Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

VŨ THỊ HẰNG

MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC
LƢỢNG TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Hà Nội. 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

VŨ THỊ HẰNG

MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC
LƢỢNG TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Huy Thảo

Hà Nội. 2018


LỜI CẢM ƠN

Tƣ

ậ

lòng biế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo

ố

ƣờ đã

ệ

bày tỏ

ú đỡ đị

ƣ ng

ƣ ng dẫn, chỉ

nghiên cứu, cung cấp cho em những tài liệu quý báu, tậ

bảo, tạo đ ều kiện tốt nhất trong quá trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp.
ờ
ọ sƣ

ạ

ả
N

ệ

ơ

2 đã

ả

Vậ
ợ

ú đỡ

ế

o

ờ

ƣờ
ọ ậ

ạ
ƣ

ậ

Cuối cùng, tôi xin cả

ơ s đ

ú đỡ nhiệt tình c

đ

bạn bè.
Là m t sinh viên lầ đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khoá luận không
tránh khỏi s thiếu sót, vì vậy tôi rất mong nhậ đƣợc nhữ
c a thầy cô và bạ

è để khoá luậ đƣợc hoàn thiệ

đ

ơ

Tôi xin chân thành cảm ơ !
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh Viên
Vũ Thị Hằng

ến

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp c

e

o

ƣ is

ƣ ng dẫn tận tình c a

thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản
khóa luận em có tham khảo m t số tài liệu c a m t số tác giả đã

o

ần

tài liệu tham khảo.
E
trung th

đo
ƣ

ững kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là
ừ

đƣợc công bố bởi bấ

ơ

o

á

ọi ngu n tài

liệu tham khảo đề đƣợc trích dẫn m t cách rõ ràng.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018.
Sinh Viên
Vũ Thị Hằng


PHỤ LỤC
Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ.
Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p.
Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau.
Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer-Townsend.
Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10(r ) có c
và giảm nhanh theo hàm số
r ă

đại tại r = a, 10(r )  0 tại r = 0


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU .............................................................................................1
1. Lý do chọ đề tài:............................................................................................1
2. Mụ đ

3

ứu:......................................................................................1

ối ƣợng và phạm vi nghiên cứu: .................................................................1

4. Nhiệm vụ c
5 P ƣơ

đề tài: .......................................................................................1

á

6. Cấu trúc c

ứu: ...............................................................................1
đề tài:..........................................................................................2

PHẦN 2: NỘI DUNG .........................................................................................3
C ƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ T UYẾT .....................................................................3
I.1: Lý thuyế ơ ản tán xạ: ...............................................................................3
I.2: Hệ hạt chuyể đ ng m t chiều: ....................................................................8
I 3: ịnh lý quang học: .....................................................................................11
I.4: Thế Yukawa:...............................................................................................12
I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend: ................................................................14
I.7: Thế đối xứng cầu: .......................................................................................15
C ƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ ỌC
LƢỢNG TỬ: ........................................................................................................19
II 1: B

oá

ềT ếY

w : ..........................................................................19

II.2: Bài toán về Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: ............................................25
II.3: Bài toán về Thế đối xứng cầu: ..................................................................26
II.4. Bài toán về ịnh lý quang học: .................................................................29
PHẦN 3: KẾT LUẬN .......................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO:.................................................................................33


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Cơ ọ ƣợng tử đƣợc hình thành vào nử đầu thế kỷ 20 do Max Planck,
Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born,
John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và m t số ƣời khác tạo nên.
Cơ ọ ƣợng tử là m t nhánh c a vật lý nghiên cứu về chuyể đ ng c a các vật
thể
á đạ ƣợng vậ
q
ƣ ă
ƣợ
e Cơ ọ ƣợng
tử đƣợc coi là nâng cao ơ ơ ọc Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và
đú đắn rất nhiều các hiệ ƣợng vậ
ơ ọc Newton không thể giải thích
đƣợc. Các hiệ ƣợng này bao g m các hiệ ƣợng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ
ơ Cơ ọc Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững

đến thế, hoặc không thể giả
đƣợc m t số hiệ ƣợ
ĩ
ƣs
ẫn,
siêu chả T o
á ƣờng hợp nhấ đị
á định luật c
ơ ọ ƣợng tử
á định luật c
ơ ọc cổ đ ển ở mứ đ
á
o ơ
To

đ các thế tán xạ ơ ản là phần quan trọ

giúp nghiên cứu về hệ th c và các hệ

o

ơ ọ

ƣợng tử,

ƣởng.

