Một số bài tập về liên kết trong cơ lí thuyết (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HOÀNG THỊ HOÀI LINH

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT
TRONG CƠ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HOÀNG THỊ HOÀI LINH

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT
TRONG CƠ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận
này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè luôn sát
cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
để hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Hoài Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý
thuyết” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp
đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam
đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ khóa luận tốt
nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Hoài Linh


Mục lục

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................. 2
N I DUNG ....................................................................................................... 3
H

NG : NH NG KH I NI M

N ............................................... 3

1.1 Phương trình chuyển động .......................................................................... 3
1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc ......................... 3
. .2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ ................... 4
. .3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên ..... 6
1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ .............. 7
. .5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu........... 10
.2 Xung lượng............................................................................................... 11
.2. Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm ................. 11
.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. ............ 12
.3 Momen xung lượng .................................................................................. 14
.3. Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm .... 14
.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất......... 15
.4 Năng lượng ................................................................................................ 17
.4. Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm. .... 17
.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất.......... 18
1.5 Tọa độ suy rộng ......................................................................................... 19

1.6 Số bậc tự do .............................................................................................. 20


H

NG 2: LI N K T ................................................................................ 21

2. Khái niệm liên kết ..................................................................................... 21
2.2 Phương trình liên kết hình học .................................................................. 21
2.3 Phương trình liên kết động học ................................................................. 22
2.4 Liên kết lý tưởng ....................................................................................... 23
2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo.................................................... 24
2.6 Lực suy rộng.............................................................................................. 26
H
3.

NG 3: M T S

I T P V LI N K T ......................................... 27

ài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc .............................................. 28

3.2 ài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau ..................................... 31
K T LU N ..................................................................................................... 43
T I LI U THAM KH O ............................................................................... 44


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói

chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ vai trò khá quan
trọng. Nó giúp chúng ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn phần lý
thuyết đã học.
Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở đại
học đó là môn ơ học lý thuyết. Đây là bộ môn khoa học nghiên cứu các quy
luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể
trong không gian, theo thời gian. Do đó số lượng bài tập tương đối nhiều và
đa dạng.
Ta có thể giải bài tập động lực học bằng các nguyên lý của cơ học. ác
nguyên lý cơ học cũng cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ và điều kiện cân bằng của cơ hệ. Giải các bài tập bằng
các nguyên lý của cơ học đặc biệt thuận lợi khi tìm các lực liên kết tác dụng
vào cơ hệ.
Đồng thời áp dụng công cụ cơ học giải tích là một phần của cơ học lý
thuyết trong đó nghiên cứu quy luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ
không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích, cho ta một phương
pháp ưu việt để giải các bài tập cơ học.
Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ
học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên
cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý
thuyết”.
2. Mục đích nghiên cứu
-

Nghiên cứu các loại liên kết

1

-

Giải quyết một số bài tập về liên kết

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết hình học

-

Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết động học

-

Ứng dụng để giải quyết một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết

4. Đối tƣợng nghiên cứu
-

Nghiên cứu liên kết một vật với các bề mặt tiếp xúc

-

Nghiên cứu liên kết của một cơ hệ với nhau

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán

-

Phương pháp nghiên cứu của cơ học

6. Cấu trúc của khóa luận
-

Đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết ” có kết cấu

gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
-

Phần nội dung được chia làm 3 chương:
hương : Những khái niệm cơ bản
hương 2: Liên kết
hương 3: Một số bài tập áp dụng

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: NH NG KH I NIỆM CƠ BẢN
1.1

Phƣơng trình chuyển động

1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc
a.

