Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian banach (LV thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ◗❯❆◆● ❑❍❯➊

❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆
❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❑❍➷◆● ✣■➎▼ ❈❍❯◆● ❚⑩❈❍
❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✷
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
❚❙✳ ❚r÷ì♥❣ ▼✐♥❤ ❚✉②➯♥

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✕ ✷✵✶✽


✐✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❙✳ ❚r÷ì♥❣ ▼✐♥❤ ❚✉②➯♥✱ ♥❣÷í✐ ✤➣
t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ ❤♦➔♥
t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛
❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✕✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❚r÷í♥❣✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❙ð ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ t➾♥❤ ❍➔ ●✐❛♥❣✱ ❇❛♥ ●✐→♠
✤è❝ ❚r✉♥❣ t➙♠ ●✐→♦ ❞ö❝ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ✲ ❍÷î♥❣ ♥❣❤✐➺♣ t➾♥❤ ❍➔ ●✐❛♥❣✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷

t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ ✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ tæ✐ t❤ü❝
❤✐➺♥ ✤ó♥❣ ❦➳ ❤♦↕❝❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✐✐

▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t

✐✈

▼ð ✤➛✉

✶

❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✸

✶✳✶✳

▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷✳

⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✸✳

P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✸✳✶✳

P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✸✳✷✳

P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✹✳

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❳➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤

✷✳✶✳

✷✳✷✳

✷✷

❳➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✶✳✶✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝♦ ❤➭♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✶✳✷✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❝❤✐➳✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

Ù♥❣ ❞ö♥❣
✷✳✷✳✶✳

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t→❝❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✷✳✷✳✷✳

❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑➳t ❧✉➟♥

✸✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✻




ởt số ỵ t tt
E

ổ

E

ổ ố ừ

R

t ủ số tỹ

R+

t số tỹ ổ





inf M

ữợ ú ừ t ủ số

M

sup M

tr ú ừ t ủ số

M

max M

số ợ t tr t ủ số

min M

số ọ t tr t ủ số

rxX F (x)

t ỹ t ừ



t rộ

x

ợ ồ

D(A)

ừ t tỷ

R(A)

ừ t tỷ

A1

t tỷ ữủ ừ t tỷ

I

t tỷ ỗ t

Lp ()

ổ t

lp

ổ số tờ

E

M

X

A
A

{xn }

lim inf xn

ợ ữợ ừ số

{xn }

xn x0

{xn }

ở tử

xn



{xn }

ở tử

x0

tr

A

n
n

F

x

ợ tr ừ số

lim sup xn

M

x0

x0

p

tr

p




✈

JE

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tr➯♥

jE

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà tr➯♥

δE (ε)

♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

ρE (τ )

♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

F ix(T )

❤♦➦❝

F (T )

t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕

∂f

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐

M

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣

PC

♣❤➨♣ ♠➯tr✐❝ ❧➯♥

ΠC

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❧➯♥

iC

❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐

f

M

C

C

C

E

T

E
E

E







H1

C

H2



Q t ỗ õ rộ ừ ổ rt

tữỡ ự

T : H2 H1

T : H1 H2

t tỷ ủ ừ

ởt t tỷ t t

T

t t P õ

ữ s
ởt tỷ

x S = C T 1 (Q) = .

P

ổ t P t ữủ ợ t ự sr
ổ t ữủ t õ trỏ q
trồ tr ổ ử tr ồ ữớ ở tr tr
tr tữ ổ ử t õ t ử
t tr t ỵ tt trỏ ỡ
sỷ

C

ởt t ỗ õ ừ ổ rt

H1

t r

t ỹ t ừ

iC (x) =



0,




,
r minH1 iC (x)
ừ

iC

r

A = I PC

= C

x C,



x
/C

õ t ữủ

r r r

C

C = (iC )1 (0)
iC

ợ

iC

ữợ

ởt t tỷ ỡ ỹ

ụ t ổ ừ t tỷ ỡ

A



õ t õ t t t P trữớ ủ

r ừ t ổ t
t ổ t ữủ t s


B : H2 2H2

t tỷ ỡ ỹ

A : H1 2H1

T : H1 H2

ởt

t tỷ t t
ởt tỷ

x S = A1 (0) T 1 B 1 (0) = .