Chính vì vậy tôi đã chọ đề tài “ Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học
lƣợng tử ”

đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu:
Gi i thiệu m t số thế tán xạ ơ ả

o

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
Lý thuyết tán xạ, m t số khái niệ

ơ ọ ƣợng tử.

ƣơ

4. Nhiệm vụ của đề tài:
Tìm hiểu m t số thế tán xạ ơ ản.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
P ƣơ
á Vật lý lý thuyết, Vật lý toán.

1

á

q


6. Cấu trúc của đề tài:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: N i dung

C ƣơ

I: Cơ sở lý thuyết

C ƣơ

II: M t số bài toán về tán xạ ơ ả

Phần 3: Kết luận chung

2

o

Cơ ọ ƣợng tử


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.1: Lý thuyết cơ bản tán xạ:
Lý thuyết tán xạ nghiên cứu và tìm hiểu về s tán xạ c a sóng và hạt. Sóng
tán xạ ƣơ ứng v i s va chạm và tán xạ c a sóng v i vật chất.
I.1.1: Định nghĩa tiết diện hiệu dụng:
 T    ()d 
ƣợc gọi là tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần [2].
Trong vật lí hạt nhân, các tâm tán xạ
ƣ c dài cỡ 1012  1013
cm, các tiết diện tán xạ hiệu dụng ƣờ đƣợ đo ằ đơ ị barn hay
milibarn: 1barn  1024cm2 , 1mbarn  1027cm2 .
V i bài toán tán xạ chúng ta chỉ xét các quá trình xảy ra do va chạ đ

h i, tức là các va chạm không dẫ đến s chuyển hoá các hạt hay là không làm
cho các trạng thái n i tại c a các hạ
đổi, mà
q
â đến các tâm
tán xạ
ƣ ấu trúc c a hạt.
Tác dụng c a các tâm tán xạ có thể o
o

ƣ á

ụng c a m t tâm l c mà

ƣờng c a nó các hạt tán xạ chuyể đ ng. Kí hiệu V (r ) là thế ă

hạt bị tán xạ o
bị tán xạ.

ƣờng c a tâm tán xạ đ

a

é r là bán kính vector c a hạt

I.1.2: Biên độ tán xạ:
Xét bài toán về s tán xạ c a các hạt khố ƣợng m trên thế V (r ) c a các
tâm tán xạ. C ú

i hạn rằng, các thế này tiến t i 0 đ nhanh khi

r   [2].

Giả sử E
hạt t

ƣợng c a hạt, còn p  ka

ă

đầu c a các hạt là v 

( ƣ ậy vận tố
P ƣơ

S

o

e

a hạt:
3

ƣợ
ka
).
m

đầu c a các

 2 (r )  k 2 (r ) 

To

đ : k2 

2m
V (r ) (r )
2

2m
E  k2
a
2

P ƣơ
và sóng phẳng t i:

o

ệm dừ

ƣ i dạng ch ng chất các sóng tán xạ

 (r )  eika r   tx
Ở những khoảng cách r l n tính từ tâm tán xạ, hàm  tx phải có dạng cầu
và phân kì:
e

 tx(r  )   tc  A()

N ƣ ậy, ở những khoả

á

ikr
r

đ xa tâm tán xạ có dạng tiệm cận:

 (r )  eika r  A() e

ikr
r

Thành phần thứ nhất trong vế phải là sóng phẳ
2
ik
r
e a 1
Ta có mậ đ dòng bằng vận tố
JT 

2mi

đơ sắc có mậ đ

đầu c a hạt:

( T*  T   T  T* ) 

ka
v
m

Thành phần này mô tả chùm hạt chuyể đ ng t do v i vận tốc v t i tâm
tán xạ (chùm t i).

4


ikr
Thành phần thứ hai,  tc  A() e
là sóng cầu phân kì, có mậ đ
r
1
A() 2 và mậ đ dòng (tán xạ)
r2
J tx 

eo ƣ ng Ω

ƣơ

ă

a r bằng

k

A() 2 (tính theo tọ đ cầu).
mr 2

ƣơ

Thành phần này mô tả các hạt tán xạ theo
eo ƣ ng c a góc khối Ω (chùm tán xạ).
l

eo

Vì vậy số hạt bị tán xạ bởi tâm tán xạ đ q
â
ƣ i góc khối (Ω, Ω + dΩ) phải là:

ỏi tâm

đ i cầu có bán kính rất

k
A() 2d 
m

N  J txdS     J tx r 2d  
Từ đ

e o r, đ

ối liên hệ giữa tiết diện tán xạ hiệu dụng     và hàm A()

ú

 ()  A() 2
Hàm A() đƣợc gọ

đ tán xạ.