Phương trình chuyển động
Xét chuyển động của chất điềm M đối với hệ quy chiếu K được quy

ước là đứng yên. Giả sử chất điềm M chuyển động trên đường cong AB.
Đường cong do chất điểm chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ
đạo của nó. Vị trí của M đối với hệ quy chiếu K được xác định bằng bán kính
vectơ ⃗ kẻ từ gốc tọa độ O đến chất điểm M. Khi chất điểm M chuyển động
thì bán kính vectơ ⃗ thay đổi cả về độ lớn và phương. Vì vậy, bán kính vectơ ⃗
là hàm của thời gian t:
⃗ = ⃗( )

z

(1.1)

A
B

Hệ thức trên xác định vị trí của chất điềm M
trong không gian ở thời điểm t bất kỳ và
được gọi là phương trình chuyển động của

O
x

chất điểm cho dưới dạng vectơ. Đó cũng chính
là phương trình quỹ đạo của chất điểm

y

cho dưới dạng thông số.
b. Vectơ vận tốc:
Để đặc trưng cho sự thay đổi bán kính vectơ ⃗ theo thời gian người ta
đưa ra khái niệm vận tốc.
Vận tốc là đại lượng vectơ đặc trưng cho độ nhanh, chậm, phương
chiều chuyển động của chất điểm tại mỗi thời điểm và bằng đạo hàm hạng
nhất của bán kính vectơ ⃗ theo thời gian.

v

dr
dt

(1.2)

3


c. Vectơ gia tốc
Để đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian ta đưa
vào khái niệm gia tốc.
Gia tốc chuyển động của chất điểm là một đại lượng vectơ, bằng đạo
hàm hạng hai theo thời gian của bán kính vectơ ⃗

w

dv d 2 r

dt dt 2

(1.3)

Ở đây ta quy ước ký hiệu vi phân theo thời gian của một đại lượng
bằng dấu chấm đặt trên ký hiệu của đại lượng ấy.
.

..

wvr
1.1.2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ Descartes
ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ Descartes Ox, Oy, Oz là ⃗⃗ , ⃗⃗ , ⃗⃗ .
Trong hệ tọa độ Descartes có thể biểu diễn
bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của chất điểm M

z

dưới dạng:
⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

M

(1.4)

⃗⃗

Trong đó x, y, z là các thành phần của
⃗⃗

bán kính vectơ ⃗ trên các trục tọa độ.

O

⃗
⃗⃗

y

x

Khi chất điểm chuyển động thì x, y, z đều biến đổi theo thời gian do đó ta có
thể viết:
()
()

(1.5)

()

4


ác phương trình ( .5) gọi là các phương trình chuyển động của chất
điểm dưới dạng tọa độ hay còn gọi là phương trình quỹ đạo của chất điểm
dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes.

Theo định nghĩa:
⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

(1.6)

là các thành phần của ⃗⃗ trên các trục tọa độ thì có thể viết

Gọi
⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗
̇,

Ta nhận được:

̇

̇

Nghĩa là mỗi thành phần của ⃗⃗ trên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng.
Độ lớn của vận tốc:
√̇

√

̇

̇

(1.7)

là các góc hợp bởi vectơ vận tốc với các trục tọa độ. Hướng

Gọi

của vectơ vận tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương:

cos α 

vx
,
v

cosβ 

vy
v

,

cos γ  

vz
v

Theo định nghĩa của vectơ gia tốc ta có:

w
⃗⃗⃗⃗

dv d
 ( ̇ ⃗⃗
dt dt
̈ ⃗⃗

̈ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗ )

̈ ⃗⃗

Gọi thành phần gia tốc trên các trục tọa độ là
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

thì có thể viết:

Ta có thành phần gia tốc trên các trục tọa độ:
̈

̈,

Độ lớn của gia tốc:

5

̈


√̈

√

̈

̈

(1.8)

là góc hợp bởi véctơ gia tốc với các trục tọa độ thì

Gọi

phương của vectơ gia tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương.

cos α1 

wx
,
w

cosβ1 

wy
w

,

cos γ1   

wz
w

1.1.3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên
Khi quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước thì dùng
phương pháp tọa độ tự nhiên để mô tả chuyển động của chất điểm lại thuận
lợi hơn.
Ta chọn điểm O1 trên quỹ đạo làm điểm gốc

O1
S

để tính độ dài cung S của quỹ đạo. Chiều dương
của S lấy theo chiều tăng của nó trong quá trình

M

⃗

chuyển động.