PP

t PP ừ t út ữớ
t tr ữợ q t ự ử ừ



tr t q ừ s tr t ữỡ
ữỡ t PP tr
ổ
ở ừ ữủ ữỡ

ữỡ tự

r ữỡ ởt số trú ồ
ừ ổ ữ ổ ỗ ổ
trỡ ố t tr tờ qt
t tỷ ỡ tr ổ t tỷ tr t tỷ
tờ qt

ữỡ ừ t ổ t
r ữỡ t tr tr ởt tt t
q ừ s ữỡ ữỡ
t ổ t tr ổ
r tr ữỡ ụ ự ử ừ ữỡ
ỵ t ỹ t t t
t


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❜ç♠ ✹ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ trì♥ ✤➲✉✳ ▼ö❝
✶✳✷ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ▼ö❝ ✶✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ▼ö❝
✶✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣
q✉→t ✈➔ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ♠➯tr✐❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝
t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✱ ✺✱ ✻✱ ✽✱ ✾✱ ✶✵❪✳

✶✳✶✳

▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❈❤♦

E

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔

E∗

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♥â✳ ✣➸

.

❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤è♥❣ ♥❤➜t sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉
❝❤✉➞♥ tr➯♥

E

✈➔

E ∗❀

❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣②

❧➛♥ ❧÷ñt ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

xn → x

✈➔

xn

x

{xn }

✈➲ ♣❤➛♥ tû

x

✤➸ ❝❤➾

tr♦♥❣

E

tr♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❞÷î✐ ✤➙② ❝õ❛
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✹✶✮

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱

❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✐✮
✐✐✮

E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✱ ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳




C t ỗ õ rộ ừ ổ ổ
t t X t C t õ
ự


xn

t

x



ự ự sỷ tỗ t

x
/ C.

x

ữ

C

tự tỗ t

ỵ t t ỗ tỗ t

>0

{xn } C
x X

s

t

s

y, x x, x ,
ợ ồ

y C

t t õ

xn , x x, x ,
ợ ồ

n 1

r

tự tr

n

xn

x



xn , x x, x

õ tr t

t ữủ

x, x x, x ,
ổ ỵ õ sỷ s

C

t õ

ữủ ự

ú ỵ



C

t õ t

C

t õ

ữợ t ởt sỹ tỗ t ỹ t ừ ởt
ỗ tữớ ỷ tử ữợ tr ổ


C t ỗ õ rộ ừ ổ
E f : C (, ] ởt ỗ tữớ ỷ tử
ữợ tr C s f (xn ) xn õ tỗ t x0 dom(f )

s

f (x0 ) = inf{f (x) : x C}.
ự


f (xn ) m

{xnk }
ợ

t

ừ

{xn }

m = inf{f (x) : x C}



n

s



{xn }

xnk

õ tỗ t

{xn } C

s

ổ t tỗ t ởt

tt

f (xnk )

t

m = õ {xn } tỗ t





{xnj }

{xn }

ừ

s

x nj

x0 C



f

ỷ tử ữợ tr tổổ

t õ

m f (x0 ) lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m.
n

j

õ

m = f (x0 )

ữủ ự
t tr ử ú tổ ởt số ỡ
trú ồ ổ ữ t ỗ t trỡ ổ ỗ ổ
trỡ

ổ E ữủ ồ ỗ t ợ ồ x, y
E, x = y x = 1,

ú ỵ

y = 1 t õ
x+y
< 1.
2

ỏ õ t t ữợ tữỡ ữỡ

E ữủ ồ ỗ t ợ ồ x, y SE tọ
x+y
= 1 s r x = y ợ ồ x, y SE x = y t õ tx+(1t)y < 1
2
ợ ồ t (0, 1) tr õ

s ổ

SE = {x E :

E

x = 1}.

ởt ổ ỗ t õ ợ ộ

f E \ {0} tỗ t t tỷ x E s x = 1 x, f = f
ự

sỷ tỗ t

x, y E

tọ

x = y =1



x=y

s

x, f = y, f = f .
õ ợ

t (0, 1)

tứ t ỗ t ừ

E

t õ

f = t x, f + (1 t) y, f
= tx + (1 t)y, f
tx + (1 t)y

f

< f .
r t tỗ t t tỷ

x, f = f



x E

s

x = 1




✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳
tç♥ t↕✐

δ(ε) > 0

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ E

ε > 0✱

x = 1✱ y = 1, x − y ≥ ε

♠➔

t❛

❧✉æ♥ ❝â

x+y
≤ 1 − δ(ε).
2
E

❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ t❤➻ ♥â ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✱ ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉
✤â✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✺✹✮ ❳➨t

.

❦❤æ♥❣✮ ✈î✐ ❝❤✉➞♥

E = c0

β ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

❑❤✐ ✤â✱

✭❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö ✈➲

(E, . β ), β > 0

|xi |2
i2

1/2

, x = (xi ) ∈ c0 .