I.1.3: Phép gần đúng của Born:
ể tìm tiết diện tán xạ hiệu dụng cần phả
đ tán xạ. Trong phép
gầ đú Bo
đ
đƣợc tính nhờ lý thuyết nhiễu loạ T o đ
ễu
loạ đƣợc lấy là thế ă
a hạt tán xạ o
ƣờng c a tâm tán xạ [2].



Ta coi V r  tx là m
T

đạ ƣợng nhỏ.
o
tx

ƣơ

 2 tx  k 2 tx 

Nghiệm c

ƣơ

ạ



2m
V r eika r
2

s

â

đ

eika r   ik r  r 
V  r   dV 
 tx  r   

2

r

r
2
m

5

ỏi tâm:


T o đ dV  là yếu tố thể tích lấ
vector r  .

oq

đ ểm có bán kính

r  đặt:

Tại khoảng cách l n r

k r  r'  k

â

 
r  r'

2

12


2rr  

rr  
 kr 1 
 kr 1 



r2 

r2 

r
 kr  k r '
r

Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ [2].
K

r
đặt kb  k , k b  k .
r

To

đ kb là vector sóng tán xạ.

ka là vector sóng t i.
Góc  là góc tán xạ (góc giữa vector ka và vector kb ).
Do đ

á ị tiệm cận c a  tx có dạng:





 tx r     tc  



1  ik r   ikr  ik r ' 
'
'
b

e a
V r d V
2
r

2
m

6



 eikr
m

i

(
k

k
)
r


a
b
 
V
(
r
)
dV
e


 2 2
 r
So sánh v i dạng tiệm cận:
A   

m
2





V  r  ei ka  kb r dV 

2

Tiết diện hiệu dụng:
2
2

i
(
k

k
)
r


a
b
   m
V
r
dV


e

4 2 4

Chú ý: Phép gầ đú
tán xạ đ l n.

a Born luôn thích hợ

ă

ƣợng c a các hạt

I.1.4: Phân biệt hệ tọa độ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm:
Trong hệ tọ đ khối tâm, xung lƣợng c a hai hạ
ƣợc chiề đâ
nhau: p  p1   p 2 và p '  p 3   p 4 [3].
Tiết diện tán xạ vi phân có dạng:
2 '
p
M
fi
d



S

 
 d   cm 64 2s p

To

2

đ : s   p1  p 2  , d   d d cos ,  là góc giữa p1 và k1 .

Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p [1].
Trong hệ phòng thí nghiệm: xét hạt thứ
Ta có:
7

đứng yên p 2   m 2,0,0 

o


2
M
fi
d

1



S



 d  lab 64 2m 2   m  p ' p
E 3 cos lab 
2
 E1




To



p 2  m12 , E 3  p '2  m32

đ : E1 

Chú ý: Hệ phòng thí nghiệ
ƣờ đƣợc dùng cho tán xạ c a m t hạt có
khố ƣợng và m t hạt không khố ƣợng.
Góc tán xạ  lab là góc giữ
ee o đ
ở p .

e o

ƣợng c

ee

o đ

o ở p và

I.1.5: Mối liên hệ giữa số hiện tƣợng và tiết diện tán xạ:
N fi   fiLT

To

đ N fi là số hiệ

L
1031cm2s 1).

đ

đặc

ƣợng mà i  f [3].
ƣ

ụ thu c vào các máy (L đặ

T là thời gian chạy máy (m

ă

ƣ

107s ).

I.2: Hệ hạt chuyển động một chiều:
P ƣơ
s o
e
o
t hạt [2].

Phƣơ
o
e
c chấ
ă
ƣợng, là m
ƣơ
ơ ản c a vậ
ƣợng tử mô tả s biế đổi trạ
á ƣợng tử c a m t hệ vật
lý theo thời gian, thay thế o á định luật Newton và biế đổ G eo o
ơ
học cổ đ ển.
I.2.1: Thiết lập phƣơng trình Schrodinger tổng quát:
Giả xử Hamilton c a m t hạ đƣợ

To

đ W là m t hàm l

o ƣ i dạng [2]:

ụ thu c vào ⃗ ⃗̇…

ođ

8

ời gian t.