τ⃗⃗

d⃗
d

O

Khi chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo bán kính vectơ ⃗ của nó sẽ
biến đổi theo sự biến đổi của tọa độ cung S, còn bản thân tọa độ cung S sẽ
biến đổi theo thời gian.
⃗

⃗( )

Phương trình

,

()

( ) được gọi là phương tình chuyển động của chất

điểm theo quỹ đạo của nó.
Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết,
thuận tiện hơn ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị
⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗

[ ⃗ ⃗⃗]. Hệ tọa độ này gọi là hệ tọa độ tự nhiên hay tam diệm tự

nhiên.
Vectơ vận tốc ⃗⃗ và vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ của chất điểm có thể biểu diễn dưới
dạng:

6


v

dr dr ds

dt ds dt

w

dv
dt

Trong đó τ 

̈ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

(1.9)
dn τ
ds

( ̇)

(1.10)

dr
là vectơ đơn vị, tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo
ds

chiều chuyển động của chất điểm.
Hình chiếu của ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ trên các trục của tọa độ tự nhiên có dạng:
̇
̈ wn

s 

R

2

, wb  0

Biết các thành phần ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ta xác định được độ lớn và hướng của nó:
̇

√
√

(1.11)
√( ̈ )

̇

( )

(1.12)

̈
Trong đó

̇

là các góc tạo bởi vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ với các vectơ đơn vị

⃗⃗ ⃗⃗.
1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ
Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của chất điểm M
được xác định bởi ba tọa độ

Khi đó bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của
O1

chất điểm M được viết dưới dạng
⃗

( )⃗⃗

( )⃗⃗

⃗⃗

z

.

⃗⃗φ

ρ
M’

(1.13)

𝜃
O
x

7

φ

ρ

⃗⃗ρ

y

M


Những tọa độ trụ

của điểm M liên hệ với các tọa độ Descartes

của nó bằng các hệ thức sau đây:

(1.14)
Những vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ trụ liên hệ với các vectơ
đơn vị ⃗ ⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ Descartes được xác định như sau
⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗⃗

[⃗⃗ ⃗⃗ ]

⃗

⃗

Khi chất điểm M chuyển động thì các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗

thay đổi

chiều nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng:
⃗⃗̇

̇( ⃗

⃗

)

⃗⃗̇

̇ (⃗

⃗

)

̇ ⃗⃗
̇ ⃗⃗

Phương trình chuyển động của chất điểm ở trong hệ tọa độ trụ: khi chất
điểm M chuyển động thì

đều biến đổi theo thời gian:

()

()

(1.15)

()
Vận tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ:
⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

=
=

̇
√

⃗⃗̇

̇ ⃗⃗
⃗⃗
̇

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

⃗⃗
̇
√ ̇

8

(

̇)

̇

(1.16)


Gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

d⃗⃗
d

( ̈

⃗⃗

̈ ⃗⃗

̇ )⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗
wφ 

̈

d
(
d

)⃗⃗

 

1 d 2
ρ φ  ,
ρ dt

̈

√
{( ̈

)

(

[

̇ )]

̈ }

⁄

Khi chất điểm M chỉ chuyển động trong mặt phẳng thì z = 0 và hệ tọa
độ trụ chuyển thành hệ tọa độ cực.
Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của chất điểm trong hệ tọa
độ cực:
+ Phương trình chuyển động:
√ ̇

√

+ Vận tốc:

( ),
(

()

̇)

+ Gia tốc:
√
{( ̈

)

d
(
[
d

9

⁄

̇ )] }


1.1.5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu.
Vị trí của chất điểm M trong hệ tọa độ cầu
được xác định bằng ba tọa độ

z

𝑛⃗⃗𝑟

.

M

Khi chất điểm chuyển động thì
đều biến đổi theo thời gian.
()

𝜃

O

𝑟

𝑛⃗⃗𝜑

𝑛⃗⃗𝜃
y

𝜑

()

()

x

(1.17)

Đây chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ tọa độ cầu.
Mối liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes được các định bằng các
công thức:

(1.18)

Với

,

,

ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu liên hệ với các vectơ đơn vị trong
hệ tọa độ Descartes:

nr 

r 1
 ( ⃗
r r

⃗⃗)

⃗

=⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗⃗

[⃗⃗ ⃗⃗ ]