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❧ç✐ ✤➲✉✳
✣➸ ✤♦ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❧➔ ❤➔♠ sè

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

δE (ε) = inf 1 −

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳

E

E ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✿ ▼æ

▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ✤♦↕♥

[0; 2]✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

E

E

❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✺✾✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

δE (ε) > 0, ∀ε > 0

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳

❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱ ❧✐➯♥ tö❝

E

δE (2) = 1

❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✻✵✮✳

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✺✻✮

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❜➜t ❦➻ ❧➔ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳
♥➳✉ ♠å✐ ❞➣②

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

{xn } ⊂ E

xn

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû

xn → x✳

t❤ä❛ ♠➣♥

{xn }

E
x

H

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❑❛❞❡❝✲❑❧❡❡
✈➔

xn → x✱

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

2

xn → x✳

✤➲✉ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❑❛❞❡❝✲❑❧❡❡✳

❧➔ ♠ët ❞➣② ❜➜t ❦ý tr♦♥❣

xn − x

t❤➻

= xn − x, xn − x

H

t❤ä❛ ♠➣♥

xn

x

✈➔



2

= xn
x
õ

2

2 xn , x + x
2 x

2

+ x

2

2

= 0.

xn x

ữợ t t ợ ổ rở ỡ õ t t


ồ ổ ỗ õ t t
ự
t ý tr


xn
xn

sỷ

H

E

ởt ổ ỗ

tọ

xn

x



x = 0 t xn 0 sỷ x = 0 xn
x õ
x
õ tỗ t > 0 {xnk } ừ {xn } s
x

k 1

E



xn

x

xn x

x
x

1=
s r t


x SE

k



E

1
2

x
xnk
+
xnk
x

E

s

fx E

1 ,

õ t t

ổ



>0

x
xnk
+
1 .
xnk
x
x
xn
r
xn
x

lim inf

xn x

tỗ t t


E

t õ

t õ

,

ổ ỗ tỗ t

1
2
ứ

ởt

xn x

x
xnk

xnk
x
ợ ồ

{xn }

s

E

ữủ ồ trỡ ợ ộ

x, fx = x



fx = 1

ởt ổ t t tr

ữủ ồ t t

x SE

ợ ộ

y SE

tỗ t ợ




tr

x SE

d
x + ty x
( x + ty )t=0 = lim
.
t0
dt
t


E

E



ởt ổ t t õ

ữủ ồ t õ t t ồ


✽
❜✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐
❝✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥

E

❞✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥
✈î✐ ♠å✐

E

❣✐î✐ ❤↕♥

x ∈ SE .

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐

y ∈ SE

x ∈ SE ✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮

y ∈ SE .

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉

x, y ∈ SE .

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✾✷✮

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛

❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
❛✮

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳

❜✮

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ρE (τ ) = sup{2−1 x + y + x − y

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳

▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

−1:

❬✶✵❪ ◆➳✉

E

[0; +∞)

x = 1,
E

y = τ }.

❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱ ❧✐➯♥

✭①❡♠ ❬✶❪ tr❛♥❣ ✾✺✮✳

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

lp

❤♦➦❝

Lp (Ω)✱

t❤➻ t❛ ❝â


1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) =
p
−
1
p−1 2



τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2
✣à♥❤ ❧➼ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤

E

✈î✐ ♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳
❛✮

❜✮

E∗

✭①❡♠ ❬✻❪ tr❛♥❣ ✼✵✮

✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

τε
− δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0✳
2
τε
ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0✳

2

ρE ∗ (τ ) = sup{

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳

❚ø ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✱ s✉② r❛

tr♦♥❣ ✤â

ε0 (E ∗ )
2

ε0 (E)
,
2
ρE (τ )
ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0
.
τ
ρ0 (E) =

✈➔

ρ0 (E ∗ ) =


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳

✾

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉

ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

❚ø ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙②✿

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â t❛

✭①❡♠ ❬✻❪ tr❛♥❣ ✼✵✮

❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
❛✮

◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉ t❤➻ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉❀

❜✮

◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉ t❤➻ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✳

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳

▼å✐

1 < p < +∞

✤➲✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ✈➔ trì♥ ✤➲✉ ✭①❡♠ ❬✺❪ tr❛♥❣

❦❤æ♥❣

❣✐❛♥

❍✐❧❜❡rt✱

❦❤æ♥❣

lp

❣✐❛♥

Lp (Ω)

