ba chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành catenary phổ
dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin, chiều, số bội, tính
bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương
Artin. Những kiến thức này liên quan đến các kết quả và chứng minh ở
chương 2 và 3.
Chương 2 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết và
số bội của môđun đối đồng địa phương Hmi (M ) trong trường hợp vành cơ
sở là thương của vành Cohen-Macaulay.
Chương 3 trình bày đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của hai lớp
môđun đối đồng điều địa phương Artin thông qua tính catenary của vành,
từ đó mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết và xây dựng công thức bội liên
kết cho hai lớp môđun này khi chúng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, luôn giả thiết (R, m)
là vành giao hoán Noether địa phương, R là vành đầy đủ m-adic của R, I
là iđêan tùy ý của R. Ta cũng ký hiệu A là R-môđun Artin, M là R-môđun
hữu hạn sinh có dim(M ) = d và N, L là các môđun tùy ý của R.
Mục tiêu của chương này là giới thiệu những khái niệm và các tính
chất cơ bản về vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều,
số bội, tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều
địa phương Artin sẽ được sử dụng trong luận văn.

1.1

Vành catenary phổ dụng
Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả của

vành catenary phổ dụng. Chú ý rằng, do R là vành Noether địa phương
nên với mọi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêan
nguyên tố bão hòa giữa p và q có độ dài n
p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn ⊂ q .
Định nghĩa 1.1.1. Nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R, mọi
dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chung độ dài thì vành R
được gọi là catenary.
4

Rõ ràng nếu R là catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R).
Ngoài ra vành catenary còn có tính chất sau.
Mệnh đề 1.1.2. (Xem [30]) Các mệnh đề sau là đúng:
(i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary.
(ii) R là catenary khi và chỉ khi dim(R/ q) = dim(R/ p) + ht(p / q)
với mọi iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p .
Một trong những loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng
là vành catenary phổ dụng.
Định nghĩa 1.1.3. (Xem [17]) Vành R được gọi là vành catenary phổ
dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary.
Nếu depth(R) = dim(R) thì R được gọi là vành Cohen-Macaulay
địa phương. Theo định nghĩa của M. Nagata [19], vành R được gọi là tựa
không trộn lẫn nếu dim(R/P) = dim(R) với mọi P ∈ min(Ass R). Định
lý sau đây chỉ ra điều kiện để một vành là vành catenary phổ dụng thông
qua tính không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành.
Định lý 1.1.4. (Xem [29, Định lý 17.9,31.6]) R là vành catenary phổ dụng
nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
(i) R là tựa không trộn lẫn;
(ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay.
Định lý sau đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng.
Định lý 1.1.5. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng;
(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;
(iii) R/ p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).

5


1.2

Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G.

Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ.
Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun được
định nghĩa. Khái niệm này theo một nghĩa nào đó là tương tự với khái
niệm iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh.
Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N = 0
và với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rn N = 0.
Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi

r trên N là lũy linh làm thành một iđêan nguyên tố. chẳng hạn là p, và
ta gọi N là p-thứ cấp.
(ii) Cho N là R-môđun. Biểu diễn N = N1 + . . . + Nn , trong đó mỗi

Ni là môđun con pi -thứ cấp N, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của N.
Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được.
Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác
nhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, . . . , n.
Chú ý rằng, nếu N1 , N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì

N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N. Vì thế mọi biểu diễn thứ
cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi những
thành phần thừa và gộp lại những thành phần cùng chung một iđêan
nguyên tố. Tập hợp p1 , . . . , pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp
tối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, kí
hiệu là AttR N. Các hạng tử Ni , với i = 1, . . . , n, được gọi là các thành
phần thứ cấp của N. Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR N thì pi được gọi
là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi là thành phần thứ

cấp cô lập của N.

6


Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được.
Định lý 1.2.2. [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
Mệnh đề 1.2.3. (Xem [16]) Giả sử A là R-môđun Artin. Khi đó các phát
biểu sau là đúng:
(i) AttR A = ∅ khi và chỉ khi A = 0.
(ii) min AttR A = min Var(AnnR A). Đặc biệt,

dim(R/ AnnR A) = max dim(R/ p) | p ∈ AttR A .
(iii) AttR A = {m} khi và chỉ khi A = 0 và

R (A)

< ∞.