⃗

⃗

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian các vectơ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗̇
⃗⃗̇
⃗⃗̇

̇ ⃗⃗
̇
̇

⃗⃗
⃗⃗

̇ ⃗⃗
̇

̇

⃗⃗
⃗⃗

10

⃗⃗

ác phương trình chuyển động, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất
điểm trong hệ tọa độ cầu được biểu diễn dưới dạng:
( )⃗⃗ ( )
v

dr
dt

w

̇ ⃗⃗

(1.19)
⃗⃗̇

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗

̇

( ̇
̇

dv
dt

̈ ⃗⃗

̇ ⃗⃗̇

̇

⃗⃗

)

(1.20)

⃗⃗̈

√
Khi θ 

(1.21)

π
thì hệ tọa cầu chuyển thành hệ tọa độ cực. Khi đó ̇
2

̈

và

chất điểm chuyển động trong mặt phẳng xOy.
1.2 Xung lƣợng
1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm
Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc ⃗⃗ của nó được gọi là
xung lượng ⃗⃗ của chất điểm.

⃗⃗

⃗⃗

(1.22)

Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động
nên từ (1.22) có thể nhận được định luật biến thiên xung lượng
⃗⃗̇

⃗⃗

(1.23)

Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm: “ Đạo hàm của xung
lượng theo thời gian bằng tổng các lực tác dụng lên chất điểm.”
Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại
mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn.
Ví dụ: Fz = 0 thì Fz bảo toàn

11


hú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa
thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bằng 0.
Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm: “ Nếu chất điểm là cô lập
(không có lực tác dụng) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì
xung lượng của chất điểm được bảo toàn.”
⃗⃗̇

hay ⃗⃗

⃗⃗ = const.

1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
Ký hiệu xung lượng của chất điểm là ⃗⃗ thì theo định nghĩa
N

N

i 1

i 1

P  Pi  mi vi
Trong đó ⃗⃗

(1.24)

⃗⃗ là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung

lượng của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của chất điểm trong hệ.
Đạo hàm hai vế của phương trình theo thời gian
N
dP
dv
 mi i
dt
dt
i 1

N
dP
 mi w i
dt
i 1

(1.25)

Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là gia tốc của chất điểm thứ i.
N

N

m w  (F

ó:

i

i 1

in
i

i

 Fie )

i 1

(1.26)

N

Với:

F

in
i

i 1

là tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.

N

F

e
i

i 1

là tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.

12


N

N

F

Ta có:

N

 Fij

in
i

i 1 j 1
i j

i 1

N

N

N

N

N

Fiin  Fij  Fij

i 1 j 1
i j

i 1

N

N

F

in
i

i 1

N

F
i 1

N

N

 Fji  Fji
i 1 j 1
i j

i 1 j 1

i j

N

in
i

Do đó:

N

i 1 j 1
i j

  (Fij  Fji )  0
i. j 1
j i

Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0
Khi đó (1.26) trở thành:
N

N

m w  F
i

e
i

i

i 1

(1.27)

i 1

Thay (1.27) vào (1.25) ta được

dP
dt

N

F

e
i

i 1

dP
 Fe
dt

hay

⃗⃗̇

⃗⃗

(1.28)

Biểu thức (1.28) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất
điểm được phát biểu như sau:“ Đạo hàm vectơ xung lượng của hệ chất điểm
theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”
*

Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên trục cố

định nào đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ
trên trục đó bảo toàn.
Ví dụ:

thì Pz = const.

13


Trong trường hợp cơ hệ là kín mà trong đó các chất điểm của hệ không
chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay ⃗⃗
⃗⃗

.

⃗⃗ = const

Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như
sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn”

1.3 Momen xung lƣợng
1.3.1 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm
Để đưa đến khái niệm momen xung lượng của một chất điểm ta đem
nhân hữu hướng hai vế của phương trình định luật II Niuton với bán kính
vectơ ⃗ về phía trái, ta có:
[ ⃗ ⃗⃗̇]

[ ⃗ ⃗⃗]

(1.29)

Tích hữu hướng [ ⃗ ⃗⃗] được gọi là momen lực được ký hiệu là ⃗⃗
⃗⃗
Vì [⃗⃗ ⃗⃗]

[ ⃗ ⃗⃗]

nên có thể biến đổi vế trái của (1.29) thành dạng:
[ ⃗ ⃗⃗̇]

Trong đó ⃗⃗⃗⃗

(1.30)

dM
dt

(1.31)

[ ⃗ ⃗⃗̇] được gọi là momen xung lượng của chất điểm.