❤❛②

✈î✐

✺✹✮✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② t➟♣ ❤ñ♣
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ▼♦s❝♦ ❬✾❪✳

{Cn }

❈❤♦

❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕

x∈

s✲▲✐n Cn ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ tç♥ t↕✐ ❞➣②

✈î✐ ♠å✐
❞➣②

E ✳ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ s✲▲✐n Cn

n ≥ 1❀ x ∈

{yk } ⊂ E

✇✲▲sn Cn

= C0 ✱

E

♥❤÷ s❛✉✿

x

✈➔

x n ∈ Cn

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲

✇✲▲sn Cn ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ tç♥ t↕✐ ❞➣② ❝♦♥

s❛♦ ❝❤♦
t❤➻

{xn } ⊂ E

✈➔ ✇✲▲sn Cn ❝õ❛

C0

yk

x

✈➔

yk ∈ Cnk

✈î✐ ♠å✐

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣②

{Cnk }

k ≥ 1✳

{Cn }

❝õ❛{Cn } ✈➔

◆➳✉ s✲▲✐n Cn

=

t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ▼♦s❝♦

❬✾❪ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❜ð✐

C0 = ▼✲ limn→∞ Cn ✳

❈❤ó þ ✶✳✸✳

❧➔ ♠ët ❞➣② ❣✐↔♠ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ❝õ❛

❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ ♥➳✉

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕
❚❤➟t ✈➟②✱ rã r➔♥❣ ♥➳✉
✈î✐

xn = x

✈î✐ ♠å✐

n≥1

E

{Cn }

C 0 = ∩∞
n=1 Cn = ∅✱

✈➔

x ∈ C0

t❤➻

x∈

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲

t❤➻

s✲▲✐n Cn ✈➔

x✳

C0 = ▼✲ limn→∞ Cn ✳

x∈

❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â

✇✲▲sn Cn ✱ ✈➻ ❞➣②

{xn }

C0 ⊂

C0 ⊂

s✲▲✐n Cn ✈➔

✇✲▲sn Cn ✳
❇➙② ❣✐í t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣

C0 ⊇

s✲▲✐n Cn ✈➔

tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ s✲▲✐n Cn ✱ tç♥ t↕✐ ❞➣②

xn → x✱
✈➔ ♠å✐

❦❤✐

n → ∞✳

k ≥ 0✳

✈î✐ ♠å✐

❱➻

❉♦ ✤â✱ ❝❤♦

n ≥ 1✳

❙✉② r❛

{Cn }

✇✲▲sn Cn ✳ ▲➜②

{xn } ⊂ E ✱ xn ∈ Cn

❧➔ ♠ët ❞➣② ❣✐↔♠✱ ♥➯♥

k→∞

x ∈ C0

C0 ⊇

✈➔ tø t➼♥❤ ✤â♥❣ ❝õ❛

✈➔ ❞♦ ✈➟②

C0 ⊇

✈î✐ ♠å✐

xn+k ∈ Cn
Cn ✱

x∈

s✲▲✐n Cn ✱

n ≥ 1 s❛♦ ❝❤♦

✈î✐ ♠å✐

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

n≥1

x ∈ Cn

s✲▲✐n Cn ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❧➜② ❜➜t ❦ý




y

sn Cn tứ ừ sn Cn tỗ t ởt

{yk } E

{Cn }

yk

s

x

yk C n k



ợ ồ

k 1

{Cnk }

ừ

ứ t ừ

t õ

yk+p Cnk
ợ ồ

k 1

k1

p 0





Cnk

õ tr

Ck Cnk



y Ck

ợ ồ

p
k 1
=

C nk

t ữủ

r

y C0

sn Cn

y C nk

õ

= C0

E

õ



ợ ồ

C0

ợ ồ

k 1



sn Cn

C0 = limn Cn

ố t


tr



ỗ õ

õ t t ữủ sn Cn



{Cn }

J : X 2X





X

ởt ổ t t



J(x) = {f X : x, f = x 2 , x = f }

ữủ ồ ố t ừ

ú ỵ

r ổ rt ố t trũ ợ

ỗ t

I

ố t

J

ỡ tr t t ỵ õ

t
J(x) =

X

õ ởt tr

x X



j

r ổ t t t

ợ ồ

J

X

t ổ õ

s r trỹ t tứ q ừ ỵ


ữợ ởt số t t ỡ ừ ố
t

J

ừ ổ t t



tr

X

X ởt ổ t t

J ố t ừ õ õ

J ởt tự J(x) = J(x), x X
J t t ữỡ tự J(x) = J(x), > 0, x X


✶✶
✐✐✐✮

J ❜à ❝❤➦♥✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ D ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ X t❤➻ J(D) ❧➔ ♠ët t➟♣
❤ñ♣ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ X ∗ ❀