S
⃗

đ

̂ = iħ

ển

̂

=

+ ̂ cho hai vế á đ ng vào hàm ψ(

.
T

đƣợ

ƣơ

ổng quát:
(⃗

â
ƣơ
o
ƣờng l c tổ

theo thời gian t.

̂

=[

s

o

̂ ⃗
e

]ψ( ⃗

ổng quát, mô tả chuyể đ ng c a hạt
ă
ƣợ
á định do hàm H biế đổi

q á

I.2.2: Phƣơng trình schrodinger cho một hạt chuyển động trong trƣờng thế
(W = U(⃗⃗)):
K

W = U( ⃗)

đ

o

ƣơ

s

o

e ổ

q á

đƣợc

[2]:
⃗
ặt ψ( ⃗ ) = ψ( ⃗)exp{
( Do ta thấy vế á
riêng theo tọ đ ).
K

=[

̂

̂ ⃗ ]ψ( ⃗ )

} v i E là hằng số bất kì.
đạo hàm riêng theo thời gian t, vế phả

đạo hàm

ψ( ⃗) thảo mãn:

đ
[

̂ ⃗ ]

Toán tử ̂ = [

̂ ⃗ ]

Trong đ

đ

⃗ = ̂

⃗ =E

⃗

ă

̂ ⃗ là thế ă
Vậy suy ra E

ă

ƣợng trong trạng thái chuyể đ ng

To
ƣờng hợp hạt chuyể đ ng m t chiều U( ⃗) = U(x)
trên trở thành:
ψ”(x) +

[E - U(x)]ψ(x) = 0

9

⃗ c a hạt.
ƣơ


ƣờng thế U(q) = U(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

ối v i hệ n hạt chuyể đ
o
ƣơ
S o
e ừng có dạng:

⃗⃗⃗⃗)

n 

2m
 k  E  U (q) (q)  0
  2

k
2

k  1
ă

v iE

ƣợng c a hệ hạt.

Hàm sóng Hamilton có dạng: ̂
M t số định luật bảo toàn:
Từ ƣơ
S o
e
đƣợc biểu diễ q

có thể suy ra m t số định luật bảo toàn

ƣơ

ục:
(2.1)

⃗
ể đƣ đế
chuyể đ

ƣơ

ƣ c hế

é

ƣờng l c U = U( ⃗, t). Cá

o

̂
s

o

ƣờng hợp phức tạp khác sẽ xét

̂

e:
(2.2)

ħ
Cò

ƣơ

ản, hạt

ƣờng hợp trên toán tử ̂ có dạng:

trong những bài toán cụ thể T o

P ƣơ

ƣờng hợ đơ

ợp phức v i nó là:
(2.3)

-ħ
Nhân hai vế

ƣơ

(2.2) v i

, nhân hai vế

ƣơ

(2.3) v i

ƣơ

Rú

.
đ

S đ
đƣợc:

ế trái trừ vế trái, vế phải trừ vế phải c
{

}=0
10

ọn


Từ đ s

đƣợ

ƣơ

(2.1).

| | là mậ đ xác suất.

V i
V i⃗


là mậ đ dòng xác suất.
ịnh luật bảo toàn số hạt:

V i n là số hạ

đƣợc:

⃗


Nhân
Suy ra

ịnh luật bảo toàn khố ƣợng:
và ⃗ v i khố ƣợng m c a hạ
ƣơ

đƣợc

và ⃗ .

ục:
⃗



ịnh luật bảo o

Tƣơ
Suy ra

ƣ
ƣơ

đ ện tích:
â

đ ện tích e.
ục:
⃗

C ú : định luật bảo toàn khố ƣợ
định luật bảo o đ ện tích không
nghiệ đú
ố ƣợng phụ thu c vào vận tốc và s sinh hay h y c đ ện
tích.
I.3: Định lý quang học:
ịnh lý quang họ
đầ đƣợc đề xuất bởi Wolfgang von Sellmeier và
Lord Rayleigh m á đ c lậ ă 1871 Lo R e
ậ
đ tán
xạ về
ƣ
ƣ i dạng chỉ số khúc xạ [5] ƣợc biểu diễn bởi công thức:
n  1  2