Từ (1.29), (1.30), (1.31) ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên
⃗⃗⃗⃗̇

momen xung lượng của chất điểm.

⃗⃗

Định luật biến thiên momen xung lượng của chất điểm được phát biểu:
“ Đạo hàm momen xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng momen lực
tác dụng lên chất điểm đó.”
* Nếu thành phần momen lực tác dụng lên một trục cố định nào đó tại mọi
thời điểm bằng 0 thì thành phần momen xung lượng của chất điểm trên trục
đó được bảo toàn.

14


Nhận xét: Momen lực ( hay các thành phần của nó trên trục nào đó)
bằng 0 khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0. Nhưng cũng có thể xảy ra
trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà momen lực lại bằng 0.
Định luật bảo toàn momen xung lượng của chất điểm được phát biểu
như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất
điểm bằng 0 hoặc lực cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất
điểm thì momen xung lượng của chất điểm được bảo toàn.”
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ = const

1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm

Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có
dạng:
mi ⃗̈

⃗⃗

⃗⃗

(i = 1,2,......, N)

Nhân hữu hướng vế bên trái của phương trình này với bán kính vectơ
⃗ của chất điểm thứ i ta nhận được phương trình xác định sự biến thiên của
momen xung lượng của chất điểm thứ i.
⃗⃗⃗⃗̇

⃗⃗

⃗⃗

(1.32)

Trong đó: ⃗⃗

[ ⃗ ⃗⃗ ] là momen nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i

⃗⃗

[ ⃗ ⃗⃗ ] là momen ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i

⃗⃗⃗⃗̇

[ ⃗ ⃗⃗ ] là monem xung lượng của chất điểm thứ i

Lấy tổng biểu thức (1.32) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:
⃗⃗⃗⃗̇

N

L

in
i

i 1

N

 Lei
i 1

Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là momen xung lượng của hệ, bằng tổng momen xung
lượng của các chất điểm trong hệ.

15


N

M  Mi
i 1

ác lực tương tác giữa mỗi cặp chất điểm theo định luật III Niuton thì
bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳng nối các
chất điểm tương tác. Do đó ta có thể biểu diễn momen lực theo tất cả các cặp
chất điểm tương tác.



N
N


in
Li    ri Fji     ri .Fji    rj.Fij 

i 1
i 1
 i, j1  i, j 0
i j
 i j 
N



N

N

L

in
i



0

(1.33)

i 1

Bởi vì [ ⃗ ⃗⃗ ]

[ ⃗ ⃗⃗ ]

(vì ⃗⃗ cộng tuyến với ⃗ = ⃗

⃗ ) ⃗⃗ ]

[( ⃗
⃗)

Từ biểu thức (1.32) và ( .33) ta nhận được biểu thức của định luật biến
thiên momen xung lượng của hệ chất điểm:
⃗⃗⃗⃗̇

⃗⃗

Định luật biến thiên momen xung lượng của hệ chất điểm được phát
biểu như sau: “ Đạo hàm momen xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian

bằng tổng momen ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”
 Nếu thành phần của tổng momen ngoại lực trên một trục cố định nào
đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của momen xung lượng của hệ
trên trục đó được bảo toàn.
Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu
như sau: “ Đối với hệ kín, momen xung lượng của hệ không thay đổi ”
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ = const

16


1.4 Năng lƣợng
1.4.1 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm.
Để thiết lập định luật biến thiên động năng của chất điểm ta nhân vô
hướng hai vế của phương trình ⃗⃗̇