✐✈✮
✈✮

◆➳✉ X ∗ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ J ❧➔ ✤ì♥ trà❀

J ❧➔ ✤ì♥ trà ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ tr➯♥ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ X ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉✳

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳
❣✐❛♥

lp

❳➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

lp ✱

✈î✐

p > 1✳

❱➻ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉

❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉✱ ♥➯♥ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

J

❝õ❛

lp

lq

❝õ❛ ❦❤æ♥❣

❧➔ ✤ì♥ trà ✈➔ ❞➵ t❤➜②

♥â ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

J(x) =



θ

♥➳✉

x=θ


{ηn } ∈ lq
tr♦♥❣ ✤â

ηk = |ξk |p−1 s❣♥(ξk ) x

2−p

♥➳✉

✈î✐ ♠å✐

x = {ξn } = θ,
k ≥ 1✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛
❝â
❛✮

x+y

2

≤ y

2

+ 2 x, j(x + y) , ✈î✐ ♠å✐ j(x + y) ∈ J(x + y)✱

❜✮

x+y

2

≥ x

2

+ 2 y, j(x) , ✈î✐ ♠å✐ j(x) ∈ J(x)✱

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ❝❤➾ r❛

y
✈î✐ ♠å✐

2

− x

2

≥ 2 y − x, j(x) ,

✭✶✳✸✮

x, y ∈ E ✳

❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â

y

2

− x

2

− 2 y − x, j(x) = x

2

+ y

2

− 2 y, j(x)

≥ x

2

+ y

2

−2 x

y

= ( x − y )2 ≥ 0.
❙✉② r❛✱ ✭✶✳✸✮ ✤ó♥❣✳
❛✮ ❚r♦♥❣ ✭✶✳✸✮ t❤❛②

x

❜ð✐

x + y✱

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❜✮ ❚r♦♥❣ ✭✶✳✸✮ t❤❛②

y

❜ð✐

x + y✱

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳




E ởt ổ trỡ õ

x y, j(x)

j(y) 0 ợ ồ x, y E ỡ ỳ E ổ ỗ t x
y, j(x) j(y) = 0 t x = y
ự

ợ ồ

x, y E

t õ

x y, j(x) j(y) = x

2

x, j(y) y, j(x) + y

x

2

2 x

y + y

2

2

= ( x y )2 0.
õ t ữủ

x y, j(x) j(y) 0
ợ ồ

x, y E

sỷ

E

ổ ỗ t

x y, j(x) j(y) = 0

õ

tứ tr t ữủ

x, j(y) = y, j(x) = x
õ

x = 0

t

y=0

2

ữủ sỷ

= y 2.
x = y = d > 0

õ t

õ

t

x
y
, j(x) = , j(x) = j(x) .
d
d
x
y
ữủ
= x = y
d
d

s > 0 E ởt ổ õ E ỗ
tỗ t ởt ỗ tử t t g : [0, ) [0, )

g(0) = 0 s
x+y
ợ ồ x, y {z E :

g

x

2

+ 2 y, j(x) + g( y )

z s} ồ j(x) J(x)



õ ữợ ừ

2

g : X (, ]

t

x0

ỵ

ởt ỗ

g(x0 )

x0 dom(g)

ữủ

g(x0 ) = {f X : g(x) g(x0 ) x x0 , f }.
õ

g

ữợ t

x0



g(x0 ) = .




✶✸

❱➼ ❞ö ✶✳✻✳
♠å✐

x ∈ X✳

❈❤♦

X

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱

f ∈ ∂g(0)

y

λy

❜ð✐

✈î✐

λ > 0✱

λ → 0✱

y, f ≥ 0✳
●✐↔ sû

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

❙✉② r❛✱

x = 0✱

2

2

= f

y, f ≤ 0

}, x = 0.

y, f = 0

✈î✐ ♠å✐

y ∈ X✳

❚❤❛②

y ∈ X✳

❉♦ ✤â✱

f = 0✳

✈î✐ ♠å✐

y

❜ð✐

❱➟②

−y

t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

∂g(0) = {0}✳

❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ r➡♥❣

f ∈ X∗

2

y − x, f = y, f − x

2

t❤ä❛ ♠➣♥

2

= f

= f

2

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû

f ∈ ∂g(x)✳

} ⊂ ∂g(x).

2

y ∈ X✱

t❛ ❝â

= g(y) − g(x).