Cho A là R-môđun Artin và r ∈ R, x ∈ A. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi
trong R đại điện cho lớp r. Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự
nhiên k sao cho mk x = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với
mọi m, n ≥ n0 . Suy ra rn x = rn0 x với mọi n ≥ n0 . Khi đó A có cấu trúc
tự nhiên như R-môđun với tích vô hướng rx = rn0 x. Do đó, một môđun
con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như

R-môđun. Vì thế A là R-môđun Artin. Ta cũng có thể xác định được cấu
trúc R-môđun ban đầu trên A nếu xem R-môđun A này như R-môđun
xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → R. Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn
kết của A trên R và R luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập

iđêan nguyên tố gắn kết này như sau.
Mệnh đề 1.2.4. [28, Bổ đề 2.1]

AttR A = P ∩ R | P ∈ AttR A .
Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của
một môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương được phát biểu trong
mệnh đề sau.

7


Mệnh đề 1.2.5. [23, Mệnh đề 2.3] Cho môđun A là R-môđun Artin và

ϕ : (R, m) → (S, n) là đồng cấu địa phương phẳng giữa các vành Noether
địa phương. Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S -môđun
Artin và

AttR A = {ϕ−1 (S) | S ∈ AttS (A ⊗R S)}.
1.3

Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Phần này dành để trình bày tính chất bão hòa nguyên tố môđun

Artin và các bất biến quan trọng của nó bao gồm chiều Noether và số bội.
Trong [25], R. N. Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull cho
môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun
Artin. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu
hạn sinh, D. Kirby [14] đã đổi thuật ngữ của Roberts thành chiều Noether.
Khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby
được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.3.1. Cho R-môđun Artin A, chiều Noether của A, kí hiệu
bởi N-dimR A, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimR A = −1.
Bằng quy nạp, cho số nguyên d ≥ 0, đặt N-dimR A = d nếu N-dimR A < d
là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . . của A, tồn tại
một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An+1 /An ) < d với mọi n > n0 .
Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A = 0 và A là Noether. Trong
trường hợp này, A có độ dài hữu hạn. Khi N-dimR A > 0, nếu chỉ dùng
Định nghĩa 1.3.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimR A. Hơn nữa, với
mỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R thỏa mãn

R (0 :A

q) < ∞,

D. Kirby [14] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức ΘqA (n) với hệ số hữu tỷ
sao cho

R (0 :A

qn+1 ) = ΘqA (n) khi n đủ lớn. Đa thức này, theo một nghĩa

nào đó, là đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh
8


và được gọi là đa thức Hilbert - Samuel của môđun Artin tương ứng với
q . Trong [25], R. N. Roberts đã đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều
Noether của môđun Artin.

N-dimR (A) = deg( R (0 :A qn+1 ))

= inf{t | ∃x1 , . . . .xt ∈ m :

R (0 :A

(x1 , . . . , xt )R) < ∞}.

Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có
thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một
cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin. Kết quả này
cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai
trò quan trọng đối với môđun Artin như vai trò của chiều Krull đối với
môđun hữu hạn sinh.
Kết quả sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa chiều Noether của môđun

A và chiều Krull của vành R/ AnnR A.
Mệnh đề 1.3.2. [8, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng:
(i) N-dimR (A) = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong
trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin.
(ii) N-dimR (A) ≤ dim(R/ AnnR A).
Chú ý rằng, theo [8, Ví dụ 4.1], luôn tồn tại R-môđun Artin A sao cho

N-dimR A < dim(R/ AnnR A). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện
nào của vành R hoặc của môđun A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)?
Mệnh đề 1.3.3. [8, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì

N-dimR (A) = dim(R/ AnnR A).
Chú ý rằng, A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun. Với cấu trúc này,
mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R và R như sau.
9

Mệnh đề 1.3.4. [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8] Ta có

N-dimR (A) = dim(R/ AnnR A) = N-dimR (A).
Định nghĩa 1.3.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan của R
sao cho

R (M/ q M )

< ∞. Khi đó, với n đủ lớn, hàm

R (M/ q

n+1

M ) theo

biến nguyên dương n là một đa thức bậc d với hệ số hữu tỷ và được gọi là
đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q và được biểu diễn dưới dạng

e(q, M ) d
n + đa thức có bậc nhỏ hơn d
M
d!
khi n đủ lớn, trong đó e(q, M ) là một số nguyên dương và được gọi là số
q