( o đ N là số mậ đ c a chất tán xạ)
cứu về màu sắc và phân c c c a bầu trời.
11

Nf  0 
k2

đã sử dụng trong m t nghiên

P ƣơ
s đ đƣợc mở r ng cho lý thuyết tán xạ ƣợng tử bởi
m t số á â
đƣợc biế đế
ƣ ối liên hệ Bohr-Peierls-Placzek sau m t
áo ƣ đƣợc công bố ă 1939 ịnh lý này đƣợc gọ
"định lý quang
họ " o ă 1955 ởi Hans Bethe và Frederic de Hoffmann, sau m t thời gian
đã đƣợc biế đế
ƣ
"định lý nổi tiếng về quang học".
Trong vật lý định lý quang học là tổng quát chung c a lý thuyết sóng tán
xạ, mà liên quan t
đ tán xạ c a tổng tiết diện tán xạ ƣợ á định bởi
biểu thức:
=
To

đ f(0)

đ tán xạ, im là phần ảo c a f(0).

V i góc bằng 0
k là vector chỉ

Imf(0)

đ c a sóng tán xạ là trung tâm c a m t màn hình, và

ƣơ

V

á định lý quang họ đƣợc tạo ra từ sử dụng bảo o
ă
ƣợng, hay
o
ơ ọ ƣợng tử từ bảo toàn c a xác suấ
ịnh lý quang họ đƣợc áp dụng
r
ã
o
ơ ọ ƣợng tử,
bao g m cả s tán xạ đ
i và không
đ
i. We e e se e đã á
đề tổ q á ơ
q
đến việc đƣ
đƣợc tham số chỉ ƣơ
:

k
Imf (kˆ ', kˆ) 
 f (kˆ ', kˆ '') f (kˆ ", kˆ)dkˆ "
4
I.4: Thế Yukawa:
Hideki Yukawa (1907-1981) sinh ra tại Tokyo, Nhật Bản Ô
tạ ƣờ

ại họ Os
đạ đƣợc nhiều giả ƣở
á
Vậ
ă 1949
ƣơ
Lo o oso ă 1964 …

đã ừng học
ƣ ải Nobel

Hideki Yukawa cho thấy rằng m t hạt phát sinh từ s
o đổi c a m t hạt
l
ƣ
ƣ ạt c a m t boson l n. Từ đ ạt trung gian là l đ ng vị l n
có m t miền biến thiên nhấ đị
đ
ỉ lệ nghịch v i khố ƣợng trung gian m.
Vì miền biến thiên xấp xỉ c a hạ
â
đã ế T o
ƣờng l c c a l c hạt
nhân, khố ƣợ
đã đƣợc d đoá ơ
o oảng 200 lần khố ƣợng
electron, và nhỏ ơ é o
đoá
a s t n tại c
o đƣợc phát hiện

ă 1947 [5].

12


Trong hạt nhân và vật lý nguyên tử, thế Y
thức:
V Yukawa(r )   g

2e

w đƣợ

á định bởi công

kmr
r

Khi g là hằng số ở thang từ ƣờng, m là khố ƣợng c a hạt, r là khoảng
cách từ â đến hạt, và k là hằng số ở
á
o đ 1/km là phạm vi. Thế
ă đơ đ ệu trong r và âm bao g m cả l c hấp dẫn. Trong hệ SI, đơ ị thế
Yukawa là 1/m.
Thế Coulomb là thế đơ
ản nhất c a thế Yukawa v i e kmr  1 . Thế
Co o
đƣợ á định bởi công thức:

g 2

V Coulomb(r ) 
r
To
ƣơng tác giữa m t hạt meson và hạt fermion, hằng số g bằng hằng
số ƣơ
á
ữa các hạ
To
ƣờng hợp l c nguyên tử, fermion sẽ g m
m t proton và m t proton khác hoặc m t neutron.

13


Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau.
I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend:
Hiệu ứng Ramsauer-Tow se
đ
ò đƣợc gọi là hiệu ứng Ramsauer
hay hiệu ứng Townsend, là m t hiệ ƣợng vậ
q
đến s tán xạ các
đ ện tử ă
ƣợng thấp bởi các nguyên tử c a m t khí quyển. Kể từ khi giải
thích c a hiệu ứ đò ỏi lý thuyết sóng c
ơ ọ ƣợng tử, từ đ
ứng tỏ s
cần thiết cho lý thuyết vậ
ơ so i các vật lý Newton [5].
Hiệu ứ