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

1
y − x, f ≤ ( y
2
❚❤❛②

2

✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐

≤ y . x − x 2
1
≤ ( y 2 + x 2) − x
2

y ∈ X✳

2

≥ y, f , ∀y ∈ X.

x

❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû

2

≥ y, f , ∀y ∈ X.

{f ∈ X ∗ : x, f = x

✈î✐ ♠å✐

✈î✐

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

λ
y
2
❈❤♦

2

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

1
y
2
❚❤❛②

1
x
2

❑❤✐ ✤â✱



0, x = 0,
∂g(x) =

{f ∈ X ∗ : x, f = x
❚❤➟t ✈➟②✱

g(x) =

y = x + λz

✈î✐

λ∈R

2

− x 2)

✈➔

z ∈ X✱

t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽ ❛✮✱ t❛

♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
λ z, f ≤ ( x + λz
2
❑❤✐

λ > 0✱

2

1
− x 2 ) ≤ (λ2 z
2

2

+ 2|λ| x

tø ✭✶✳✹✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
z, f ≤ (λ xz
2

2

+ 2 x z ).

z ).

✭✶✳✹✮




0+



x z

t t ữủ

ợ ồ

z X

ợ

z, f x
z = x

z

ợ ồ

z X

r

| z, f |

t ữủ

| x, f | x 2 , f x .
r t tự t ừ ợ

x, f
0



x=z





< 0

t ữủ

+2
x 2.
2

t ữủ

x, f x 2 .



ứ t ữủ

x, f = x

2

= f

2

.

ứ ử t õ ữợ

X ởt ổ t t g(x) = 12

x

2

ợ ồ x X õ J(x) = g(x)

ú ỵ

ứ

1
g(x) ợ g(x) =
x 2 ợ
2
t J ỡ tr



E

ồ

ởt ổ trỡ t

x E

J(x) =

tr trữớ ủ ố

P tr tờ qt

P tr
sỷ C ởt t ỗ õ rộ ừ ổ
ỗ t E õ t C 0 = x C : x = inf{ y : y

C} ỗ t ởt tỷ
ự

xn d

r

t



n

{xnk } {xn }

x C

d = inf{ y : y C}

õ tỗ t

ứ t ừ

s

xnk

x

{xn }

{xn } C

tỗ t

ứ t õ ừ

C

s

õ tứ t ỷ tử ữợ ừ t õ

x lim xn = d.
n

s


✶✺

x = d = inf{ y : y ∈ C}

❙✉② r❛

❤❛②

x ∈ C 0✳

❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐

C✱

❝❤➦t ❝õ❛

t❛ ❝â

tx + (1 − t)y < d

✈î✐ ♠å✐

y=x

t ∈ (0, 1)✱

✈➔

y ∈ C 0✳

❚ø t➼♥❤ ❧ç✐

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐

d = inf{ y : y ∈ C}✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕ E ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ E tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♣❤➛♥ tû

PC x ∈ C s❛♦ ❝❤♦
x − PC x = inf x − y .
y∈C

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✷ ❝❤♦ t➟♣

x−C

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤✳
❚ø ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✱ ♥➳✉

C

❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

E✱

t❤➻ t❛ ❝â →♥❤ ①↕

PC : E −→ C

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x − PC x = inf x − y ,
y∈C

✈î✐ ♠å✐

x ∈ E✳

⑩♥❤ ①↕

PC

♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø

✣➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝

PC

E

❧➯♥

C✳

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♠➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✸✳ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ trì♥✳
❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ E ✱ x ∈ E ✈➔ z ∈ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱
❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮
❜✮

z = PC x❀
y − z, j(x − z) ≤ 0 ✈î✐ ♠å✐ y ∈ C ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû ❜✮ ✤ó♥❣✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â

(y − x) − (x − z), j(x − z) ≤ 0.
❙✉② r❛

x−z
✈î✐ ♠å✐

y ∈ C✳

z = PC x✳

2

≤ y − x, j(x − z) ≤ y − x

❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

x−z ,

x−z ≤ x−y

✈î✐ ♠å✐

y ∈ C

❤❛②

ữủ sỷ

z = PC x

tự

1
xz
2
ợ ồ

y C



C

t ỗ

2



y, z C

1
x y 2,
2

ty + (1 t)z C

ợ ồ

t (0, 1)

õ t õ

ợ ồ

yC



1
1
x z 2 x [ty + (1 t)z] 2 ,
2
2
ồ t (0, 1)