(n) =

R (M/ q

n+1

M) =

bội của M ứng với q (xem [5, Mệnh đề 4.5.2]).
Lí thuyết bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của
môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Công thức sau đây là một
trong những tính chất cơ bản của số bội, được gọi là công thức liên kết
của số bội (Xem [5, Hệ quả 4.6.8]):
Rp (Mp )e(q, R/ p).

e(q, M ) =

(1)

p∈SuppR M
dim(R/ p)=d

Với mỗi R-môđun Artin A, theo suy nghĩ đối ngẫu, chúng ta cũng
định nghĩa được số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel của A. Cụ thể,
theo D.Kirby [14], nếu q là iđêan của R sao cho
đủ lớn

R (0 :A

R (0 :A

q) < ∞ thì khi n

qn+1 ) là một đa thức bậc N-dimR (A) với hệ số hữu tỷ. Ta

ký hiệu đa thức này là ΘqA (n). Đặt N-dimR (A) = s. Ta có biểu diễn

ΘqA (n) :=

R (0 :A

qn+1 ) =

e (q, A) s
n + đa thức có bậc nhỏ hơn s
s!

khi n đủ lớn, trong đó e (q, A) là một số nguyên dương, được gọi là số bội
của A ứng với q (xem [3]).
Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày tính chất bão hòa
nguyên tố của môđun Artin. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi
10


iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I . Khi đó,

AnnR (M/ p M ) = p với mọi p ∈ Var(AnnR M ).
Thật vậy, giả sử p ∈ Var(AnnR (M )). Hiển nhiên, ta có p ⊆ AnnR (M/ p M ).
Vì Var(AnnR (M )) = SuppR (M ) nên Mp = 0. Theo Bổ đề Nakayama,

Mp = p Rp Mp . Do đó (M/ p M )p = 0. Suy ra
p ∈ SuppR (M/ p M ) = Var(AnnR (M/ p M )).
Vì thế p ⊇ AnnR (M/ p M ).

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất đối ngẫu sau đây có
đúng cho mọi môđun Artin A không?

AnnR (0 :A p) = p với mọi p ∈ Var(AnnR A)

(*)

Nếu R là đầy đủ tương ứng với tôpô m-adic thì sử dụng đối ngẫu Matlis ta
chứng minh được tính chất (*) thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin. Nhắc
lại rằng, ký hiệu E = ER (R/m) là bao nội xạ của môđun R-môđun R/m
và D là hàm tử khớp, phản biến, tuyến tính HomR (•, E) từ phạm trù
các R-môđun C(R) vào chính nó. D(N ) được gọi là đối ngẫu Matlis của

R-môđun N . Vì R là đầy đủ nên theo đối ngẫu Matlis, D(A) là R-môđun
hữu hạn sinh. Kéo theo

AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p))
= AnnR (D(A)/ p D(A)) = p .
Tuy nhiên, tồn tại các môđun Artin không thỏa mãn tính chất (*). Chẳng
hạn, theo [8, Ví dụ 4.4], R-môđun Artin Hm1 (R) không thỏa mãn tính chất
(*) nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 được xây dựng bởi
M. Ferrand và D. Raynaud (Xem [19, App. Ex. 2]) sao cho vành đầy đủ
11


m-adic R có iđêan nguyên tố liên kết q chiều 1. Từ đây ta có định nghĩa
sau [19, Định nghĩa 4.3].
Định nghĩa 1.3.6. Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão
hòa nguyên tố nếu AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.
Rõ ràng AnnR (0 :A p) ⊇ p . Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố khi và chỉ khi AnnR (0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố
p ⊇ AnnR A. Những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố có
những tính chất khá đẹp về cấu trúc. Chẳng hạn chiều của môđun Artin
có tính bão hòa nguyên tố được thể hiện rõ trong các Bổ đề và Định lý
sau.
Bổ đề 1.3.7. (Xem [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8]) Cho R-môđun Artin A.
Khi đó, N-dimR (A) ≤ dim(R/ AnnR A) và đẳng thức xảy ra nếu A thỏa
mãn tính bão hòa nguyên tố. Hơn nữa, ta có

N-dimR (A) = N-dimR (A) = dim(R/ AnnR (A))
= max{dim(R/P) : P ∈ AttR (A)}.
1.4

Môđun đối đồng điều địa phương Artin
Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu vào những năm

1960 và nhanh chóng phát triển, trở thành công cụ không thể thiếu trong
nhiễu lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại
số,... Khoảng những năm 1970, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp đã phát
hiện ra các lớp môđun đối đồng địa phương Artin và sử dụng lý thuyết
biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này. Trong tiết này sẽ nhắc
lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.