đƣợ đặt tên theo Carl Ramsauer (1879-1955) và John Sealy
Townsend (1868-1957), nhữ
ƣời từng nghiên cứ đ c lập s va chạm giữa
các nguyên tử
á đ ện tử ă
ƣợng thấ
o đầu thập niên 1920.
Nế
ƣời ta cố gắ để d đoá á s ất va chạm v i m t mô hình cổ
đ ển ƣ i dạng coi electron và nguyên tử ƣ quả cầu cứng, ƣời ta thấy rằng
xác suất va chạm phả đ c lập v
ă
ƣợng electron t i. Tuy nhiên, Ramsauer
và Townsend quan sát thấy rằ đối v i electron chuyể đ ng chậm trong argon,
krypton, hoặc xenon, xác suất va chạm giữa các electron và các nguyên tử khí có
giá trị nhỏ nhấ
o á đ ện tử v i m ƣợ đ
ă
ấ định (khoảng 1
ee o o
o e o
) â
ệu ứng Ramsauer-Townsend.
Không có giải thích nào tốt cho hiệ ƣợ
o đến khi ơ ọ ƣợng
tử xuất hiệ đ ều này giải thích rằng hiệu ứng này xuất phát từ các tính chất
giố
ƣs
a electron. M
đơ

ản về va chạm làm cho việc sử
dụng lý thuyết sóng có thể d đoá s t n tại c a hiệu ứng Ramsauer-Townsend
là tối thiểu.

14


Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend.
I.7: Thế đối xứng cầu:
I.7.1: Các tính chất tổng quát của chuyển động trong trƣờng thế đối xƣng
cầu:
I.7.1.1: Hàm đối xứng cầu:
Trong m

ƣờng, xét thế

r  x 2  y 2  z 2 đến m
cầu [2].
To

ă

ỉ phụ thu c vào khoảng cách

đ ểm cố đị

đ đ ểm cố định là tâm c

T ƣờ

đ

ọ

ƣờng thế đối xứng

ƣờng.

Xét trong hệ tọ đ cầu  r , ,  . Toán tử Hamilton có dạng:
Hˆ  

To

ˆ2
  2  
L
 Uˆ  r 
r

2
2
2mr  r   r  2mr
2

đ :

 
1 2 
 1  


2
2
2

Lˆ    ,   
 sin 

2
2
sin









sin






Là toán tử

ƣơ

o e

ƣợng.
15


Xét toán tử hình chiế
o e
ƣợng lên m
các toán tử Hˆ , Lˆ 2 , Lˆ z giao hoán v i nhau từ đ
ƣơ Oz đƣợc:

Lˆ z  i
To

ƣơ

ất kì. Ta thấy

t. Ví dụ: chiếu trên


 

đ Hˆ là toán tử Hamilton.

L2

ƣơ

L z là hình chiế

o e

ƣợng.

o e

ƣợng lên trục Oz.

Ta có L 2  l (l  1) 2 (l  1,2,3,...) , L z  m
đ ều hòa c a hai toán tử Lˆ z và Lˆ 2 .
T đƣợ

( m  0, 1, 2,..., l ) là hàm

đ ều hòa cầu:
Y lm  ,   (1)

ặt nghiệm c

ƣơ

m m
2

2l  1  l  m ! m

P  cos  eim
4  l  m ! l

s o

e

ạng:

 Elm  r, ,   f El (r )Y lm  , 
To

đ

f El  r  là hàm bán kính phục thu c vào E và L 2 .

T đƣợc:

Hˆ  r , ,   E  r , , 
Biế đổi vi phân cho hàm f  r  :
d  2 df  2mr 2 
l (l  1) 2 
 f (r )  0
r
  2  E  U (r ) 
dr  dr 

2mr 2 

ặt f 

R(r )

và f  x  á định khi r  0 , vì vậy mà R(r )  0 . Thu đƣợc:
r

16



l (l  1) 2  


d 2R  2m 
E

U
(
r
)


 R  0

2

dr 2
2mr 2  



R(r) đƣợc gọ

đối xứng cầu [2].

I.7.2.2: Thế năng hiệu dụng:
ƣ

Về mặt hình thức, hàm xuyên tâm có thể coi giố
schodinger cho chuyể đ ng m t chiề o
ƣờng thế:

U l (r )  U (r ) 
ƣợc gọi là thế ă
Thế ă
hạt v i ngoạ

ƣơ

l (l  1) 2
2mr 2

ệu dụng [2].