õ tứ ú ỵ t ữủ

0 x z [x ty + (1 t)z], j(x [ty + (1 t)z) ,
ợ ồ

yC

ồ

t (0, 1)

r

y z, j(x [ty + (1 t)z) 0.


t 0+

t ữủ

y z, j(x z) 0.
ữủ ự

P tờ qt


E

ởt ổ trỡ t

: E ì E R





(x, y) = x
ợ ồ

2

2 x, j(y) + y 2 ,

x, y E

t

ứ ừ



t õ

( x y 2 ) (x, y)
ợ ồ



x, y E

ợ ộ

y

ố t

(x, y)

ỗ t

x

E ởt ổ ỗ trỡ {yn}
{zn } tr E (yn , zn ) 0 {yn } {zn } t

yn zn 0


✶✼

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚ø

φ(yn , zn ) → 0
{yn }

❣✐↔ t❤✐➳t s✉② r❛ ❝→❝ ❞➣②

✈➔

s✉② r❛

{zn }

{φ(yn , zn )}

❝ò♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✵✱ tç♥ t↕✐

g : [0, ∞) −→ [0, ∞)✱ g(0) = 0

❤➔♠ ❧ç✐✱ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ ♥❣➦t

g( yn − zn ) ≤ zn + (yn − zn )
= yn

❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ tø ✭✶✳✼✮ ✈➔

2

2

− zn

2

2

− zn

s❛♦ ❝❤♦

− 2 yn − zn , j(zn )

− 2 yn , j(zn ) + 2 zn

2

= φ(yn , zn ).
❉♦ ✤â✱ tø

φ(yn , zn ) → 0

s✉② r❛

g✱

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

yn − zn → 0✳

tö❝ ❝õ❛

g( yn − zn ) → 0✳

❚ø t➼♥❤ t➠♥❣ ♥❣➦t ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✺✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ trì♥✳ ❈❤♦ C
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ E ✈➔ ❝❤♦ x ∈ E ✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t
♣❤➛♥ tû x0 ∈ C s❛♦ ❝❤♦

φ(x0 , x) = inf{φ(z, x) : z ∈ C}.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➻

E

zn → ∞

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ ♥➳✉

✭◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✺✮✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✱ tç♥ t↕✐

✭✶✳✽✮

x0 ∈ C

t❤➻

φ(zn , x) → ∞

s❛♦ ❝❤♦

φ(x0 , x) = inf{φ(z, x) : z ∈ C}.
❱➻

E

❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➯♥

t ∈ (0, 1)✱

✈➔ ♠å✐

.

2

❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t✳ ❉♦ ✤â ✈î✐ ♠å✐

φ(., x)

✈î✐

x1 = x2

t❛ ❝â

tx1 + (1 − t)x2
❙✉② r❛

x1 , x2 ∈ E

2

< t x1

2

❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t✳ ❉♦ ✈➟② ♣❤➛♥ tû

❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✺✱ ♥➳✉

C

+ (1 − t) x2 2 .
x0

❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t

E✱

t❤➻ t❛ ❝â →♥❤ ①↕

ΠC : E −→ C

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

φ(ΠC x, x) = inf φ(y, x),
y∈C

✈î✐ ♠å✐

x ∈ E✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✻✳

⑩♥❤ ①↕

ΠC

♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t tø

E

❧➯♥

C✳

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣

q✉→t trò♥❣ ♥❤❛✉✳


✶✽

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✻✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ trì♥✳ ❈❤♦ C
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ E ✈➔ ❝❤♦ x ∈ E ✱ x0 ∈ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣
✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮

x0 = ΠC x❀
z − x0 , j(x0 ) − j(x) ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C ✳

❜✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

z∈C

t ∈ (0, 1)✳

✈➔ ♠å✐

x0 = ΠC x✳

❱➻

C

❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ♥➯♥

tz + (1 − t)x0 ∈ C

✈î✐ ♠å✐

❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â

ϕ(x0 , x) ≤ φ(tz + (1 − t)x0 , x),
✈î✐ ♠å✐

z∈C

✈➔ ♠å✐

t ∈ (0, 1)✳

0 ≤ tz + (1 − t)x0
− x0

2

❚ø ✭✶✳✸✮✱ s✉② r❛

2

− 2 tz + (1 − t)x0 , j(x) + x

+ 2 x0 , j(x) − x

= tz + (1 − t)x0

2

− x0

2

2

2

− 2t z − x0 , j(x)