12


Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R-môđun M, đặt

(0 :M I n ).

ΓI (M ) =

n≥0

Nếu f : M → N là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Do
đó ta có đồng cấu

ΓI (f ) :

ΓI (M ) −→ ΓI (N )
x −→ f (x)

Khi đó ΓI (•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun
và được gọi là hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 1.4.2. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ

i của hàm tử I -xoắn được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i
đối với I và kí hiệu bởi HIi (•). Với mỗi R-môđun M, HIi (M ) được gọi là
môđun đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I .
Chú ý rằng nếu f : R → R là một đồng cấu vành và N là R -môđun
thì N cũng là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được định
nghĩa bởi rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N. Với phép nhân vô hướng
i
này, ta luôn xác định được các R-môđun HIR
(N ) và HIi (N ), trong đó IR

là iđêan của R sinh bởi f (I). Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địa
phương thứ i của N trên R và trên R là như nhau. Tính chất này được
gọi là tính độc lập với vành cơ sở.
Định lý 1.4.3. [2, Định lý 4.2.1] Cho f : R → R là một đồng cấu vành,

N là R -môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳng
cấu H i (N ) ∼
= H i (N ) các R-môđun.
IR

I

Khi f : R → R là đồng cấu phẳng, ta có tính chất cơ bản của
môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 1.4.4. Giả sử đồng cấu vành R → R là đồng cấu phẳng, I là
iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có R -đẳng cấu
i
HIi (M ) ⊗R R ∼
(M ⊗R R ).
= HIR
13


Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính
triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (Xem [8, 6.1.2,6.1.4].)
Định lý 1.4.5. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck)
Các khẳng định sau là tương đương:
(i) Hmi (M ) = 0 với mọi i > dim(M ).
(ii) Nếu M = 0 thì Hmd (M ) = 0.
(iii) Nếu M = 0 thì depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) = 0}.
Trong trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan
tùy ý, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của
môđun đối đồng điều của vành tại cấp cao nhất với giá tùy ý.
Định lý 1.4.6. Giả sử dim(R) = n và I là một iđêan của R. Các mệnh

đề sau là tương đương:
(i) HIn (R) = 0;
(ii) Với mỗi iđêan nguyên tố P của R thỏa mãn dim(R/P) = n ta
có dim(R/(I R + P)) > 0.
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn
sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [8, Hệ quả
7.3.3]). Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun đối đồng điều địa
phương chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp rất được quan
tâm.
Định lý 1.4.7. Các phát biểu sau luôn đúng:
(i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0;
(ii) HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.
Tiếp theo là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các
môđun đối đồng điều địa phương Artin. Trước hết là tập các iđêan nguyên
tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho
bởi công thức sau.
14


Định lý 1.4.8. [16, Định lý 2.2] Cho M là R-môđun hữu hạn sinh khác
không với dim(M ) = d. Khi đó Hmd (M ) = 0 và

AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d}.
Định lý sau đây được chứng minh bởi R. Y. Sharp [27, Định lý 4.8]
và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu.
Định lý 1.4.9. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, p ∈ SuppR (M ) sao cho

dim(R/ p) = t. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với
q ⊆ p sao cho q Rp ∈ AttRp (Hpi Rp (Mp )). Khi đó q ∈ AttR (Hmi+t (M )).
Gần đây, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã mở rộng kết quả trên cho

trường hợp vành thương của vành Cohen-Macaulay địa phương.
Mệnh đề 1.4.10. [23, Mệnh đề 2.7] Giả sử p ∈ Spec(R). Cho số nguyên

i ≥ 0. Giả sử R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó
i−dim(R/ p)

(i) AttRp (Hp Rp

(ii) AttR (Hmi (M )) =

(Mp )) = {q Rp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p};
i (M )) Ass (R/ p R).
p∈AttR (Hm
R

Mệnh đề sau cho ta mô tả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun

HId (M ) trên vành R.
Mệnh đề 1.4.11. (Xem [11, Hệ quả 4.9]) Cho I là iđêan thực sự của R.
Khi đó

AttR (HId (M )) =

P ∈ AssR M | dim(R/P) = d,

I R + P = mR .