ệu dụng là tổng c a thế ă
ƣờng và số hạng):

U(r) ( ă

ƣợ

ƣơ

á

a

2
l (l  1) 2
 L
2mr 2
2mr 2
Bài toán về chuyể đ
o
ƣờng thế đối xứng cầ đƣợ đƣ
toán chuyển đ ng m t chiều trong miền bị gi i hạn m t phía.
á đạ ƣợng E, L 2 và L z tạo nên m t tập hợ đ
vật lý đ để mô tả chuyể đ
o
ƣờng thế đối xứng cầu.
N ƣ ậ

Nếu U(r) > 0 ở khắ

ơ

à U(r) → 0 ở ∞

ề bài

á đạ ƣợng

E  0 ở tất cả các trạng thái

chuyể đ ng, vì U  0 còn giá trị trung bình c đ
ă
o ờ
Hạt có thể đ
ỏi tâm t i ∞, ở đ ạt chuyể đ ng t do v i phổ ă
liên tục.

ƣơ
ƣợng là

Nếu U(r) < 0 và U(∞) = 0 thì hạt có thể chuyể đ ng trong m t thể tích
hữu hạn v i các giá trị ă
ƣợ
á đoạn E < 0.
I.7.2: Nguyên tử Hidro:
Nă
ƣợng ở mức n c a electron trong nguyên tử Hydro [2]:

En  

me 4
, (n = 1,2,3,…)
2
2
2n
17


Trong miền E < 0 ă

ƣợng bị ƣợng tử hoá. Khi n ă
gần nhau, và khi n → ∞, E   0 .
Trong miền E > 0 phổ ă
Nă
ă

ƣợ

đƣ e e

á

ức sát lại

ƣợng là liên tục.

o

ừ trạng thái E1 lên miền có phổ liên tục gọi là
ƣợng ion hoá nguyên tử Nă
ƣợng này ít nhất phải bằng thế ion hoá.
U ion  E   E1   E1 

me 4
 13,6eV
2
2

Theo thuyế ƣợng tử về ánh sáng, electron chuyển từ mứ ă
xuống mứ ă

ƣợng thấp sẽ phát ra photon có tần số:
 1
1 
1 
E  E m me 4  1
v n

   R
 

h
4 3  m 2 n 2 
 m2 n2 

ƣợng cao

ạ ƣợng:

R

me 4
 3,27.1015s 1
3
4

gọi là hằng số R e
ă 1913 ầ đầ
đã đƣợc N. Bohr tính toán bằng
lý thuyết. Kết quả tính toán phù hợp v i kết quả th c nghiệm.
Tập hợp các tần số do nguyên tử phát ra gọi là quang phổ c a nó.

Ta gọi dãy là tập hợp mọi tần số ν ứng v i s chuyển từ các mức n khác
nhau về cùng m t mức m (n > m).
Nă 1885
ơ sở phân tích các kết quả nghiên cứu quang phổ nguyên
tử Hydro, Balmer tìm ra dãy Balmer ứng v i m = 2, nằm trong vùng ánh sáng
khả kiến và vùng tử ngoại gầ Nă 1906 L
á ệ
ã ƣơ ứng v i
m = 1 nằm trong vùng tử ngoại xa. Trong vùng h ng ngoạ
ƣời ta phát hiện
thêm ba dãy ứng v i m = 3, 4 và 5.
Trạ
á ơ ản (n = 1) c a electron trong nguyên tử
bởi hàm sóng:

18

o đƣợc diễn tả


 100  r , ,  
To

1

 a3

e

r

a

đ a là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất.

Xác suất tìm thấy toạ đ c a hạt giữa hai l p cầu r và r + dr quanh gốc toạ
đ :
r
4  1
dP10  r    
ea

0   a3

2
2r


4
 r 2drd   e a r 2dr

a3


Mậ đ xác suất tạ đ ểm cách tâm m t khoảng r:
dP10 (r ) 4  2ar 2
10 (r ) 
 e r
dr
a3

Ta thấy, 10(r ) có c
theo hàm số
r ă

đại tại r = a, 10(r )  0 tại r = 0 và giảm nhanh

Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10(r ) có c
0 và giảm nhanh theo hàm số

đại tại r = a, 10(r )  0 tại r =
r ă [2].

CHƢƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG
CƠ HỌC LƢỢNG TỬ:
II.1: Bài toán về Thế Yukawa:
Bài toán 1 [4]:
19