⃗⃗ với dịch chuyển d ⃗, ta được:

m ⃗⃗̇ d⃗⃗= ⃗⃗ d ⃗
Đại lượng ⃗⃗ d ⃗ được gọi là công nguyên tố của lực ⃗⃗ trên dịch chuyển
d ⃗ và được ký hiệu dA.
dA = ⃗⃗ d ⃗
Ta biến đổi vế trái của phương trình trên:

dv
dr =
m
dt

mv 2
⃗⃗ d⃗⃗ = d
2

Gọi T là động năng của chất điểm:

mv 2
T=
2

Biểu thức của định lý biến thiên động năng
dT = dA

(1.34)

Định lý biến thiên động năng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác dụng lên
chất điểm”
Lấy tích phân hai vế phương trình ( .34) từ ⃗ đến ⃗ ta nhận được:
r1

mv12 mv02

= F dr  A
2
2
r0

(1.35)

 Từ phương trình ( .35) ta thấy rằng, nếu không biết định luật
chuyển động của chất điểm, nghĩa là không biết hàm ⃗( ) , thì ta sẽ không tính
được công trên một dịch chuyển hữu hạn của chất điểm và đồng thời cũng
không thể tính được độ biến thiên hữu hạn của động năng của nó. Tuy nhiên

17


đối với một số lực không biết phương trình chuyển động ⃗( ) ta vẫn có thể
xác định được độ biến thiên hữu hạn của động năng. Đó là những lực thế.
Lực thế là những lực mà ta có thể biểu diễn dưới dạng:
⃗⃗

( ⃗)

Trong đó ( ⃗) là hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí của chất điểm
được gọi là thế năng của chất điểm.
ông nguyên tố của lực thế là một vi phân toàn phần. Thật vậy:
dA = ⃗⃗ d ⃗

( ⃗)d ⃗ = d

(1.36)

Theo định nghĩa cơ năng của chất điểm bằng tổng động năng cộng thế
năng của nó:

E=T+U

Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được:
dE dT dU


dt
dt
dt

Từ định lý biến thiên động năng có

dE
0
Vậy
dt

hay

mv 2
E 
2

dT dA
dA
dU


và từ (1.36) có
dt
dt
dt

dt

( ⃗)

= const.

Định luật bảo toàn cơ năng cho ta một tích phân đầu của chuyển động.
Tích phân này cho phép xác định độ lớn của vận tốc là một hàm của vị trí mà
không phải tìm nghiệm của phương trình chuyển động.
1.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất
điểm.
Nếu nhân hai vế phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ
chất điểm:
mi ⃗̈

⃗⃗

⃗⃗

(i = 1,2,......, N)

với dịch chuyển tương ứng d ⃗ của chất điểm thứ i thì ta sẽ nhận được biểu
thức xác định sự biến thiên động năng của chất điểm thứ i.

18


d
Trong đó: Ti 
d

d

d

(1.37)

mi vi2
là động năng của chất điểm thứ i
2

và d

là các công nguyên tố của nội và ngoại lực trên dịch

chuyển d ⃗ của chất điểm thứ i.
Lấy tổng (1.37) theo tất cả các chất điểm trong hệ ta được:
dT = d

d

N

Trong đó T = Ti là động năng của hệ, bằng tổng động năng của các
i 1

chất điểm trong hệ.
d

là công nguyên tố của tất cả các nội lực

d

là công nguyên tố của tất cả các ngoại lực

Định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:
“ Vi phân động năng của hệ chất điểm bằng công nguyên tố của tất cả nội lực
và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”
 Đối với hệ kín thì cơ năng cũng không đổi nên định luật bảo toàn cơ
năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “Khi cơ hệ là kín hoặc các lực
tác dụng lên cơ hệ đều là những lực thế thì cơ năng của hệ bảo toàn”
E = E0 = const.
1.5 Tọa độ suy rộng
Để đơn giản, ta khảo sát cơ hệ Hôlômôn gồm N chất điểm Mi ( i = ̅̅̅̅̅ )
với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình:
̅̅̅̅̅)

( ⃗ , ⃗ , ...., ⃗ , t) = 0 (

(1.38)

Nếu n phương trình liên kết này độc lập thì trong số 3N tọa đồ
Descartes xi, yi và zi ( i = ̅̅̅̅̅ ) có s = 3N – n tọa độ độc lập. Muốn xác định
đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập.

19