Theo Định lý 1.4.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực
đại Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i. Vì thế chiều của các môđun này
cũng luôn xác định và có tính chất đã nêu. Hơn nữa, chiều của các môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) còn có mối liên hệ với
cấp của môđun này.
Định lý 1.4.12. (Xem[8, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6])
15


(i) N-dimR (Hmi (M )) ≤ i.
(ii) N-dimR (Hmd (M )) = dim(R/ AnnR (Hmd (M ))) = d.
Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của
môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại và tính
catenary của vành cơ sở.
Định lý 1.4.13. (Xem [7]) Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmd (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;
(ii) Vành R/ AnnR (Hmd (M )) là catenary.

16


Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương
Artin trong trường hợp thương của
vành Cohen-Macaulay
Chương 2 dành để trình bày các kết quả gần đây về tập iđêan nguyên
tố gắn kết và số bội của môđun đối đồng điều địa phương trong trường
hợp thương của vành Cohen-Macaulay và khi chuyển qua đồng cấu phẳng.
Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [3], [24].

2.1

Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương
Trong suốt mục này, ta luôn giả sử R là ảnh đồng cấu của vành

Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n qua toàn cấu vành f : R → R.
Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có
chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn
môđun nội xạ khác 0.
Khi R là thương của vành Gorenstein, Định lý đối ngẫu địa phương
là một công cụ hữu hiệu để ta nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương
với giá cực đại. Ký hiệu E là bao nội xạ ER (R/m) của trường thặng dư

R/m và D là hàm tử đối ngẫu Matlis HomR (•, E). Với mỗi số nguyên i,

17


n −i
i
ta ký hiệu ExtR
(M, R ) là KM
. Định lý đối ngẫu địa phương được phát

biểu như sau.
Định lý 2.1.1. (Xem [27, Hệ quả 3.5]) ExtiR (M, R ) là R-môđun hữu hạn
sinh và ta có R-đẳng cấu
i
i
, E) = D(KM
) với mọi i ≥ 0.
Hmi (M ) ∼

= HomR (KM

Công cụ chủ yếu được sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết
này là khái niệm giả giá và giả chiều thứ i của M . Khái niệm này được
định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.1.2. Cho i = 0 là một số nguyên.
(i) Giả giá thứ i của M , ký hiệu là PsuppiR (M ), được cho bởi công
thức
i−dim(R/ p)

PsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) | Hp Rp

(Mp ) = 0 .

(ii) Giả chiều thứ i của M , ký hiệu là psdi (M ), được cho bởi công
thức

psdi (M ) = sup dim(R/ p) : p ∈ PsuppiR (M ) .
Nhắc lại rằng, nếu q là một iđêan m-nguyên sơ thì đa thức HilbertSamuel của M ứng với q là đa thức

q
M

∈ Q[X] có bậc là dim(M ), sao

cho
q

M

(n) =

R (M/ q

n+1

M ) với mọi n

0.

Mệnh đề sau cho ta kết quả về số bội của môđun đối đồng điều địa phương
với giá cực đại.
Mệnh đề 2.1.3. Cho i là một số nguyên không âm. Các phát biểu sau là
đúng.
(i) ΘqH i (M ) =
m

q
i .
KM

i
(ii) Hmi (M ) = 0 khi và chỉ khi KM
= 0, và trong trường hợp này
i
e (q, Hmi (M )) = e(q, KM
).
18

i
(iii) PsuppiR (M ) = Supp(KM
), và vì vậy PsuppiR (M ) là tập con

đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski.
(iv) Mỗi iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) là thành phần tối tiểu của
i−dim(R/ p)

i
PsuppiR (M ) = Supp(KM
) khi và chỉ khi Rp -môđun Hp Rp

(Mp ) có

độ dài khác không và hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này
i−dim(R/ p)
(Mp ))
Rp (Hp Rp

=

Rp

i
(KM
)p .

(v) Nếu Hmi (M ) = 0 thì
i−dim(R/ p)
(Mp ))e(q, R/ p).