≤ 2t z − x0 , j(tz + (1 − t)x0 ) − 2t z − x0 , j(x)
= 2t z − x0 , j(tz + (1 − t)x0 ) − j(x) .
❈❤♦

t → 0+ ✱

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

z − x0 , j(x0 ) − j(x) ≥ 0
✈î✐ ♠å✐

z ∈ C✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❜✮ ✤ó♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐

φ(z, x) − φ(x0 , x) = z

2

− 2 z, j(x) + x

= z

2

− x0

2

z ∈ C✱
2

tø ✭✶✳✸✮✱ t❛ ❝â

− x0

2

− 2 z − x0 , j(x)

≥ 2 z − x0 , j(x0 ) − 2 z − x0 , j(x)
= 2 z − x0 , j(x0 ) − j(x)
≥ 0.
❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

x0 = ΠC x✳

+ 2 x0 , j(x) − x

2






tỷ ỡ tr ổ



E



A : D(A) E 2E

ởt

ổ





ữủ ồ ỡ ợ ồ



tỷ

x, y D(A)

t

ổ õ

x y, u v 0, u A(x), v A(y).



ởt t tỷ ỡ

ỡ ỹ ỗ t

A : D(A) E 2E



ữủ ồ

G(A) = {(u, x) : x D(A), u A(x)}

ừ õ

ổ tỹ sỹ ự tr ỗ t ừ ởt t tỷ ỡ tr

ử

tỷ

A(x) = x3

t
ừ

R

A

A

ợ

xR

ởt t tỷ ỡ tr

R

R

s r ỗ t

ổ t tỹ sỹ ừ t ý ởt t tỷ ỡ tr

sỷ tỗ t ởt t tỷ ỡ

tỹ sỹ ỗ t ừ
ữ

ỡ ỹ tr

E

A

B

tr

õ tỗ t tỷ

(x0 , m)
/ G(A)

R

s ỗ t ừ

x0 R

s

ữ s r trữớ ủ

B

ự

(x0 , m) G(B)
A(x0 ) > m



A(x1 ) = m



A(x0 ) < m
rữớ ủ
sỷ

õ

x1

A(x0 ) > m

ừ ữỡ tr

x1 < x0

A(x) = m

tự

ỵ tr tr tỗ t

n = A(x2 ) (m, A(x0 ))

ứ

(x0 , m) G(B)



x2 (x1 , x0 )

s

(x2 , A(x2 )) G(A) G(B)

s

r

(x0 x2 )(m A(x2 )) 0.


x0 > x2



A(x2 ) m

t ợ

ổ t r trữớ ủ
rữớ ủ
sỷ
õ

x1

x1 > x0

A(x2 ) (m, A(x0 ))

ữ

A(x0 ) > m

A(x0 ) < m

ừ ữỡ tr

A(x) = m

tự

ỵ tr tr tỗ t

n = A(x2 ) (A(x0 ), m)

ứ

(x0 , m) G(B)



A(x1 ) = m

x2 (x0 , x1 )

s

(x2 , A(x2 )) G(A) G(B)

r

(x0 x2 )(m A(x2 )) 0.

s





x0 < x2



A(x2 ) m

t ợ

ổ t r trữớ ủ

ử

A

õ



A

ữ

A(x0 ) < m

ổ tỗ t t tỷ ỡ
sỹ ỗ t ừ

A(x2 ) (A(x0 ), m)

B

tr

R s ỗ t ừ B

ởt t tỷ ỡ ỹ tr

f : E R

ự tỹ

R

ởt ỗ tữớ ỷ tử

ữợ õ t tỷ ữợ

f (x) = {x E : f (y) f (x) y x, x , y E}
ởt t tỷ ỡ ỹ
ỵ ữợ t ởt ừ t tỷ ỡ

A

ỡ ỹ

ỵ



E ởt ổ ỗ trỡ A :



E 2E ởt t tỷ ỡ õ ừ A t tỷ
ỡ ỹ R(j + rA) = E ợ ồ r > 0
ứ ỵ s r
ợ ộ

xE



r>0

E

ởt ổ ỗ trỡ t

tỗ t t tỷ

xr



yr

s

0

j(xr x) + rAxr ;



0

j(yr ) j(x) + rAyr .



t sỹ tỗ t ừ tỷ

xr



yr

ữủ s r tứ ỵ

r t t
sỷ tỗ t

uE

s

0

j(u x) + rAu.

õ t õ

õ tứ t ỡ

1
1
j(x u) Au, j(x xr ) Axr .
r
r
ừ A s r
u xr , j(x u) j(x xr ) 0.

tữỡ ữỡ ợ

(x u) (x xr ), j(x u) j(x xr ) 0.