Rp (Hp Rp

e (q, Hmi (M )) =

(2)

p∈PsuppiR (M )

dim(R/ p)=psdi (M )

Chứng minh.
i
). Vì thế, sử dụng đối
(i) Theo Định lý 2.1.1, ta có Hmi (M ) ∼
= D(KM

ngẫu Matlis ta có các đẳng cấu sau

0 :Hmi (M ) qn+1

∼
= 0 :D(KMi ) qn+1

i
i
∼
/ qn+1 KM
,
= D KM

với mỗi n ∈ N. Tiếp tục áp dụng tính chất của đối ngẫu Matlis ta có

0 :Hmi (M ) qn+1
Điều này dẫn đến ΘqH i (M ) =
m

(ii) Vì

=

i
i
KM
/ qn+1 KM
.

q
i .
KM

i
i
i
= 0.
D(KM
) = (KM
) nên Hmi (M ) = 0 khi và chỉ khi KM

Ký hiệu d là bậc của đa thức

q
i
KM

và ad là hệ số cao nhất của đa thức

này. Theo chứng minh ở phần (i), trong trường hợp này ta cũng có d là
bậc của ΘqH i (M ) . Suy ra
m

i
e (q, Hmi (M )) = ad .d! = e(q, KM
).

(iii) Cho p ∈ Spec(R) và đặt t = dim(R/ p). Giả sử R là vành
Gorenstein địa phương có chiều n và f : R → R là toàn cấu vành. Ký hiệu
p = f −1 (p). Khi đó Rp là vành Gorenstein địa phương và dim(R / p ) = t.
Do R là vành Gorenstein địa phương nên R là vành Cohen-Macaulay địa
phương. Theo [17, Trang 31], ta có

dim(Rp ) = dim(R ) − dim(R / p ) = n − t.
19


Gọi f : Rp → Rp là toàn cấu vành cảm sinh từ toàn cấu f sao cho

f (r /s ) = f (r )/f (s ) với mọi r ∈ R , s ∈ R \ p . Chú ý rằng Rp là vành
Gorenstein và ta có Rp -đẳng cấu
n −i
ExtR

(Mp , Rp ) ∼
=

ExtnR −i (M, R )

p

p

i
= (KM
)p .

Vì thế, theo Định lý 2.1.1 và lập luận trên ta có các đẳng cấu như Rp môđun
dim(Rp )−(i−t)
∼
Hom
(Mp , Rp ), ERp (Rp / p Rp )
Hpi−t
(M
)
Ext
=
R
p
p
Rp
R
p

= HomRp ExtnR −i (Mp , Rp ), ERp (Rp / p Rp )
p

i
∼
)p , ERp (Rp / p Rp ) .
= HomRp (KM
i
i
Nếu (KM
)p = 0 thì Hpi−t
Rp (Mp ) = 0. Giả sử (KM )p = 0. Chú ý rằng
i
ERp (Rp / p Rp ) = 0 nên HomRp (KM
)p , ERp (Rp / p Rp )

= 0, và do đó

i−t
i
Hpi−t
Rp (Mp ) = 0. Suy ra Hp Rp (Mp ) = 0 khi và chỉ khi (KM )p = 0. Do
i
i
i
)) nên
) = Var(AnnR (KM
). Vì Supp(KM
đó PsuppiR (M ) = Supp(KM

PsuppiR (M ) là một tập đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski.
(iv) Với mỗi p ∈ Spec(R), p là iđêan nguyên tố tối tiểu của PsuppiR (M )
i
), nghĩa là nếu và chỉ
nếu và chỉ nếu p là phần tử tối tiểu của Supp(KM
i
)p là khác không và có độ dài hữu hạn. Vì đối ngẫu
nếu Rp -môđun (KM
i
)p trên vành Rp đẳng cấu với Hpi−t
Matlis của (KM
Rp (Mp ) nên theo đối ngẫu

Matlis, điều này tương đương với độ dài của Hpi−t
Rp (Mp ) là hữu hạn và ta
có
i−dim(R/ p)

Rp

Hp Rp

(Mp ) =

Rp

i
(KM
)p .

(v) Giả sử Hmi (M ) = 0. Thay các kết quả ở trên vào công thức (1)
ta có
i
e (q, Hmi (M )) = e(q, KM
)

=

Rp

i
(KM
)p e(q, R/ p)

i )
p∈Supp(KM
i )
dim(R/ p)=dim(KM

i−dim(R/ p)

=

Rp
p∈PsuppiR (M )
i

dim(R/ p)=psd (M )

20

Hp Rp

(Mp ) e(q, R/ p).


2.2

Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay
Mục tiêu của phần này là chỉ ra công thức (2) cũng đúng cho trường

hợp khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là
Cohen-Macaulay. Chú ý rằng trong [13, Hệ quả 1.2], Kawasaki đã chứng
minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi R là
catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Trước hết ta
có bổ đề quan trọng sau. Nhắc lại rằng, một tập con của Spec(R) được
gọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì
p, q của R thỏa mãn p ⊆ q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T.
Bổ đề 2.2.1. [3, Bổ đề 2.2] Giả sử R là vành catenary và i là số nguyên
không âm. Khi đó, PsuppiR (M ) là đóng với phép đặc biệt hóa.
Chứng minh. Cho p, q ∈ Spec(R) với p ⊆ q và p ∈ PsuppiR (M ). Khi đó
i−dim(R/ p)

Hp Rp

(Mp ) = 0. Chú ý rằng ta luôn có Rp -đẳng cấu
Rp ∼
= (Rq )p Rq .
i−dim(R/ p)

Vì Rp -môđun Artin Hp Rp
i−dim(R/ p)

AttRp Hp Rp

(Mp ) = 0 nên theo Mệnh đề 1.2.3(i), ta có

(Mp ) = ∅. Vì dim(Rq / p Rq ) = ht q / p nên theo Định

lý 1.4.9, suy ra
i−dim(R/ p)+ht q / p

AttRq Hq Rq
i−dim(R/ p)+ht q / p

Do đó Hq Rq

(Mq ) = ∅.

(Mq ) = 0. Vì R là vành catenary nên

dim(R/ p) − ht q / p = dim(R/ q).
i−dim(R/ q)

Suy ra Hq Rq

(Mq ) = 0. Do đó q ∈ PsuppiR (M ).

Bổ đề 2.2.2. [3, Định lý 2.1] Cho h : (R, m) → (B, n) là đồng cấu
phẳng địa phương giữa các vành địa phương sao cho B/mB là vành CohenMacaulay có chiều d. Khi đó, với mỗi R-môđun N, và mỗi số nguyên j ta

21


có

Hnd+j N ⊗R B ∼
= Hnd Hmj (N ) ⊗R B
và Hnd+j N ⊗R B = 0 khi và chỉ khi Hmj (N ) = 0.
Với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(R) sao cho P ∩ R = p, đồng cấu
tự nhiên R → R cảm sinh ra đồng cấu địa phương h : Rp → RP . Khi đó
vành thớ RP ⊗ (Rp / p Rp ) ∼
= RP / p RP của đồng cấu h trên iđêan cực đại
p Rp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p và P.
Mệnh đề 2.2.3. [3, Mệnh đề 2.3] Cho i ∈ Z với i ≥ 0, p ∈ Spec(R)
và P ∈ Spec(R) sao cho P ∩ R = p . Giả sử h : Rp → RP là đồng
cấu phẳng địa phương cảm sinh từ đơn cấu R → R. Giả sử rằng R là
catenary phổ dụng với các thớ hình thức RP / p RP là Cohen-Macaulay.
Khi đó P ∈ PsuppiR (M ⊗R R) khi và chỉ khi p ∈ PsuppiR (M ).
Chứng minh. Theo [29, Bổ đề 8.1], ta có

dim RP / p RP = dim(RP ) − dim(Rp ) = ht P − ht p .
i−dim(R/ p)

Chú ý rằng, theo Định lý 2.2.2, Hp Rp
i−dim(R/ p)+ht P−ht p

HPR

P

(Mp ) = 0 khi và chỉ khi

Mp ⊗Rp RP = 0.

Hơn nữa, ta luôn có các đẳng cấu giữa các RP -môđun

Mp ⊗Rp RP ∼
= (M ⊗R Rp ) ⊗Rp RP ∼
= M ⊗R (Rp ⊗Rp RP )
∼
= M ⊗R RP ∼
= M ⊗R (R ⊗ RP )
R

∼
= (M ⊗R R) ⊗R RP ∼
= M ⊗R RP ∼
= MP .
Vì R là catenary phổ dụng nên theo Định lý Ratliff [17, Định lý 31.7] ta
có đẳng thức dim(R/ p) + ht p = dim(R/P) + ht P. Do đó

i − dim(R/ p) + ht P − ht p = i − dim(R/P).
i−dim(R/P)

Suy ra HPR

P

(M ⊗R R)P . Vậy P ∈ PsuppiR (M ⊗R R).

22